大學求極限試題及答案解析

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在2.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.eC.1D.$\infty$3.當$x\to0$時，$x^2$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小4.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在5.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]$（）A.一定存在B.一定不存在C.不一定存在D.等于06.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.27.函數$f(x)=\frac{x}{x^2-1}$的間斷點有（）A.1個B.2個C.3個D.0個8.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}=$（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.29.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.210.當$x\to0$時，與$x$等價無窮小的是（）A.$\sin2x$B.$2x$C.$\ln(1+x)$D.$x^2$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限值為1的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$2.當$x\to0$時，下列是無窮小的有（）A.$x$B.$x^2$C.$\sinx$D.$\frac{1}{x}$3.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3}$D.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-1}$4.求極限的方法有（）A.代入法B.等價無窮小替換C.洛必達法則D.重要極限5.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$，則（）A.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=A+B$B.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB$C.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\neq0)$D.$\lim\limits_{x\toa}kf(x)=kA$（$k$為常數）6.下列函數在$x=0$處間斷的有（）A.$f(x)=\frac{1}{x}$B.$f(x)=\begin{cases}1,x\geq0\\-1,x\lt0\end{cases}$C.$f(x)=\sin\frac{1}{x}$D.$f(x)=x^2$7.以下屬于重要極限的是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$C.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$8.當$x\to\infty$時，下列函數極限為0的有（）A.$\frac{1}{x}$B.$\frac{1}{x^2}$C.$\frac{\sinx}{x}$D.$x$9.若函數$f(x)$在$x_0$處連續，則（）A.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$B.$f(x)$在$x_0$處有定義C.$\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)$D.$f(x)$在$x_0$鄰域內有界10.下列說法正確的是（）A.無窮小與有界函數的乘積是無窮小B.無窮大與有界函數的乘積是無窮大C.兩個無窮小的和是無窮小D.兩個無窮大的和是無窮大三、判斷題（每題2分，共10題）1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}=0$（）2.無窮小就是0（）3.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$與$\lim\limits_{x\toa}g(x)$都不存在，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]$一定不存在（）4.當$x\to0$時，$x$與$x+x^2$是等價無窮小（）5.函數$f(x)=\frac{1}{x-1}$在$x=1$處間斷（）6.$\lim\limits_{x\to\infty}\sinx$不存在（）7.利用洛必達法則可以求解所有的極限問題（）8.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=\infty$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=\infty$，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=0$（）9.等價無窮小替換只能在乘除運算中使用（）10.函數$y=x$在其定義域內處處連續（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述等價無窮小替換的條件及常見的等價無窮小。答案：條件是在乘除運算中使用。常見等價無窮小：當$x\to0$時，$\sinx\simx$，$\tanx\simx$，$e^x-1\simx$，$\ln(1+x)\simx$，$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2$。2.求極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的方法及過程。答案：利用重要極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。將原式變形為$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}$，令$t=3x$，當$x\to0$時，$t\to0$，則原式$=3\lim\limits_{t\to0}\frac{\sint}{t}=3$。3.說明函數在某點連續的定義。答案：函數$y=f(x)$在點$x_0$處連續需滿足三個條件：一是$f(x)$在$x_0$處有定義；二是$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在；三是$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$。4.簡述洛必達法則適用的類型。答案：適用于“$\frac{0}{0}$”型和“$\frac{\infty}{\infty}$”型未定式極限。即當$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$為“$\frac{0}{0}$”或“$\frac{\infty}{\infty}$”時，若滿足一定條件，$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實際生活中的應用，舉例說明。答案：在經濟領域，如計算成本、收益的變化趨勢；物理中，計算物體運動的瞬時速度等。例如，通過求路程函數的極限得到物體在某一時刻的瞬時速度，能準確分析物體運動狀態。2.探討等價無窮小替換在復雜極限運算中的作用與局限性。答案：作用是簡化極限運算，在乘除中合理替換可快速得出結果。局限性在于只能用于乘除，在加減運算中使用可能導致錯誤，因為等價無窮小只是近似相等，在加減中替換可能改變原式精度。3.如何判斷一個函數在某區間內的連續性，并舉例說明判斷過程。答案：需判斷函數在區間內每一點是否滿足連續定義。例如$f(x)=x^2$在$(-\infty,+\infty)$，對任意$x_0$，$f(x)$在$x_0$有定義，$\lim\limits_{x\tox_0}x^2=x_0^2=f(x_0)$，所以在該區間連續。4.討論重要極限在極限計算中的地位與應用技巧。答案：重要極限是極限計算的基礎和有力工具。地位關鍵，很多復雜極限可轉化為重要極限求解。應用技巧是通過湊形式，如變形為$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinu(x)}{u(x)}$或$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{u(x)})^{u(x)