綜合訓(xùn)練09空間向量與立體幾何（13種題型60題專(zhuān)練）

空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)（共1小題）

1.（2023?東城區(qū)校級(jí)模擬）在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中.正四面體P-ABC的頂點(diǎn)A,B分別在x軸，y

軸上移動(dòng).若該正四面體的棱長(zhǎng)是2,則|。尸|的取值范圍是（）

A.[A/3-hV3+1]B.[1,3]C.[73-1-2]D.[1,V3+1]

二.空間向量及其線性運(yùn)算（共2小題）

2.（2023?湖南模擬）如圖，M在四面體。48c的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段。/上，且股卷設(shè)

贏=Z，0B=b-0C=o則下列向量與嬴相等的向量是（）

A-工亭卓B.7亭亭C.二亭卓D.7亭卓

3.（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）在三棱錐尸-ABC中，點(diǎn)。為△ABC的重心，點(diǎn)。，E,歹分別為側(cè)棱B4,

PB,PC的中點(diǎn)，若彳=歪，b=CE-C=BD-則而=（）

AI-*ITI-*BL1-

0--rra

333

「2fI72-n2f2：2-

J-rra~^rcu--z-a+770

333333

三.共線向量與共面向量（共1小題）

（多選）4.（2023?蕉城區(qū)校級(jí)模擬）已知空間單位向量其，而，氏兩兩夾角均為60。，血=2無(wú)，前=2"甌

則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.P、A、B、C四點(diǎn)可以共面B-PA-（BC+AC）=^-

D.cos（AF，CP〉二守

c-|EF|=^y-

6

四.空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（共2小題）

5.（2023?海安市校級(jí)一模）設(shè)向量a=（3,5,2）,b=（-2,1,3）,當(dāng)數(shù)根與〃滿(mǎn)足下列哪種關(guān)系時(shí),

向量Ma+幾b與％軸垂直（）

A.3根=2〃B.3m=nC.m=2itD.tn=n

6.（2023?滁州模擬）已知向量Z=（l,1,x），E=（-2,2,3）,若（2a-bAb=l，貝！1x=（）

A.-3B.3C.-1D.6

五.空間向量的夾角與距離求解公式（共1小題）

7.（2023?小店區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正四棱柱ABC。-AiBiCiDi中，441=2,AB=BC=1,動(dòng)點(diǎn)尸、。分

別在線段Ci。、AC上，則線段P。長(zhǎng)度的最小值是（）

A.亞B.近C.—D.近

3333

六.空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示（共2小題）

_...—?..

8.（2023?新鄉(xiāng)模擬）已知點(diǎn)。、A、B、C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a=0A+0B+0C，向量b=0A+0B

-0C，則與a、b不能構(gòu)成空間基底的向量是（）

.....

A.0AB.OBC.0CD.0A或0B

9.（2023?西安模擬）空間四邊形A3C。中，AC與8。是四邊形的兩條對(duì)角線，M,N分別為線段AB,CD

上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足AM-AB，DN^DC，若點(diǎn)G在線段MN上，且滿(mǎn)足MG=3GN，若向量AG滿(mǎn)足

34

AG=xAB+yAC+zAD>貝°)+y+z=-------------------

七.向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直（共1小題）

10.（2023?湖北模擬）已知向量、，：的夾角為60。，若|||=2,ml（m-n））貝巾G1=（）

A.1B.2C.3D.4

A.直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程(共2小題)

11.(2023?瓊山區(qū)校級(jí)三模)直線x-3y+l=0的一個(gè)方向向量是)

A.(1,3)B.(3,1)C.(1,-3)D.(3,-1)

12.(2023?固鎮(zhèn)縣三模)直線x-3y+l=0的一個(gè)方向向量是(

A.(1,-3)B.(1,3)C.(3,-1)D.(3,1)

九.平面的法向量(共4小題)

13.(2023?吁胎縣校級(jí)四模)已知平面a內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,-1,2),a的一個(gè)法向量為1I=(3,1,2),

則下列點(diǎn)尸中，在平面a內(nèi)的是()

A.(1,-1)1)B.(1,3,y)C.(1,-3,1)D.(-1,3,-y)

(多選)14.(2023?錫山區(qū)校級(jí)一模)己知平面a的一個(gè)法向量為.=(1,-2,一/)，平面B的一個(gè)法

向量為三二(一1,o,-2)，直線I的方向向量為W=(l,0,2)，直線m的方向向量為

b=(0,1,-2)，則()

A.I//a

B.a±p

C./與m為相交直線或異面直線

D.；在三向量上的投影向量為(0,9，金)

55

(多選)15.(2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-421CiDi中，E為821的中點(diǎn),

產(chǎn)為4。1的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的有()

B,向量標(biāo)與商所成角的余弦值為運(yùn)

5

C.平面AE/的一個(gè)法向量是(4,-1,2)

D.AiDIBDi

（多選）16.（2023?撫松縣校級(jí)模擬）下列命題是真命題的有（）

A.A,B,M,N是空間四點(diǎn)，若證，而，前不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A,B,M,N共面

B.直線/的方向向量為Z=（1,-1,2），直線能的方向向量E=（2,1,-］）為，貝卜與機(jī)垂直

C,直線/的方向向量為Z=（1,-1,2），平面a的法向量為1=（0,1,］）,貝Ij/，a

D.平面a經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（1,0,-1）,B（0,1,0）,C（-1,2,0）,三=（1,u>①是平面?的法

向量，則u+t=l

一十.直線與平面所成的角（共11小題）

17.（2023?保定二模）如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-AiBiCiDi中，A2=BC=1,AAi=2,對(duì)角線3。與平面

A18C1交于E點(diǎn).則A1E與面AAIDLD所成角的余弦值為（）

C.2D?當(dāng)

3

18.（2023?保定一模）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為矩形，AB=2,△必。是正三角形,

平面出"平面A2A且4皿邛，則PC與平面.所成角的正切值為（

)

C.V3D.返

2

19.（2023?竦州市模擬）在△ABC中，A->B—，BC=1,。為AC中點(diǎn)，若將△BCD沿著直線

62

翻折至△BC'D,使得四面體C'-A3。的外接球半徑為1,則直線BC'與平面A3。所成角的正弦值

是（)

A.近B.—C.遮D.迎

3333

20.（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在圓臺(tái)。01中，00]=正，點(diǎn)C是底面圓周上異于A、8的一點(diǎn)，

AC=2,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，/為平面OMC與平面。10。的交線，則交線/與平面O1BC所成角的大小

為（）

（多選）21.（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）如圖，正方體ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸為8尸的中點(diǎn)，下列

說(shuō)法正確的是（）

A.FDLCHB.FG〃平面ACH

C.點(diǎn)尸到平面AGC的距離為亞D.PH與平面CGHO所成角的正弦值為2

23

（多選）22.（2023?思明區(qū)校級(jí)二模）已知正四棱錐尸-A8CD的所有棱長(zhǎng)均為跖，E,尸分別是PC,

A8的中點(diǎn)，〃為棱上異于P,8的一動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）

A.異面直線EGPQ所成角的大小為2L

3

B.直線匹與平面ABC。所成角的正弦值為返

6

C.△EA/周長(zhǎng)的最小值為a+2^

D.存在點(diǎn)M使得P3_L平面AffiF

（多選）23.（2023?全國(guó)二模）己知正方體ABC。-ALBICiDi的棱長(zhǎng)為點(diǎn)、E,尸是棱。。i,CC1的中

點(diǎn)，點(diǎn)M是側(cè)面CDDiCi內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且AM與面。所成角的正切值為近，下列說(shuō)法

2

正確的是（

A,

BC

A.MG的最小值為a-2

B.存在點(diǎn)M,使得AMLCE

C.存在點(diǎn)M,使得AM〃平面BDF

D.所有滿(mǎn)足條件的動(dòng)線段AM形成的曲面面積為互兀

6

24.(2023?河南模擬)三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，已知P到平面ABC的距離為

7,AB1AC,BC=6.記PA與平面ABC所成的角為0,則sin0的取值范圍為

25.(2023?溫州模擬)如圖，在四棱錐P-A8CQ中，AB//CD,ZABC=90°,△AZ)尸是等邊三角形，AB

=AP=2,BP=3,AD±BP.

(I)求BC的長(zhǎng)度；

(II)求直線BC與平面AOP所成的角的正弦值.

26.(2023?潮陽(yáng)區(qū)三模)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD,平面BCDAB^AD,。為的中點(diǎn).

(1)證明：OA±CD；

(2)若△OCO是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱上，DE=2EA,且二面角E-。的大小為

45°,求直線AC與平面BCE所成角的正弦值.

A

27.（2023?分宜縣校級(jí)一模）在正AABC中，E,RP分別是AB,AC,BC邊上的點(diǎn)，滿(mǎn)足嫗

EBFAPB2

將△AEB沿歷折起到尸的位置，使二面角Ai-E尸-8成直二面角，連接43,A1P.

（1）求證：AiE_L平面8"；

（2）求直線4E與平面A18P所成角的大小.

圖1

一~I■■一.二面角的平面角及求法（共15小題）

28.（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）尻殿（圖1）是中國(guó)古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、

重要門(mén)樓等高級(jí)建筑上，尻殿的基本結(jié)構(gòu)包括四個(gè)坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱(chēng)“四阿殿”

或“五脊殿”.圖2是根據(jù)虎殿頂構(gòu)造的多面體模型，底面A8CZ）是矩形，且四個(gè)側(cè)面與底面的夾角均

相等，貝”（）

E

A.AB=BC+EFB.AB="^+EFC.AB=D.AB=2BC-EF

29.（2023?湖北模擬）如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的硬紙片ABC。沿長(zhǎng)邊AB所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到第二

個(gè)平面ABEF沿寬邊AF所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到第三個(gè)平面AFGH,則第一個(gè)平面和第三個(gè)平

面所成銳二面角大小的余弦值是（）

30.（2023?哈爾濱一模）在邊長(zhǎng)為3的菱形A3C。中，/54。=60°,將△A3。繞直線8。旋轉(zhuǎn)到.△

A'BD,使得四面體A8CO外接球的表面積為18TT,則此時(shí)二面角4--C的余弦值為（）

A.-工B.--1C.工D.近

3233

31.（2023?包河區(qū)校級(jí)模擬）過(guò)原點(diǎn)的直線/與曲線y，交于A,8兩點(diǎn)，現(xiàn)以x軸為折痕將上下兩個(gè)半

平面折成60°的二面角，則|A8|的最小值為（）

A.2B.2A/3C.4D.12

32.（2023?唐縣校級(jí)二模）如圖，在正三棱臺(tái)A8C-421。中，已知AB=2ALBI=4,點(diǎn)尸是側(cè)棱B21上

的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）.記二面角P-AC-4為a,二面角P-AC-B為0,若存在點(diǎn)P,使得a=0,則側(cè)

棱BB\的最小值為

33.（2023?四川模擬）已知棱錐P-A8CDE的底面五邊形中，A8CD為邊長(zhǎng)為2的正方形，△ADE為等腰

直角三角形，AE=DE=PE,又出_LZ）E.

（1）在線段PB上找一點(diǎn)G,使得平面GAC〃平面PDE,并說(shuō)明理由；

（2）在（1）的條件下，二面角8-OE-尸為120°,求CG與平面E4C所成角的正弦值.

P

34.（2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱

長(zhǎng)的一半，在該正方體側(cè)面CDDiCi上有一個(gè)小孔E,E點(diǎn)到CD的距離為3,若該正方體水槽繞CD傾

斜（CD始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面CDDiCi與桌面所成角的正切值為（）

35.（2023?鷹潭一模）如圖，在四棱臺(tái)ABC。-ALBICLDI中，人但廣彌8，底面A8C。是邊長(zhǎng)為2的菱

形，NDAB=—,平面平面ABC。，點(diǎn)。1,。分別為2101,2。的中點(diǎn)，。出=1,ZA1AB,

3

/。出。均為銳角.

（1）求證：ACXBB1；

(2)若頂點(diǎn)Ai到底面ABC。的距離為近，求二面角B-A4i-C的平面角的余弦值.

2

36.(2023?蕉城區(qū)校級(jí)模擬)圖1是由直角梯形ABCO和以。為直徑的半圓組成的平面圖形，AD//BC,

AD±AB,AD=AB=yBC=l-E是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△C0E周長(zhǎng)最大時(shí)，將半圓沿著折起，使

平面PC。，平面ABC。，此時(shí)的點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)尸的位置，如圖2.

(1)求證：BDLPD-,

(2)求平面E4B和平面PCD夾角的余弦值.

37.(2023?日于胎縣校級(jí)四模)如圖，在平面五邊形ABCDE中△&￡)￡是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形

A8CD是直角梯形，其中AZ)〃BC,ADLDC,BC=1,C￡>=?.將△AOE沿折起，使得點(diǎn)E到

達(dá)點(diǎn)M的位置，且使2知=遍.

(1)求證：平面平面A8CD；

(2)設(shè)點(diǎn)P為棱CM上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求平面尸2。與平面跖4。所成的二面角的正弦值.

M

38.(2023?浙江模擬)在三棱錐P-ABC中，AB=2后，BC=1,AB1BC,直線E4與平面ABC所成角為

—,直線尸2與平面A2C所成角為三.

63

(1)求三棱錐體積的取值范圍；

(2)當(dāng)直線PC與平面ABC所成角最小時(shí)，求二面角P-AB-C的平面角的余弦值.

39.(2023?市中區(qū)校級(jí)模擬)在直角梯形中，A1B1//AB,AAiLAB,AB=AAi=242i=6,直角梯

形A41818繞直角邊441旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺(tái)A1A,已知點(diǎn)P,。分別在線段CCi,8c上，二面

角81-441-C1的大小為0.

(1)若e=120°,CP-"CCjAQ±AB,證明：尸0〃平面

3

(2)若e=90°,點(diǎn)尸為CCi上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，求尸。與平面AA1C1C所成最大角的正

切值，并求此時(shí)二面角。-AP-C的余弦值.

40.(2023?重慶模擬)如圖四棱錐S-ABCD,AC=2,B,D在以AC為直徑的圓上，平面

ABCD,NDAC三，E為SC的中點(diǎn).

------------------6-

(1)若NBAC=三，證明：DE±AB；

6

(2)當(dāng)二面角。-SC-A的正切值為企時(shí)，求點(diǎn)2到平面SC。距離的最大值.

41.(2023?瀘縣校級(jí)模擬)在《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)

馬”.如圖，在“陽(yáng)馬”P(pán)-A8CZ)中，側(cè)棱PD_L底面A8CZ),且PO=CD

(1)若尸2=4,試計(jì)算底面A3CZ)面積的最大值；

(2)過(guò)棱PC的中點(diǎn)￡作所_LPB,交.PB于點(diǎn)、F,連。E,DF,BD,若平面。EF與平面A8C。所成

銳二面角的大小為工，試求邁的值.

p

42.（2023?九江模擬）如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，。為A1B上一點(diǎn)，平面48C.

（1）求證：BCXA1B；

（2）若AD=e，AB=BC=2,P為AC的中點(diǎn)，求二面角A-AiB-P的余弦值.

一十二.點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算（共17小題）

43.（2023?延邊州二模）正三棱柱ABC-481cl的底面邊長(zhǎng)是4,側(cè)棱長(zhǎng)是6,M,N分別為CCi,A8的

中點(diǎn)，若P是側(cè)面BCCLBI上一點(diǎn)，且PN〃平面A81M,則線段PN的最小值為（）

A^9_B3技cD

,~1~'5'5'~2~

44.（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）如圖，正方體ABC。-ALBCIOI的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別為線段BC,CC1,

551上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）,

①異面直線DiD與A尸所成角可以為，L；

4

②當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E,尸使直線4G與平面AEF平行;

③當(dāng)E,尸為中點(diǎn)時(shí)，平面AEF截正方體所得的截面面積為且；

8

④存在點(diǎn)G,使點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等，

A.①③B.②④C.②③D.①④

45.（2023?洪山區(qū)校級(jí)模擬）正方形A8814的邊長(zhǎng)為12,其內(nèi)有兩點(diǎn)尸、。，點(diǎn)P到邊A41,481的距

離分別為3,2,點(diǎn)。到邊381,A8的距離也是3和2.現(xiàn)將正方形卷成一個(gè)圓柱，使得AB和AiBi重

合（如圖）.則此時(shí)P、。兩點(diǎn)間的距離為（）

6?1+兀2D6如+冗2C613+兀2D614+兀2

----------D.----------

KK'n'

46.（2023?安慶二模）一底面半徑為1的圓柱，被一個(gè)與底面成45角的平面所截（如圖），。為底面圓

的中心，。1為截面的中心，4為截面上距離底面最小的點(diǎn),A到圓柱底面的距離為1,8為截面圖形弧

上的一點(diǎn)，且NA01B=60°，則點(diǎn)8到底面的距離是（）

B.14-277

7D.隼

（多選）47.（2023?梅州二模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-ALBICIDI中，E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)

P為線段。山上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)。1P=AZ）12,則（）

A.當(dāng)人」時(shí)，EP〃平面A81CB.當(dāng)人」時(shí)，|P￡1取得最小值，其值為

32

C.|B4|+|PC|的最小值為生應(yīng)D.當(dāng)Cie平面CE尸時(shí)，入」

4

（多選）48.（2023?龍華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A181C1O1中，。是棱。。上的

A.不存在點(diǎn)。，使得C1Q//A1C

B.存在點(diǎn)。，使得C1QLA1C

C.對(duì)于任意點(diǎn)Q,Q到AiC的距離的取值范圍為［

D.對(duì)于任意點(diǎn)。△A1C。都是鈍角三角形

（多選）49.（2023?連云港模擬）如圖，正方體ABC。-AiBiCi歷中，頂點(diǎn)A在平面a內(nèi)，其余頂點(diǎn)在a

的同側(cè)，頂點(diǎn)Ai,B,C到a的距離分別為五，1,2,貝U（）

G

A.2。〃平面aB.平面AC2i_L平面a

C.正方體的棱長(zhǎng)為25回D.直線C。與a所成角比直線B81與a所成角小

50.（2023?山西模擬）已知正方體A8CQ-A1B1C1。的棱長(zhǎng)為2,M為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為正方體表面

及其內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且4ML4P，則線段AP的長(zhǎng)度的最大值為

51.（2023?大埔縣三模）如圖，在三棱錐A-8C。中，P是AC的中點(diǎn)，E,E分別為線段A。，CD上的動(dòng)

點(diǎn)，BCLCD,平面BC。，若AB=8C=CO=8,則pEJ^-EF的最小值為-

52.（2023?河南模擬）在正四棱柱ABC。-A18C1D中，AB=4,點(diǎn)E為A1B1中點(diǎn)，點(diǎn)F為中點(diǎn)，直

線B1C與直線EF所成角的余弦值為丁夜,過(guò)E、F、C1做該正四棱柱的截面，則截面周長(zhǎng)

13

為.

53.（2023?福建模擬）如圖，一張A4紙的長(zhǎng)寬AB=2a,M,N分別是AD,2C的中點(diǎn).現(xiàn)

將沿8。折起，得到以A,B,C,。為頂點(diǎn)的三棱錐，則三棱錐與A-BCD的外接球。的半徑

為；在翻折的過(guò)程中，直線MN被球0截得的線段長(zhǎng)的取值范圍

是.

54.（2023?四川模擬）如圖，在四棱錐P-ABC。中，PC_L底面A8C。，梯形ABCD中，AB//CD,AB=

2AD=2CD=2BC=2,E是尸。的中點(diǎn).

（1）求證：平面EAC_L平面P8C；

（2）若PD=2,求P到平面AEC的距離.

P

A

D

55.（2023?海淀區(qū)模擬）如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1