線性代數考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，則$A$的逆矩陣為（）A.$\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&1\end{pmatrix}$3.向量組$\vec{\alpha}_1=(1,0,0),\vec{\alpha}_2=(0,1,0),\vec{\alpha}_3=(0,0,1)$的秩為（）A.1B.2C.3D.04.設$A$為$n$階方陣，且$|A|=0$，則（）A.$A$的列向量組線性無關B.$A$的行向量組線性無關C.方程組$Ax=0$有非零解D.方程組$Ax=b$有唯一解5.矩陣$A$的特征值為$1,2,3$，則$|A|$為（）A.6B.5C.0D.76.若矩陣$A$與矩陣$B$相似，則（）A.$A=B$B.$|A|=|B|$C.$A$與$B$有不同的特征值D.$A$與$B$的秩不同7.二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$的矩陣為（）A.$\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$8.設$A$是$3$階方陣，$r(A)=2$，則$Ax=0$的基礎解系所含向量個數為（）A.0B.1C.2D.39.已知向量$\vec{\alpha}=(1,2,3)$，$\vec{\beta}=(4,5,6)$，則$\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}$為（）A.32B.28C.30D.2610.若矩陣$A$滿足$A^2=A$，則$A$的特征值為（）A.0或1B.0C.1D.-1或1二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關于矩陣運算正確的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$k(AB)=(kA)B=A(kB)$D.若$AB=AC$，則$B=C$2.向量組線性相關的判定方法有（）A.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.向量組的秩小于向量組中向量的個數C.向量組構成的矩陣行列式為0（向量組向量個數與維數相同）D.向量組中存在零向量3.關于矩陣的秩，正確的是（）A.初等變換不改變矩陣的秩B.$r(A+B)\leqr(A)+r(B)$C.$r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}$D.若$A$可逆，則$r(AB)=r(B)$4.設$A$為$n$階方陣，以下哪些條件等價于$A$可逆（）A.$|A|\neq0$B.$A$的列向量組線性無關C.方程組$Ax=b$對任意$b$有唯一解D.$A$的特征值都不為05.二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX$（$A$為實對稱矩陣）正定的判定條件有（）A.$A$的特征值全大于0B.存在可逆矩陣$C$，使得$A=C^TC$C.$A$的各階順序主子式全大于0D.二次型的規范形為$y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2$6.下列屬于相似矩陣性質的有（）A.相似矩陣有相同的特征值B.相似矩陣有相同的秩C.相似矩陣有相同的行列式D.相似矩陣有相同的跡（主對角線元素之和）7.設$A$為$m\timesn$矩陣，$Ax=0$是齊次線性方程組，則（）A.若$r(A)=n$，則$Ax=0$只有零解B.若$r(A)\ltn$，則$Ax=0$有非零解C.$Ax=0$的解空間維數為$n-r(A)$D.若$m\ltn$，則$Ax=0$必有非零解8.向量的內積具有的性質有（）A.$(\vec{\alpha},\vec{\beta})=(\vec{\beta},\vec{\alpha})$B.$(k\vec{\alpha},\vec{\beta})=k(\vec{\alpha},\vec{\beta})$C.$(\vec{\alpha}+\vec{\beta},\vec{\gamma})=(\vec{\alpha},\vec{\gamma})+(\vec{\beta},\vec{\gamma})$D.$(\vec{\alpha},\vec{\alpha})\geq0$，且$(\vec{\alpha},\vec{\alpha})=0$當且僅當$\vec{\alpha}=\vec{0}$9.已知矩陣$A$的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，則（）A.$|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$B.$tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$C.若$f(x)$是多項式，則$f(A)$的特征值為$f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)$D.不同特征值對應的特征向量線性無關10.以下哪些矩陣是正交矩陣（）A.$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣$A$，$B$滿足$AB=BA$，則$(AB)^n=A^nB^n$。（）2.向量組中向量個數大于向量維數時，向量組一定線性相關。（）3.若矩陣$A$的行列式$|A|=0$，則$A$的秩小于其階數。（）4.齊次線性方程組$Ax=0$一定有解。（）5.矩陣$A$的特征向量一定是唯一的。（）6.實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量正交。（）7.若二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的矩陣$A$正定，則$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的規范形為$y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2$。（）8.兩個矩陣等價，則它們一定相似。（）9.若向量組$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s$線性無關，$\vec{\beta}$不能由$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s$線性表示，則$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s,\vec{\beta}$線性無關。（）10.矩陣$A$的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求矩陣$A$的逆矩陣的方法。答案：可以用伴隨矩陣法，$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^$（$|A|\neq0$）；也可用初等行變換，對$(A|E)$進行初等行變換，當$A$變為$E$時，$E$變為$A^{-1}$。2.說明向量組線性相關和線性無關的定義。答案：對于向量組$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_s$，若存在不全為零的數$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使$k_1\vec{\alpha}_1+k_2\vec{\alpha}_2+\cdots+k_s\vec{\alpha}_s=\vec{0}$，則線性相關；否則線性無關。3.簡述矩陣的特征值與特征向量的定義。答案：設$A$是$n$階方陣，若存在數$\lambda$和非零向量$\vec{x}$，使得$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$，則$\lambda$是$A$的特征值，$\vec{x}$是$A$對應于特征值$\lambda$的特征向量。4.如何判斷二次型正定？答案：可通過二次型矩陣$A$的特征值全大于0，或$A$的各階順序主子式全大于0，或存在可逆矩陣$C$使$A=C^TC$來判斷。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的相似與合同之間的聯系與區別。答案：聯系：都是矩陣間的等價關系，實對稱矩陣相似則合同。區別：相似強調特征值相同，合同強調正負慣性指數相同，相似變換矩陣可逆，合同變換矩陣可逆且$C^TAC$形式與相似變換不同。2.探討線性方程組解的結構及相關結論的應用。答案：齊次線性方程組$Ax=0$的解空間由基礎解系生成，非齊次線性方程組$Ax=b$的解是特解加對應的齊次方程通解。應用于解決實際問題建模后的方程求解，判斷解的情況等。3.分析特征值和特征向量在工程實際中的應用。答案：在工程中，如振動分析、應力分析等。特征值決定振動頻率等特性，特征向量確定振動方向等，可用于優化設計、故障診斷等方面，幫助工程師了解系統特性并做出決策。4.說明正交矩陣在幾何中的意義。答案：正交矩陣對應的線性變換保持向量的長度和夾角不變，在幾何中表示剛體的旋轉、反射等變換。例如在三維空間中，正交矩陣可實現坐標軸的旋轉操作，保持圖形形狀和大