重難點03圓相關解答題

明考情?知方向

從2021年至2024年，北京中考數學的圓綜合題逐漸趨于復雜化和多樣化。例如，2021年的圓綜合題注重

基礎知識點的應用，而2024年的題目則更加注重創新和綜合性。未來，考生需關注新定義題型和幾何壓軸

題的變化趨勢，提前做好針對性準備。北京中考數學2021年至2024年的圓解答題特點主要體現在難度提

升、知識點綜合性和解題技巧的多樣化上。考生需在備考中注重基礎知識的鞏固、解題技巧的靈活運用以

及綜合能力的培養，以應對逐年增加的考試難度和復雜性。

熱點題型解讀

-4題型1垂徑定理

題型2切線的判定與性質

【題型1垂徑定理】

考查了垂徑定理，同弧或等弧所對的弦長相等，直徑所對的圓周角為直角，相似三角形的判定與性質，

勾股定理等知識.熟練掌握垂徑定理，同弧或等弧所對的弦長相等，直徑所對的圓周角為直角，相似三

角形的判定與性質，勾股定理是解題的關鍵.

1.（2024年北京市北京師范大學附屬實驗中學分校中考二模）如圖，48為。。的直徑，弦。，于點

H,OO的切線與胡的延長線交于點￡,AF〃CE,Z/與O。的交點為足

⑴求證：AF=CD；

⑵若。。的半徑為6,AH=2OH,求4E的長.

【答案】（1）證明見解析；

（2）4E的長為12.

【詳解】（1）解：連接NC、oaBC,則。。=。4,

???CE與。。相切于點C,

.-.CE1OC,

V48為。。的直徑，

；"OCE=/ACB=90。,

：.ZACE+ZOCA=90°9ZB+ZOAC=90°9

???NOCA=NOAC,

ZACE=/B,

AF//CE9

：.NCAF=ZACE=ZB,

-'-CF=AC,

-CD-LAB,

-AD=AC^

-CF=AD^

-AF=CF+AC=AD+AC=CD^

AF=CD.

(2)解：?.?。。的半徑為6,AH=2OH,

/.OC=OA=2OH+OH=6,

,-.OH=2,

???ZOHC=ZOCE=90°f

OH

—=cosZCOE

~OCOE

PC262_

???OE=18

~OH2

：.AE=OE-OA=\8-6=12,

.??/￡的長為12.

2.(北京市人民大學附屬中學2023-2024學年九年級上學期月考)如圖，42是。。的直徑，點E是的

中點，過點￡作弦CD1/3,連接NC,AD.

(1)求證：A/CD是等邊三角形；

(2)若點尸是就的中點，過點C作CG，/尸，垂足為點G.若。。的半徑為2,求CG的長.

【答案】①見解析

⑵3

【詳解】(1)證明：如圖，連接。C,

/BAC=ZBAD,

48是CD的垂直平分線，

AC=AD,

?.?0C=08,點￡是08的中點,

???點C在線段OB的垂直平分線上，OE=BE=goB=；OC,

?,「八廠OE1

RbCOE中，cos/COE-----——,

OC2

即ZCOE=60°,

BC=BD^

/.ABAD=ABAC=-/COE=30°,

2

即ACAD=/BAC+/BAD=60°

.?.△/CO是等邊三角形.

(2)解：由(1)得，是等邊三角形,

ZADC=60°,

?"是死的中點，

,CF=-AC,

2

/FAC=-ZADC=30°=ABAC,

2

vCDVAB,CGLAF,

ZAEC=ZAGC=90°,

在△4￡C和△ZGC中，

ZAEC=ZAGC

<NGAC=NEAC,

AC=AC

.?.△/E3"GC(AAS),

CG=CE,

?.?。。半徑為2,且點￡是。8中點，

OC=OB=2fOE=1,

???RMCOE中，CE=>]OC2-OE2=V22-l2=5/3，

；.CG=CE=C.

3.（北京市海淀區H■一學校2024-2025學年九年級上學期開學）如圖，N3是。。的直徑，CD是。。的弦,

CDL4B于點E,點尸在上且CF=CA,連接4月.

⑴求證：AF=CD；

(2)連接8/，BD.若AE=2,BF=6,求8。的長.

【答案】⑴詳見解析

(2)475

【詳解】(1)證明：r/B是。。的直徑，CDLAB,

--AD=AC.

又???CF=AC,

^CF=AC=AD.

-.AF=CD.

.?.AF=CD.

(2)解：如圖，連接。C,連接。尸，

A

設OO的半徑為x,

v是OO的直徑,

.?./ZFB=90。，

vCF=G4,

/.OCLAF,

OC//BFf

???N1=N2,

又???/CEO=/AFB=90°,

△CEOs-FB,

COOE口%x-2

一=一,BPn—=-----.

ABBF2x6

解得x=5,

；.OE=OA-AE=3,BE=AB-AE=S,

由勾股定理得，CE=J0c2一。￡2

是。。的直徑，CDVAB,

：.DE=CE=4,

由勾股定理得，BD=yjDE2+BE2=475)

.?.2。的長為4vL

4.（2024?北京通州?一模）如圖，為。。的直徑，過點/作。。的切線4W,C是半圓48上一點（不

與點/、8重合），連結/C,過點C作CDL48于點E,連接AD并延長交于點?

（1）求證：ZCAB=ZAFB：

（2）若。。的半徑為5,NC=8,求。尸的長.

【答案】（1）證明見解析

32

（^DF=—

【詳解】（1）證明：???/〃■是。。的切線，

ZBAM=90°,

?.?。。1.48于點￡,

ZCEA=90°,

CD//AF,

ZCDB=ZAFB,

ZCDB=ZCAB,

ZCAB=ZAFB.

AB是。。的直徑,

23是CD的垂直平分線,

AC=AD=8,

???。。的半徑為5,

/./3=10,

：.BD=6,

???ZB是。。的直徑,

/.ABDA=90°,

/./BAD=ZAFB,

/.tanZ.BAD=tanZAFB,

.AD_BD

,而一罰’

AD2=DF?BD,

32

二.DF=—.

5.(北京市首都師范大學第二附屬中學2022-2023學年九年級數學上學期期中)如圖，為。。的直徑，CD

為弦，CD工AB于點、E,連接。。并延長交。。于點尸，連接，尸交于點G,CG=AGf連接

⑴求證：AC//DF；

(2)若48=12,求4C和G。的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)/C=6,G0=4百

【詳解】(1)證明：???CG=/G,

NCAG=/ACG,

?；/AFD=/ACD,

ZAFD=ZCAGf

?.AC//DF；

(2)解：-AB=U,

/.OD=OA=—AB=6,DF=12,

2

VCD1AB,

：,CE=DE,

AC//DF,

:?ZACE=/ODE,

在△ZCE和△ODE中,

/ACE=ZODE

<CE=DE,

ZAEC=ZOED=90°

“ACE%ODE(ASA)f

AC=OD=6,AE=OE=g(24=3,

根據勾股定理可得：CE=YJAC2-AE2=373>

貝！］CD=6百，

-/ZACG=ZGFD,ZCAG=ZGDF,

AACGS^DFG,

AG_AC6_1

'DG~~DF~11~2，

???CG=AG,

AGCG1刖〃

/.-----=-----=——，即DG=2CG,

DGDF2

■,DG=-DC=4y/3.

3

【題型2切線的判定與性質】

考查切線的判定與性質、圓周角定理、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角i

形的性質、平行線的性質、矩形的判定和性質、勾股定理、切線長定理等知識的綜合應用，熟練掌握相|

關知識的聯系與性質是解答的關鍵.

無奈海派:稹擬預涮5而囪「茄昊65函場HI場百為'7一益一層6。的核丁近百方祚下1方，0,

交。。于點C,連接/c,過點C作。〃N8,交AD于點D.連接工。并延長交8c于點〃，交過點C的

直線于點P,S.ZBCP=ZACD.

⑴判斷直線PC與。。的位置關系，并說明理由;

(2)若N8=9,BC=6,求尸C的長.

【答案】(1)相切，理由見解析

(2)PC=-

【詳解】(1)解：相切；理由如下：

連接OC,

???AD為切線，

APLAD

vBC//AD,

???AP上BC,即Z尸垂直平分BC,

/.AP^^ZBAC,BPZBAC=2ZOAC,

???04=。。，

???ZOAC=ZOCA,

/.ZPOC=2ZOAC9

??.ABAC=ZPOC,

vCD//AB,

ABAC=ZACD,

vABCP=ZACD,ABAC=ZPOC,

/.ZBCP=ZP0C,

vZPOC+ZOCM=90°,

：.ZBCP+ZOCM=90°,

即OC1.PC,

???直線尸C與OO相切；

(2)解：???義尸垂直平分3C,

：.AC=AB=9,CM=-BC=3,

2

在RtZXZMC中，由勾股定理得：AM=4AC1-CM1=781-9=6V2;

設圓半徑為片貝U(W=Z〃-04=6后-廠，

在RMOMC中，由勾股定理得：(6后-尸了+3?=/,

解得：〃二空1,

8

???C)M=6V2-r=^^;

8

ZOMC=NOCP=90°,ZMOC=乙COP,

；.AOMCsAOCP,

OMCM

"~OC~~PC'

7.（2022?北京海淀?模擬預測）如圖，在中，ZC=90°,以NC為直徑的。。交48于點。，點。

為C4延長線上一點，延長。。交5c于點P,連接OD,NADQ=；NDOQ.

⑴求證：尸。是的切線；

（2）若1Q=/C,/。=6時，求2尸的長.

【答案】⑴見解析

?BP=3指

【詳解】（1）證明：連接DC,

ZDCA=-ZDOA,

2

?/ZADQ=^ZDOQf

：.ZDCA=ZADQ,

??,直徑4。,

/.ZADC=90°,

...ZDCA+ZDAC=90°,

???ZADQ+ADAC=90°,/ADO=ADAC,

：.ZADQ+ZADO=90°,

DP是O。的切線；

(2)解：???NC=90。，OC為半徑，

???尸C是OO的切線，

PD=PC,

連接。P,

B

：.ZDPO=ZCPO,

???OP1CD,

OP//AD,

vAQ=AC=2OA,

.0/_-Q_2

一~QO~~OP~3f

AD=6,

OP=9,

0P是△NC8的中位線，

AB=18,BD=AB-AD=U,

■：CDLAB,ZC=W0,

叱=2/8=216

BC=676

BP=3指

8.(2023年北京二中教育集團中考模擬)如圖，為。。的直徑，BC為弦，射線與。。相切于點力,

過點。作。。〃8c交于點。，連接。C.

(2)過點8作BE，23交。C的延長線于點E,連接NC交。。于點尸.若48=12,BE=4,求/月的長.

【答案】(1)見解析

加18而

⑷-----

13

【詳解】(1)解：連接。。，

???射線與OO相切于點4

/.ADA0=9Q°,

???OC=OB,

??.ZOCB=ZOBC,

-OD//BC,

；,/AOD=/OBC,ZCOD=ZOCB,

；"AOD=/COD,又OA=OC,OD=OD,

.,.△/CD包COQ(SAS),

ZDCO=ZDAO=90°,又OC為G)O的半徑，

(2)解：如圖，過E作￡〃_L4O于"，則NEHA=NHAB=NABE=90。,

???四邊形4MH是矩形，

EH=AB=12,AH=BE=4,

設40=x,則。〃=x—4

???BELAB,

.?.BE與(DO相切，又射線闋1與。。相切于點/,。。是OO的切線,

：.CD=AD=x,CE=BE=4,

DE=x+4,

在RtADHE中，由勾股定理得(X-4)2+122=(X+4)2,

解得x=9,即AD=9,

在RM/OD,由勾股定理得OD=JacP+of=的?+62=3屈，

■,■ZACB=90°,OD//BC,

：.AAFO=ZACB=AOAD=90°,又ZAOF=NDO4,

"OFsaOA,

AFOAAF_6

而二而‘即nn方=近

解得/尸=竺叵

13

9.（2022?北京海淀?三模）如圖，△ABC中N5=/C,4D平分/BAC交BC于D,以4D為直徑的。。交

48于點￡,交4c于點F.

（1）求證：3。是。。切線；

⑵連接斯交。。與G、連接20交E尸于P,連接PC,若。。的半徑為5,OG=3,求GE和尸C的長.

【答案】（1）見解析

（2）4,2a

【詳解】（1）證明：:AB=AC,4D平分/B4C交BC于D,

AD1BC,

???4D是。。的直徑，

二班是。。切線；

（2）解：連接。￡、DE、DF,過P作尸”_L8。于如下圖，

???是。。的直徑,

NAED=ZAFD=90°,

AD平分/歷1C,

NEAD=NFAD,

:.DE=DF,

:AD=AD,

^ADERtA^Z)F(HL),

AE=AF,

AD工EF,

???。。的半徑為5,OG=3,

/.EG=^-32=4,

vADIBC,

：.EF〃BC,

.,.△AEG?Z\ABD,

EGAG45+3

——=——,n即n——=----,

BDADBD10

/.BD=5,

BC=2BD=\b,

???ZPGD=ZHDG=ZDHP=90°,

，四邊形PG。”是矩形，

：.PH=DG=5—3=2,PH〃GD,

/.ZBPH=/BOD,

-OD=BD=5,

ZBOD=ZOBD=45°,

:.ZBPH=ZOBD=45°,

/.BH=PH=2,

:.CH=BC-BH=S,

在RUPHC中，由勾股定理得pc=ylcH2+PH2=2V17-

10.（2022?北京石景山?一模）如圖，為。。的直徑，C,。為上兩點，BD=AD，連接NC,BC,

AD,BD,過點。作。交C8的延長線于點￡.

（1）求證：直線DE是。。的切線；

⑵若48=10,BC=6,求40,5E的長.

【答案】①見解析

l25

（2）AD=5y[2>BE..

【詳解】（1）證明：連接。。

???/8為。。的直徑，點。是半圓的中點,

1

：.Z-AOD^~/-AOB=90°,

2

■：DEUB,

.?ZO￡>E=90°,

??,ODLDE,

???直線DE是O。的切線；

（2）解：連接CD,

■■-AB為。。的直徑,

；.UDB=UCB=90°,

'-BD=AD，

；.DB二AD,

.7BD是等腰直角三角形，

-AB=10,

.-.^Z)=10sinz^5D=10sin45o=10x—=572，

2

???715=10,BC=6,

C=yl\Q2-62=8,

???四邊形ACBD是圓內接四邊形，

.-.zG4Z>+zC5D=180°,

??,3BE+乙CBD"8b,

.ZCAD=〃)BE,

由(1)矢口乙4。￡)二90。，4050=45°,

???乙4CD=45°,

-DEUB,

：?乙BDE=(OBD=45°,

?，-Z-ACD=Z.BDE,

???AACDFBDE,

ACAD

,?茄一瓦’

8_572

AS/2=1F,

解得：BE=259.

4

【題型3圓的內接四邊形】

考查圓內接四邊形性質，同弧所對圓周角性質，垂徑定理，弧弦圓周角關系，弦等弦心距相等，三角形|

全等判定與性質，三角形相似判定與性質，等腰直角三角形判定與性質，勾股定理，線段和差，本題難i

度大，涉及知識多，圖形復雜，利用輔助線畫出準確圖形，以及將條件轉移是解題關鍵.

11.(北京市清華大學附屬中學2023-2024學年九年級下學期月考)已知，四宓形/BCD用。。Q而接四邊

形，BD、/C相交于點E,AB=AC.

(1)如圖1,求證：2ZADB+NCDB=180。；

(2)如圖2,過點C作CFL/8于點「交BD于點、G,當/D8C=45。時，求證：CE=CG-

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接/O并延長交8。于點“，當AE=CE,〃G=3時，求O"的長.

【答案】

(1)證明見詳解；(2)見詳解；(3)OH=V2.

【詳解】(1)證明：???/3=/。，

：&CB=UBC,

「四邊形ABCD為圓內接四邊形，

山。C+乙480180°,

???￡ADB=ACB,

-t-Z.ADB=Z.ABC,

,:UDC=^CDB+UDB,

：?ADC+ABC=CCDB+UDB+AADB=CCDB+2UDB=180°,

???2/405+NO)5=180。；

(2)證明：過點。作CN1O8,交.BD于N,交于

-ZDBC=45°

CB"8b-乙CNB"BC=45°,

，乙MCB=cDBC=45°,

-MB=DC

?：AB二AC,

-AB=AC

?-AD=AM

???Z-ACM=乙DBA

.ZCNG=CGFB,小GCsFGB,

:?^NCG=180°-乙CNG-^GCulBO。-乙GFB乜FGB=幺GBF=4CN,

在和△CGN中

ZENC=ZGNC

<CN=CN

ZECN=ZGCN

心CEN以CGN(ASA),

：,CE二CG;

(3)解：過C作CP〃4H交BD于P,連結/尸，連結OE,連結CH,延長4。交5。于0,過。作。

于河，

???￡為ZC中點，為弦心距，

???OELAC,

?：AB二AC,

：.OE=OM,

??AQ平分4C45,

.'.AQ1BC,

???CQ=BQ,點H在40上，

：,CH=BH,

,叱DBC=45-

(HCB=(DBC=45°,

.ZCHB=180°YHCBYDBC=90°,

:CHLBD,

?：CE=CG,

；,EH二GH=3,

,:CP”AH,

???乙PCE=乙HAE,

在△尸C￡和△H4E中，

"NPCE=ZHAE

<NPEC=NHEA,

CE=AE

?.APCE^AHAE(AAS),

：,PE=HE=3,

?：PE=HE,CE=AE,

???四邊形PAHC為平行四邊形，

；.AP=CH,乙4PHscHP=9。。,

4HQ慶90。，

???N0HS=18O°-z7ffi0-N〃0B=18O°-9O°-45°=45°,

:,乙PHA=乙。HB=45°,

???乙4P〃二90。，

???乙巴4〃=90°"7￡4=90°-45°=45°,

；/PAH=乙PHA=45°,

；?AAPH為等腰直角三角形，

?；PH二PE+EH=6,

:,AP=PH=6,

在RtAP/“中，AH=^AP2+PH2=V62+62=672

?：HB=CH=6,乙CHB=9b,BC=而耳茄萬=行春7=6收，

*',CQ=BQ=3^2，

在RtAEHC中EC=y]cH2+EH2=762+32=375，

???AC=2CE=6非,AE=CE=3也，

在Rt—△。中我他仁—位=小肩一(30二9日，

?:乙EAO=乙QAC,^AEO=^AQC=90°

??,AAEO-AAQC,

AEAOB|[375_AO

??.瓦一就''南y

解得4。=5VL

OH=AH-AO=6拒-5后=亞.

12.（北京市第八中學2020-2021學年九年級上學期期中）已知四邊形內接于OO,ZDAB=900.

nn

圖1圖2

(1)如圖1,連接50,若。。的半徑為6,AD=AB,求的長：

(2)如圖2,連接NC,若/。=5,43=3,對角線NC平分4D4B,求NC的長.

【答案】①6收

(2)/C=4也

【詳解】(1)解：???ND48=90。，

二班是直徑，

???。。的半徑為6,

:.BD=12.

在中，由勾股定理，wAD2+AB2=BD2?

AD=AB

-2/152=144-

AB=6垃;

BD=yjAD-+AB2=V34.

■：ACDAB,

ADAC=/CAB=45°,

DC=BC，

DC=CB.

?.?四邊形/BCD內接于OO,NDAB=90°,

NDCB=90°,

在RtZ\D8C中，由根據勾股定理，得CD2+BC?=BD?,

■-IBC1=34,

??.BC=Vn.

???ZG45=45°,

AAHB是等腰直角三角形，

同理可得==g也.

在RtASC“中，CH=ylBC2-BH2=1V2,

AC=AH+CH=472.

13.(北京市燕山區2023-2024學年九年級上學期期末)已知四邊形內接于以3c為直徑的。。，A

(2)求證：PAPD=PBPC-

⑶過點。作的垂線交PD的延長線于點E,當PB=BO,CD=18時，求。E的長.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶迤

2

【詳解】(1)證明：連接AD,交。4于點?

,?Z為弧5。中點，，

AB=AD，

/.OA1BD,

OA//CD；

(2)證明：???四邊形/BCD內接于以3C為直徑的。

ZABC+ZPDC=1^0,

???ZABC+ZABP=1^0°,

/.AABP=APDC,

,/P=/P,

△ABPsq)P,

PA_PB

?正—訪‘

.PAPD=PBPC；

(3)解：-OF//CD,

.ABOFsABCD,

OFBO

.布一旅—5'

:.0F=9,

?「OA//CD

"POs△。尸。,

PB=BO=OC,

?6M_OP2

''CD~~CP~1，

:.OA=12,

，AF=OA-OF=3；

?/BC=2OA=24,

BD=^BC2-DC2=677,

:.DF=LBD=3手,

2

-AD=1DF?+AF?=6>/2；

?.?NAFD=/DEC=90。,

\'OA\\DC,

/FAD=ZCDE,

:.AAFDsaEC,

DEAF.DE_3

---=---,即-------7=

DCAD186V2

.2972

…DE=------.

2

14.（北京市十一學校2023~2024學年九年級下學期月考）如圖，圓內接四邊形/BCD的對角線/C,BD交

于點E,BD平分■N4BC,ABAC=ZADB.

(1)求證：DB平分/ADC,并求/24D的大小；

(2)過點N作//〃。交C2的延長線于點凡若AC=AD,BF=3,求此圓半徑的長.

【答案】⑴見解析，90°

(2)6

【詳解】(1)證明：=

■■AB=BC>

NADB=ZCDB,即D3平分ZADC.

2D平分NABC,

ZABD=ZCBD,

N4BD,NCB。所對弧對的圓心角相等，

則有介=①，

■■AB+Ab=BC+cb>WBAD=BCD-

.?.8。是圓的直徑，

ABAD=90°.

(2)解：???N84D=90°,AF//CD,

.?,ZF+ZSCD=180°,

???3。是圓的直徑，

/BCD=90°

NF=90°.

■■AD=CD>

AD=DC.

■：AC=AD,

AC=AD=CD,

???△4DC是等邊三角形,

??.ZADC=60°.

?；DB平分NADC,

??,/CDB=—/ADC=30。.

2

???助是圓的直徑，

：.BC=-BD.

2

???四邊形/5CZ）是圓內接四邊形，

??.ZADC+ZABC=180°f

ZABC=120°f

.?.ZFBA=60°,

??.ZFAB=90°-60°=30°f

：.FB=-AC.

2

?:BF=3,

AB=6,

：.BD=2BC=2AB=\2.

???8。是圓的直徑，

.??半徑的長為:8。=6.

15.（北京二中教育集團2022—2023學年九年級上學期期中）如圖，四邊形N8C。內接于,

ZC=2AA,是。。的直徑，連接20.

⑴求//的度數;

⑵若。。直徑為4,求8。的長.

【答案】⑴乙4=60°

(2)26

【詳解】(1)???四邊形/BCD內接于。。,

ZC+ZA=180°,

-AC=2ZA,

ZA=60°；

(2)連接BE,

由圓周角定理得：ZBED=ZA=60°,

是。。的直徑，

ZEBD=90°,

■.ZBDE=90°-60°=30°,

.-.BE=-DE=-x4=2

22

BD=4DE1-BE1=273.

【題型4圓與三角形函數綜合】

考查了圓周角定理，垂徑定理，三角函數，勾股定理，相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是正確的i

作出輔助線；部分題目除需掌握三角函數定義外還需掌握特殊三角函數值。

16.(北京首都師范大學附屬中學2024—2025學年下學期九年級開學)如函，AB是OOM直徑，舌

上，/A4c的平分線交。。于點。，交BC于點、H,過點。的直線跖〃8C,分別交/C的延長線于

點E,F.

(1)求證：直線所是。。的切線；

310

(2)若sin//3C=w，BE=—,求BC和AH■的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵3c=8,AH=?>45

【詳解】(1)證明：如圖，連接

OA=OD,

ZOAD=ZODA.

???AD平分NBAC,

;?/OAD=/DAC,

??.ZODA=ADAC,

：,AC//ODf

??./ODE=/F.

???45是OO的直徑，

：,ZACB=90°.

???EF//BC,

ZF=/ACB=NODE=90°,

即OD工EF,

.??直線即是。。的切線；

設。。的半徑為r,貝lJOE=r+§.

■：EF//BC,

/ABC=/E.

3

smZABC=~,

在Rt/\OED中，sinNE=----=一,

OE5

r_3

即二^二5，

r-\----

3

解得r=5,

25

.'.OD=5,OE=—9AB=10,

.?./E=T，根據勾股定理，得DE￡OE2-OD2

vsinZABC=—AF3

ABAE5

：.AC=6,AF=S.

根據勾股定理，nBC=^AB2-AC2=S,EF=^AE2-AF2=—.

??.DF=EF—DE=4,

根據勾股定理，AD=ylAF2+DF2=4V5?

-CH\\DF,

AHAC

~AD~^4F

AH6

即法直

解得/”=36.

17.（2024年北京市燕山地區中考二模）如圖，。。為四邊形ABC。的外接圓，BD平分/ABC,OC1BD

于點瓦

⑴求證：AD=BC；

3

(2)延長CO交。。于點R連接/尸，若4)=5,smZCBD=~,求/尸的長.

【答案】⑴見解析

⑵2

3

【詳解】(1)證明：???8。平分

??.NABD=ZCBD,

,0,AD=CD，

???OC1BDf

:.BC=CD^

-BC=AD^

AD=BC；

(2)解：如圖，連接4C,BF,

???CF是。。的直徑，

:"CBF=NCAF=90。,

???OC1BD,

BD=2BE,/BEC=90。,

在中，BC=AD=5,sinZCBE=-=-,

BC5

:.CE=3,

:.BE=^BC2-CE2=4，

BD=2BE—8,

???BC=歷，

:.AC=BD^

AC=BD=8,

/BEC=NFBC=90°,ZECB=ZFCB,

^BECs^FBC,

CEBC

：'~BC~~CF'

:.CF=工",

CE3

25

在RtZ^C4產中，ZCAF=90°,CF=—,AC=8f

AF=yJCF2-AC2=1；

18.（24-25九年級上?北京平谷?期末）如圖，已知△4BC中，N8=8C,點。是5c邊上一點，連接

以40為直徑畫。。，與邊交于點E,與NC邊交于點凡EF=AF,連接DE.

BDC

⑴求證：2C是。。的切線；

3

(2)若BC=10,cosZAFE=-f求ZC的長.

【答案】⑴見解析

(2)AC=445

【詳解】(1)證明：???40為OO的直徑，

；?NAED=90。

?/BA=BC

ABAC=ZBCA

???EF=AF

/BAC=/FEA

/.ZBCA=ZFEA

???ZDEF=ZDAC

??.ADAC+ZBCA=ZDEA+ZAEF=90°

??.AD1BC

??.BC為oo的切線

(2)???BC為O。的切線

：.ZADE+ZBDE=90°

ZB+ZBDE=90°

??.ZB=NADE

3

■:cosZAFE=—

5

3

cosZ.B--

5

BD3

,?茄一M

BD3

,*To--?

BD-6

由勾股定理得，AD=S

■-BC=iO

.?.OC=10-6=4

由勾股定理得，AC=445

19.（24-25九年級上?北京石景山?期末）如圖，P為。。外一點，過點尸作。。的切線，切點為4,連接。尸

交。。于點8,C為。。上一點，CA//OP.

⑴求證：AAOB=2NBCO；

(2)若/C=2,cosZ^O5=1,求/尸的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)672

【詳解】(1)證明：???點/,B,C在。。上,

???ZAOB=2ZACB.

CA//OP,

ZACB=ZCBO.

???OC=OB,

:"CBO=ZBCO.

ZACB=ZBCO.

NAOB=2ZBCO.

(2)解：過點。作OEL4c于點E,AC=2,

2

???過點尸作OO的切線，切點為4

ZOAP=90°.

,:CAIIOP,

；"CAO=/AOB.

cosZCAO=cos/AOB=—.

3

EA_OA

''~OA~~OP~3?

/.OA=3EA=3,OP=3OA=9.

???在RtzXAO尸中，

AP=y/0P2-OA2=672?

20.（24-25九年級上?北京順義?期末）如圖，點P為OO外一點，過點尸作OO的切線P4和切點分別

是點A和點3,連接48,直線P。與OO交于點。和點￡,交4B于點D,連接4￡,BE.

（2）若tanNNEP=],BE=5求C。的長.

【答案】（1）見解析

⑵C%

【詳解】（1）證明：；尸區,P3是。。的切線,

PA=PB,PO平分NAPB,

ZAPE=NBPE.

在APAE和APBE中,

PA=PB

</APE=/BPE,

PE=PE

:APAE短APBE,

z.AE=BE,

:.AAEB是等腰三角形.

(2)解：連接5C,

NEBC=90。,

???△PAE會/\PBE,

ZAEP=/BEP.

tanZAEP=tan/BEP

BE2

又?；BE=亞,

：.BC=—,

2

?/PA=PB,PO平分NAPB,

PO1AB.

ZCDB=90°.

???/AEP=/ABC

CD1

/.tanZAEP=tanZABC==—,

BD2

設CD=x,則8Z)=2x,有CD?+BD2=BC?,

解得V,即。j

【題型5圓與相似綜合】

WWw

考查了切線的判定，等腰三角形的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，正確的作出輔助線是

解題的關鍵.

21.(2025,北京?模擬預測)在△/BC中，。為NC上一點，以CD為直徑的。。與AB相切于點￡,與BC

相交于點尸，連結。尸，EF,DFHAB.

⑴如圖1,若乙1=26。，求NB和NDbE的大小；

(2)如圖2,過點。作OG〃跖交45于點G,若BF=CF,且ZG=C，求O。的半徑.

【答案】⑴/B=90。，/DFE=32。

【詳解】(1)解：連接OF,如圖:

???以CD為直徑的QO與AB相切于點E,

.-.OELAB,

???CZ）為OO的直徑，

ZDFC=90°,

DF//AB,

AB=ZDFC=90°,

-OELAB,ZA=26°,

.?.N4O￡=90。-/4=64。，

DE=DE

/.ZDFE=-zDOE=32°；

(2)解：連接C",CE,如圖:

B

DFHAB,

.?.//=ZHDC,

?：DFIIAB,BF=CF,

.CFCD一

''~BF~~DA~

AD=DCf

-DF//AB,由(1)得0EL4B,

/.OE1DF,

??,。￡為半徑，

DH=HF,

???OEVAB,OE1DF,zB=90°f

???四邊形EM咕為矩形，

；.HF=BE,HE=BF,HE//BC,

HE=FC,HE//FC,

???四邊形/為平行四邊形，

：.EF//CH,

???DG〃EF,

/.CH//DG,

：.ZHCD=AGDA,

在△G4D和△HOC中，

Z=ZHDC

<AD=DC,

ZGDA=ZHCD

.sGADaHDC(ASN),

?e?AG-DH=y/6,

???HF=BE=HD=屈,DF=2DH=276.

???OELDF,

-DE=EF

??.ZEFD=ZECB.

■：DFHAB,

ZBEF=NEFD,

:.NBEF=NECB.

?：NB=NB,

：.4BEFS/\BCE,

BEBC

4e_2BF

,krr

；.BF=人,負值舍去

-CF=BF=g，

在RtZ\C￡）尸中，

可得CD=yjDF2+CF2=后=3拒,

■■QO的半徑r=-CD=—.

22.(北京市第一六一中學2024-2025學年下學期九年級開學)如圖，為。。的直徑，。為A4延長線上

一點，。為。。上一點，連接CD,AD,ZADC=ZAOF,Ok，/。于點￡,交CD于點F.

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)若/C=2。4M=2,求5。的長.

【答案】⑴見詳解

(2)5。=8

【詳解】(1)證明：如圖，連接8.

■：OFVAD,

D

NAEO=90°.

...ZOAD+ZAOF=90°.

OA=OD,

；"OAD=/ODA.

-ZADC=ZAOF,

ZADC+ZODA=90°,即ZODC=90°.

???。。是。。的半徑，

「.CD是OO的切線.

(2)解：設OD=OA=OB=r,

'：AC=2OA,

:.AC=2r,OC=3r.

BC=OC+OB=4r.

?.?45為OO的直徑，

ZADB=90°.

???OFAD,

AAEO=90°.

ZAEO=ZADB.

AE=DE,OE//BD.

???OA=OB,

「.OE是△48。的中位線.

...OE=-BD.

2

:.BD=2OE.

???OF//BD,

:.ACOFsACBD.

?OF_￡￡_3r_3

"BD~BC~A'

4

BD=-OF

3

444

2OE=~OF=-(EF+OE)=-(2+OE},

解得OE=4.

BD=8.

23.(24-25九年級下?北京海淀?開學考試)如圖，ZUBC中，ZC=90°,ABAC<45°,是△4BC的外

接圓，。在就上，滿足AD=/C,BD與4c交于點、E,過點/作。。的切線，交AD的延長線于點足

⑵若BC=4,AF=275,求防的長.

【答案】⑴見解析

(2)5

【詳解】(1)證明：在。。中，

vZC=90°,

???/8是OO的直徑.

???4尸是。。的切線，

???AFLOA.

：.ZOAF=90°.

???NCMC+NG4尸=90。，ZEBA+ZF=90°.

???AC=BD,

-AC=BD-

-AC-CD=BD-Cb-

-AD=BC-

/OAC=/EBA.

NEAF=AF.

EA=EF.

(2)解：連接/D.

???45是OO的直徑,

：.ZADB=90°.

.-.Z^DF=90°,

???由（1）得4D=BC,BC=4,

??.AD=BC=4.

??.AF=2y[5,

???DF=ylAF2-AD2=2-

???ZBAF=ZADF=90°,/F=/F,

???小ADFs^BAF.

AF_DF

,?而-IF'

BF=10.

NOAC=NEBA,

??.BE=AE.

???AE=EF,

EF=BE.

.?.￡為防的中點.

■.BE=5.

24.(24-25九年級上?北京大興?期末)如圖，等腰以臺。內接于。。，AB=BC,為。。直徑，連接8。

交AC于點E,延長至點P,使得4P=/E,連接/P.

⑴求證：上4是。。的切線；

(2)若/5=4,PE=6,求DE的長.

【答案】⑴見解析

(2)工

3

【詳解】(1)證明：???/8=8C,

ZC=ABAC,

40是直徑，

ZABD=90°,

?1-AP=AE,

ZPAB=ABAC,

NC=ND,

，NPAB=ABAC=/C=ND,

???//)+"4。=90°,

/.NPAB+/BAD=90°,

PA^AD,

又丁AD是直徑，

二.尸/是。。的切線；

(2)解：vAP=AE,ZABD=90°,

:.PB=BE=-PE=3

2f

ZPAB=ZD,AABP=/ABD=90°,

:APABS八ADB,

.PB_AB

,?布一茄’

.3_4

,?丁訪，

3

:.DE=BD-BE=--,i=-.

33

25.（北京市首都師范大學附屬中學2024-2025學年上學期九年級12月）如圖，四邊形/BCD內接于。。,

AD為直徑，過點A作NE垂直CD交其延長線于點￡,DA平分ZBDE.

⑴求證：2E是。。的切線；

（2）若/。=2石，BC=8,求4B的長.

【答案】（1）見解析；

⑵AB=4石.

【詳解】（1）證明：連接。力，

EA

???DA平分ZBDE，

/.NODA=NEDA,

ZOAD=/EDA,

EC//OA,

AELCD,

OALAE,

〈CM是。。的半徑，

4￡是。。的切線；

(2)解：過點。作。尸，8于尸，

ZOAE=ZAEF=ZOFE=90°,

.??四邊形CUM是矩形，

/.AE=OF,

??,BO是。。的直徑，

ZBCD=90°=ZOFEf

BC//OF,

:AODFS^BDC,

.OF_OD_1

.茲一茄-5'

又丁BC=8,

:.OF=4,

AE=OF=4,

在RtA4DE中，DE=dA。-AE?=2,

?.?8。是。。的直徑，

ABAD=90°=ZAED,

又；ZADE=ZADB,

:AABDS八EAD,

.AE_DE_4_2

ABADAB2V5

???AB=4卮

限時提升練

(建議用時：30分鐘)

1.如圖，四邊形/8C。，NB=NC=90。,點￡是邊BC上一點，且。￡平分//EC,作的外接圓

OO,點。在。。上.

⑴求證：。。是。。的切線.

⑵若。。的半徑為6,CE=2,求DE的長.

【答案】⑴證明見詳解

(2)276

【分析】本題考查的是切線的判定、矩形的判定和性質、勾股定理，掌握切線的判定定理是解題的關鍵.

(1)根據等腰三角形的性質、角平分線的定義得到OD^DC,根據切線的判定定理證明結論.

(2)過點。作BC的垂線，垂足于點尸，根據勾股定理求出跖，進而求出EC,根據勾股定理計算，得到

答案.

【詳解】(1)證明：VOD=OE,

NODE=NOED,

DE平分/AEC,

/DEC=ZOED,

NODE=ZDEC,

???ZC=90°,

:.NCDE+NCED=9。。,

:.ZCDE+ZODE=90°,

OD±DC,

???0。是。。的半徑，

DC是。。的切線；

(2)解：過點。作8C的垂線，垂足于點尸，如圖:

???。。的半徑為6,CE=2,

.：.CF=OD=6,

:.EF=FC-EC=6-2=4,

由勾股定理得，OF=yl0E2-EF2=A/62-42=275，

...CD=OF=2V5，

DE=yJCD2+EC2=J(2⑹2+22=276;

2.如圖，AB,/C分別與。。相切于8,C兩點，2。的延長線交弦CD于點E,CE=DE,連接OO.

⑴求證：ZA=NDOE；

(2)^OD//AC,。。的半徑為2,求的長.

【答案】①見解析

⑵2+20

【分析】本題考查了切線的性質，等腰直角三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，熟練掌握切線的性

質是解題的關鍵.

(1)連接0C,根據垂徑定理得到，CE,求得乙DOE=NCOE,根據切線的性質得到

NABO=NACO=90°,推出ZCOE=N4,等量代換得至I]/.DOE=乙4；

(2)過。作3，48于“，則四邊形BEC"是矩形，根據矩形的性質得到B〃=CE,CH=BE,

NCHA=NBHC=90。,根據平行線的性質得到NOOC=//CO=90。，推出44=45。，根據等腰直角三角形

的性質即可得到結論.

【詳解】(1)證明：連接。C,如圖，

BO的延長線交弦CD于點E