PAGE1-第23課時(shí)二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的應(yīng)用學(xué)問點(diǎn)一二元一次不等式組表示平面區(qū)域的面積1．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面區(qū)域的面積是()A．18B．36C．72D．144答案B解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖．交點(diǎn)A(－3，3)，B(3，9)，C(3，－3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36．故選B．2．已知點(diǎn)M(a，b)在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤2))確定的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)N(a＋b，a－b)所在的平面區(qū)域的面積是()A．1B．2C．4D．8答案C解析由于點(diǎn)M在不等式組確定的平面區(qū)域內(nèi)，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,b≥0，,a＋b≤2.))令a＋b＝m，a－b＝n，則2a＝m＋n，2b＝m－n，代入a，b滿意的不等式組中，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n≥0，,m－n≥0，,m≤2.))此不等式組表示的平面區(qū)域即為點(diǎn)N所在的平面區(qū)域．如圖，畫出此平面區(qū)域?yàn)橐坏妊苯侨切危娣e為4．3．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x－y＋1≥0，,2x＋y＋2≥0))表示的平面區(qū)域的面積是________．答案6解析作出平面區(qū)域如圖△ABC，A(－1，0)，B(1，2)，C(1，－4)，故S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·d＝eq\f(1,2)×6×2＝6．(d表示A到直線BC的距離．)4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面區(qū)域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面積是________．答案1解析令x＋y＝m，x－y＝n，得x＝eq\f(m＋n,2)，y＝eq\f(m－n,2)．所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,\f(m＋n,2)≥0，,\f(m－n,2)≥0，))其對(duì)應(yīng)的可行域如圖陰影部分所示．故S＝eq\f(1,2)×2×1＝1．5．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镮，則當(dāng)a從－2連續(xù)改變到1時(shí)，動(dòng)直線x＋y－a＝0掃過I中的那部分區(qū)域的面積為________．答案eq\f(7,4)解析如圖所示，I為△BOE所表示的區(qū)域，而動(dòng)直線x＋y＝a掃過I中的那部分區(qū)域?yàn)樗倪呅蜝OCD，而B(－2，0)，O(0，0)，C(0，1)，D－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，E(0，2)，△CDE為直角三角形．∴S四邊形BOCD＝eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(7,4)．學(xué)問點(diǎn)二含參數(shù)的問題6．在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于5，則a的值為()A．－11B．3C．9D．9或－11答案C解析畫出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0.))表示的平面區(qū)域如圖，直線l：y＝ax＋1過定點(diǎn)(0，1)，由于ax－y＋1≥0與eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0))圍成平面區(qū)域的面積為5，∴a＞0，令x＝1得y＝a＋1，∴eq\f(1,2)×(a＋1)×1＝5，∴a＝9．7．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤2))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)＜5B．a(chǎn)≥7C．5≤a＜7D．a(chǎn)＜5或a≥7答案C解析先畫出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的區(qū)域，再確定y≥a表示的區(qū)域．由圖知：5≤a＜7．8．已知點(diǎn)P(1，－2)及其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)中有且只有一個(gè)在不等式2x－by＋1＞0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則b的取值范圍是________．答案－∞，－eq\f(3,2)∪－eq\f(1,2)，＋∞解析設(shè)P(1，－2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－1，2)，因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)P′有且只有一個(gè)適合不等式，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋2b＋1＞0，,－2－2b＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋2b＋1≤0，,－2－2b＋1＞0，))得b≥－eq\f(1,2)或b≤－eq\f(3,2)．學(xué)問點(diǎn)三二元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用9．某公司從銀行貸款不足250萬元，安排給下屬甲、乙兩個(gè)工廠用以進(jìn)行技術(shù)改造．已知甲廠可以從投入的金額中獲得20%的利潤；乙廠可以從投入的金額中獲得25%的利潤．假如該公司安排從這筆貸款中至少獲利60萬元，請(qǐng)列出甲、乙兩個(gè)工廠安排到的貸款金額所滿意的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域．解設(shè)x，y分別表示甲、乙兩個(gè)工廠安排到的貸款金額(單位：萬元)，依據(jù)題意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y＜250，,x·20%＋y·25%≥60.))不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分．易錯(cuò)點(diǎn)忽視參數(shù)的含義10．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥eq\f(4,3)B．0<a≤1C．1≤a≤eq\f(4,3)D．0<a≤1或a≥eq\f(4,3)易錯(cuò)分析如圖所示，雖然平移直線l：x＋y＝a與線段AB(不含A，B)相交時(shí)，原不等式組圍成的區(qū)域?yàn)樗倪呅危?dāng)l過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，即x＋y＝eq\f(4,3)時(shí)，原不等式組圍成的平面區(qū)域仍是三角形區(qū)域．答案D解析當(dāng)a∈(0，1]時(shí)，原不等式組表示的平面區(qū)域是△COD及其內(nèi)部．當(dāng)a≥eq\f(4,3)時(shí)，原不等式組表示的平面區(qū)域是△AOB及其內(nèi)部．故0<a≤1或a≥eq\f(4,3)．故選D．一、選擇題1．在直角坐標(biāo)系中，若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤2x，,y≤kx－1－1))表示一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(－∞，－1)B．(－1，2)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(2，＋∞)答案A解析作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤2x))表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，留意到直線y＝k(x－1)－1恒過點(diǎn)A(1，－1)，要使題中不等式組表示的區(qū)域?yàn)槿切螀^(qū)域，首先必需使k<0(因?yàn)槿鬹≥0，則不行能得到三角形區(qū)域)，然后考慮兩臨界狀態(tài)，即圖中的直線l1與l2，易得k的取值范圍是(－∞，－1)．故選A．2．完成一項(xiàng)裝修工程，木工和瓦工的比例為2∶3，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，請(qǐng)工人數(shù)的限制條件是()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤5，,x，y∈N*))B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x＋40y≤2000，,\f(x,y)＝\f(2,3)))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y≤200，,\f(x,y)＝\f(2,3)，,x，y∈N*))D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y＜100，,\f(x,y)＝\f(2,3)))答案C解析解除法：∵x，y∈N*，解除B，D．又∵x與y的比例為2∶3，∴解除A，故選C．3．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－y＋4≥0，,x≤a))(a為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積是9，那么實(shí)數(shù)a的值為()A．3eq\r(2)＋2B．－3eq\r(2)＋2C．－5D．1答案D解析區(qū)域如圖，易求得A(－2，2)，B(a，a＋4)，C(a，－a)．

故S△ABC＝eq\f(1,2)|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由題意得a＝1．4．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x＋1，,y≥0，,0≤x≤t))所表示的平面區(qū)域的面積為eq\f(3,2)，則t的值為()A．－eq\r(3)或eq\r(3)B．－3或1C．1D．eq\r(3)答案C解析不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x＋1，,y≥0，,0≤x≤t))所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x＝t，))得交點(diǎn)B(t，t＋1)，在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，即直線y＝x＋1與y軸的交點(diǎn)為C(0，1)，由平面區(qū)域的面積S＝eq\f(1＋t＋1·t,2)＝eq\f(3,2)，得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3(不符合題意，舍去)．故選C．5．若M(x0，y0)是平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥8，,x＋y≤aa≠8，,x≥6))內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且x0＋2y0≤14恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(8，10]B．(8，9]C．[6，9]D．[6，10]答案A解析不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥8，,x＋y≤aa≠8，,x≥6))所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由題意易知a＞8，且點(diǎn)(6，a－6)為可行域內(nèi)邊界上一點(diǎn)．由圖可知當(dāng)點(diǎn)(6，a－6)位于直線x＋2y＝14上或其左下方時(shí)，x0＋2y0≤14恒成立，從而有6＋2(a－6)≤14，即a≤10，所以8＜a≤10．故選A．二、填空題6．若Ax＋By＋5<0表示的區(qū)域不包括點(diǎn)(2，4)，λ＝A＋2B，則λ的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，＋∞))解析∵點(diǎn)(2，4)不包括在Ax＋By＋5<0的區(qū)域內(nèi)，∴2A＋4B＋5≥0，∴A＋2B≥－eq\f(5,2)．即λ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，＋∞))．7．已知不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≥－1，,y≥0))所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線y＝kx－3k與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≥－1，,y≥0))所表示的平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示．因?yàn)橹本€y＝kx－3k過定點(diǎn)E(3，0)，所以當(dāng)y＝kx－3k過點(diǎn)A(0，1)時(shí)，得到k＝－eq\f(1,3)，當(dāng)y＝kx－3k過點(diǎn)B(1，0)時(shí)，得到k＝0．又因?yàn)橹本€y＝kx－3k與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，所以－eq\f(1,3)≤k≤0．8．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，則△ABC的內(nèi)部及邊界所對(duì)應(yīng)的二元一次不等式組是________．答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1≥0，,x－y＋2≥0，,2x＋y－5≤0))解析如圖直線AB的方程為x＋2y－1＝0(可用兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式寫出)，直線AC的方程為2x＋y－5＝0，直線BC的方程為x－y＋2＝0，把(0，0)代入2x＋y－5＝－5＜0，∴AC左下方的區(qū)域?yàn)?x＋y－5＜0．∴同理可得△ABC區(qū)域(含邊界)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1≥0，,x－y＋2≥0，,2x＋y－5≤0.))三、解答題9．利用平面區(qū)域求不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3，,y≥2，,6x＋7y≤50))的整數(shù)解．解先畫出平面區(qū)域，再用代入法逐個(gè)驗(yàn)證．把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤eq\f(32,7)，又∵y≥2，∴整點(diǎn)有：(3，2)(3，3)(3，4)；把x＝4代入6x＋7y≤50，得y≤eq\f(2