二次函數壓軸之角度問題一特殊角類歸納練習

中考數學復習備考資料

1。如圖，拋物線＞=-/+/+c經過A(4,0),C(-LO)兩點，與y軸交于點B,P為第一象限拋物線上的動點，連接

AB、BC、PA、PC,PC與AB相交于點Q。

(1)求拋物線的解析式；

⑵設△APQ的面積為S,,ABCQ的面積為邑，當5,-顯=5時，求點尸的坐標；

(3)拋物線上存在點P,滿足々4B+NCBO=45。，則點尸的坐標為。

2。如圖，二次函數”*2+&-3與X軸相交于A,8兩點，與y軸相交于點C。已知點A(-LO),拋物線的對稱軸

為直線X=l。

(1)求二次函數的表達式；

(2)連接EC,點尸是拋物線上一點，在直線BC下方移動，過點尸分別向X軸，y軸作垂線，與EC交于E,尸兩

點，求PE+PF的最大值并求出此時點尸的坐標；

(3)將拋物線沿著射線CB的方向平移右個單位，點M是平移后拋物線對稱軸上任意一點，若ZMBC=15。，直接

寫出點M的坐標。

3。如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=4+阮-2的函數圖象與X軸交于A(TO),B兩點(點A在點B的左側),

與丫軸交于點C,且04=208。

(1)求拋物線的解析式;

⑵在直線AC下方的拋物線上有一動點P,連接AP、CP,點D是點C關于x軸的對稱點，過點D作直線軸，點M

為直線/上一動點，軸，垂足為N,連接PMMB,當的面積取得最大值時，求PN+政V+MB的最小值；

(3)將拋物線>=加+&-2沿射線AC方向平移2指個單位長度得到新的拋物線八點。為BC中點，在新拋物線V上

存在一點Q使得NCDQ=ZACB,請直接寫出所有符合條件的。點的坐標。

4。如圖，在平面直角坐標系工3■中，已知拋物線產-￡+加+。與正軸交于A(TO),B(3,0)兩點，與>軸交于點D,

直線y=x+l與拋物線相交于A,C兩點。

備用圖

(1)求拋物線的解析式。

(2)設點尸是直線AC上方拋物線上的一動點，過點尸作PN平行無軸，交拋物線于點N,垂直AC于點M,當

尸在對稱軸左方時，求PN+0PM的最大值，并求出此時點尸的坐標。

(3)拋物線上是否存在一點。，使NOA2=45。，若存在，請求出點。的坐標；若不能，請說明理由。

5。如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=加+云+4(a*0)經過點(3,￡|,與x軸交于A,B兩點，與>軸交于點C,

拋物線的對稱軸是直線工=1。

備用圖

(1)求拋物線的表達式

(2)點P是直線EC上方拋物線上的一動點，過點P作?。〃y軸，交EC于點D,點M是〉軸上的一動點，連接

當線段“長度取得最大值時，求△?加周長的最小值；

(3)點E坐標為以0,-2),將原拋物線沿射線CB方向平移28個單位長度，得到新拋物線乂，在拋物線M是否存在

點“，滿足NBBW=ZACO,若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在請說明理由。

6?如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線>=加+如+4"0)與工軸交于A,B兩點，與，軸交于點c,已知A(T,O),

OB=OC,tanZ.ACO-o

試題第2頁，共6頁

(2)在線段BC上有一動點D,過點D作DE_LBC交拋物線于點E,過點E作〉軸的平行線交BC于點F。求.EF+與DE

的最大值，以及此時點E的坐標；

(3)如圖2,將該拋物線沿>軸向下平移2個單位長度得到新拋物線兒若點戶為新拋物線了上一點，且滿足

ZPCA=ZBAC,請直接寫出所有符合條件的點戶的坐標。

7o如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線》=加+云+3("0)交X軸于點A、B,交y軸于點C。其中，。4=0，

(1)求拋物線的表達式；

⑵8平分NOCB交x軸于。。點尸是直線EC上方拋物線上的一動點，過點尸作PE_LCB交直線CB于點E,交直

線8于點幾點M、N是X軸上兩個動點，MV=26(V在N的左側)，連接CM、PN,當線段PF取最大值時,

求PN+ACV+GW的最小值；

(3)如圖2,連接AC,將該拋物線沿射線BC方向平移，使得新拋物線經過點C,且與直線BC相交于另一點

點Q為新拋物線上的一個動點。當NQCH=ZACO,直接寫出所有符合條件的點。的坐標。

8。如圖所示，在平面直角坐標系中，點。是坐標原點，拋物線>=加+及+6與工軸交于點A、8兩點，與y軸的

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點P為拋物線第一象限內的一點，過點P作PD_LBC于點D,求行PD+四BD的最大值及此時點P的坐

標；

(3)如圖2,點尸是線段。C的中點，將拋物線沿著射線CB的方向平移2應個單位得到新拋物線，點。在新拋物線

上，是否存在點。使NFB2+NBCO=90。？若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由。

9。已知拋物線>=加+阮+3與工軸交于A(-I.o),B(3,o)兩點，與y軸交于點C。

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(1),。為拋物線上第一象限內一點，若42c=2NBA2,求點。的坐標；

(3)如圖(2),P為x軸上方一動點，直線?“，PN與拋物線均只有唯一公共點MN,OH_LAW于點H,且△血的面

積是10,求線段。舊長度的最大值。

10。如圖，拋物線y=/-4x的頂點為點A,與尤軸交于點。和點8。

⑵如圖1,將線段旗繞拋物線頂點A逆時針旋轉90。得到線段AC,若A2平分NOAC交拋物線于點°。求點C和

Q的坐標；

(3)如圖2,過點火1,0)作P//U軸交拋物線于點P,E,尸為拋物線上的兩動點(點E在點尸左側，點尸在點P

右側)，直線PE,PF分別交無軸于點M,N。若HM-HN=3,求證：直線EF過一個定點。

1L已知平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=-；/+/w+c與X軸交于4B兩點，與y軸的正半軸交于c

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點p是拋物線在第一象限內的一點，連接PB,PC,過點P作PDLt軸于點D,交EC于點K。記△PBC,

△BDK的面積分別為M,S2,求，-邑的最大值；

(3)如圖2,連接AC,點E為線段AC的中點，過點E作所_LAC交工軸于點F。在第三象限的拋物線上是否存在點

2,使NQFE=2NOCA?若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，說明理由。

12。拋物線>=4+c交x軸于點A(2,0),點B,與丫軸交于點C(0,T)。

試題第4頁，共6頁

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,將直線AB向上平移，交》軸于點D,交拋物線于E,F兩點(點E在點F的右邊)，過E作EG_L直線AC

于點G,且EF=2辰G。

①求點E的坐標；

②點戶是y軸上一點，當ZAPE>/G4。時，直接寫出點尸的縱坐標，的取值范圍。

13。如圖，若一次函數>=T+3的圖象與x軸，丫軸分別交于A,C兩點，二次函數丫=加+&+。的圖象過A,C兩

點，交*軸另一點B,頂點為點D。

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,點p是AD上方拋物線上一點。過點p作PE_Lx軸于E,分別交AD、AC于/、F,作PQ_LAC于2,MNYAC

于N,若PQ=2MN,求點P的坐標;

(3)如圖2,點P是AC上方拋物線上一點。過點P作PE_Lx軸于E,交AC于F,連接PC、BC,若dCF中的一個內

角是,BCO的2倍，求點P的橫坐標。

14。在平面直角坐標系中，拋物線y=-F+云+3與X軸交于點A(-LO)和點B,與y軸交于點C。

備用圖

⑴求6的值；

(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點，ZMAB=ZACO,求點M的橫坐標；

(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為3L與y軸交于點N。設心的頂點橫坐標為“，NC的長

為do

①求〃關于n的函數解析式；

②乙與x軸圍成的區域記為U,U與AABC內部重合的區域(不含電界)記為憶當〃隨〃的增大而增大，且W

內恰好有兩個橫、縱坐標均為整數的點時，直接寫出〃的取值范圍。

15。如圖，在平面直角坐標系X。，中，已知拋物線》=；/+&+c交X軸于點A(-2,0),B(7,0),與y軸交于點C。

(2)如圖1,若點M是第四象限內拋物線上一點，MN//〉軸交BC于點N,MQ//BC,求MN+；BQ的最大值；

(3)如圖2,在y軸上取一點G(o,7),拋物線沿BG方向平移20個單位得新拋物線，新拋物線與X軸交于點E,F,

交y軸于點D,點P在線段FQ上運動，線段。F關于線段OP的對稱線段。尸所在直線交新拋物線于點直線尸P

與直線BG所成夾角為45。，直接寫出點H的橫坐標。

試題第6頁，共6頁

《二次函數壓軸之角度問題一特殊角類歸納練習-中考數學復習備考資料》參考答案

1o(1)y=~x2+3%+4

⑵點P的坐標是(1,6)或(2,6)

(3)/(3,4)

【分析】(1)將A(4,0),代入y=T?+&x+c,利用待定系數法確定函數解析式；

(2)根據圖形得到：Sl+SAAac=S1+S^ac+5,即S/=＜皿+5。運用三角形的面積公式求得點尸的縱坐標＞=6,然

后由二次函數圖象上點的坐標特征求得點P的橫坐標即可；

(3)過點尸作?。口軸于點D,根據。B=OA=4得至l]ZABO=NOAB=45。，可推出ABOCSDDA,由相似的性質進行即

可求解。

【詳解】(1)解：；拋物線產-/+以+。經過4(40),C(-l,0)兩點,

解得：仁,

二拋物線的解析式為y=-『+3X+4；

（2）解：?.?，-與=5,

?c_c—5

??ZABC—J。

令％=0,

則y=4,

.??3（0,4）。

A（4,0）,C（-1,O）,

AOB=OA=4fAC=5,

...s=-xACxOB=-x5x4=10,

&ABRCr22

I.Lb=15。

設產（力一產+3/+4）,

x

Sgcp=ACxyp=gx5x（—產+3/+4）=15,

??￡=1t=2,

???尸（1,6）或尸（2,6）；

（3）解：存在，點尸的坐標是（3,4）。

理由：過點尸作?軸于點。，

答案第1頁，共38頁

整理得cr-7a+12=0,

解得6=3或。2=4（不符合題意），

，P（3,4）,

故答案為：（3,4）。

【點睛】本題主要考查二次函數的綜合問題，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式、二次函數的性質,

勾股定理的應用以及三角形面積公式，相似三角形的性質等知識點。

2。（1）二次函數的表達式為＞=*-2X-3

（2）|,此時點P的坐標為

⑶點M的坐標為或（2,-0）

【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解,

是解題的的關鍵：

（1）待定系數法求出函數解析式即可；

（2）求出的坐標，設網0爐-2?一3）,將尸E+PF轉化為二次函數求最值即可；

（3）求出平移后的解析式，進而求出平移后的對稱軸，分點M在BC的上方和下方兩種情況進行討論求解即可。

【詳解】（1）解：：拋物線過A（TO）,對稱軸為直線x=l,

答案第2頁，共38頁

b(_

]2a,解得：12，

[a-b-3=0I""?

y=x2-2x-3；

(2)I,點AI關于直線X=1對稱，A(-1,O),

以3,0),

y=x2-2x—3,

?二當％=0時,J=-3,

AC(0-3),

OB=OC=3f

I.ZOCB=ZOBC=45°,

設直線6C的解析式為:y=kx-3,把3(3,0)代入，得：k=l,

y=x-3,

設P(P，p2-2p-3),

VPElxtt，尸產軸，

ZFPE=90°,PE〃y軸，E(p,p—3),

?PEF?OCB45?,尸￡=p_3_p2+2p+3=_p2+3p=_1p_|)+；,

PE=PF,

/.PE+PF=2PE=-l^p-^+|,

...當p=9時，PE+PF有最大值為,此時P《，-同；

(3)Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,由(2)知：AB"為等腰直角三角形，

,將拋物線沿著射線8的方向平移a個單位，即向右，向上各平移1個單位,

新的拋物線的解析式為：y=(.Y-l-l)2-4+l=(x-2)2-3,

新的拋物線的對稱軸為直線x=2,

延長初交y軸于點N,

*.*Z.OBC=45°,ZMBC=15°,

???①當點M在直線上方時，NOBM=45。-15。=30°,

ON=-BN,

2

OB=y/3ON=3,

ON=乖),

,同(2)法可得：直線BN的解析式為：y=與xY,

.?.當x=2時，＞=-當,即：山,-卦

答案第3頁，共38頁

②當點M在直線3C下方時，/。詡1=45。+15。=60。，貝lj：BN=2OB=6,

ON=y/3OB=3>j3,

.?.N(0,-3⑹

同理：直線5N的解析式為：y=&一30,

二.當％=2時,yS,即：M(2,—6)；

(2)4&+2

(3)2點的坐標為(2+廂或(-瓦一1.2而+3)

【分析】(1)利用待定系數法解答即可；

(2)利用二次函數解析式可得C(0,-2),進而可得直線AC的解析式為廣-?-2,設點?卜+/+?”2),過點P作

尸戶」x軸，交直線AC于點G,可得即得=即可得到

SWC=3GPO4=-1/-2以=-；+2『+2,可知當"=-2時，八《吧的面積取最大值，即得?(-2,-2),尸(-2,0),作點B關

于直線/的對稱點連接Bk交直線/于點“，貝=又可知四邊形"MV是平行四邊形，得尸M=PN,

即得到/W+MV+Affi=/^+8M+MV=P7r+MV,由兩點之間線段最短，可知此時PN+MV+MB的值最小，利用勾股

定理求出PE即可求解；

(3)由題意可得拋物線產;*+'-2沿射線AC向下平移2的單位長度，再向右平移4的單位長度得到新的拋物

線H即得y=：(x+l-4f-r2=；(x-3)Q],再分兩種情況，畫出圖形解答即可求解。

【詳解】(1)解：；A(T,O),

04=4,

*.*0A=20B,

03=2,

3(2,0),

把A(TO),3(2,0)代入y=4+云_2得，

J16a—4Z?—2=0

|4?+2Z?-2=0'

答案第4頁，共38頁

解得"：，

b=-

2

*,?拋物線的解析式為y；

(2)解：由一2,得c(o,-2),

設直線AC的解析式為y=^+"把A(TO)、。(0,-2)代入得，

JO=-4k+b

[-2=b'

,=_j_

解得一萬，

b=-2

?.?直線AC的解析式為y=-gx-2,

設點尸(九；/+3加-2),過點尸作PP_L%軸，交直線AC于點G,如圖，則點G,-

GP=——m—2—\—m2+—m—2\=——ni2—m.

2U2J4，

S4”c=S“ATC+S*CTC=；GPOA=d，/一，")x4=-；m2-2〃，,

\APC=-2M=_^(M+2)2+2,

.,.當?,=_2時，AAPC的面積取最大值，

AP(-2,-2),

尸(-2,0),

作點B關于直線/的對稱點片，連接B尸交直線/于點M,則笈M=

?二點。是點。關于X軸的對稱點，

：.OD=OC=2,

???點M為直線/上一動點，肱VL軸，

，MN=OD=2,

PP=MN=2,

PP〃MN,

???四邊形PP跖V是平行四邊形，

PM=PN,

,,

PN+MN+MB=PM+B'M+MN=PB'+MNf

由兩點之間線段最短，可知此時尸N+MV+M3的值最小，

??,點B與點"關于直線/的對稱點，

工BB'=4,

又\?3P=2-(-2)=4,

??P'B'—442+4?—4，

/W+ACV+Affi的最/_]、值=尸'?+9=4a+2;

答案第5頁，共38頁

(3)解：?.?直線AC的解析式為y=-；x-2,

,可設拋物線丫=%2+氐-2沿射線AC向下平移f的單位長度，再向右平移2r的單位長度得到新的拋物線八

*.**+(2爐=(26y,

Z=2,

???拋物線>=%2+?一2沿射線AC向下平移2的單位長度，再向右平移4的單位長度得到新的拋物線y,

：y=%+*2=*+i)Y，

了=*+1_4)2_?_2=如_3)2_1,

:點。為BC中點，

/.0(1,-1),

如圖，當4C〃O°時，NCDQ=ZACB,

設直線。。的解析式為產Jx+P,把DOT)代入得，

直線。。的解析式為>=-白-；,

當NCDQ=ZACB,。。與丫軸的交點為點E時，如圖,

*.*OB=OC=2f

：.ZABC=ZECDf

又丁ZACB=/EDC,

I.AABCsAECD,

.ABBC

**EC-CD?

答案第6頁，共38頁

AB=2-（y）=6,BC=2CD,

/.EC=-AB=3.

2

￡（0,1）,

設直線DQ的解析式為y=m+c,把D（LT）、E（0,l）代入得,

/—l=〃+c

|l=c，

解得

???直線DQ的解析式為y=-2x+i,

y=_2x+l[X=AA3-1/丁人人上、[x=-V13-l

由（1/N17,解得｛f-（不合，舍去）或r-,

y=Z（x-3）--[y=-2A/13+3[y=2jl3+3

.?.2（->/5-1,25/5+3）;

綜上，當NCDQ=NACB時，。點的坐標為,+炳,且臀)或卜而-1,2炳+3)。

【點睛】本題考查了二次函數的幾何應用，待定系數法求二次函數解析式，二次函數與一次函數的交點問題，

二次函數的平移，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，軸對稱的性質，掌握二次函數的圖象和性

質是解題的關鍵。

4O(l)y=-/+2x+3

(嚀力輔

(3)存在，eg,1]

【分析】本題考查了一次函數與二次函數的綜合問題，涉及待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象與性

質，解直角三角形等知識，難度較大，熟練掌握知識點是解題的關鍵。

(1)運用待定系數法直接求解即可；

(2)過點P作戶r〃y軸交AC于點r,APMT為等腰直角三角形，貝i]=及PM,而PN=2TT=2-2/,

PT=-t2+2t+3-t-l=-t2+t+2,故PN+A/^PM=PN+PT=2-2t+(-產+r+2)=-產一r+4=-(/+g)+?,即可求解；

(3)連接DC,過點。作DK_LAC于點K,過點。作軸于點3將問題化為=繼而利用等角

的正切值相等，建立方程，求解即可。

【詳解】(1)解：：拋物線＞=*+/+,與x軸交于A(T,0),B(3,0)兩點,

答案第7頁，共38頁

j-l-Z?+c=O

[-9+3b+c=0'

解得：

[c=3

???解析式為：y=-f+2x+3

(2)解：過點尸作尸軸交AC于點T,

對于直線>=%+1,當％=o,y=i,

y=0時，1+1=0,

解得：％=-1,

AO=OR=1,而ZAOR=90。

Z1=Z2=Z3=45°,

而尸丁〃丁軸，

/.N4=Z3=45。，

而PM垂直AC于點M,

???APS為等腰直角三角形，

:?PT=-^PM,

sinZ4

2

:對稱軸為：直線”一國可

:.設尸(。一*+21+3)(-1<Z<1),

???PN平行入軸，

:?P,N關于直線尤=1對稱，

XN=27,

PN=2—t—t=2-2tf

而力=￡+1,

??PT—/2+2/+3—t—1=—產+/+2,

PN+42PM=PN+PT=2-2t+(-t2+t+2^=-t2-t+4=-\t^^\+[,

?—1<f<1,日.—1v0,

???當r=4時，取得最大值為營,

(3)解：存在，理由如下:

答案第8頁，共38頁

連接DC,過點。作DK_LAC于點K,過點。作QQx軸于點L,

由上知NC4B=45。，

/.ACAB=ADAQ=45°,

ZCAD=ZQABf

聯立F=T：2%+3,

[y=%+l

解得:｛二或憶;，

C（2,3）,

而對于拋物線丁=-爐+2?3,當％=0,y=3,

。（0,3）,

軸,DC=2

：.ZDCX=ZC4B=45O,

同上可得：DK=CK=^DC=y/29

而4C=J（2+l『+32=3&,

AK=AC-CK=2垃,

/.tanZCAD=—=i,

AK2

tanNQAB=,

設°（〃,-/+2〃+3）,

?—n.2+2tl+31

?.n+l~~~2f

解得：〃=|或〃=T（舍）

5O(1)拋物線的表達式為y=-g%2+%+4；

(2)^PDM周長的最小值為2有+2；

(3)點川的坐標為(￥，1)或(6,-2).

【分析】(1)利用待定系數法解答即可；

(2)利用拋物線的解析式求得點A,B,C的坐標，利用待定系數法求得直線BC的解析式，設+

則。的-根+4),表示PD的長并配方，利用二次函數的性質求得PD的最大值為2;取點。關于丫軸的對稱點D'(-2,2),

連接PD',交>軸于點“，連接M0,由軸對稱可知此時9+A?最小，MD=MD,再利用勾股定理解答即可得出

結論；

答案第9頁，共38頁

（3）求得M的坐標，利用待定系數法求得平移后的拋物線的解析式，利用分類討論的思想方法分兩種情況討

論解答：①當M在BE的上方時，如圖2,設交X軸于N,②當M在BE的下方時，如圖3,分別解答即可。

【詳解】⑴解：：拋物線>=加+及+450）經過點（3,|）,拋物線的對稱軸是直線x=l,

[9a+3/>+4=—

:?拋物線的表達式為y=-》2+x+4；

（2）解：令y=o,貝Ij-gx2+x+4=o,

/.A(-2,0),S(4,0),

令x=o,則>=4,

Ac（o,4）,

設直線EC的解析式為>=丘+〃，

[4左+〃=0

[八=4

，直線EC的解析式為y=-x+4,

設尸（皿-；/+用+4）,

?；PO〃y軸，

D(w,—m+4),

]112

PD=——t7i2+wz+4—(—w+4)=——m2+2m=——^m—2)+2,

--<0

2

當相=2時，PD取得最大值，此時P（2,4）,D（2,2）,

PD=2,

取點。關于y軸的對稱點。'（-2,2）,連接尸D,交y軸于點M,連接MD,如圖1,

圖1

??,點M是y軸上的一動點,

答案第10頁，共38頁

???止匕時PM+MD最小，MD=MD,

PM+MD=PM+Miy=Piy,

VOCX=4,PD=2f

PD=dPlf+DB=6+42=2石，

4PDM周長的最小值為2石+2;

(3)解：由>=YX2+X+4=_T(X-1)2+4.5,

VB(4,0),C(0,4),

OB=OC=4o

ZBOC=9Q°,

???EOC是等腰直角三角形，

，NCBO=45。,

???將原拋物線沿射線。方向平移20個單位長度，得到新拋物線力,就是將原拋物線向下平移2個單位，再向

右平移2個單位，

頭=_g(x-3)-+2.5,

分兩種情況：

①當M在BE的上方時，如圖2,設醐1交工軸于N,

E(0,-2),

0E=2=0A,

OB=OC=4,ZAOC=ZBOEf

：.AAOC^ABOE(SAS),

ZOBE=ZACOf

\*ZBEM=ZACO,

I./BEM=NOBE,

EN=BN,

設ON=t,貝！j￡7V=3N=4T,

由勾股定理得：。5+。管=硒2,

答案第11頁，共38頁

222

.\2+r=(4-r),

?

??t~3~,

???嗚。）,

同理得：硒的解析式為y=3-2,

g%-2=一：（%一3）2+2.5,

解得：斗=。（舍去），x2=y,

點用的坐標為（學年];

②當M在班的下方時，如圖3,

圖3

VZBEM=ZACO=ZOBE,

，OB//EM,

當％=-2時，一；（%一3）2+2.5=-2,

解得：西=。（舍去），9=6,

???點M的坐標為（6,-2）；

綜上，點M的坐標為摟帝或（6,一2）。

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，拋物線上點的坐標的特征，待定系數法，軸對稱的最短路徑問

題，勾股定理，全等三角形的性質和判定等知識，分類討論的思想方法，掌握知識點的應用是解題的關鍵。

2

6O（l）y=x-2x-3

（2聲+?七的最大值為3,

⑶NT或件警,交當

【分析】（1）利用三角函數求出點&C坐標，再利用待定系數法解答即可求解；

（2）延長EF交x軸于點G,可得應為等腰直角三角形，得到DE=DF=^EF,即得

EF+與DE=EF+^*EF=[EF,設E（r/-2「-3）,貝IJF&-3）,得至!JEF=-產+3,，再利用二次函數的性質解答即可

求解；

（3）由平移可得新拋物線的解析式為y=/_2x-5,再分兩種情況解答即可求解；

本題考查了二次函數的幾何應用，三角函數，二次函數的平移，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵。

【詳解】（1）解：??F（TO）,

答案第12頁，共38頁

OA=1,

9：tanZACO=-/AOC=90。,

3f

?OA-1

??OC-3，

Rn11

1OC3

，OC=3,

OB=OC=3f

.?.5(3,0),C(0,-3),

把A(T,0)、3(3,0)、。(0,-3)代入丁=加+法+。得,

a-b+c=0

?9。+3b+c=0,

c=-3

a=l

解得"-2,

c=-3

拋物線的解析式為V=x2-2r-3；

(2)解：如圖，延長EF交X軸于點G,

VOC=OB=3,ZBOC=90°f

，ZOBC=ZOCB=45°,

EF//OC,

/./DFE=45。,

DELBC,

Z￡DF=9O°,

I.△瓦如為等腰直角三角形，

.nF屈FF

??DnFE=DF=——EF,

2

EF+-DE=EF+—x—EF=-EF,

3323

設直線的解析式為丁=丘+九，把3(3,0)、C(0,-3)代入得,

JO=3女+鹿

[—3=n，

解得｛工，

直線BC的解析式為y=%-3,

答案第13頁，共38頁

設E(r/-2r-3),則F(y-3),

EF=r-3-(r2-2r-3)=-r2+3r,

匹+*￡)￡=：￡尸=1X(一產+3，)=—\。一|)+3,

??4c

?一§<o，

...當時，EF+^DE的值最大，最大值為3,此時E$-藍)；

(3)Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,

將該拋物線沿,軸向下平移2個單位長度得到新拋物線九貝打，=/一21-3-2=爐—2%一5,

當CP〃％軸時，如圖，有ZPC4=ZBAC,此時點尸的縱坐標為-3,

把產-3代入了=爐_2%—5得，X2-2X-5=-3,

解得石=1-6，馬=1+百舍去，

.,?尸(1-后-3)；

作線段AC的垂直平分線交％軸于點，連接CD交拋物線V于點尸，可知Z)C=/M,

，ZPCA=ZBACf

設。(m0),

*.*DC=DA,

m-(-1)=Vw2+329

解得加=4,

0(4,0),

設直線CD的解析式為產P%+4,把。(。,-3)、0(4,0)代入得,

-3=q

0=4p+q

解得卜=?，

〔1=—3

直線8的解析式為>=%-3,

II-A/24911+5/249

_3,x=%2=---------------------

由k片-3,解得8舍盧8

-63-37249舌舌'-63+3^/249'

y=x2-2x-5

%二-F—

(11+7249-63+37249

[8，飛.

答案第14頁，共38頁

綜上，點P的坐標為(一"-3)或[11±泮,弋嚴；。

n/I\122百o

/o(]))=-§%+-^—%+3

⑵2用孥

(3)(-4萬3)或(-"6)

【分析】(1)根據對稱軸可列方程-(=石，將4-6.0)代入”/+云+3可得另一方程，解方程組即得答案；

(2)過點尸作收〃y軸，交無軸于點K,交直線。于點尸，先證明FH=^PH,再設P(m,j/+竽,"+3),求出

PH的長，進一步求得PH最大時點尸的坐標，最后通過平移的方法，即可解決將軍飲馬問題的變式，得到答

案；

(3)過點尸作戶H〃y軸，交x軸于點K,交直線。于點P,先求得平移后的拋物線為k1(*+2囪2+7,再分點

。在S的下方和上方兩種情況討論，利用拋物線的軸對稱性求得一個點Q的坐標，再利用求直線與拋物線的

交點，可求得另一個點。的坐標。

【詳解】(1)解：???拋物線的對稱軸是直線戶6,

??Q=石，

二A(->/3,0),

將A(一百,0)代入丁=幺2+法+3得3a+?j+3=0,

-A=>/3

聯立方程組2a，

3。-麻+3=0

,_1

即得“2^，

I3

;拋物線的表達式為'=+手工+3；

(2)解：如圖，過點尸作軸，交無軸于點K,交直線CD于點P,

:拋物線的對稱軸是直線x=石，A(-V3.0),

B(3?0),

:.OB=3y/3f

在RtABOC中，BC=y/OB2+OC2=+32=6,

:.BC=2OC,

:.ZCBO=30°,ZBCO=60°,

答案第15頁，共38頁

平分N0C3,

:.NOCD=ZBCD=30。,

?：PE1CB,

:.ZCFE=60°,

：.ZPFH=120°,

軸,

:.ZOCD=ZH=30°f

:.NFPH=30。,

:.ZFPH=ZH,

:.FP=FHf

PH=y/3FH,

即"/,

+~~~m+3)f貝|,

PH=一;機2+~~~m+3—+3),

1246

=——mH-----m,

33

當m=￥時，PH最大,即FH最大，

此時，P("J，

將點P向左平移2代個單位，得到Pt'；),

作點C關于X軸的對稱點。，則C'(0,-3),

連結CP,

貝!ICP'=jg_oy+(；+3)2=,

所以當線段PF取最大值時，PN+MN+CM的最小值為+率;

4

y八PP

(3)解：TOB=3/,OC=3,

:將該拋物線沿射線EC方向平移，使得新拋物線經過點C,相當于將該拋物線先向左平移36個單位，再向上

平移3個單位得到新拋物線，

y=-^x2+x+3=_g(x-后y+4,

，平移后的拋物線為產-梟+2何+7

在Rtz^AOC中,OC=3,OA=A/3,

貝!JAC=y/o^+OC2=2+，

答案第16頁，共38頁

:.AC=2OA,

:.ZACO=30°,

分兩種情況討論：

①點Q在西的下方時，ZQ1CH=ZACO=30\

■.■ZABC=30P,

ZQtCH=ZABC,

：C2〃x軸，

即點2為點C關于對稱軸的對稱點，

，2（TG,3）；

②點Q在CH的下方時，/&CH=ZACO=30。,

/.NQ2CQ1=NQ2cH+NQ】CH=60°,

延長QC交x軸于點T,

軸,

ZQ2CQ{=ZCTO=60°f

/COT=90。，

...OT=—OC=>j3

3f

??.T（道,0）,

設直線CT為尸質+》，

將C,T的坐標代入得［代八院0

解得仁丁,

，直線CT為y=-6x+3,

y=-也x+3

聯立方程組y=_；(x+2折+7

%=0%i="

解得

71=371=6

02(—\/3,6)；

故所有符合條件的點Q的坐標為（-4后3）或（-點6）。

【點睛】本題考查了與線段相關的二次函數綜合題，二次函數的圖象與性質，用待定系數法求二次函數的解

答案第17頁，共38頁

析式，圖形平移的性質，通過平移解決將軍飲馬問題的變式是解題的關鍵。

80(1)y=-］犬+2x+6

(2)0PD+gBD的最大值為16,此時點P的坐標為(2,8)

(3)(0,-2)或(4,6)

【分析】(1)代入A(-2,0),B(6,0)到拋物線。癥+&+6,求出。、方的值即可；

(2)作PG〃》軸交X軸于G,交直線BC于E,利用等腰RtABEG和等腰RtAPDE的性質，轉化點PD+0BD的最大值

為2PG的最大值，再利用拋物線的頂點坐標公式求出點戶的坐標即可；

(3)先求出平移后的拋物線解析式為y=-；(x-4y+6,由4B°+NBCO=90。得4B°=45。，作出二次函數

y=T(x-4)2+6的圖象，記圖象與丫軸交點為2,頂點為易得Q(0L2),2(4,6),連接股、BQ2,作FH_LBC交BC

于點H,BQJx軸交于點K,然后通過相似三角形的判定、全等三角形的判定證明2、分別為符合題意的點。

即可。

【詳解】(1)解：代入3。),下。)得｛;二然二

解得：

b=2

.?拋物線的解析式為＞=-；d+2x+6。

(2)如圖，作PG〃,軸交X軸于G,交直線BC于E,

令x=0,則>=6,即C(0,6),

■,-B(6,0),C(0,6),

.".OC=OBf

又400=90。，

ZOBC=ZOCB=ix(180°-90°)=45°,

???PG〃y軸，

ZDEP=ZOCB=45°,ZPGB=ZCOB=90°,

ZGEB=180°-ZPGB-ZGBE=45°,

:.ZGEB=ZGBE=45°,

\BG=GEf

..ABEG是等腰直角三角形，

/.BE=y/2EG,

vPOlBC,

：.ZPDE=90°,NDEP=45°,

答案第18頁，共38頁

ZDPE=180°-ZPDE-ZDEP=45°,

:.ZDEP=ZDPEf

\DP=DE,

??△PDE是等腰直角三角形,

:.PE=y/2PD=>/2DE,

y/2BD=&（DE+BE）=垃DE+母BE=PE+2EG,

叵PD+42BD=PE+PE+2EG=2PG,

設P（機，一：機2+2憶+6）（0<“<6）,

貝5]PG=-g療+2m+6=-g（根一2丫+8,

當機=2時，PG有最大值8,即尸GW8,此時尸（2,8）,

應PD+血BD=2PG<2x8,

:.^2PD+y/2BD<16f

.?.0/3血E）的最大值為16,此時點尸的坐標為（2,8）。

（3）y=——x2+2x+6=——^x—2^+S,尸（0,3）,

,?拋物線沿著射線8的方向平移2&個單位，NCBO=45。，

二拋物線向右平移2個單位，再向下平移2個單位，

2

；新拋物線的解析式為：y=~（x-4）+6,

由（2）中的結論得，ZOCB=45°,即ZBCO=45。，

ZFBQ+ZBCO=90°f

ZFBQ=90°-ZBCO=45°；

如圖，作出二次函數y=-；（%-4）2+6的圖象，記圖象與y軸交點為0,頂點為Q,

連接購、時2,作切皿。交5c于點H,。2犬，％軸交工軸于點火，

令％=0,則y=-3(-4『+6=-2,即2(0,-2),

當x=4時，y=-；(%-47+6有最大值6,即頂點坐標為2(4,6)；

,"點尸是線段。。的中點，

.-.CF=-OC=-x6=3,

22

?;FH1BC,

:.ZFHB=ZFHC=90°,

?/ZOCB=45°,

答案第19頁，共38頁

ACFH=ZFHB-ZOCB=90°-45°=45°,

/.ZCFH=NOCB,即ZCFH=ZFCH,

:.CH=FHf

又?.?47fC=90。，

.MCEH是等腰直角三角形，

:.CF=0CH=?FH,

,?CF3372

..Cr/i=rri==------：

及02

■：OB=OC,NBOC=90。,

??.△O8C是等腰直角三角形，

BC=?OC=6五,

942

:.BH=BC-CH=^—f

2

:.BH=3FH,

30=6,0。=2,

/.BO=3OQ[,

BH_3FH_FH

f

"~Bd~3OQ~~O