初二數學杯賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.一次函數$y=2x-3$的圖象不經過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.直角三角形的兩條直角邊分別為$3$和$4$，則斜邊為（）A.5B.6C.7D.83.函數$y=\frac{1}{x-2}$中，自變量$x$的取值范圍是（）A.$x\neq0$B.$x\neq2$C.$x\gt2$D.$x\lt2$4.若一個多邊形的內角和是$720^{\circ}$，則這個多邊形是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形5.下列根式中，最簡二次根式是（）A.$\sqrt{8}$B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$C.$\sqrt{5}$D.$\sqrt{4}$6.已知點$A(2,m)$在直線$y=-2x+1$上，則$m$的值為（）A.-3B.-2C.2D.37.平行四邊形的一邊長為$10$，則它的兩條對角線長可以是（）A.4和6B.6和8C.8和12D.20和308.化簡$\sqrt{(-3)^2}$的結果是（）A.-3B.3C.$\pm3$D.99.若正比例函數$y=kx$（$k\neq0$）的圖象經過點$(1,-2)$，則$k$的值為（）A.2B.-2C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$10.菱形具有而平行四邊形不具有的性質是（）A.對角線互相平分B.對角線相等C.對角線互相垂直D.對邊平行且相等二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下屬于勾股數的有（）A.3，4，5B.5，12，13C.7，24，25D.8，15，172.下列函數中，是一次函數的有（）A.$y=3x$B.$y=3x^2+1$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=2x-1$3.四邊形ABCD中，能判定它是平行四邊形的條件有（）A.$AB\parallelCD$，$AD=BC$B.$AB=CD$，$AD=BC$C.$\angleA=\angleC$，$\angleB=\angleD$D.$AB\parallelCD$，$AB=CD$4.化簡二次根式$\sqrt{24}$正確的是（）A.$2\sqrt{6}$B.$\sqrt{4\times6}$C.$4\sqrt{6}$D.$2\sqrt{3}$5.下列點在直線$y=x+1$上的有（）A.$(0,1)$B.$(1,2)$C.$(-1,0)$D.$(2,3)$6.關于$x$的一元二次方程$x^2-3x+m=0$有兩個不相等的實數根，則$m$的值可以是（）A.0B.1C.2D.37.一個矩形的長和寬分別為$a$、$b$，其周長為16，面積為12，則下列正確的是（）A.$a+b=8$B.$ab=12$C.$a^2+b^2=40$D.$(a-b)^2=16$8.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形9.計算$\sqrt{12}\times\sqrt{3}$的結果可能是（）A.6B.$\sqrt{36}$C.$2\sqrt{9}$D.$3\sqrt{4}$10.已知一次函數$y=kx+b$的圖象經過一、二、四象限，則（）A.$k\lt0$B.$b\gt0$C.$k\gt0$D.$b\lt0$三、判斷題（每題2分，共20分）1.所有的直角三角形都相似。（）2.二次函數$y=x^2$的圖象開口向上。（）3.對角線相等的四邊形是矩形。（）4.若$a\ltb$，則$ac^2\ltbc^2$。（）5.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點。（）6.一次函數$y=-x+3$中，$y$隨$x$的增大而增大。（）7.最簡二次根式一定是同類二次根式。（）8.平行四邊形的鄰角互補。（）9.若分式$\frac{x-1}{x+2}$的值為0，則$x=1$。（）10.用配方法解方程$x^2-4x+1=0$，配方后為$(x-2)^2=3$。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知一次函數$y=kx+b$的圖象經過點$(1,3)$和$(-1,-1)$，求該一次函數的解析式。答案：將兩點坐標代入函數得$\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}$，兩式相減得$2k=4$，$k=2$，把$k=2$代入$k+b=3$得$b=1$，解析式為$y=2x+1$。2.已知直角三角形兩直角邊分別為$6$和$8$，求斜邊上的高。答案：先由勾股定理得斜邊為$\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$，設斜邊上高為$h$，根據面積相等可得$\frac{1}{2}\times6\times8=\frac{1}{2}\times10\timesh$，解得$h=4.8$。3.化簡：$\sqrt{18}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{8}$。答案：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，原式$=3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}=\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$。4.已知一個多邊形的內角和比它的外角和的$3$倍少$180^{\circ}$，求這個多邊形的邊數。答案：設邊數為$n$，多邊形外角和為$360^{\circ}$，內角和為$(n-2)\times180^{\circ}$，則$(n-2)\times180=3\times360-180$，解得$n=7$。五、討論題（每題5分，共20分）1.在平面直角坐標系中，如何判斷一次函數圖象經過哪些象限？結合具體例子說明。答案：對于一次函數$y=kx+b$，當$k\gt0$，$b\gt0$，如$y=2x+3$，圖象過一、二、三象限；$k\gt0$，$b\lt0$，如$y=2x-3$，過一、三、四象限；$k\lt0$，$b\gt0$，如$y=-2x+3$，過一、二、四象限；$k\lt0$，$b\lt0$，如$y=-2x-3$，過二、三、四象限。2.勾股定理在實際生活中有哪些應用？舉例說明。答案：比如測量樓高，若知道樓與地面距離及樓頂部到測量點的距離，可用勾股定理算出樓高；裝修時確定墻角是否為直角，測量兩直角邊和斜邊長度看是否符合勾股定理。3.請討論二次根式有意義的條件，并舉例說明如何根據條件確定字母的取值范圍。答案：二次根式$\sqrt{a}$有意義的條件是$a\geq0$。例如$\sqrt{x-2}$，要使其有意義，則$x-2\geq0$，即$x\geq2$。4.如何判定一個四邊形是菱形？從不同角度討論并舉例。答案：從定義，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，如平行四邊形中鄰邊相等；從對角線，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；從邊，四條邊都相等的四邊形是菱形，如四條邊相等的四邊形ABCD是菱形。答案一、單項選擇題1.B2.A3.B4.C5.C6.