高中代數競賽試題解析及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)2.若\(a^m=2\)，\(a^n=3\)，則\(a^{m+n}\)的值為（）A.5B.6C.8D.93.方程\(x^2-5x+6=0\)的根是（）A.\(x=2\)B.\(x=3\)C.\(x=2\)或\(x=3\)D.\(x=-2\)或\(x=-3\)4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5\)的值為（）A.9B.11C.13D.155.函數\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{3}\)6.不等式\(x^2-2x-3\lt0\)的解集是（）A.\((-1,3)\)B.\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)C.\((-3,1)\)D.\((-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\)7.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)C.\(a+c\gtb+c\)D.\(ac\gtbc\)8.已知\(\log_3x=2\)，則\(x\)的值為（）A.9B.6C.3D.\(\sqrt{3}\)9.二次函數\(y=x^2-4x+3\)的對稱軸方程是（）A.\(x=2\)B.\(x=-2\)C.\(x=4\)D.\(x=-4\)10.數列\(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=2n-1\)，則\(a_1+a_2+a_3\)的值為（）A.9B.6C.3D.1二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是奇函數的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.關于\(x\)的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)，當（）時，方程有兩個不同的實數根。A.\(\Delta=b^2-4ac\gt0\)B.\(\Delta=b^2-4ac=0\)C.\(\Delta=b^2-4ac\lt0\)D.\(a\)、\(b\)、\(c\)滿足一定條件3.以下哪些是等比數列的性質（）A.\(a_n^2=a_{n-1}\cdota_{n+1}(n\gt1)\)B.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)C.\(a_{m+n}=a_m\cdotq^n\)D.\(a_n=a_1\cdotq^{n-1}\)4.不等式\(\vertx-1\vert\lt2\)的解集可以表示為（）A.\(-1\ltx\lt3\)B.\((-1,3)\)C.\(x\lt-1\)或\(x\gt3\)D.\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)5.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\log_2x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-3,4)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=(-2,6)\)B.\(\vec{a}-\vec{b}=(4,-2)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=5\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)7.對于函數\(y=\cos(2x-\frac{\pi}{3})\)，以下說法正確的是（）A.周期為\(\pi\)B.圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱C.圖象關于點\((\frac{\pi}{12},0)\)對稱D.在\((0,\frac{\pi}{3})\)上單調遞增8.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)滿足\(a+b+c=0\)且\(abc\gt0\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)（）A.小于0B.大于0C.可能為0D.不確定9.以下哪些屬于對數的運算性質（）A.\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)B.\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)C.\(\log_aM^n=n\log_aM\)D.\(\log_aa=1\)10.已知數列\(\{a_n\}\)是等差數列，其前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_3+a_5=10\)，則（）A.\(a_4=5\)B.\(S_7=35\)C.\(a_1+a_7=10\)D.\(S_8=40\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是\([1,+\infty)\)。（）2.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）3.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_3=4\)。（）4.不等式\(x^2+2x+1\geq0\)的解集是\(R\)。（）5.函數\(y=\sinx\)的最大值是\(1\)，最小值是\(-1\)。（）6.已知\(a\)，\(b\)為實數，若\(a^2=b^2\)，則\(a=b\)。（）7.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=2\)，則\(\{a_n\}\)是等差數列。（）8.對數函數\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的圖象恒過點\((1,0)\)。（）9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數列，則\(b^2=ac\)。（）10.函數\(y=2x^2-4x+3\)的最小值是\(1\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=2^{x-1}\)的反函數。-答案：由\(y=2^{x-1}\)得\(x-1=\log_2y\)，即\(x=\log_2y+1\)，所以反函數為\(y=\log_2x+1(x\gt0)\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(a_n\)。-答案：公差\(d=\frac{a_5-a_3}{5-3}=\frac{9-5}{2}=2\)，\(a_1=a_3-2d=5-2\times2=1\)，則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.解不等式\(2x^2-5x-3\gt0\)。-答案：因式分解得\((2x+1)(x-3)\gt0\)，則\(\begin{cases}2x+1\gt0\\x-3\gt0\end{cases}\)或\(\begin{cases}2x+1\lt0\\x-3\lt0\end{cases}\)，解得\(x\gt3\)或\(x\lt-\frac{1}{2}\)，解集為\((-\infty,-\frac{1}{2})\cup(3,+\infty)\)。4.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數列，\(a=1\)，\(c=4\)，求\(b\)的值。-答案：因為\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數列，所以\(b^2=ac\)，已知\(a=1\)，\(c=4\)，則\(b^2=4\)，所以\(b=\pm2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x^2}\)的單調性。-答案：函數定義域為\(x\neq0\)。設\(x_1\ltx_2\lt0\)，\(y_1-y_2=\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2}\gt0\)，在\((-\infty,0)\)上遞減；設\(0\ltx_1\ltx_2\)，\(y_1-y_2=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2}\gt0\)，在\((0,+\infty)\)上遞減。2.已知\(a\)，\(b\)為正實數，且\(a+b=1\)，討論\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)的最小值。-答案：\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=4\)，當且僅當\(a=b=\frac{1}{2}\)時取等號，所以最小值為4。3.討論數列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=n^2-5n+4\)的最小項。-答案：\(a_n=n^2-5n+4=(n-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4}\)，\(n\)為正整數，當\(n=2\)或\(n=3\)時，\(a_n\)取得最小值，\(a_2=a_3=2^2-5\times2+4=-2\)。4.對于函數\(y=\log_a(x^2-2x+3)\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），討論其值域。-答案：令\(t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\geq2\)。當\(a\gt1\)時，\(y=\log_at\)在\([2,+\infty)\)上遞增，\(y\geq\log_a2\)；當\(0\lta\lt1\)時，\(y=\log_at\)