秘籍07概率與離散型隨機變量的期望與方差概率預測☆☆☆☆題型預測選擇題、填空題、解答題☆☆☆☆☆考向預測全概率公式概率屬于解答題必考題大多考察兩方面，一個是超幾何分布與二項分布的區別，還有就是線性回歸方程與獨立性檢驗。小題中新教材新加的全概率公式和條件概率是重點，當然古典概型和相互獨立事件的判斷以及正態分布也是需要熟練掌握的。【題型一】條件概率一般地,當事件B發生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發生的條件下事件A發生的概率,稱為條件概率,記作P(A|B),而且P(A|B)=P(（多選題)（2023·江蘇南京·南京師大附中校考一模）已知事件A，B滿足，，則（

）A．若，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨立，則 D．若，則A與B相互獨立【答案】BD【詳解】解：對于A，因為，，，所以，故錯誤；對于B，因為A與B互斥，所以，故正確；對于C，因為，所以，所以，故錯誤；對于D，因為，即，所以，又因為，所以，所以A與B相互獨立，故正確.故選：BD（2023·江蘇南通·統考模擬預測）隨著人們對環境關注度的提高，綠色低碳出行越來越受市民重視，小李早上上班的時候，可以騎電動車，也可以騎自行車，已知小李騎電動車的概率為0.6，騎自行車的概率為0.4，而且在騎電動車與騎自行車條件下，小李準時到單位的概率分別為0.9與0.8，則小李準時到單位的概率是___________.【答案】0.86##【詳解】由題意可得，小李騎電動車準時到單位的概率為；騎自行車準時到單位的概率為；則小李準時到單位的概率是.（2023·江蘇南京·南京師大附中校考一模）三個元件，，獨立正常工作的概率分別是，，，把它們隨意接入如圖所示電路的三個接線盒，，中（一盒接一個元件），各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是__________．【答案】【詳解】由題意，元件，，不正常工作的概率分別為，，電路正常工作的條件為正常工作，，中至少有一個正常工作，（1）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（2）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（3）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是因為，所以，所以此電路正常工作的最大概率是.故答案為：1.（多選題)（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）已知隨機變量服從正態分布，則下列結論正確的是（

）A．， B．若，則C． D．隨機變量滿足，則【答案】ABC【詳解】因為,所以，，A正確；因為，所以，B正確；因為，所以，C正確；因為，所以，所以,D錯誤，故選:ABC.2.（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知隨機事件A，B，，，，則________.【答案】【詳解】依題意得，所以故，所以.3．（2023·上海徐匯·統考二模）甲、乙、丙、丁四名同學報名參加高中社會實踐活動，高中社會實踐活動共有博物館講解、養老院慰問、交通宣傳、超市導購四個項目，每人限報其中一項，記事件A為“4名同學所報項目各不相同”，事件B為“只有甲同學一人報交通宣傳項目，則_________.【答案】【詳解】，，故.故答案為：4．（2023·天津·校聯考一模）為了組建一支志愿者隊伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數，則________.【答案】/【詳解】設事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，則，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，則故答案為：；【題型二】全概率公式與貝葉斯公式全概率公式一般地,設A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)=eq\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)我們稱上面的公式為全概率公式．*貝葉斯公式：一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有1．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯考二模）據美國的一份資料報道，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（

）A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%【答案】A【詳解】設不吸煙患肺癌的概率為，則，解得.故選：A2．（2023·上海嘉定·統考二模）已知某產品的一類部件由供應商和提供，占比分別為和，供應商提供的部件的良品率為，若該部件的總體良品率為，則供應商提供的部件的良品率為__________．【答案】【詳解】記隨機取一件產品由供應商提供為事件，由供應商提供為事件，為良品為事件，則，，，，由，即，解得，即供應商提供的部件的良品率為.故答案為：3．（2023·廣東茂名·統考二模）馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關，與第次狀態是“沒有任何關系的”.現有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.(1)求的分布列；(2)求數列的通項公式；(3)求的期望.【答案】(1)答案見解析(2)(3)1【詳解】（1）（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，數列為以為首項，以為公比的等比數列，所以，即：.（3）由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.1．（2023·浙江杭州·統考二模）馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用．其數學定義為：假設我們的序列狀態是…，，，，，…，那么時刻的狀態的條件概率僅依賴前一狀態，即．現實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸的概率為，且賭輸就要輸掉1元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數軸所示．當賭徒手中有n元（，）時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：(1)請直接寫出與的數值．(2)證明是一個等差數列，并寫出公差d．(3)當時，分別計算，時，的數值，并結合實際，解釋當時，的統計含義．【答案】(1)，(2)證明見解析；(3)時，，當時，，統計含義見解析【詳解】（1）當時，賭徒已經輸光了，因此.當時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場贏的事件,,即，所以，所以是一個等差數列，設，則，累加得，故，得，（3），由得,即,當時，，當時，，當時，，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光．2．（2023·廣東佛山·統考二模）有個編號分別為1，2，…，n的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是______，從第個盒子中取到白球的概率是______．【答案】【詳解】記事件表示從第個盒子里取出白球，則，，所以，，，進而可得，，又，，，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，即，故答案為：；.3．（2023·廣東梅州·統考二模）有一批同規格的產品，由甲、乙、丙三家工廠生產，其中甲、乙、丙工廠分別生產3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為6%、5%、5%，現從這批產品中任取一件，則（1）取到次品的概率為____________；（2）若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為____________．【答案】/【詳解】設任取一件產品來自甲廠為事件、來自乙廠為事件、來自丙廠為事件，則彼此互斥，且,，，，設任取一件產品，取到的是次品為事件，則如果取得零件是次品，那么它是來自甲廠生產的概率為,故答案為：，【題型三】離散型隨機變量的分布列和概率性質設離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1；(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn；(4)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn.隨機變量的數學期望與方差(1)如果E(η)和E(ξ)都存在，則E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)．(2)若η＝aξ＋b，則E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)．(3)期望與方差的轉化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.1．（2021·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考三模）下面說法錯誤的是（

）A．離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的；B．利用頻率分布直方圖計算的樣本數字特征是樣本數字特征的估計值；C．兩個相關變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1；D．在分層抽樣的過程中，哪一層的樣本越多，該層中個體被抽取的可能性越大．【答案】D【詳解】對于A中，離散型隨機變量的各個可能值表示的事件時彼此互斥的不會同時發生，所以A正確；對于B中，利用頻率分布直方圖計算的一般數字特征是樣本數字特征的估計值，所以B正確；對于C中，兩個相關變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近與1，所以C正確；對于D中，在分層抽樣的過程中，哪一層的樣本即便越多，該層中個體被抽到的可能性也是相同的，所以D不正確.故選：D.2．（2023·河南新鄉·統考二模）已知隨機變量X的分布列為X024Pm則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】由題可知，，解得，則．故選：D.（多選）3．（2023·遼寧大連·校聯考模擬預測）下列結論中，正確的有（

）A．數據1，2，4，5，6，8，9的第百分之60分位數為5．B．已知隨機變量X服從二項分布，若，則．C．已知回歸直線方程為，且，，則．D．對變量x與y的統計量來說，值越小，判斷“x與y有關系”的把握性越大．【答案】BC【詳解】對于A項，，所以第百分之60分位數為6，故A項錯誤；對于B項，因為，所以，所以，解得：，故B項正確；對于C項，回歸直線必過樣本中心可得：，解得：，故C項正確；對于D項，由獨立性檢驗可知，值越大，判斷“x與y有關系”的把握性越大，故D項錯誤.故選：BC.（多選）1．（2023·遼寧錦州·統考二模）已知我市某次考試高三數學成績，從全市所有高三學生中隨機抽取6名學生，成績不少于80分的人數為，則（

）A． B．服從標準正態分布C． D．【答案】AD【詳解】，故，，，對選項A：根據正態分布的對稱性得到，正確；對選項B：服從標準正態分布，錯誤；對選項C：，則，故，錯誤；對選項D：，正確.故選：AD2．（2023·山西運城·統考二模）現在世界正處于百年未見之大變局，我國面臨著新的考驗，為增強學生的愛國意識和凝聚力，某學校高二年級組織舉辦了“中國國情和當今世界局勢”的知識對抗競賽，主要是加深對新中國成立以來我國在經濟建設、科技創新、精神文明建設等方面取得的成就和最新世界經濟、政治時事的了解．組織者按班級將參賽人員隨機分為若干組，每組均為兩名選手，每組對抗賽開始時，組織者隨機從準備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機會相等．比賽得分規則為：選手搶到試題且回答正確得10分，對方選手得0分；選手搶到試題但回答錯誤或沒有回答得0分，對方選手得5分；2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲、乙兩名選手被分在同一組進行對抗賽，每道試題甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨立．2道試題搶答后的各自得分作為兩位選手的個人總得分．(1)求乙總得分為10分的概率；(2)記X為甲的總得分，求X的分布列和數學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）由題意，乙得10分的基本事件有{乙搶到兩題且一道正確一道錯誤或沒有回答}、{甲，乙各搶到一題都回答正確}、｛甲搶到兩題都回答錯誤或沒有回答｝所以乙總得分為10分的概率．（2）由題意得，甲的總得分X可能取值為0，5，10，15，20；；；．分布列如下：X05101520P所以．3．（2023·安徽·校聯考二模）近年來，一種全新的營銷模式開始興起——短視頻營銷．短視頻營銷以短視頻平臺為載體，通過有限時長，構建一個相對完整的場景感染用戶，與用戶產生吸引、了解、共鳴、互動、需求的心理旅程．企業通過短視頻作為營銷渠道，打通新的流量入口，挖掘受眾群體，獲得新的營銷空間．某企業準備在三八婦女節當天通過“抖音”和“快手”兩個短視頻平臺進行直播帶貨．(1)已知小李3月7日選擇平臺“抖音”、“快手”購物的概率分別為0.6，0.4，且小李如果第一天選“抖音”平臺，那么第二天選擇“抖音”平臺的概率為0.6；如果第一天選擇“快手”平臺，那么第二天選擇“抖音”平臺的概率為0.7．求3月8日小李選擇“抖音”平臺購物的概率；(2)三八婦女節這天，“抖音”平臺直播間進行秒殺搶購活動，小李一家三人能下單成功的概率分別為，，0.5，三人是否搶購成功互不影響．若X為三人下單成功的總人數，且，求p的值及X的分布列．【答案】(1)0.64(2)0.4；分布列見解析【詳解】（1）設“第一天選擇‘抖音’平臺”，“第一天選擇‘快手’平臺”，“第二天選擇‘抖音’平臺”，則，則．（2）由題意得，X的取值為0，1，2，3，且，，，，所以，解得．

故X的分布列為X0123P0.060.340.440.16【題型四】二項分布二項分布：一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發生的次數為X，在每次試驗中事件A發生的概率為p，則事件A恰好發生k次的概率為P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.二項分布的數學期望與方差：若X～B(n，p)，則E(X)＝np.D(X)=np（1-p）1．（2023·河南·洛陽市第三中學校聯考模擬預測）32名業余棋手組隊與甲、乙2名專業棋手進行車輪挑戰賽，每名業余棋手隨機選擇一名專業棋手進行一盤比賽，每盤比賽結果相互獨立，若獲勝的業余棋手人數不少于10名，則業余棋手隊獲勝．已知每名業余棋手與甲比賽獲勝的概率均為，每名業余棋手與乙比賽獲勝的概率均為，若業余棋手隊獲勝，則選擇與甲進行比賽的業余棋手人數至少為（

）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】A【詳解】設選擇與甲進行比賽且獲勝的業余棋手人數為X，選擇與乙進行比賽且獲勝的業余棋手人數為Y；設選擇與甲進行比賽的業余棋手人數為n，則選擇與乙進行比賽的業余棋手人數為32-n．X所有可能的取值為0，1，2，，n，則，；Y所有可能的取值為0，1，2，，32-n，則，，所以獲勝的業余棋手總人數的期望，解得．故選：A．（多選）2．（2023·湖北·統考二模）以下說法正確的有（

）A．某醫院住院的8位新冠患者的潛伏天數分別為10，3，8，3，2，18，7，4，則該樣本數據的第50百分位數為5.5B．經驗回歸直線至少經過樣本點數據中的一個點C．若，，則事件A，B相互獨立D．若隨機變量，則取最大值的必要條件是【答案】AC【詳解】A：數列從小到大為，則，故第50百分位數為，正確；B：回歸直線不一定過樣本點，但必過樣本中心，錯誤；C：由，則，故，所以事件A，B相互獨立，正確；D：由，要使取最大值，只需取最大，顯然當或時最大，故是取最大的充分條件，錯誤.故選：AC3．（2023·全國·東北師大附中校聯考模擬預測）調查問卷中常常涉及到個人隱私或本人不愿正面回答的問題，被訪人可能拒絕回答，即使回答，也不能期望答案是真實的.某小區要調查業主對物業工作是否滿意的真實情況，現利用“隨機化選答抽樣”方法制作了具體調查方案，其操作流程如下：在一個箱子里放3個紅球和2個白球，被調查者在摸到球后記住顏色并立即將球放回，如果抽到的是紅球，則回答“你的性別是否為男性？”如果抽到的是白球，則回答“你對物業工作現狀是否滿意？”兩個問題均用“是”或“否”回答.(1)共收取調查問卷100份，其中答案為“是”的問卷為60份，求一個業主對物業工作表示滿意的概率，已知該小區共有業主500人，估計該小區業主對物業工作滿意的人數；(2)現為了提高對物業工作滿意的業主比例，對小區業主進行隨機訪談，請表示不滿意的業主在訪談中提出兩個有待改進的問題.（i）若物業對每一個待改進的問題均提出一個相應的解決方案，該方案需要由5名業主委員會代表投票決定是否可行.每位代表投贊同票的概率均為，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，并最終解決該問題，求某個問題能夠被解決的概率；（ii）假設業主所提問題各不相同，每一個問題能夠被解決的概率都為，并且都相互獨立.物業每解決一個問題，業主滿意的比例將提高一個百分點.為了讓業主滿意的比例提高到80%，試估計至少要訪談多少位業主？【答案】(1)，375人(2)（i）；（ii）至少要訪談48位業主【詳解】（1）記：事件“業主對物業工作表示滿意”，則，所以，（人），故該小區業主對物業工作表示滿意的人數約為375人；（2）（i）由已知得，每位代表投贊同票的概率均為，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，所以，故某個問題能夠被解決的概率；（ii）設至少要訪談位業主，由（1）知，該小區業主對物業工作滿意的概率為，要使業主滿意的比例提高到80%，則有，故至少要訪談48位業主．1．（2023·安徽安慶·校聯考模擬預測）體育課上，體育老師安排了籃球測試，規定：每位同學有3次投籃機會，若投中2次或3次，則測試通過，若沒有通過測試，則必須進行投籃訓練，每人投籃20次．已知甲同學每次投中的概率為且每次是否投中相互獨立．(1)求甲同學通過測試的概率；(2)若乙同學每次投中的概率為且每次是否投中相互獨立．設經過測試后，甲、乙兩位同學需要進行投籃訓練的投籃次數之和為X，求X的分布列與均值；(3)為提高甲同學通過測試的概率，體育老師要求甲同學可以找一個“最佳搭檔”，該搭檔有2次投籃機會，規定甲同學與其搭檔投中次數不少于3次，則甲同學通過測試．若甲同學所找的搭檔每次投中的概率為且每次是否投中相互獨立，問：當p滿足什么條件時可以提高甲同學通過測試的概率？【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【詳解】（1）由條件知甲同學通過測試的概率為．（2）由（1）可知甲同學沒有通過測試的概率為，根據題意乙同學通過測試的概率為，所以乙同學沒有通過測試的概率為，則，20，40，因，，，于是X的分布列為：X02040P所以．（3）由題意知甲投中1次，其搭檔投中2次的概率為；甲投中2次，其搭檔至少投中1次的概率為：；甲投中3次的概率為，所以甲同學通過測試的概率為，根據題意可知，則，又，所以當時，可以提高甲同學通過測試的概率.2．（2023·湖南常德·二模）某大學一個專業團隊為某專業大學生研究了多款學習軟件，其中有，，三款軟件投入使用，經一學年使用后，團隊調查了這個專業大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數如下表：班級一二三四人數(1)從這人中隨機抽取人，求這人恰好來自同一班級的概率；(2)從這名學生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習時間每人選擇一款軟件，其中選，兩款軟件學習的概率都是，且他們選擇，，任一款軟件都是相互獨立的，設這三名學生中下午自習時間選軟件的人數為，求的分布列和數學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）解：由題知，從這人中隨機抽取人，共有種可能情況，記“這人恰好來自同一班級”為事件，則事件包含的可能情況有：種，所以，（2）解：由題知，的可能取值為，因為選，兩款軟件學習的概率都是，且他們選擇，，任一款軟件都是相互獨立的所以，他們選擇款軟件學習的概率是所以，這三名學生中下午自習時間選軟件的人數為所以，，，，；所以，的分布列為：所以，3．（2023·湖南株洲·統考一模）2023年亞運會在中國杭州舉辦，開幕式門票與其他賽事門票在網上開始預定，亞奧理事會規定：開幕式門票分為A、B兩檔，當預定A檔未成功時，系統自動進入B檔預定，已知獲得A檔門票的概率是，若未成功，仍有的概率獲得B檔門票的機會；而成功獲得其他賽事門票的概率均為，且獲得每張門票之間互不影響．甲預定了一張A檔開幕式門票，一張賽事門票；乙預定了兩張賽事門票．(1)求甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率；(2)求乙獲得的門票數比甲多的概率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得：預定一張開幕式門票不成功的概率，成功的概率為，設甲獲得的門票數為，則的可能取值為，故，故的分布列為：012設乙獲得的門票數為，則，故，故的分布列為：012故甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率.（2）由（1）可得：乙獲得的門票數比甲多的概率.【題型五】超幾何分布超幾何分布列在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*?.X01…mP…若隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從超幾何分布超幾何分布列的數學期望與方差若X～H(n，M，N)，則E(X)＝eq\f(nM,N).D(X)=1．（2022·四川成都·成都七中校考模擬預測）袋中有6個大小相同的黑球，編號為，還有4個同樣大小的白球，編號為，現從中任取4個球，則下列結論中正確的是（

）①取出的最大號碼服從超幾何分布；②取出的黑球個數服從超幾何分布；③取出2個白球的概率為；④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【詳解】對于①，根據超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數學模型計算概率，故①錯誤；對于②，取出的黑球個數符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數學模型計算概率，故②正確；對于③，取出2個白球的概率為，故③錯誤；對于④，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，總得分最大的概率為，故④正確．故選：B2．（2023·山東棗莊·統考二模）一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球．采取不放回摸球，從中隨機摸出22個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數．當最大時，____________．【答案】17.8/【詳解】不放回的摸球，每次實驗結果不獨立，為超幾何分布，最大時，即最大，超幾何分布最大項問題，利用比值求最大項設則令故當時，嚴格增加，當時，嚴格下降，即時取最大值，此題中，根據超幾何分布的期望公式可得，故答案為：17.83．（2023·山東聊城·統考模擬預測）某藥廠研制了治療某種疾病的新藥，該藥的治愈率為p，現用該藥給10位病人治療，記被治愈的人數為X．(1)若，從這10人中隨機選2人進行用藥訪談，求被選中的治愈人數Y的分布列；(2)已知，集合{概率最大}，且A中僅有兩個元素，求．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）由題意知，Y的所有可能取值為，則，，，所以Y的分布列為Y012P（2）由題意知，則,由,得,解得,因為A為雙元素集合且元素為正整數，且，所以，且需為正整數，因為，所以．因為為正整數，所以，即．由題意，，因此．1．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯考二模）某數學興趣小組為研究本校學生數學成績與語文成績的關系，采取有放回的簡單隨機抽樣，從學校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數學成績與語文成績的樣本觀測數據整理如下：語文成績合計優秀不優秀數學成績優秀503080不優秀4080120合計90110200(1)根據的獨立性檢驗，能否認為數學成績與語文成績有關聯？(2)在人工智能中常用表示在事件發生的條件下事件發生的優勢，在統計中稱為似然比.現從該校學生中任選一人，表示“選到的學生語文成績不優秀”，表示“選到的學生數學成績不優秀”請利用樣本數據，估計的值.(3)現從數學成績優秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個小組，從抽取的8人里再隨機抽取3人參加數學競賽，求這3人中，語文成績優秀的人數的概率分布列及數學期望.附：【答案】(1)認為數學成績與語文成績有關；(2)；(3)分布列見解析，.【詳解】（1）零假設：數學成績與語文成績無關.據表中數據計算得：根據小概率值的的獨立性檢驗，我們推斷不成立，而認為數學成績與語文成績有關；（2）∵，∴估計的值為；（3）按分層抽樣，語文成績優秀的5人，語文成績不優秀的3人，隨機變量的所有可能取值為.，，，，∴的概率分布列為：0123∴數學期望.2．（2023·陜西銅川·校考一模）某品牌手機廠為了更好地提升品牌的性能，進行了問卷調查，問卷滿分為100分，現從中選出具有代表性的50份調查問卷加以研究．現將這50份問卷按成績分成如下五組：第一組，3份；第二組，8份；第三組；第四組；第五組，4份；已知其中得分高于60分的問卷份數為20．(1)在第二組與第四組問卷中任取兩份，這兩份問卷成績得分差不低于20分的概率；(2)如果在這50份調查問卷中隨機取4份，其中及格份數記為隨機變量X，寫出X的分布列（結果只要求用組合數表示），并求出期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【詳解】（1）由于成績在的問卷為4份，又得分高于60分的問卷份數為20，故第四組有16份問卷.由于所取兩份問卷分差不低于20分，故由題意知是在第二組與第四組中各取一人，故所求概率為．（2）由題意知隨機變量X取值為0，1，2，3，4．，X的分布列為：X01234所以期望．3．（2022·四川成都·統考一模）冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結合，頭部外殼造型取自冰雪運動頭盜，裝飾彩色光環，整體形象酷似航天員，深受廣大民眾的喜愛，已成為最火爆的商品，“一墩難求”.某調查機構隨機抽取400人，對是否有意向購買冰墩墩進行調查，得到以下的2×2列聯表：有意向購買冰墩墩的人數無意向購買冰墩墩的人數合計男生16080240女生12040160合計280120400(1)根據以上數據，判斷是否有95%的把握認為購買冰墩墩與人的性別有關？(2)若從隨機抽取的400人中按男女比例分層抽樣選取5人進行采訪，再從這5人中隨機抽取2人贈送冰墩墩，記為抽取的2人中男生人數，求X的分布列和數學期望.附：.【答案】(1)沒有的把握認為購買冰墩墩與人的性別有關(2)分布列見解析，【詳解】（1）∵，∴沒有的把握認為購買冰墩墩與人的性別有關.（2）選出的女性人數為人，選出的男性人數為人，由題意可得：的可能取值為，則有：，故的分布列為：012∴.【題型六】正態分布正態分布的定義對任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區域的面積為1.我們稱f(x)為正態密度函數,稱它的圖象為正態密度曲線,簡稱正態曲線,如上圖所示.若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x),則稱隨機變量X服從正態分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當u=0,σ=1時,稱隨機變量X服從標準正態分布.正態分布的期望和方差參數μ反映了正態分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度。正態分布的3σ原則1．（2023·江西宜春·統考一模）給出下列命題，其中正確命題的個數為（

）①若樣本數據的方差為，則數據的方差為；②回歸方程為時，變量與具有負的線性相關關系；③隨機變量服從正態分布，，則；④在回歸分析中，對一組給定的樣本數據而言，當樣本相關系數越接近時，樣本數據的線性相關程度越強.A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【詳解】對于①，由方差的性質可知：數據的方差為，①錯誤；對于②，由回歸方程知：，則變量與具有負的線性相關關系，②正確；對于③，由正態分布曲線的對稱性可知：，③錯誤；對于④，由相關系數意義可知：越接近時，樣本數據的線性相關程度越強，④正確.故選：B.2．（2023·浙江溫州·統考二模）已知隨機變量服從正態分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】隨機變量服從正態分布，顯然對稱軸，所以由對稱性知，故選：C．3．（2023·河南鄭州·統考一模）某班學生的一次的數學考試成績（滿分：100分）服從正態分布：，且，，（

）A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26【答案】C【詳解】因為，，所以，又，所以.故選：C.1．（2023·安徽安慶·校聯考模擬預測）立德中學高一（2）班物理課外興趣小組在最近一次課外探究學習活動中，測量某種物體的質量X服從正態分布，則下列判斷錯誤的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為正態分布圖形關于對稱，所以，，，故ABD正確；根據正態分布的對稱性可得，C錯誤．故選：C.（多選）2．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯考二模）下列結論正確的有（

）A．若隨機變量，滿足，則B．若隨機變量，且，則C．若線性相關系數越接近1，則兩個變量的線性相關性越強D．按從小到大順序排列的兩組數據：甲組：27，30，37，m，40，50；乙組：24，n，33，44．48，52，若這兩組數據的第30百分位數、第50百分位數都分別對應相等，則【答案】BC【詳解】對于A，由方差的性質可得，故A錯誤；對于B，由正態分布的圖象的對稱性可得，故B正確；對于C，由相關系數知識可得：線性相關系數越接近1，則兩個變量的線性相關性越強，故C正確；對于D，甲組：第30百分位數為30，第50百分位數為，乙組：第30百分位數為，第50百分位數為，則，解得，故，故D錯誤；故選：BC3．（2023·廣東佛山·統考二模）佛山被譽為“南國陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽海內外．某企業瓷磚生產線上生產的瓷磚某項指標，且，現從該生產線上隨機抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數，則______．【答案】1【詳解】因為，均值為，且，所以，由題可得，所以．故答案為：1．高考模擬練習1．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區塘沽第一中學校考模擬預測）下列說法正確的是（

）A．若，，，則.B．若將6名教師分到3所中學任教，每所學校至少一名教師且人數互不相同，則有320種不同的分法.C．一組數據為148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，則這組數據的上四分位數是156.D．投擲一枚質地均勻的骰子兩次，記事件A={兩次的點數均為奇數}，事件B={兩次的點數之和為4}，則.【答案】D【詳解】對于A，函數，當時是減函數，函數，當時是增函數，，，，錯誤；對于B，依題意將6名教師分為3組，各組的人數分別為1,2,3，共有種分法，再將3組教師分配到3所中學，有種分法，所以總共有種分法，錯誤；對于C，對于給定的數據，一共是12個，所以中位數是，在154.5的右邊有6個數據，所以上四分位數是，錯誤；對于D，設兩次投擲的點數為，則事件，事件，根據條件概率的定義，正確；故選：D.2．（2023·全國·模擬預測）某乳業公司新推出了一款兒童酸奶，其包裝有袋裝?杯裝?瓶裝.現有甲?乙兩名學生欲從這3種包裝中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響.在甲學生選杯裝酸奶的前提下，兩人選的包裝不同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】記事件C為“甲同學選杯裝酸奶”，則，記事件D為“兩人選的包裝不同”，則事件CD為“甲同學選杯裝酸奶，乙同學選袋裝酸奶或瓶裝酸奶”，所以，所以.故選：C.（多選）3．（2023·全國·模擬預測）2022年10月16日至10月22日，中國共產黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重召開，這是在全黨全國各族人民邁上全面建設社會主義現代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標進軍的關鍵時刻召開的一次十分重要的大會.某單位組織大家深入學習、領會黨的二十大精神，并推出了10道有關二十大的測試題供學習者學習和測試.已知甲答對每道題的概率都是，乙能答對其中的6道題，規定每次測試都是從這10道題中隨機抽出4道，答對一題加10分，答錯一題或不答減5分，最終得分最低為0分，甲、乙兩人答對與否互不影響，則（

）A．乙得40分的概率是 B．乙得分的數學期望是C．甲得0分的概率是 D．甲、乙的得分都是正數的概率是【答案】ABD【詳解】A，B選項：設乙的得分為，則的所有可能取值為0，10，25，40，且，，，，因此，故A，B正確；C，D選項：記“甲得分為正數”為事件，“乙得分為正數”為事件，則，，，，因此甲得0分的概率是，甲、乙的得分都是正數的概率是，故C錯誤，D正確.故選：ABD4．（2023·遼寧鞍山·統考二模）冬季兩項是冬奧會的項目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點的競賽項目結合在一起進行的運動，其中冬季兩項男子個人賽，選手需要攜帶槍支和20發子彈，每滑行4千米射擊1次，共射擊4次，每次5發子彈，若每有1發子彈沒命中，則被罰時1分鐘，總用時最少者獲勝.已知某男選手在一次比賽中共被罰時3分鐘，假設其射擊時每發子彈命中的概率都相同，且每發子彈是否命中相互獨立，記事件A為其在前兩次射擊中沒有被罰時，事件B為其在第4次射擊中被罰時2分鐘，那么___________.【答案】【詳解】解：由題意得，，故答案為：5．（2023·安徽合肥·校考一模）接種流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某學校的學生接種了流感疫苗，已知在流感高發時期，未接種疫苗的感染率為，而接種了疫苗的感染率為.現有一名學生確診了流感，則該名學生未接種疫苗的概率為___________【答案】【詳解】設事件“感染流行感冒”，事件“未接種疫苗”，則，，故.故答案為：．6．（2023·上海浦東新·統考二模）為了慶祝黨的二十大順利召開，某學校特舉辦主題為“重溫光輝歷史展現堅定信心”的百科知識小測試比賽．比賽分搶答和必答兩個環節，兩個環節均設置10道題，其中5道人文歷史題和5道地理環境題．(1)在搶答環節，某代表隊非常積極，搶到4次答題機會，求該代表隊至少搶到1道地理環境題的概率；(2)在必答環節，每個班級從5道人文歷史題和5道地理環境題各選2題，各題答對與否相互獨立，每個代表隊可以先選擇人文歷史題，也可以先選擇地理環境題開始答題．若中間有一題答錯就退出必答環節，僅當第一類問題中2題均答對，才有資格開始第二類問題答題．已知答對1道人文歷史題得2分，答對1道地理環境題得3分．假設某代表隊答對人文歷史題的概率都是，答對地理環境題的概率都是．請你為該代表隊作出答題順序的選擇，使其得分期望值更大，并說明理由．【答案】(1)(2)該代表隊應該先答人文歷史題，再答地理環境題；理由見解析【詳解】（1）從10道題中隨機抽取4道題，所有的基本事件的個數為，將“某代表隊沒有搶到地理環境題”的事件記為，事件的對立事件為“某代表隊搶到至少1道地理環境題”．則，（2）情況一：某代表隊先答人文歷史題，再答地理環境題，設該代表隊必答環節的得分為，，，，，，，則的分布為：此時得分期望情況二：某代表隊先答地理環境題，再答人文歷史題，設該代表隊必答環節的得分為，,，，，，，則的分布為：此時得分期望由于，故為了使該代表隊必答環節得分期望值更大，該代表隊應該先答人文歷史題，再答地理環境題．7．（2023·河北邯鄲·統考二模）某企業為在推進中國式現代化新征程中展現更大作為，在提升員工敬業精神和員工管理水平上實施新舉措制定新方案.現對員工敬業精神和員工管理水平進行評價，從企業中選出200人進行統計，其中對員工敬業精神和員工管理水平都滿意的有50人，對員工敬業精神滿意的人數是總人數的40%，對員工管理水平滿意的人數是總人數的45%.(1)完成對員工敬業精神和員工管理水平評價的2×2列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為對員工敬業精神滿意與對員工管理水平滿意有關聯？項目對員工管理水平滿意對員工管理水平不滿意合計對員工敬業精神滿意對員工敬業精神不滿意合計(2)若將頻率視為概率，隨機從企業員工中抽取3人參與此次評價，設對員工敬業精神和對員工管理水平都滿意的人數為隨機變量，求的分布列和數學期望.(3)在統計學中常用表示在事件發生的條件下事件發生的優勢，現從該企業員工中任選一人，表示“選到對員工管理水平不滿意”、表示“選到對員工敬業精神不滿意”，請利用樣本數據，估計的值.附：，.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)表格見解析，能認為對員工敬業精神滿意與對員工管理水平滿意有關聯；(2)分布列見解析，；(3)的值為.【詳解】（1）由題意可得關于對員工敬業精神和員工管理水平評價的2×2列聯表項目對員工管理水平滿意對員工管理水平不滿意合計對員工敬業精神滿意503080對員工敬業精神不滿意4080120合計90110200零假設為：對員工敬業精神滿意與對員工管理水平滿意無關.據表中數據計算得：，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為對員工敬業精神滿意與對員工管理水平滿意有關聯.（2）對員工敬業精神和對員工管理水平都滿意的概率為，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，其中；；；，所以隨機變量的分布列為0123則.（3），所以估計的值為.8．（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）一水果連鎖店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去30天蘋果的日銷售量（單位：kg），得到如下頻率分布直方圖．(1)求過去30天內蘋果的日平均銷售量（同組數據用該組區間中點值代表）；(2)若該店蘋果的日銷售量X近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，試估計360天中日銷售量超過79.9kg的天數（結果保留整數）；(3)該水果店在店慶期間舉行“贏積分，送獎品”活動，規定：每位會員可以投擲n次骰子，若第一次擲骰子點數大于2，可以獲得100個積分，否則獲得50個積分，從第二次起若擲骰子點數大于2，可以獲得上一次積分的兩倍，否