浙江省杭州市金麗衢十二校2024-2025學年高三下學期（3月）

第二次聯考數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A={1,2,3},2={尤eN尤2<4},則AU^=（)

A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-1,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

2.已知向量％=（2x,3）,B=（2,0）,（a-b）-b=Q,貝口的值為（)

A.-1B.1C.1D.2

3.已知復數z滿足（l+i）z=2i,貝小為（）

A.-B.1C.JiD.2

2

4.若圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，則它的體積為（）

A8上

A.------兀B.8兀C.12KD.8石兀

3

f方°。，則〃〃1))=()

5.已知函數/（%）=V

lwc-x,x>0

A.-1B.--C.1D.e

e

6.已知兩條相交直線人，。在平面a內，6在平面a外.設a,6的夾角為4,直線b與平

sinq=2四.則由a/確定的平面與平面a夾角的大小為（

面a所成角為1-a，)

15

71

A.——B.-C.-D.-

12643

7.設拋物線C：/=4y的焦點為尸，斜率為g的直線與拋物線交于A3兩點，若

|AF|+|^|=7,貝UcosNAEB的值為()

B-4TD-4

A.0

8.在VABC中，“sin2A+sin23=sin(A+3)”是“C為直角”的()

A.充分但非必要條件B.必要但非充分條件

C.充要條件D.既非充分條件也非必要條件

二、多選題

9.設(l+2x)6=4+4工+2%2+...+4%6,則下列說法正確的有()

A.%=1B.%=20

C.該二項式的所有二項式系數之和為64D.%+4+%+4+&+%+4=729

10.己知函數〃x)=sin］：+xj,g(x)=2"x)/(T)/1x+；J,下列說法正確的有()

A.“X)的最小正周期為2兀B.g(x)是偶函數

C.g(x)在區間\曰上單調遞減D.g(x)在上的值域為一手,1

11.已知正項等差數列｛%｝與正項等比數列也,｝首項相等，且滿足％+4=%,a2+b2=b3,

則下列說法中正確的有()

A.也｝的公比為2B.3m>3,使得%=鬣

C.對VX<1,數歹U｛d-蜀J為遞增數列D.L—<15°

三、填空題

22

12.已知橢圓C:斗+與=1(。>6>0)的上頂點與右頂點分別為48,若直線AB的傾斜角

ab

足兀,則c的離心率為________.

6

13.已知函數=6f+9x在x處取得極大值，在x=b處取得極小值，若在

［0,租］上的最大值為,則m的最大值為.

14.有6張卡片，正面分別寫有數字1,2,3,4,5,6,且背面均寫有數字7.先把這

些卡片正面朝上排成一排，且第左個位置上的卡片恰好寫有數字左.然后擲一顆均勻的骰子,

若點數為〃，則將第〃個位置上的卡片翻面并置于原處.進行上述實驗3次，發現卡片朝上

的數字之和為偶數，在這一條件下，計算骰子恰有一次點數為2的概率為.

四、解答題

15.為了了解高中學生語文與數學成績之間的聯系，從某學校獲取了400名學生的成績樣本,

試卷第2頁，共4頁

并將他們的數學和語文成績整理如表:

單位：人

語文成績

數學成績

不優秀優秀

不優秀18090

優秀5080

(1)依據夕=0.05的獨立性檢驗，能否認為學生的數學成績與語文成績有關聯？

(2)以頻率估計概率、從全市高中所有數學不優秀的學生中隨機抽取5人，設其中恰有X位

學生的語文成績優秀，求隨機變量X的分布列以及數學期望.

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

附：/=_______Mad_bc}_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

16.已知等軸雙曲線C的左右焦點分別為耳耳，經過點F?的直線與C的漸近線相交于點

M,N,點”的橫坐標為-1,N是線段與M的中點，經過點鳥的直線/與C相交于A8兩

點.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵當△ABg的面積為生叵時，求/的方程.

3

17.如圖，在等腰直角三角形A3C中，/C=90。，AB=6,。為A3的中點，RE分別為

AB,AC邊上一點，滿足AO=1,OE//OC.將AADE,ABOC分別沿著DE,OC翻折成

AA'DE,AB'OC,滿足A,夕在平面CODE的同一側，A力上面CODE,，面CODE.

B'

⑴證明：A',B',C,E共面；

⑵在線段B'C上是否存在一點尸(異于端點)，滿足EF//平面AOO8'?若存在，求出點尸

的位置；若不存在，請說明理由；

(3)在(2)的情況下，求直線CE與平面ODF所成角的正弦值.

18.已知。、beR,函數〃同=止-*一恁*+/?.

⑴若曲線y=〃尤)在(。,〃。))處的切線方程為y=2(x+l),求a+6的值；

(2)若函數/(%)在R上單調遞增，求。的取值范圍；

⑶若對VbeR,函數/(x)至多有兩個零點，求。的取值范圍.

攵=1

19.對任意給定的〃eN*,若有窮數列｛%｝滿足：(,=ZXK,4〃且加eN*)其中

fO,a,i

I..則稱該數列為“。數列

[1,ak=i

⑴當〃e｛l,2｝時，是否存在符合條件的“。數列”？若存在，請求出所有的符合條件的“。數

列“：若不存在，請說明理由：

(2)證明：(i)Oj+a2+o3H-----an=n-

(ii)當“27時，任意符合條件的“。數列”都滿足％22；

(3)當〃=20時,求出所有的“。數列”.

試卷第4頁，共4頁

《浙江省杭州市金麗衢十二校2024-2025學年高三下學期（3月）第二次聯考數學試題》參

考答案

題號12345678910

答案BCCABBBBACDABD

題號11

答案ACD

1.B

【分析】求出集合利用并集的定義可求得集合&UB.

［詳解］因為8=①€叫/＜4}=卜€岡一2＜無＜2}={0,1},A={1,2,3},

則4。3={0,1,2,3}.

故選：B.

2.C

【分析】求出向量工_刃的坐標，利用平面向量數量積的坐標運算可得出關于x的等式，解之

即可.

【詳解】因為向量商=（2x,3）,t=（2,0）,貝!］萬一石=（2x—2,3）,

所以,。）石=2（2%-2）=0,解得x=l.

故選：C.

3.C

【分析】由條件，結合復數除法法則求z的代數形式，再由復數的模的公式求結論.

【詳解】因為（l+i）z=2i,

2i2i(l)

所以z:；一二=l+i,

(l+i)(—)

所以=Jl2+12=A/2.

故選：C.

4.A

【分析】由條件確定圓錐的底面半徑和高，在利用圓錐的體積公式求結論.

【詳解】因為圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，

所以圓錐的底面半徑廠=2,高/I="_22=2技

答案第1頁，共19頁

2

所以圓錐的體積V=-nrh=-XTTX4X2A/3=8^無.

333

故選：A.

5.B

【分析】根據分段函數“X)的解析式求〃1),再求〃/⑴)即可.

【詳解】因為函數"X)/，”,

所以/⑴=lnl-l=-l,

所以/(/(-0)=/(-!)=_仁|=_]

故選：B.

6.B

[分析】設直線。力的交點為。，過直線b上異于點。的一點尸作平面a的垂線，設垂足為B,

7T

過點B作區垂足為A,連接承，由已知可得NPOA=4，APOB=^-6X,

根據平面與平面夾角定義可得由a，b確定的平面與平面a夾角為ZPAB,解三角形求夾角大

小.

【詳解】設直線。力的交點為0,過直線b上異于點。的一點尸作平面a的垂線，設垂足為3,

過點B作區4J_a,垂足為A,連接上4,如圖：

因為PBLa,所以02為直線6在平面。內的投影，

所以直線6與平面a所成角為/PO3,

7T

由已知NPO4=a，ZPOB=--0if

因為PB_La,aua,

所以尸3_La,又AB_La,PBcAB=B,尸氏ABu平面上鉆,

所以直線。4_L平面又R4u平面

所以R4J.0A,即PAJ_a,

所以由a,b確定的平面與平面a夾角為々45,

PB

在RtZkRAB中，sinZPAB=—

PA

9PB

在中，sinZP0B=—BPsin(--J

OP~OP"

答案第2頁，共19頁

pAPA

在Rt^POA中，sinZPOA=—,即sinq=—,

OP1OP

sin儼一q]

所以sin/PA8=￡g=S?人叱，

PAsinqsin01

又sinq=9，4e[o，S

5I，.

所以cos4=J-Sin2q=乎,所以sin/PA3=；,

jrTT

又NPABE0,-,所以NP45二一,

6

所以由。涉確定的平面與平面。夾角的大小為；

6

故選：B.

【分析】設直線A8的方程為y=；x+b,聯立方程組，結合設而不求法根據關系

|叫+囪=7可求6,再求|A尸忸川，|AB|,根據余弦定理求結論.

【詳解】拋物線f=4y的焦點尸的坐標為（0,1）,準線方程為y=-l,

設直線AB的方程為y=gx+6,

聯立<1,，消y可得d-2x-46=0,

y=—x+b

方程/一2無-46=0的判另lj式A=4+166>0,故

4

設A(X，yJ,3(%,%),不妨設％<%，

由已知無?,馬為方程V—2尤一4人=0的根,

所以無］+%=2,XjX2=-4b,

設點A,B在準線上的投影分別為A，Bt,

答案第3頁，共19頁

因為|AF|+忸同=|A411HB4|=7,所以％+1+%+1=7,

故—xl+b+—x2+b=5,所以b=2,

2

即尤］,x2為方程X-2X-8=0的根，

故玉=-2,X2=4,

所以|AF|=%+l=；X|+2+l=2,\BF\=

%+1=5%2+2+1=5,

5L\AB\=\x2-xj=3下,

|AF|2+|BF2-|AB|24+25-454

由余弦定理,cosZAFB=

2\AF\-BF\2x2x55

【分析】對于必要性，假設C是直角，利用誘導公式將等式轉化為關于一個角的三角函數

的關系，利用同角三角函數的平方關系可證等式成立，從而證明了必要性；對于非充分性,

構造函數/■（力=$抽24+$吩尤7皿4+”淇中0〈婦71-4利用導數研究單調性和極值，發

現當角A足夠小時是存在3個零點，每個零點都可以作為角B的值,所以A+3的值有三個，

存在不是直角的情況，從而否定充分性..

【詳解】第一步：檢驗必要性.

如果C是直角，那么A+B=90°.

此時，等式sin2A+sin23=sin（A+3）可變為sin?A+cos?4=1,這是成立的,

因此，如果C是直角，等式sin2A+sin2B=sin（A+B）成立;

第二步：驗證充分性.

答案第4頁，共19頁

若sin2A+sin2B=sin(A4-B),

構造函數〃x)=sin2A+sii?%-sin(A+x),其中0<x<7i-A.

則/'(x)=2sinxcosx-cos(A+x)=sin2x+sinx+A--

I2

(兀、

2x+x+A—兀、2%-x—AH—

2__________23A7i1A7T]

=2sincos=2sin-XH-----cos2x-7+4r

22224

77

記以〃=T%+g—；一^,貝U/z(x)=2sinucosv,

因為0<%<兀一4,所以4一二vr/<2—A,二一4兀-A,

244424

令((x)=0,得玉=.一1,/=；+4電=普一1，

63263

人71A71.57rA?.7T

令-----<—+A<------，解得Zl=t0<A<一,

632634

列表如下:

(O,xJ(不⑷（孫電）（毛，兀一A）

X0占x2x3兀一A

A71

U071

~2~4

3A

-71-A

71A71

V4

4-2~2

sinw-0+++0-

cosV+++0---

(⑺

-0+0-0+

-cosAf(X2)f(X2)2sin2A

/W減增減增

/Osin?A+sin2『f-sin]#m,/(%2)=1-cos2A>0,

答案第5頁，共19頁

22

/(x3)=sinA+sin^-^-sin[^+^,

當A-0時，/(%)--;，故存在Ae[o，T使得〃項)＜0,

而—A]=0'且不＜]一4＜七，從而函數“X)在(。,兀一A)上有3個零點，

每個零點都可以作為角B的值，

所以A+3的值有三個，存在不是直角的情況，

即存在角C不是直角的情況，所以充分性不成立.

綜上所述，“sin2A+sin2B=sin(A+3”是七為直角”必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】思路點睛：本題中非充分性的檢驗問題，一開始嘗試證明充分性，發現不能給出證

明，于是開始時嘗試舉反例來進行邏輯否定，例子常常很難找到，通常可以計算的例子都不

會成功的否定，需要極端情況下才能找到適合的例子,這里利用構造函數，利用導數探求是

否有多余1個的零點，從而說明原等式對于給定得角A,除了它的余角滿足等式，探索是否

其它得角滿足，從而確定是否必須是使得角C為直角.

9.ACD

【分析】由(I+2x)6=%+%%+HF4兀6利用賦值法求%，4+4+%+〃3+&+“5+。6,

判斷AD,利用二項式展開式通項公式求d項的系數判斷B,結合二項式展開式二項式系數

性質判斷C.

【詳解】因為(1+2%)=4+%%+2%2+...+〃6%6,

取1=0,可得〃0=1,A正確，

取x=1可得(1+2x1)=%+4+/+.?,+4，

所以。0+4+。2+/+。4+。5+。6=729,D正確,

二項式(1+2x)6的展開式的通項公式為幾1=域16一乂2》了，々=0,1,2,3,4,5,6,

取左=3可得，n=或(2x『=160，,

所以々3=160,B錯誤；

二項式(1+2x)6的所有二項式系數之和為c：+C"C；+C"C：+或+建=26=64,c正確;

故選：ACD.

答案第6頁，共19頁

10.ABD

【分析】根據正弦型函數的周期公式求函數/(x)的周期判斷A,化簡函數g(x)的解析式,

根據偶函數定義判斷B,求導，利用導數判斷函數g(x)在區間(0,3上單調的單調性，判

斷C,結合單調性求函數g(x)在0段上的值域，判斷D.

【詳解】因為/(x)=sin仔+x),

所以函數的最小正周期7=j=2兀，A正確;

因為g(x)=2〃x)/(-X)/x+-^

7171

所以g(x)=2sinsin：一x卜in—+x+—=2cos-x1sin「XCOSX,

444J

71

所以g(x)=sin——2xcosx=cos2xcosx,

2

函數g(x)的定義域為R,定義域關于原點對稱,

g(-x)=cos(-2x)cos(-x)=cos(2x)cosx=g(x),

所以函數g(x)是偶函數，B正確，

g'(%)=-2sin2xcosx-sinxcos2%=—sinx(4cos2%+cos2x)=-sinx(6cos2%—1),

當0<x<g時，令g'(x)=0,可得cosx=逅，設方程cosx=在的解為4，

,66

即cosa。=，0<<—,

62

當0<x<4時，止匕時sinx>0,6COS2X-1>0,

所以5(x)<0,所以函數g(x)在(0,盤)上單調遞減,

71

當當為<兀<5■時，止匕時sinx>0,6COS2X-1<0,

所以g'(x)>0,所以函數g(x)在，,鼻上單調遞增，C錯誤;

因為函數g(x)在(0,4)上單調遞減，在，,3上單調遞增，

其中cos6=,0<<—,

062

71兀八

X1g(0)=cos0cos0=l,gCOS71-COS—=0,

2

答案第7頁，共19頁

21八街

g(^)=cos(200)-cos0Q=(^2cos-l)cos^=

69

所以函數g(x)在0,|上的值域為-乎,1，D正確；

故選：ABD.

11.ACD

【分析】由已知得出的=2瓦,代入出+4=4可求出也,｝的公比,可判斷A選項；當〃23時，

分析數列[的單調性，比較會與1的大小，可判斷B選項；利用數列單調性的定義可判

b2〃T

斷C選項；求得二=—，結合放縮法可判斷D選項.

an?

【詳解】對于A選項，設等差數列｛q｝的公差為d,等比數列也,｝的公比為44>0),

由已知％=4，則4+4=。2=2々，則出+4=4=24+N，

即麗2=24+如，所以，q2-q-2=0,因為q>0,解得q=2,A對；

對于B選項，由題意可得=4，則氏=q+(〃T)d=哨，

…/=尸瓦,且4>o,所以，去=,，

nEIn+1n1-n

令Ac〃=尹，則與+i-。〃-一=

當此3時，c?+1-c?<0,即一<%,所以，數列｛1｝從第三項開始單調遞減，

3

當場23時，cn<c3=-<l,則%。包，故對任意的根N3且加EN*,4。或，B錯；

對于C選項，b“-皿=(23-加)瓦,令七=(2"7-加達，

對任意的〃eN,,xn+1-x?=[2"-4〃+1小-Qi-助兌=(2"T-勾片,

對任意的7<1,由于2"T22°=1，則玉+i-X"=(2"T-2)4>0,則x“+i>Z，

所以，對VX<1,數列也-形,｝為遞增數列，C對；

b2〃T

對于D選項，==——，

ann

答案第8頁，共19頁

Ca22223242526272829

則>/=1+—+——+——+—+——<1+1+2+2+4+6+10+16+29+52

1k2345678910

=123<150,D對.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：本題的BC選項，關鍵在于分析對應數列的單調性，結合單調性分析

數列各項知的變化，進而結合不等關系求解.

12.顯

3

【分析】由橢圓的幾何性質可得A,8坐標，結合條件列出方程可得2=3，再由離心率的

a3

公式代入計算，即可得到結果.

【詳解】由題意可得A(0,b),3(a,0),則直線AB的斜率為-：，

又直線的傾斜角為?兀，所以-2=tan37t=-3，

6Q63

即/=所以橢圓的離心率為e=，一=乎.

故答案為：漁

3

13.4

【分析】利用導數判斷函數/(尤)=城一6f+以的單調性，并確定再結合函數性質求優

的最大值.

【詳解】因為/(x)=》3-6f+9x,

所以八力=3f-12彳+9=3(彳-3)(1),

令/'(x)=0,可得尤=1或x=3,

當x<l時，函數“X)在(-雙1)上單調遞增，

當l<x<3時，/'(力<0,函數在(1,3)上單調遞減，

當x>3時，/'(x)>0,函數在(3,+。)上單調遞增，

所以當尤=1時，/(x)取極大值，當x=3時，函數/(%)取極小值，

所以〃=1,〃=3,故〃+/?=4,

答案第9頁，共19頁

又〃。)=。，"1)=4,"3)=0,

當%>3時，令/(%)=%3-6%2+9%=4可得，

d—4Y—2*+9無—4=0,

所以f(%—4)-(2x-1)(x-4)=0,

故(％2—2%+1乂%—4)=0,解得兀=1(舍去)或九=4,

所以加的最大值為4.

故答案為：4.

14.上

36

【分析】根據條件分析試驗前后卡片朝上的數字之和的變化情況，設事件3次試驗后，卡片

朝上的數字之和為偶數為A,事件三次試驗中拋擲骰子所得點數恰有一次為2為8,A,表示

第i次試驗中拋擲骰子所得點數為偶數，設G表示第i次試驗中拋擲骰子所得點數為4或6,

設D表示第i次試驗中拋擲骰子所得點數為2,，=1,2,3,利用事件A,C?。表示事件\,AB,

利用概率公式求概率，結合條件概率公式求結論.

【詳解】由已知，試驗前卡片朝上的數字之和為1+2+3+4+5+6=21,數字之和為奇數，

若拋擲骰子所得點數為奇數，則試驗后卡片朝上的數字之和仍然為奇數，

若拋擲骰子所得點數為偶數，則試驗后卡片朝上的數字之和變為偶數，

所以事件進行3次實驗后卡片朝上的數字之和為偶數，等于事件三次試驗中拋擲骰子所得點

數有一次為偶數，余下兩次為奇數，或三次試驗中拋擲骰子所得點數都為偶數，

設事件3次試驗后，卡片朝上的數字之和為偶數為A,

設事件三次試驗中拋擲骰子所得點數恰有一次為2為B,

記A表示第i次試驗中拋擲骰子所得點數為偶數，，=1,2,3,則尸(A)=g,

設C,表示第，次試驗中拋擲骰子所得點數為4或6,i=l,2,3,則尸(￡)=；,

設。表示第，?次試驗中拋擲骰子所得點數為2,i=1,2,3,則尸屹

所以A=A4A+444+444+444

答案第10頁，共19頁

事件A3表示三次試驗中有一次骰子的點數為2,另兩次的點數為奇數或三次試驗中有一次

骰子的點數為2,另兩次的點數為偶數4或6,

AB—D[C2c3++A4A+4024+4

2

所以P(AB)=C；gI

所以尸/(?引、力P(=A木B)213

36

13

故答案為：—.

36

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于確定試驗前后卡片上的數字和的變化與拋擲的骰

子的點數的關系.

15.(1)依據。=0.05的獨立性檢驗，可認為學生的數學成績與語文成績有關聯；

⑵分布列見解析，￡(X)=|.

【分析】(1)提出零假設學生的數學成績與語文無關，計算彳2,比較其與臨界值的大小，

由此確定結論；

(2)確定X的可能取值，結合二項分布定義判斷乂~81,￡],根據二項分布概率公式求取

各值的概率，由此可得其分布列，再由二項分布期望公式求期望.

【詳解】(1)零假設名為：學生的數學成績與語文無關,

400(180x80-90x50)2145200

由題/=28.566>3.841，

270x130x230x1705083

所以依據。=0.05的獨立性檢驗，推斷零假設”。不成立，即認為學生的數學成績與語文成

績有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于5%.

(2)由題意可知數學不優秀的學生中語文成績優秀的概率為7=

1X0+903

隨機變量X的取值有0,1,2,3,4,5,由已知X~B[5,,

尸(x=l)=c；

端80尸(X=3)=C；I

243

答案第11頁，共19頁

2]=黑尸(x=5)=G

尸(X=4)=C：II

所以隨機變量X的分布列為

X012345

32808040101

P

243243243243243243

所以隨機變量X的數學期望儀X)=5x；=：

16.(1)X2-/=2

⑵%+2y+2=0或%—2y+2=0.

【分析】(1)設雙曲線方程為好-V=/，求耳月的坐標，求雙曲線的漸近線方程，討論M

的位置，求點的坐標，列方程求。，由此可得結論；

(2)設/的方程為彳=沙-2,聯立方程組，結合設而不求法表示8的面積，列方程求I

可得結論.

【詳解】(1)因為雙曲線C為等軸雙曲線，故可設雙曲線方程為d->2=/,

則耳鳥(J5a,0),

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x,

若點M在漸近線>=一不上，則故N四封，5，

代入漸近線y=x,可得a=&,

所以雙曲線C的方程為f-9=2,

若點M在漸近線y=x上，則知(-1,-1),故N士產,-不

代入漸近線y=-無，可得a=夜，

答案第12頁，共19頁

所以雙曲線C的方程為Y-必=2,

故雙曲線方程為尤2-丁=2.

(2)由題直線/不與y軸垂直，不妨設/的方程為》="-2,

聯立'消x可得1_1)/_4什+2=0,

由己知產一130,4=16產一802-1)=8產+8>0,

設8(孫力)，

由己知％,必為方程(r-1)/-的+2=0的根，

4/2

所以y+

所以|A8|=Jl+/I%-X|=Jl+葉｛(%+%)2-4%為=J1+/

4

又點取到直線/的距離d=~^==,

所以AABF?的面積S=JAB|.d==上乎，

2FT|3

所以方=±2,

所以直線/的方程為％+2y+2=0或%—2y+2=0.

17.(1)證明見解析；

⑵證明見解析；

(3)直線CE與平面0。/所成角的正弦值為半.

AF1AA'1

【分析】(1)延長OD,CE相交于點A,證明:二=彳，再證明AE/AB'C,由此

AC3AD3

可證A,2,C,E共面；

答案第13頁，共19頁

(2)先證明A'。//平面B'OC,OE〃平面3'OC,根據面面平行判定定理證明平面A'￡>E〃

平面B'OC,取B'C上靠近B,的三等分點F,根據線面平行判定定理證明EF//平面A'DOB'；

(3)作廠與。下相交于點證明平面。4尸，根據線面角定義可得NC4H就

是直線CE與平面0。廠所成角，解三角形求角的正弦值.

【詳解】(1)延長OD,CE相交于點A,

因為AB=6,。為AB的中點，

故AO=BO=3,又AD=1,所以AD=gAO,

Ap1

又DEIIOC,所以正=三，

因為A'DJ_平面CODE,八平面CODE,

所以AO/AB'O,

而AD=』B'O,AD=-AO,

33

所以^AAD?AS'AO,故ZAAD=ZB'AO,

AAr1

故A,A',?共線，且竽；=：,

AB'3

AF1

又工7=￡，所以AE〃？C,

21J

（2）由（1）AD//B'O,又3'Ou平面B'OC,A'Oo平面B'OC,

所以A'￡>〃平面B'OC,

因為DE//OC,又OCu平面B'OC,DEu平面夕OC,

所以DE〃平面3'OC,又A，DCED=D,A'。,EDu平面A^E,

所以平面A'DE//平面B'OC,

由（1）KEIIBC,取3'C上靠近B'的三等分點F,

則=BN,又XEIIBF,

答案第14頁，共19頁

所以四邊形AB'EF為平行四邊形,

，，

所以EF〃AE,EFo平面ADO?,ABC=^DOB',

所以EF//平面ADOF',

B'

C

(3)由(2)可得直線CE與平面QD/所成角即為直線AC與。4歹所成角,

作CHLOF與OF相交于點H.

由八平面CODE,OAu平面CODE,可得3'0J_0A,

又COLOA,B'O^CO=O,?。,COu平面。gC,

所以Q4L平面03'C,又CHu平面03'C,

所以。4_LCH,又CHLOF,OA[}OF=O,。4,。尸匚平面。4尸,

所以CH_L平面。4斤，

所以直線C4在平面OAF上的投影為AH,

所以ZCAH就是直線AC與平面OAF所成角,

在AFOC中，CO=3,CF=1732+32=272,ZFCO=45°,

所以<9尸=VCO2+CF--ICO-CF-cos450=也，

”2x—CF-sin45cCO公￡

所以CH=2s.Foe=」_____________=蛀_，

OFOF5

在VCH4中，CH±AH,AC=3及,

所—安哈依用

所以直線CE與平面OOP所成角的正弦值為巫

5

答案第15頁，共19頁

18.(1)0

⑵卜時?]

(3)卜8,--]u[0,+°0)

f/(O)=2

【分析】(1)由導數的幾何意義可得出=可求出。、6的值，即可得解；

(2)由已知得出((左)?0對任意的xeR,參變量分離得出。4討，利用導數求出函數

g(無)=M的最小值，由此可得出實數0的取值范圍；

(3)對實數。的取值進行分類討論，利用導數分析函數“X)的單調性，結合函數“X)的

零點個數可得出實數。的取值范圍.

【詳解】(1)因為〃力=氏-，祀'+6,則/'("=(1—力0--aex,

由題意可得/(0)=》-4=2,r(O)=l-a=2,

角畢得〃=—1,b=l,故a+b=0.

1—x

(2)由題意可知，對任意的xeR,//(x)=(1-x)eTx-aex>0,可得建丁,

e"

令g⑺”則g，⑺=

Qa

由g[x)<0可得x<；,由g1x)>0可得

所以，函數g(x)的減區間為增區間為

/、I-3

所以,Hg(x)一且僅=<=-二，

v7min612)e32e3

因此，實數。的取值范圍是[應一-.

答案第16頁，共19頁

（3）由（2）得，當aV-萬[時，函數〃尤）在R上單調遞增，

則函數〃x）至多一個零點，符合題意；

當x<l時，g（x）=、^>0,當x>l時，g（無）=、^<0,且廣（x）=e、'[L^-a

eeIe

當aNO時，r（x）>0na<g（x）,作圖所示：

由圖可知，存在％VI,使得8（%）=4,

且當x<x0時，/(%)>0,當%>小時,/(x)<0,

所以，函數〃x）在區間（-叫用）上單調遞增，在區間優,+旬上單調遞減,

所以，對VbeR,函數/'（x）至多有兩個零點，符合題意;

當時，函數g（x）=a有兩個零點，

設兩個零點分別為4、吃（不<無?），

當x<X］或x>9,/,(x)>0,當占<x<%時，/'(x)<0,

所以，函數的增區間為（一》,不）、（卷+力），減區間為（占,々），

所以，函數/（元）的極大值為了（再），極小值為了（馬），

且當Xf-8時，“力――啊當x—+8時，”力—+以

/(占)<。

故當時,即當ae*—<b<巧-xe-%2時,

"Z)>。2

函數/（無）有三個零點，不合題意.

綜上所述，實數。的取值范圍是-