秘籍01排列組合題型歸類概率預測☆☆☆☆☆題型預測選擇題、填空題☆☆☆☆☆考向預測排列組合題型考察排列組合和二項式定理是高考熱點知識點，有了多選題型后常和概率結合起來考察，所以需要考生對于排列組合的基礎題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當然在掌握題型的基礎上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運用好排列組合的解題思維?！绢}型一】人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來坐，來的是誰；5、必要時，座位拆遷，剩余座位隨人排列。主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。出現兩個實踐重疊，必要時候，可以使用容斥原理來等價處理：容斥原理1.在某班進行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數為A．30 B．36 C．60 D．72【答案】C【分析】記事件位男生連著出場，事件女生甲排在第一個，利用容斥原理可知所求出場順序的排法種數為，再利用排列組合可求出答案．【詳解】記事件位男生連著出場，即將位男生捆綁，與其他位女生形成個元素，所以，事件的排法種數為，記事件女生甲排在第一個，即將甲排在第一個，其他四個任意排列，所以，事件的排法種數為，事件女生甲排在第一位，且位男生連著，那么只需考慮其他四個人，將位男生與其他個女生形成三個元素，所以，事件的排法種數為種，因此，出場順序的排法種數種，故選C．2．（2023·福建·統考模擬預測）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現有5支救援隊前往A，B，C等3個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C兩個數點中的一個，則不同的安排方法數是（

）A．72 B．84 C．88 D．100【答案】D【詳解】若甲去點，則剩余4人，可只去兩個點，也可分為3組去3個點.當剩余4人只去兩個點時，人員分配為或，此時的分配方法有；當剩余4人分為3組去3個點時，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可，此時的分配方法有，綜上可得，甲去點，不同的安排方法數是.同理，甲去點，不同的安排方法數也是，所以，不同的安排方法數是.故選：D.3．（2023春·湖南·高三長郡中學校聯考階段練習）某高校計劃在今年暑假安排編號為A，B，C，D，E，F的6名教師，到4個不同的學校進行宣講，每個學校至少安排1人，其中B，D必須安排在同一個學校.則不同的安排方法共有（

）A．96種 B．144種 C．240種 D．384種【答案】C【詳解】將這6名教師分成四組，再分配到不同的學校.若教師人數依次為，則不同的安排方法種數為：種；若教師人數依次為，則不同的安排方法種數為：種，故不同的安排方法共有種.故選：C.1．（2023·遼寧盤錦·盤錦市高級中學?？家荒＃┯?名男生，4名女生，在下列不同條件下，錯誤的是（

）A．任選其中3人相互調整座位，其余4人座位不變，則不同的調整方案有70種B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種C．全體站成一排，女生必須站在一起有144種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種．【答案】C【詳解】對于A：任選其中3人相互調整座位，其余4人座位不變，則不同的調整方案有種，故A正確；對于B：先排女生，將4名女生全排列，有種方法，再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有種方法，故共有種方法，故B正確．對于C：將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，有種情況，再將女生的整體與3名男生在一起進行全排列，有種情況，2．（2023·云南昭通·統考模擬預測）2022年11月初，新冠疫情突襲昭通市魯甸縣，昭通市統一指揮、眾志成城，構筑起抗擊疫情的堅固堡壘.現有甲、乙等5名醫務人員參加某小區社區志愿服務活動，他們被分派到核酸檢驗和掃碼兩個小組，且這兩個組都至少需要2名醫務人員，則甲、乙兩名醫務人員不在同一組的分配方案有（

）A．8種 B．10種 C．12種 D．14種【答案】C【詳解】先將甲、乙兩名醫護人員分配到兩組，有種方案，再將剩下的3名醫務人員分到核酸檢驗和掃碼兩個小組，有種方案，所以甲、乙兩名醫務人員不在同一組的分配方案有種方案.故選：C.故共有種方法，故C錯誤．對于D：若甲站在排尾則有種排法，若甲不站在排尾則有種排法，故有種排法，故D正確；故選：C.3．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）文字的雛形是圖形，遠古人類常常通過創設一些簡單的圖形符號，借助不同的排列方式，表達不同的信息，如圖.如果有兩個“”，兩個“”和兩個“”.把它們從上到下擺成一列來傳遞一些信息，其中第一個位置確定為“”，同一種圖形不相鄰，那么可以傳遞的信息數量有（

）A．8個 B．10個 C．12個 D．14個【答案】B【詳解】列舉得：，，共10種，故選：B.【題型二】人坐座位模型2：染色（平面、空間）染色問題：1.用了幾種顏色2.盡量先從公共相鄰區域開始。空間幾何體，可以“拍扁”，轉化為平面圖形1．（2023春·全國·高二專題練習）如圖所示某城區的一個街心花園，共有五個區域，中心區域E已被設計為代表城市特點的一個標志性塑像，要求在周圍ABCD四個區域中種植鮮花，現有四個品種的鮮花可供選擇，要求每個區域只種一個品種且相鄰區域所種品種不同，則不同的種植方法的種數為（

）A．12 B．24 C．48 D．84【答案】D【詳解】由題意可知：四個區域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：當種植的鮮花為兩種時：和相同，和相同，共有種種植方法；當種植鮮花為三種時：和相同或和相同，此時共有種種植方法；當種植鮮花為四種時：四個區域各種一種，此時共有種種植方法，綜上：則不同的種植方法的種數為種，故選：.2．（2022春·山東煙臺·高二煙臺二中校考階段練習）某景區內有如圖所示的一個花壇，此花壇有9個區域需栽種植物，要求同一區域中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物，且圓環的3個區域種植綠色植物，中間的6個扇形區域種植鮮花.現有3種不同的綠色植物和3種不同的鮮花可供選擇，則不同的栽種方案共有（）A．400種 B．396種 C．380種 D．324種【答案】B【詳解】圓環的3個區域種植綠色植物共有種.如圖.中間的6個區域種植鮮花可分為3類：第一類，均種相同植物，有種；第二類，種2種不同植物，有種；第三類，種的植物各不相同，有種.故由乘法原理和加法原理得到不同的栽種方案共有種.故選：B3．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數是()A．420 B．210 C．70 D．35【答案】A【解析】【分析】將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【詳解】按照的順序：當相同時：染色方案為當不同時：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A1．（2023秋·遼寧丹東·高二統考期末）如圖所示為某公園景觀的一隅，是由五處區域構成，現為了美觀要將五處區域用鮮花裝飾，要求相鄰區域種植不同色的鮮花，有種顏色鮮花可供選用，則不同的裝飾方案數為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】區域有種顏色鮮花可供選擇，區域有種顏色鮮花可供選擇，區域有種顏色鮮花可供選擇，區域、各有種顏色鮮花可供選擇，由分步乘法計數原理可知，不同的裝飾方案數為種.故選：B.2．（2023·江蘇·高二專題練習）用紅、黃、藍3種顏色給如圖所示的6個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂2個圓，且相鄰2個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數為（

）A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【詳解】分2類（先涂前3個圓，再涂后3個圓．）：第1類，前3個圓用3種顏色，后3個圓也用3種顏色，有種涂法；第2類，前3個圓用2種顏色，后3個圓也用2種顏色，有種涂法．綜上，不同的涂法和數為．故選：B．3．（2021春·廣東佛山·高二校聯考階段練習）某同學對如圖所示的小方格進行涂色（一種顏色），若要求每行、每列中都恰好只涂一個方格，則不同的涂色種數為（

）A．12 B．36 C．24 D．48【答案】C【詳解】由題意可知：不同的涂色種數為：，故選：C【題型三】分配問題：球不同，盒不同球不同，盒不同（主要的）方法技巧：盒子可空，指數冪形式，盒的球次冪，盒子不可空“先分組再排列”分類討論注意平均分組時需要除以組數的全排列。1.將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種【答案】B【詳解】先考慮第一類，即3個盒子放球的個數為：1，2，2，則第1個盒子有：，第2個盒子有：，第3個盒子有：，第一類放法種數為，不同的放法種數有.2.將編號分別為1，2，3，4，5的5個小球分別放入3個不同的盒子中，每個盒子都不空，則每個盒子中所放小球的編號奇偶性均不相同的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知，要求每個盒子都不空，則3個盒子中放入小球的個數可分別為3,1,1或2,2,1,若要求每個盒子中小球編號的奇偶性不同則只能是2,2,1，且放入同一盒子中的兩個小球必須是編號為一奇一偶，故所求概率為故答案選C3.將A，B，C，D四個小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，若每個盒子中至少放一個球且A，B不能放入同一個盒子中，則不同的放法種數為（

）A．15 B．30 C．20 D．42【答案】B【詳解】當放入一個盒子的是時，有種不同的放法當放入一個盒子的是時，有種不同的放法當放入一個盒子的是時，有種不同的放法當放入一個盒子的是時，有種不同的放法當放入一個盒子的是時，有種不同的放法則共有種不同的放法故選：B1．（2023春·浙江杭州·高二浙江大學附屬中學期中）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行.甲?乙等5名杭州亞運會志愿者到羽毛球?游泳?射擊?體操四個場地進行志愿服務，每個志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲去羽毛球場，則不同的安排方法共有（

）A．6種 B．60種 C．36種 D．24種【答案】B【詳解】①羽毛球場安排2人，除甲外的其余4人每人去一個場地，不同安排方法有種，②羽毛球場只安排1人（甲），其余4人分成3組（211）再安排到剩余3個場地，不同安排方法有種，所以不同的安排方法有種.故選：B.2．（2023春·高二課時練習）高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠中的一個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（

）A．360種 B．420種C．369種 D．396種【答案】C【詳解】解：方法1：直接法以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種).方法2：間接法先計算四個班自由選擇去何工廠的總數，再去除甲工廠無人去的情況，即：(種)方案.故選：C3．（2023·河南·校聯考模擬預測）數學與生活密不可分，在一次數學討論課上，老師安排5名同學講述圓、橢圓、雙曲線、拋物線在實際生活中的應用，要求每位學生只講述一種曲線，每種曲線至少有1名學生講述，則可能的安排方案的種數為（

）A．240 B．480 C．360 D．720【答案】A【詳解】解：有四種曲線，要求每位學生只講述一種曲線，則5名同學分成2，1，1，1四組，共有種情況，再將四組學生分配給四種曲線，一共有種情況，則可能的安排方案的種數為種，故選：A.【題型四】分配問題：球同，盒不同球相同，盒子不同方法技巧：盒子不可空用擋板法，盒子可空用接球法。1.將7個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球的放法種數為（

）A．22 B．25 C．20 D．48【答案】C【詳解】解：將7個相同的球放入4個不同的盒子中，即把7個相同的球分成4組，因為每個盒子都有球，所以每個盒子至少又一個球，不妨將7個球擺成一排，中間形成6個空，只需在這6個空插入3個隔板將它們隔開，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個盒子都有球的放法種數為20.故選：C.2.將5個相同的球放入3個不同的盒子中，可以存在盒子沒有球的放法種數為（

）A．22 B．25 C．21 D．48【答案】C【詳解】解：假設三個盒子中都存在一個球，借出來變成5個球和3個虛擬的球分配到三個不同的盒子中的問題，因為有借有還，所以是不可空的問題再用擋板法。將8個球擺成一排，中間形成7個空，只需在這7個空插入2個隔板將它們隔開，不同插入方法共有種，所以每個盒子都有球的放法種數為21.故選：C.3.把20個相同的小球裝入編號分別為①②③④的4個盒子里，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每盒至少4個球，共有種方法.A． B． C． D．【答案】A【詳解】設四個盒子中裝的小球個數分別為，，，，則，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每盒至少4個球，令，，，，則，，，都大于或等于1，且，問題相當于將10個球分成四部分，在10個球的9個間隔里選三個隔開，有種方法，故選擇A1．（2016·山東·高三階段練習）現有三本相同的語文書和一本數學書，分發給三個學生，每個學生至少分得一本，問這樣的分法有種（

）A．36 B．9 C．18 D．15【答案】B【詳解】解：分配方案為，其中有且僅有一個學生拿兩本書，若他拿兩本語文書，則此時共有種分法；若他拿一本語文書一本數學書，則此時共有種分法；因此共有種分法.故選：B．2．（2022秋·遼寧本溪·高二校考階段練習）中國空間站已經進入正式建造階段，天和核心艙?問天實驗艙和夢天實驗艙將在2022年全部對接，形成“T"字結構.在中國空間站建造階段，有6名航天員共同停留在空間站，預計在某項建造任務中，需6名航天員在天和核心艙?問天實驗艙和夢天實驗艙這三個艙內同時進行工作，由于空間限制，每個艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（

）A．360種 B．180種 C．720種 D．450種【答案】D【詳解】方案一：每個艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：分別安排3人，2人，1人，共有（種）不同的方案.所以共有（種）不同的安排方案.故選：.（多選）3．（2022春·江蘇蘇州·高二?？计谥校┫铝姓f法正確的為（

）A．6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有種不同的分法；B．6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有種不同的分法；C．6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10種不同的分法；D．6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540種不同的分法．【答案】ACD【詳解】對于A，6本不同的書中，先取本給甲，再從剩余的本中取本給乙，最后本給丙，共有種不同的分法，故A正確；對于B，6本不同的書中，先取本作為一組，再從剩余的本中取作為一組，最后本作為一組，共有種，再將分給甲、乙、丙三人，共有種，故B不正確；對于C，6本相同的書分給甲、乙、丙三人，利用擋板法種；對于D，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，分種情況討論：①一人本，其他兩人各本，共有；②一人1本，一人2本，一人3本，共有種，③每人2本，共有，故共有種.故選：ACD【題型五】代替元法：最短路徑左右上下移動的最短距離，可以把移動方向看做字母，比如，向右是字母A，向上是字母B，則移動幾步就是幾個A，與B相同元素排列代替元法：標記元素為數字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”1.如圖，一只螞蟻從點出發沿著水平面的線條爬行到點，再由點沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點，則它可以爬行的不同的最短路徑有（

）條A．40 B．60 C．80 D．120【答案】B【詳解】試題分析：螞蟻從到需要走五段路，其中三縱二豎，共有條路徑，從到共有條路徑，根據分步計數乘法原理可知，螞蟻從到可以爬行的不同的最短路徑有條，故選B.2.一只小蜜蜂位于數軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經過5次飛行后，停在數軸上實數3位于的點處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？A．5 B．25 C．55 D．75【答案】D【詳解】由題意知：小蜜蜂經過5次飛行后，停在數軸上實數3位于的點處，共有以下四種情形：一、小蜜蜂在5次飛行中，有4次向正方向飛行，1次向負方向飛行，且每次飛行一個單位，共有種情況；二、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行一個單位，1次向正方向飛行，且每次飛行兩個單位，1次向負方向飛行，且每次飛行兩個單位，共有種情況；三、小蜜蜂在5次飛行中，有1次向正方向飛行每次飛行一個單位，2次向正方向飛行，且每次飛行兩個單位，2次向負方向飛行，且每次飛行一個單位，共有種情況；四、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行兩個單位，有1次向負方向飛行且飛行兩個單位，有1次向負方向飛行且飛行一個單位，共有種情況；故而共有種情況，故選：D．（多選）3．（2023·江蘇·高二專題練習）2021年高考結束后小明與小華兩位同學計劃去老年公寓參加志愿者活動．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的是（

）A．小華到老年公寓選擇的最短路徑條數為4條B．小明到老年公寓選擇的最短路徑條數為35條C．小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為D．小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經過F；事件B：從F到老年公寓兩人的路徑沒有重疊部分（路口除外），則【答案】BC【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移動，A：小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數為條，錯誤；B：小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數為條，正確；C：小明到的最短路徑走法有條，再從F處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老年公寓共有條，所以到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為，正確；D：由題意知：事件的走法有18條即，事件的概率，所以，錯誤.故選：BC1．（2023·全國·高二專題練習）夏老師從家到學校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設夏老師家在處，學校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D【詳解】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，所以由到不經過的最短路徑有.故選：D.（多選）2．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學?？计谀┤鐖D，小明、小紅分別從街道的、處出發，到位于處的老年公寓參加志愿者活動，則（

）A．小紅到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為B．小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為C．若小明不經過處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為D．若小明先到處與小紅會合，再與小紅一起到老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為【答案】ABD【詳解】由圖知，要使小紅、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移動，對于選項A，小紅到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數為條，故A正確；對于選項B，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數為條，故B正確；對于選項D，小明到的最短路徑走法有條，再從F處和小紅一起到老年公寓的路徑最短有3條，所以到F處和小紅會合一起到老年公寓的共有條路徑，故D正確;對于選項C，由選項D可知，小明不經過處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為，故選項C不正確.故選：ABD3．（2022秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學?？计谀┯幸坏缆肪W如圖所示，通過這一路網從A點出發不經過C、D點到達B點的最短路徑有___________種.【答案】24【詳解】如圖，由已知可得，應從點，先到點，再到點，最后經點到點即可.第一步：由點到點，最短路徑為4步，最短路徑方法種類為；第二步：由點到點，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為；第三步：由點經點到點，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為.根據分步計數原理可得，最短路徑有種.故答案為：24.【題型六】代替元法：空車位停車等這類題大多可以用字母元來代替轉化為簡單的問題從而解決問題。1.某單位有8個連在一起的車位，現有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數為（

）A．240 B．360 C．480 D．720【答案】C【詳解】給8個車位編號：1，2，3，4，5，6，7，8，當1，2，3號為空時，有種停放方法；當2，3，4號為空時，有種停放方法；當3，4，5號為空時，有種停放方法；當4，5，6號為空時，有種停放方法；當5，6，7號為空時，有種停放方法；當6，7，8號為空時，有種停放方法；所以不同的停放方法的種數為種.故選：C.方法二代替元法：四輛車標記為ABCD,四個空車位，三個組合一起，標記為3，剩余一個標記為1，則變成數字1，3與四個字母排列，且數字不相鄰，插空法即可2.馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節約用電，可以把其中的三盞路燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關掉兩端的路燈，滿足條件的關燈辦法有種【詳解】直接代替元法，標記為123456與AAA排列，只選不排。為3.現有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有_________種.【答案】40【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三種分組方法，則不同的分組方法共有種，由分步乘法計數原理得不同的停放方式共有種.1．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）某辦公樓前有7個連成一排的車位，現有三輛不同型號的車輛停放，恰有兩輛車停放在相鄰車位的方法有___________種．【答案】120【詳解】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，有種方法；另一輛看作另一個元素，這兩個元素不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中，有種，因此共有種.故答案為：1202．（2023·江蘇·高二專題練習）某停車場行兩排空車位，每排4個，現有甲、乙、丙、丁4輛車需要泊車，若每排都有車輛停泊，且甲、乙兩車停泊在同一排，則不同的停車方案有（

）A．288種 B．336種 C．384種 D．672種【答案】D【詳解】甲乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時，種方案，丙、丁選一輛與甲、乙停泊在同一排，另一輛單獨一排，種方案，所以共有種方案.故選：D3.甲、乙、丙、丁、戊五位媽媽相約各帶一個小孩去觀看花卉展，她們選擇共享電動車出行，每輛電動車只能載兩人，其中孩子們表示都不坐自己媽媽的車，甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，則她們坐車不同的搭配方式有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【詳解】設五位媽媽為，五個小孩為，對五個小孩進行排練后坐五位媽媽的車即可，由于甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，故排列的第五個位置一定是，對其余的四個小孩進行排列：；；；.共有24中排列方法，其中滿足題意的排列方法為：，，，，共有11種.本題選擇B選項.【題型七】環排問題：直排策略環排問題即為手拉手圍一圈的模型，此類問題以一人為中心考慮，比如三人手拉手圍一圈，以其中一人為中心將其一分為二，即變成中間兩人全排列問題，再合起來即為一圈。1．（2022春·江蘇蘇州·高二昆山震川高級中學?？计谥校┈F有8個人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】8個人圍成一圈,有種.其中甲、乙、丙三人相鄰，看做一個整體，由.所以甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數為.故答案為：D2．（2022·全國·高三專題練習）A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種【答案】B【詳解】首先，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，考慮B、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個座位，位置可以互換，根據排列數的計算公式，得到，，接下來，考慮其余三人的情況，其余位置可以互換，可得種，最后根據分步計數原理，得到種，故選B.1．（2021春·遼寧·高三校聯考階段練習）已知甲、乙、丙三位同學圍成一個圓時，其中一個排列“甲乙丙”與該排列旋轉一個或幾個位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一個排列．現有位同學，若站成一排，且甲同學在乙同學左邊的站法共有種，那么這位同學圍成一個圓時，不同的站法總數為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因站成一排時甲在乙左與甲在乙右的站法數相同，而m位同學站成一排有，則，解得，甲、乙、丙三位同學圍成一個圓，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列，其中每一個排列可以拆成以任意一個人為排首的直線排列3個，3人圍成一個圓的排列數為，由此可得n個人圍成一個圓的排列數為，5位同學圍成一個圓的排列數為.故選：A2．（2018春·北京海淀·高二統考期中）有這5名同學圍成一圈，從起按逆時針方向依次循環報數，規定：第一次報的數為1，第一次報的數為3.此后，后一個人所報的數總是前兩個人所報的數的乘積的個位數字，如此繼續下去.則第10次報的數應該為A．2 B．4 C．6 D．9【答案】D【詳解】第一輪五人依次報數為：1，3，3，9，7；第二輪五人依次報數為：3，1，3，3，9；第三輪五人依次報數為：7，3，1，3，3；第四輪五人依次報數為：9，7，3，1，3；第五輪五人依次報數為：3，9，7，3，1；第六輪五人依次報數為：3，3，9，7，3；第七輪五人依次報數為：1，3，3，9，7；與第一輪重復，所以第十輪五人依次報數為：9，7，3，1，3；即第10次報的數應該為9，選D.【題型八】數列思想：上樓梯等1.斐波那契數列數列構造求解2.可以把臺階轉化為數字化型，一次一階，記為數字1，一步兩階記為數字2，以此類推，這樣上臺階轉化為數字1,2，。。排列，注意重復元素的排列1.欲登上第10級樓梯，如果規定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有A．34種 B．55種C．89種 D．144種【答案】C【詳解】解法1：分類法：第一類：沒有一步兩級，則只有一種走法；第二類：恰有一步是一步兩級，則走完10級要走9步，9步中選一步是一步兩級的，有種可能走法；第三類：恰有兩步是一步兩級，則走完10級要走8步，8步中選兩步是一步兩級的，有種可能走法；依此類推，共有=89，故選(C)．解法2：遞推法：設走級有種走法，這些走法可按第一步來分類，第一類：第一步是一步一級，則余下的級有種走法；第二類：第一步是一步兩級，則余下的級有種走法，于是可得遞推關系式，又易得，由遞推可得，故選(C)．2.斐波那契數列，又稱黃金分割數列.因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在數學上，斐波那契數列以如下被遞推的方法定義：，，.這種遞推方法適合研究生活中很多問題.比如：一六八中學食堂一樓到二樓有15個臺階，某同學一步可以跨一個或者兩個臺階，則他到二樓就餐有（

）種上樓方法.A．377 B．610 C．987 D．1597【答案】C【詳解】由題意若只有一個臺階，則有種上樓方法；若有兩個臺階，則有種上樓方法；若有三個臺階，則有種上樓方法；若有四個臺階，則有種上樓方法；以此類推：若要到達第n個臺階，前一步可能在第n-1個臺階上再跨一臺階上去，也可能是在第n-2個臺階上跨兩個臺階上去，∴滿足，符合斐波那契數列的規律，由此規律列舉出前15項：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987∴有15個臺階，則他到二樓就餐有987種上樓方法.故選：C.3.設整數數列，，…，滿足，，且，，則這樣的數列的個數為___________.【答案】80【詳解】設，則有…①，…②，用t表示中值為2的項數，由②知，t也是中值為2的項數，其中，所以的取法數為，取定后，任意指定的值，有種方式.由①知，應取使得為偶數，而這樣的的取法是唯一的，并且確定了整數的值，進而數列唯一對應一個滿足條件的數列，綜上可知，滿足條件的數列的個數為20×4=80.故答案為：80.1．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習）某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（

）A．45種 B．36種 C．28種 D．25種【答案】C【詳解】由題意，這8步中有6步是一步上一級，2步是一步上兩級，只需確定這8步中，哪2步是一步上兩級即得答案為，故選：C.2．（2023春·貴州·高三校聯考階段練習）一個樓梯共有11級臺階，甲同學正好站在第11級臺階上，現在他每步可邁1級、2級或3級臺階，甲從第11級臺階走到第6級臺階（只能向前走），一共有多少種不同的走法？（

）A．11種 B．12種 C．13種 D．14種【答案】C【詳解】從10級臺階至6級臺階分別用至表示，表示甲走到第級臺階時，所有可能不同的走法，則①從第11級臺階邁步到第10級臺階需要1步，即當時，；②從第11級臺階邁步到第9級臺階可以一步一級跨，也可以一步跨2級臺階，即當時，；③從第11級臺階邁步到第8級臺階可以一步一級跨，也可以一步跨3級臺階，還可以第一步跨1級臺階，第二步跨2級或第一步跨2級，第二步跨1級，即當時，；當時，分三種情況討論，如果第一步跨一級臺階，那么還剩下三級臺階，由③可知有（種）跨法.如果第一步跨二級臺階，那么還剩下二級臺階，由②可知有（種）跨法.如果第一步跨三級臺階，那么還剩下一級臺階，由①可知有（種）跨法.根據加法原理，有，類推，當時，甲只能從2，3，4跨到5，則，故選：C.3．（2022·上海·高二專題練習）高一新生小崔第一次進入圖書館時看到了館內樓梯（圖1），她準備每次走1級或2級樓梯去二樓，并在心中默默計算這樣走完25級樓梯大概有多少種不同的走法，可是當她走上去后發現（圖2）原來在13級處有一寬度達1.5米的平臺，這樣原來的走樓梯方案需要調整，請問，對于剩下的15級樓梯按分2段的走法與原來一次性走15級的走法相比較少了______種．【答案】288【分析】由題知，登上樓梯的走法符合斐波那契數列的規律，分別列出走到15級臺階的走法，然后分兩段計算走法，作差即可.【詳解】由題知，登上樓梯的走法符合斐波那契數列的規律：登上第一級臺階：有1種走法；登上第二級臺階：有2種走法；登上第三級臺階：有3種走法；登上第四級臺階：有5種走法；登上第五級臺階：有8種走法；登上第六級臺階：有13種走法；登上第七級臺階：有21種走法；登上第八級臺階：有34種走法；登上第九級臺階：有55種走法；登上第十級臺階：有89種走法；登上第十一級臺階：有144種走法；登上第十二級臺階：有233種走法；登上第十三級臺階：有377種走法；登上第十四級臺階：有610種走法；登上第十五級臺階：有987種走法；所以分兩段走，先走十二級臺階有233種走法，再走3級臺階有3兩種，這樣走完15級臺階共有種，比直接走完15級臺階987中走法少了種走法.故答案為：288【題型九】書架插書模型書架上原有書的順序不變；（2）新書要一本一本插；定序問題可使用倍縮法。1.有12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的種數是（

）A．168 B．260 C．840 D．560【答案】C【分析】先從后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保證前排人順序不變可用倍縮法，再由分步乘法計數原理即可求解.【詳解】解：從后排8人中抽2人有種方法；將抽出的2人調整到前排，前排4人的相對順序不變用倍縮法有種，由分步乘法計數原理可得：共有種，故選：C.2.為引領廣大家庭和少年兒童繼承黨的光榮傳統、弘揚黨的優良作風，進一步增強聽黨話、感黨恩、跟黨走的思想自覺性和行動自覺性，某市文明辦舉行“少年兒童心向黨”主題活動，獻禮中國共產黨成立100周年原定表演6個節目，已排成節目單，開演前又臨時增加了2個互動節目．如果保持原節目的順序不變，那么不同排法的種數為（

）A．42 B．56 C．30 D．72【答案】B【分析】結合倍縮法即可解決部分定序問題.【詳解】增加2個互動節目后，一共有8個節目，這8個節目的不同排法有種，而原有的6個節目對應的不同排法有種，所以不同的排法有（種）．故選：B.3.書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進去，要保持原來5本書的順序不變，則不同的插法種數為（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【答案】C【分析】依據分步計數原理即可求得不同的插法種數.【詳解】將新買的3本書逐一插進去：第1本書插入5本書形成的6個空隙中的1個，有6種插法；第2本書插入6本書形成的7個空隙中的1個，有7種插法；最后1本書插入7本書形成的8個空隙中的1個，有8種插法.由分步乘法計數原理，知不同的插法種數為6×7×8=336.故選：C1.從A，B，C，D，a，b，c，d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按先后順序，但大小寫可以交換位置，如或都可以），這樣的情況有__________種．（用數字作答）【答案】160【詳解】分為四類情況：第一類：在A、B、C、D中取四個，在a、b、c、d中取一個，共有；第二類：在A、B、C、D中取三個，在a、b、c、d中取兩個，分兩種情況：形如AaBbC(大小寫有兩個字母相同)共有，形如AaBCd（大小寫只有一個字母相同）共有；第三類：在A、B、C、D中取兩個，在a、b、c、d中取三個，取法同第二類情況；第四類：在A、B、C、D中取一個，在a、b、c、d中取四個，取法同第一類情況；所以共有：2(8++)=1602．（2023春·江蘇鹽城·高二校考階段練習）書架上已有《詩經》、《西游記》、《菜根譚》、《吶喊》、《文化苦旅》五本書，現欲將《圍城》、《駱駝祥子》、《四世同堂》三本書放回到書架上，要求不打亂原有五本書的順序，且《駱駝祥子》和《四世同堂》必須相鄰，則不同的放法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【詳解】分以下兩種情況討論：（1）《圍城》與《駱駝祥子》、《四世同堂》這兩本書不相鄰，將《駱駝祥子》和《四世同堂》捆綁，形成一個“大元素”，然后將“大元素”與《圍城》插入由《詩經》、《西游記》、《菜根譚》、《吶喊》、《文化苦旅》五本書所形成的個空位中的個，由捆綁法結合插空法可知，不同的放法種數為種；（2）《圍城》與《駱駝祥子》相鄰且《四世同堂》與《圍城》或《駱駝祥子》相鄰，將《駱駝祥子》和《四世同堂》捆綁，然后《四世同堂》放在《駱駝祥子》或《四世同堂》旁邊（相鄰），然后將這三本書形成的“大元素”插入五本書所形成的個空位中的個，此時，不同的放法種數為.由分類加法計數原理可知，不同的放法種數為種.故選：D.3．（2023春·河北邢臺·高二邢臺一中?？茧A段練習）8個人坐成一排，現要調換其中3個人中每一個人的位置，其余5個人的位置不變，則不同調換方式有（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】從8人中任取3人有種，3人位置全調，由于不能是自己原來的位置，所以有種，所以不同調換方式有種.故選：C.高考模擬練習1．（2023·貴州畢節·統考二模）中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．安排甲、乙、丙、丁4名航天員到空間站開展工作，每個艙至少安排1人，若甲、乙兩人不能在同一個艙開展工作，則不同的安排方案共有（

）A．36種 B．18種 C．24種 D．30種【答案】D【詳解】先將甲乙兩人分別安排到兩個不同艙中，有種安排方法.后分兩種方法安排丙、丁，第一種安排丙、丁到第三個艙中，有1種方法；第二種先安排丙、丁中的一人到第三個艙中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的艙中，有種方法.則不同的安排方案共有種.故選：D2．（2023·河南·開封高中?？寄M預測）2023年元旦當天，某微信群中有小郭、小張、小陳、小李和小陸五個人玩搶紅包游戲，現有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個66.66元、1個88.88元、1個99.99元（紅包中金額相同視為相同紅包），則小郭、小張都搶到紅包的不同情況有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】C【詳解】當小郭、小張都搶到66.66元時，有種；當小郭、小張搶到66.66元和88.88元時，有種；當小郭、小張搶到66.66元和99.99元時，有種；當小郭、小張搶到88.88元和99.99元時，有種.故小郭、小張都搶到紅包的不同情況有種.故選：C3．（2023·遼寧沈陽·統考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】C【詳解】先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個安排有種方法，而甲站好后一邊有2個位置，另一邊有3個位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側有種方法；安排在甲有3個位置的一側有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊方法有：種.故選：C.4．（2023·重慶·統考一模）2022年8月某市組織應急處置山火救援行動，現從組織好的5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，另外4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，每支志愿團隊只能分配到1個項目，且每個項目至少分配1個志愿團隊，則不同的分配方案種數為（

）A．36 B．81 C．120 D．180【答案】D