高數下重修試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數$z=\ln(x+y)$的定義域是（）A.$x+y\gt0$B.$x+y\geq0$C.$x\gt0,y\gt0$D.$x\geq0,y\geq0$2.設$z=x^2y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$=（）A.$2xy$B.$x^2$C.$2x$D.$y$3.二重積分$\iint_{D}1dxdy$（$D$是$x^2+y^2\leq1$）的值為（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$4\pi$4.級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收斂B.發散C.條件收斂D.絕對收斂5.向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,-1,0)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}$=（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$6.曲線$x=t,y=t^2,z=t^3$在點$(1,1,1)$處的切線方程為（）A.$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$B.$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$C.$\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$D.$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{2}$7.設$z=e^{xy}$，則$dz$=（）A.$e^{xy}dx$B.$e^{xy}dy$C.$ye^{xy}dx+xe^{xy}dy$D.$e^{xy}(dx+dy)$8.若函數$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微，則函數在該點（）A.偏導數不存在B.連續但偏導數不一定存在C.偏導數存在且連續D.偏導數存在9.交換積分次序后，$\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy$=（）A.$\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx$B.$\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx$C.$\int_{1}^{0}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx$D.$\int_{1}^{0}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx$10.冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂半徑為$R$，則冪級數$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-2)^n$的收斂區間是（）A.$(2-R,2+R)$B.$(-R,R)$C.$(2-R,2)$D.$(2,2+R)$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是多元函數的基本概念（）A.極限B.連續C.導數D.偏導數2.關于向量運算，正確的有（）A.$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$B.$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$C.$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$D.$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$3.以下哪些是可微的必要條件（）A.偏導數存在B.函數連續C.偏導數連續D.方向導數存在4.下列級數中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$5.對于二重積分，以下說法正確的是（）A.可用來計算平面圖形面積B.積分區域可分割計算C.與積分次序無關D.被積函數必須大于零6.設$z=f(x,y)$，則以下哪些是求偏導數的方法（）A.對$x$求導時把$y$看成常數B.利用復合函數求導法則C.對$y$求導時把$x$看成常數D.先求全微分再求偏導數7.曲線的切向量與（）有關A.曲線方程B.曲線上的點C.坐標軸方向D.曲線的長度8.冪級數的性質包括（）A.收斂區間內絕對收斂B.可以逐項求導C.可以逐項積分D.收斂區間端點一定收斂9.以下哪些是多元函數極值存在的可能點（）A.駐點B.偏導數不存在的點C.邊界點D.間斷點10.關于方向導數，正確的是（）A.是函數沿某一方向的變化率B.與梯度有關C.與偏導數有關D.一定大于零三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數$z=\sqrt{x-y}$的定義域是$x\geqy$。（）2.若函數$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處偏導數存在，則函數在該點一定連續。（）3.向量$\vec{a}=(1,0,0)$與$\vec{b}=(0,1,0)$垂直。（）4.級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$當$p\gt1$時收斂。（）5.二重積分$\iint_{D}f(x,y)dxdy$中，積分區域$D$必須是矩形區域。（）6.若$z=f(x,y)$，則$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}$。（）7.冪級數的收斂半徑唯一確定。（）8.函數$z=x^2+y^2$在點$(0,0)$處取得極小值。（）9.方向導數的最大值就是梯度的模。（）10.曲線在某點的切線向量是唯一的。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述多元函數可微、連續、偏導數存在之間的關系。-可微能推出連續且偏導數存在；連續推不出可微和偏導數存在；偏導數存在推不出可微和連續；偏導數連續能推出可微。2.求函數$z=x^3+y^3-3xy$的駐點。-分別求偏導數：$\frac{\partialz}{\partialx}=3x^2-3y$，$\frac{\partialz}{\partialy}=3y^2-3x$。令$\frac{\partialz}{\partialx}=0$，$\frac{\partialz}{\partialy}=0$，即$\begin{cases}3x^2-3y=0\\3y^2-3x=0\end{cases}$，解得駐點為$(0,0)$和$(1,1)$。3.簡述級數收斂的必要條件。-若級數$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}u_n=0$。但$\lim_{n\to\infty}u_n=0$不能推出級數收斂。4.簡述利用二重積分求平面圖形面積的方法。-若平面圖形由曲線圍成，設其在$xOy$平面的區域為$D$，則該圖形面積$A=\iint_{D}1dxdy$，根據區域$D$的特點選擇合適的積分次序計算。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論多元函數極值與最值的聯系與區別。-聯系：極值是局部概念，最值是整體概念，函數的最值可能在極值點、邊界點處取得。區別：極值是函數在某點鄰域內的性質，最值是在整個定義域或指定區域上的最大或最小值。2.討論冪級數在收斂區間端點處的斂散性情況。-冪級數在收斂區間端點處斂散性不確定。可能收斂，如$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$在端點$x=1$處收斂；可能發散，如$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n$在端點$x=1$處發散。需單獨判斷。3.討論向量運算在空間幾何中的應用。-可用于求直線方程（利用直線的方向向量）、平面方程（利用平面的法向量）。判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，通過向量的平行、垂直等運算實現。4.討論如何選擇合適的積分次序計算二重積分。-主要看積分區域$D$的形狀和被積函數的特點。若$D$是$X-$型區域，先對$y$積分；若$D$是$Y-$型區域，先對$x$積分。若被積函數對某一變量積分簡單，也優先考慮對該變量積分。答案一、單項選