重難點10勾股定理與實際應用

EQ知識梳理

▲知識點1：勾股定理解決實際問題

利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關的計算和證明題，在解決過程中，往往利用

勾股定理列方程（組），有時需要通過作輔助線來構造直角三角形，化非直角三角形為

直角三角形來解決.

?勾股定理應用的類型：

（1）已知直角三角形的任意兩邊長求第三邊長；

（2）已知直角三角形的一邊長確定另兩邊長的關系；

（3）對于一些非直角三角形的幾何問題和日常生活中的實際問題，首先要建立直角三

角形的模型，然后利用勾股定理構建方程或方程組解決.

【注意】勾股定理的應用的前提條件必須是直角三角形，所以要應用勾股定理必須構造

直角三角形.

m題型解讀

國典題精練

【題型一應用勾股定理解決旗桿高度問題】

【例題1】（2024秋?管城區校級期末）強大的臺風使得一根旗桿在離地面5加處折斷倒

下，旗桿頂部落在離旗桿12加處，旗桿折斷之前的高度是（）m.

5m\.

777z77777777777777777777^777777

A.12B.13C.17D.18

【分析】旗桿的長=2C+/3,利用勾股定理求出N2即可解決問題.

【解答】解：旗桿折斷后，落地點與旗桿底部的距離為12%,旗桿離地面5%折斷，且旗

桿與地面是垂直的，

所以折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形.

根據勾股定理，AB=7AC2+BC2=1122+52=13（m）,

所以旗桿折斷之前高度為3C+/8=13+5=18（加）.

故選：D.

【點評】本題考查的是勾股定理的正確應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知

識解決問題.

【變式1-2】（2024秋?中衛期末）如圖，將長為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端

/和2,然后把中點C垂直向上拉升3口〃至點。，則橡皮筋被拉長了（）

D

ACB水平面

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

【分析】根據勾股定理，可求出2。的長，則/D+5O-/2即為橡皮筋拉長的距離.

1

【解答】解：RtZ\/CZ）中，AC=~AB=4cm,CD=3cm；

根據勾股定理，得：AD=VAC2+DC2-5（cm）；

：.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2（cw）；

故橡皮筋被拉長了2cm.

故選：A.

【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題

意，靈活運用所學知識解決問題.

【變式1-3】（2024秋?宜興市期末）如圖，《九章算術》中記載：今有立木，系索其末,

委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡.問索長幾何.譯文：今有一豎直著的木柱，在

木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比

木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（2C=8）處時而繩索用盡.則木柱長

為尺.

【分析】設木柱長為x尺，根據勾股定理列出方程解答即可.

【解答】解：設木柱長為x尺，根據題意得:

AB2+BC2^AC2,

則/+82=（x+3）2,

55

解得：x=~,

O

55

答：木柱長為n尺.

O

55

故答案為：—.

O

【點評】本題考查了勾股定理的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的

關鍵.

【變式1-4】(2024春?羅莊區期末)如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地的垂直高

度DE=lm,將它往前推送4〃？(水平距離BC=4"?)時，秋千的踏板離地的垂直高度89

=2m,秋千的繩索始終拉得很直，求繩索的長度.

【分析】設秋千的繩索長為xm,根據題意可得/C=(x-1)m,利用勾股定理可得/=

42+(x-1)2.

【解答】解：在RtZUCB中，

AC2+BC2^AB2,

設秋千的繩索長為x%,則/C=(x-1)m,

故/=42+(x-1)2,

解得：x=8.5,

答：繩索4D的長度是8.5m.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是正確理解題意，表示出NC、的長,

掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

【題型二應用勾股定理解決風吹樹折問題】

【例題2】(2024春?羅定市期中)海洋熱浪對全球生態帶來了嚴重影響，全球變暖導致華

南地區汛期更長、降水強度更大，使得登錄廣東的臺風減少，但是北上的臺風增多.如

圖，一棵大樹在一次強臺風中距地面5m處折斷，倒下后樹頂端著地點A距樹底端B的

距離為Um,這棵大樹在折斷前的高度為()

D.20m

【分析】根據大樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構成直角三角形，再根據勾股定理

求出直角三角形的斜邊的長度，進而可得出結論.

【解答】解：???樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構成直角三角形，

原來樹的高度為：4122+52=13(加)，

...這棵樹原來的高度=5+13=18(%).

即：這棵大樹在折斷前的高度為18%.

故選：C.

【點評】本題考查的是勾股定理的應用，熟知直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平

方和是解答此題的關鍵.

【變式2-1】(2024秋?蘭州期末)九章算術中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一

丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈(1丈=10尺),

中部有一處折斷，竹稍觸地面處離竹根4尺，試間折斷處離地面多高？則折斷處離地面

5.45尺C.4.2尺D.5.8尺

【分析】設折斷處離地面的高度為x尺，則/C=(10-x)尺，在RtZX/BC中，由

勾股定理得出方程，求解即可.

【解答】解：設折斷處離地面的高度42為x尺，則NC=(10-x)尺,

在RtZUBC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,

：.X2+42=(10-x)2,

解得：x=4.2,

即折斷處離地面的高度為4.2尺,

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

【變式2-2】(2024春?隨縣期末)《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈,

葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深，葭長各幾何？”題意是：有一

個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦N8生長在它的中央，高出水面部分

8c為1尺.如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部8恰好碰到

岸邊的夕(示意圖如圖，則水深為尺.

【分析】我們可以將其轉化為數學幾何圖形，如圖所示，根據題意，可知￡夕的長為10

尺，則夕C=5尺，設出尺，表示出水深/C,根據勾股定理建立方程，求出

的方程的解即可得到蘆葦的長和水深.

【解答】解：依題意畫出圖形，設蘆葦長=x尺，則水深/C=(x-1)尺，

因為8￡=10尺，所以9C=5尺

在RtZXNB'C中，52+(x-1)2=/,

解之得x=13,

即水深12尺，蘆葦長13尺.

故答案為：12.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，熟悉數形結合的解題思想是解題關鍵.

【變式2-3】有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一陣大風把它吹歪，使花朵剛好落在水面

上，此時花朵離原位置的水平距離為3尺，此水池的水深有多少尺？

【分析】關鍵是水深、荷花徑移動的水平距離及荷花徑的長度構成一直角三角形，解此

直角三角形即可.

【解答】解：設水深x尺，那么荷花徑的長為(x+1)尺，

由勾股定理得：/+32=(x+1)2.

解得：x=4.

答：水池的水深有4尺.

【點評】本題考查正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息畫圖是解題的關鍵.

【題型三應用勾股定理解決梯子滑落問題】

U列題3】(2024春?南崗區期中)如圖，一架5米長的梯子N3,斜靠在一堵豎直的墻/。

上，這時梯頂/距地面4米，若梯子沿墻下滑1米，則梯足3外滑()米.

A

OB

A.0.6B.0.8C.1D.2

【分析】由勾股定理得5。=3米，再由勾股定理得。。=4米，即可解決問題.

在中，由勾股定理得：BO=［腑―4。2=屈彳=3（米），

在RtZXCOD中，CO=NO-/C=4-1=3（米），

由勾股定理得：DO=VCD2-CO2=V52^32=4（米），

.*.80=00-80=4-3=1（米）.

即梯足2外滑1米，

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理求出8。和。。的長是解題的關鍵.

【變式3-1】（2024秋?項城市期末）如圖所示，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠

在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7〃?，頂端距離地面2.4〃?.如果保持梯子底端不

動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2加，那么小巷的寬度為（）

A.0.7mB.1.5mC.22mD.2.4m

【分析】先根據題意求得//CB,N應＞8的度數，再根據CSAC,DE的長，利用勾股

然后再利用勾股定理求得AD的長，進而利用線段的和差關系，求得C。即可.

【解答】解：如圖，ZACB=ZEDB=90a,CB=Q.7m,AC=2Am,DE=2m.

在中，

AB=y/AC2+BC2=^2.42+0.72=2.5(m).

,:AB=BE,

:.BE=2.5(w),

:.BD-7BE2—DE2-V2.52-22=1.5(m),

：.CD=CB+BD=0.7+1.5=2.2(加，即小巷的寬度為2.2米.

故選：C.

【點評】本題考查的是勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理，由勾股定理求出的長是

解題的關鍵.

【變式3-2】(2024秋?太康縣期末)如圖，一個梯子斜靠在一豎直的墻NO上，測得

4m,若梯子的頂端沿墻下滑\m,這時梯子的底端也下滑1〃?，則梯子AB的長度為()

k

OBD

A.5mB.6mC.3mD.7m

【分析】設8O=x機，利用勾股定理用x表示出N8和。的長，進而求出x的值，然后

由勾股定理求出AB的長度.

【解答】解：設30=xm,

由題意得：AC=\m,BD—\m,AO=4m,

在RtZ\ZO5中，根據勾股定理得：AB1=AO2+OB~=42+x2,

在RtZ\C。。中，根據勾股定理得：CD2=CO2+OD2=(4-1)2+(x+1)2,

：.42+X2=(4-1)2+(x+1)2,

解得：x=3,

.,.AB-VXO2+BO2-V42+32-5(m),

即梯子AB的長為5m,

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解題

的關鍵.

【變式3-3】如圖，一架梯子43長10米，底端離墻的距離2c為6米，當梯子下滑到DE

時，40=2米，則2E=米.

A

D\

|c\^\E

【分析】在RtZk/8C中，根據勾股定理得出NC,進而得出。C,利用勾股定理得出CE,

進而解答即可.

【解答】解：在中，根據勾股定理，可得：AC=y/AB2-BC2=V102-62=8

(米)，

：.DC=AC-AD=S-2=6(:米)，

在RtZXDCE中，CE=y/DE2-DC2-V102-62-8(米)，

:.BE=CE-BC=8-6=2(米)，

故答案為：2.

【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，考查了直角三角形中勾股定理的運

用，本題中正確的使用勾股定理求CE的長度是解題的關鍵.

【變式3-4】(2024春?赤坎區期末)《九章算術》勾股卷有一題目：今有垣高六尺，依木

于垣，上于垣齊.引木卻行二尺，其木至地，問木長幾何？意思是：如圖，一道墻

高6尺，一根木棒NC靠于墻上，木棒上端與墻頭齊平.若木棒下端向右滑，則木棒上

端會隨著往下滑，當木棒下端向右滑2尺到。處時，木棒上端恰好落到地上2處，則木

棒長尺.

【分析】設8C長為x尺，貝(x+2)尺，根據勾股定理可求出x的值.

【解答】解：如圖，設3c長為x尺，則(x+2)尺，

在中，

'：AB2+BC2=AC2,

62+x2=(x+2)2,

解得，x=8,

故木棒長為8+2=10(尺).

故答案為：10.

【點評】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是由實際問題抽象出直角三角形，從

而運用勾股定理解題.

【題型四應用勾股定理解決水杯子中的筷子問題】

【例I題4】(2024春?太湖縣期末)如圖是一只圓柱形玻璃杯，杯高為24c加，將一根筷子插

入其中，留在杯外最長4c加，最短3c〃z,則這只玻璃杯的內徑是cm.

【分析】根據筷子與圓柱底面垂直時，留在外端的最長，當筷子與圓柱的如圖所示的對

角線重合時，留在外端最短，利用勾股定理計算即可.

【解答】解：如圖，根據筷子與圓柱底面垂直時，留在外端的最長，

根據四邊形ECD是矩形，

故/E=CD=24Cem'),

根據題意得筷子的長度為B=A'E+BE=24+4=28(cm),

當筷子與圓柱的如圖所示的對角線重合時，留在外端最短，

根據題意得筷子的長度為/"=AC+B'C=/C+3=28(cm),

解得4c=25(cm),

.'.AD=V252—242=7(cm),

故答案為：7.

【點評】本題考查了圓柱的高，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

【變式4-1】(2024秋?崇明區期末)如圖，一透明圓柱狀玻璃杯，從內部測得底面半徑為

6cm,高為今有一根長22c%的吸管任意放入杯中，若不計吸管粗細，則吸管露

在杯口外的長度最少為cm.

【分析】吸管露出杯口外的長度最少，即在杯內最長，可用勾股定理解答.

【解答】解：：底面半徑為半徑為6c加，高為

吸管露在杯口外的長度最少為：22-V122+162=22-20=2(cm).

故答案為：2.

【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直

角三角形，再利用勾股定理解答.

【變式4-2】(2024?潮州模擬)如圖，一根長為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為

12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長度則的取值范圍是

【分析】根據杯子內牙刷的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案.

【解答】解：當牙刷與杯底垂直時人最大，〃最大=18-12=6(cm).

當牙刷與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，

如圖，止匕時，AB=y/AC2+BC2=V122+52=13(cm),

貝ij〃=18-13=5(cm).

：.h的取值范圍是5W4W6.

故答案為：59W6.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內牙刷的取值范圍是解決問題

的關鍵.

【變式4-3】(2024秋?洛寧縣期末)將一支長為14cm的圓珠筆,放在底面內徑為6cm,

高為8cm的圓柱形筆筒中，設圓珠筆在筆筒外面的長度為ac加，則a的取值范圍是()

A.Z10B.aW8C.心6D.44W6

【分析】分當圓珠筆斜放在筆筒中時，露在筆筒外的長度最短，當圓珠筆垂直放在筆筒

中時，露在筆筒外的長度最長兩種情況求解即可.

【解答】解：如圖，當圓珠筆斜放在筆筒中時，露在筆筒外的長度最短，最短為14-

7AB2+BC2-14-V82+62=4；

如圖，當圓珠筆垂直放在筆筒中時，露在筆筒外的長度最長，最長為14-8=6,

故a的取值范圍是4WaW6,

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關鍵.

【變式4-4】（2024秋?伊川縣期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面

直徑是9c加，內壁高12cm,則這只鉛筆在筆筒內部的長度/的取值范圍是（）

A.12c機W/Wl5c%B.9cmWZW12cm

C.10c%W/W15c/nD.10C%W/W12c加

【分析】當鉛筆不垂直于底面放置時，利用勾股定理可求得鉛筆露出筆筒部分的最小長

度；考慮當鉛筆垂直于筆筒底面放置時，鉛筆在筆筒外面部分的長度是露出的最大長度;

從而可確定答案.

【解答】解：當鉛筆不垂直于底面放置時，由勾股定理得：022+92=15（6）,

當鉛筆垂直于筆筒底面放置時，鉛筆在筆筒內部長度12c加，

所以這只鉛筆在筆筒內部的長度I的取值范圍是12c%W/W15c〃?.

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是把實際問題抽象成數學問題,

分別考慮兩種極端情況，問題即解決.

【題型五應用勾股定理解決小鳥飛行距離問題】

【例題5】（2024春?德州期末）如圖，一只小鳥從樹尖C點徑直飛向塔尖/處.已知樹高

6米，塔高12米，樹與塔的水平距離為8米，則小鳥飛行的最短距離為（）

B.10米C.11米D.12米

【分析】過點。作于點連接ZC,由勾股定理求出/C的長，即可得出結論.

【解答】解：由題意可知，CZ>=6米，48=12米，AD=8米,

如圖，過點C作于點E,連接/C,

A

DB

則8￡=CD=6米，C￡=BC=8米,

:.AE=AB-BE=12-6=6（米），

在RtZ^4CE中，由勾股定理得：AC=y/AE2+CE2=V62+82=10（米）,

即小鳥飛行的最短距離為10米，

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

【變式5-1】（2024秋?觀山湖區期末）如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩

樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米.

B

鼠

1卜一＞1

8^

A.7B.8C.9D.10

【分析】根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進行直線飛行，所行

的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出.

【解答】解：兩棵樹的高度差為8-2=6（米），間距為8米，

根據勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離="2+62=10（米）.

故選：D.

【點評】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是將現實問題建立數學模型，運

用數學知識進行求解.

【變式5-2】（2024秋?嶗山區期末）有兩棵樹，一棵高11米，另一棵高4米，兩樹相距

24米，一只鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，則小鳥至少飛行米.

【分析】根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行

的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出即可.

【解答】解：如圖，設大樹高為/3=11米，小樹高為CD=4米，

過C點作CEL48于￡,則E8OC是矩形，連接NC,

：.EB=CD=4m,EC=8D=24米，AE=AB-EB=\\-4=7（米），

在RtZk/EC中，AC=y/AE2+EC2=25（米），

答：小鳥至少飛行25米.

故答案為：25.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與

方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型,

畫出準確的示意圖.領會數形結合的思想的應用.

【變式5-3】（2024春?海淀區校級期中）如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10米的。

處有兩只猴子，他們同時發現。處有一筐水果，一只猴子從。處往上爬到樹頂/處，又

沿滑繩/C滑到C處，另一只猴子從。滑到3,再由2跑到C處，已知兩只猴子所經路

程都為15米，求樹高/反

【分析】在RtZ\/8C中，Z5=90°,則滿足BC=a（米），AC=b

（米），AD=x（米），根據兩只猴子經過的路程一樣可得10+a=x+6=15解方程組可以

求x的值，即可計算樹高=10+x.

【解答】解：RtZ\/BC中，48=90°,

設BC=a（米），AC=b（米），AD=x（米）

則10+a=x+6=15（米）.

；.。=5（米），6=15-x（米）

又在RtZ\/5C中，由勾股定理得：（10+x）2+居=廬，

（10+x）2+52=（15-x）2,

解得，x=2,即/。=2（米）

：.AB=AD+DB=2+10=n（米）

答：樹高為12米.

【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中找到兩只猴子行走路程相等

的等量關系，并且正確地運用勾股定理求的值是解題的關鍵.

【題型六應用勾股定理解決臺階地毯問題】

【例題6】（2024秋?南關區校級期末）如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪

地毯，則地毯的長度至少要（）

A.5米B.6米C.7米D.8米

【分析】先求出/C的長，利用平移的知識可得出地毯的長度.

【解答】解：在RtZk/BC中，/C=MW2-BC2=4米,

故可得地毯長度=/C+8C=7米，

故選：C.

【點評】此題考查了勾股定理的應用及平移的知識，屬于基礎題，利用勾股定理求出NC

的長度是解答本題的關鍵.

【變式6-1】（2024秋?福田區校級期末）某賓館在重新裝修后，準備在大廳的主樓梯上鋪

上紅色地毯.已知樓梯總高度5米，樓梯長13米，主樓道寬2米；這種紅色地毯的售價

為每平方米30元，其側面如圖所示，則購買地毯至少需要元.

【分析】根據題意，結合圖形，先把樓梯的橫豎向上向左平移，構成一個矩形，再求得

其面積，則購買地毯的錢數可求.

【解答】解：如圖，利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向左平移，構成一個矩形，長寬

分別為U132—52=12米、

，地毯的長度為12+5=17米，地毯的面積為17X2=34平方米,

.?.購買這種地毯至少需要30X34=1020元.

故答案為：1020.

【點評】本題考查了勾股定理的運用，解決此題的關鍵是要注意利用平移的知識，把要

求的所有線段平移到一條直線上進行計算.

【變式6-2】（2024春?藁城區期末）如圖，在高為5加，坡面長為13加的樓梯表面鋪地毯,

地毯的長度至少需要m.

【分析】當地毯鋪滿樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據勾

股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可.

【解答】解：由勾股定理得：

樓梯的水平寬度=4132-52=12,

???地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

地毯的長度至少是12+5=17（米）.

故答案為：17.

【點評】本題考查了勾股定理的知識，與實際生活相聯系，加深了學生學習數學的積極性.

【變式6-3】（2024秋?豐城市校級期末）某會展中心在會展期間準備將高5加、長13〃八

寬2加的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米20元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至

少需要元.

D2mA

【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即N2與2c的和，在直角A/BC

中，根據勾股定理即可求得的長，地毯的長與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的

單價即可求解.

【解答】解：由勾股定理得AB=7AC2—BC2=<32—52=12（w）,

則地毯總長為12+5=17（%）,

則地毯的總面積為17X2=34（平方米），

所以鋪完這個樓道至少需要34X20=680（元）.

故答案為：680.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，正確理解地毯的長度的計算是解題的關鍵.

【題型七應用勾股定理解決是否受臺風影響問題】

【例題7】（2024春?富縣期末）如圖，點/處的居民樓與馬路8c相距30米，當居民樓與

馬路上行駛的汽車的距離在50米內時就會受到噪音污染.如果汽車以每秒20米的速度

行駛經過，那么會給這棟居民樓帶來多長時間的噪音污染？

BC

%

【分析】如圖，作NH工BC于點H,在8C上取一點使得月"=50,連接再利

用勾股定理求解HM即可得到答案.

【解答】解：如圖，作2c于點〃，在5c上取一點N,使得NM=50=/N,連

接/跖

B、耳_______MC

N\＜/

\1/

%?/

\1zZ

X1/

XI/

XI.

'、，/

A

在中，AM=5Q=AN,AH=30,ZAHM=9Q°,

HM=HN,MH=y/AM2—AH2=V502—302=40（米），

.,.2X40+20=4（秒）.

答：會給這棟居民樓帶來4秒的噪音污染.

【點評】本題考查的是等腰三角形的性質，勾股定理的應用，熟練的建立幾何模型是解

本題的關鍵.

【變式7-1】（2024秋?棲霞市期末）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地

方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、

廣播、微信、短信齊上陣，防疫標語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰的

堅定決心.如圖，在一條筆直公路的一側點/處有一村莊，村莊/到公路的距

離N8為800米，若宣講車周圍1000米以內能聽到廣播宣傳，宣講車在公路九W上沿

兒W方向行駛.

（1）請問村莊N能否聽到宣傳？請說明理由；

（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊/總共能聽到多長時間

的宣傳？

MBN

【分析】（1）根據村莊/到公路兒處的距離為800米＜1000米，于是得到結論；

（2）根據勾股定理得到5尸=8。=600米，求得尸。=1200米，于是得到結論.

【解答】解：（1）村莊能聽到宣傳，

理由：?.?村莊/到公路的距離為800米＜1000米，

村莊能聽到宣傳；

（2）如圖：假設當宣講車行駛到尸點開始影響村莊，行駛。點結束對村莊的影響,

則4P=/0=1OOO米，/8=800米，

BP—BQ=y/AP2-AB2=600（米），

.?.P0=12OO米，

影響村莊的時間為:12004-300=4（分鐘）,

村莊總共能聽到4分鐘的宣傳.

PB

【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題時結合生活實際，便于更好的理解題意.

【變式7-2】（2024秋?榆林期末）臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千

米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力.如圖，有一臺風中心沿東西方向N2由點/

行駛向點2，已知點C為一海港，且點C與直線上兩點4,2的距離分別為300批

400km,又/2=500初7,以臺風中心為圓心周圍250和z以內為受影響區域.

（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？

（2）若臺風的速度為20左加〃?，臺風影響該海港持續的時間有多長？

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△/8C是直角三角形，進而利用三角形面積得

出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響；

（2）利用勾股定理得出血以及斯的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間.

【解答】解：（1）海港C受臺風影響.

理由：如圖，過點C作于。，

'：AC=300km,BC^400km,48=500機，

：.AC2+BC2^AB2.

:.AABC是直角三角形.

：.ACXBC=CDXAB

A300X400=500XCD

300x400

CD=———240(km)

:以臺風中心為圓心周圍250km以內為受影響區域，

...海港C受到臺風影響.

(2)當EC=25Qkm,FC=250上加時，正好影響C港口,

7ED=>JEC2—CD2=70(km),

：.EF=140km

:臺風的速度為20機/力，

.,.140+20=7(小時)

即臺風影響該海港持續的時間為7小時.

【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直

角三角形，再利用勾股定理解答.

【變式7-3】(2024秋?嵩縣期末)臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千

米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力.如圖，有一臺風中心沿由點/向點8

移動，已知點C為一海港，且點C與直線上兩點，，8的距離分別為300碗和

400的?，又AB=500km,以臺風中心為圓心周圍250屆/以內為受影響區域.

(1)海港C受臺風影響嗎？為什么？

(2)若臺風的速度為25碗"，臺風影響該海港持續的時間有多長？

'B

C

A

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△NBC是直角三角形，進而利用三角形面積得

出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響；

（2）利用勾股定理得出ED以及防的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間.

【解答】解：（1）海港C受臺風影響.

理由：如圖，過點C作。8于。，

"."AC—300km,BC—400km,AB—500km,

：.AC2+BC2=AB2.

:4BC是直角三角形.

:.ACXBC=CDXAB

A300X400=500XCD

300x400

CD———=240（km）

:以臺風中心為圓心周圍250km以內為受影響區域，

海港C受到臺風影響.

（2）當EC=250km,FC=250fow時，正好影響C港口，

ED=-\/EC2—CD2=701km）,

.\EF=l40km

:臺風的速度為25機/力，

140+25=5.6（小時）

即臺風影響該海港持續的時間為5.6小時.

【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直

角三角形，再利用勾股定理解答.

【變式7-4】（2024秋?內江期末）森林火災是一種常見的自然災害，危害很大，隨著中國

科技、經濟的不斷發展，開始應用飛機灑水的方式撲滅火源.如圖，有一臺救火飛機沿

東西方向由點/飛向點8,已知點C為其中一個著火點，且點C與直線N2上兩點

A,3的距離分別為600加和800加，又/2=1000加，飛機中心周圍500加以內可以受到

灑水影響.

（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？

（2）若飛機的速度為lOm/s,要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C

能否被撲滅？

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△NBC是直角三角形，進而利用三角形面積得

出CD的長，進而得出海港。是否受臺風影響；

（2）利用勾股定理得出瓦）以及昉的長，進而得出飛機影響C持續的時間，即可做出

判斷.

【解答】解：（1）著火點C受灑水影響.

理由：如圖，過點C作CDL48于。，

由題意知NC=600m,BC—SOOm,AB—lOOOm,

\'AC2+BC2=6002+8002=10002,AB2=10002,

:.AC2+BC2^AB2,

.'△ABC是直角三角形，

11

:.SUBC=康C?BC=-CD"AB,

600X800=10008,

；Q=480,

:飛機中心周圍500m以內可以受到灑水影響，

著火點C受灑水影響；

（2）當EC=PC=500"?時，飛機正好噴到著火點C,

在RtACDE中，助=VFC2-CD2=在002_4802=140（加）,

.'.EF=280m,

,飛機的速度為10m/s,

.,.2804-10=28（秒），

：28秒＞13秒，

.??著火點C能被撲滅，

答：著火點C能被撲滅.

【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直

角三角形，再利用勾股定理解答.

【題型八應用勾股定理解決是否超速問題】

【例題8】（2024秋?渾南區月考）“某市道路交通管理條例”規定：小汽車在城市道路上

行駛速度不得超過60千米/時，如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時

刻剛好行駛到路面對車速檢測儀/正前方24米的C處，過了1.5秒后到達5處（SC±

AC）,測得小汽車與車速檢測儀間的距離N2為40米，判斷這輛小汽車是否超速？若超

速，則超速了多少？若沒有超速，說明理由.

A

觀測點

【分析】根據勾股定理得出BC的長，進而得出小汽車1小時行駛76.8千米，進而得出

答案.

【解答】解：小汽車已超速，理由如下：

根據題意得：NC=24米，45=40米，ZACB=90°,

在RtAACB中，根據勾股定理得：BC=^AB2-AC2=V402-242=32（米），

:小汽車1.5秒行駛32米,

二小汽車行駛速度為76.8千米/時，

V76.8>60,

.?.小汽車已超速，超速76.8-60=16.8（千米/時）.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，根據勾股定理得出8c的長是解題的關鍵.

【變式8-1】根據道路管理條例規定，在某段筆直的公路/上行駛的車輛，限速為60的7/〃,

如圖，一觀測點M到公路/的距離龍W為30加，現測得一輛汽車從點/到點8所用時間

為5s,已知觀測點M到48兩點的距離分別為50加，34m,請通過計算判斷此車是否

【分析】在RtZk/MN中根據勾股定理求出/N,在中根據勾股定理求出2N,

由4葉求出N3的長，根據路程除以時間得到速度，即可做出判斷.

【解答】解：在RtZUMV中，NM=50米，JW=30米，

'.AN-7AM2—MN2—V502—302-40（米）,

在中，8M=34米，M2V=3O米，

BN=BM2—MN2=V342-302=16（米），

：.AB=AN+NB=^+\6>=56（米），

.?.汽車從/到B的平均速度為564-5=11.2（米/秒），

VI1.2米/秒=40.32千米/時<60千米/時，

.,.此車沒有超速.

【點評】此題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理，正確求出ZN與3N的長是解

本題的關鍵.

【變式8-2】“交通管理條例第三十五條”規定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70

千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行，某一時刻剛好行駛到路對面車

速檢測儀正方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米.

（1）求小汽車6秒走的路程；

（2）求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？

小汽車C------------------B小汽車

A檢測

【分析】（1）過點N作可得/。=50米，設汽車經過6秒后到達點￡,連接

AE,則有/￡=130米，利用勾股定理可求得DE的長，即小汽車6秒所走的路程；

（2）利用速度=路程+時間，即可判斷.

【解答】解：（1）過點N作/OL8C,設汽車經過6秒后到達點E,連接如圖所示:

小汽車C.......-2......白B小汽車

/

A檢測

由題意可得：AD=50米，/E=130米,

在Rt"DE中，

DE=y/AE2-AD2

=A/1302-502

=120(米),

答：小汽車6秒走的路程為120米；

(2)小汽車6秒中的平均速度為：120+6=20(米/秒)=72(千米/小時)，

V72>70,

.?.小汽車超速了.

【點評】本題主要考查勾股定理的應用，解答的關鍵是理解清楚題意，作出相應的圖形.

【變式8-3】(2024春?路北區期中)某路段限速標志規定：小汽車在此路段上的行駛速度

不得超過70發加力，如圖，一輛小汽車在該筆直路段/上行駛，某一時刻剛好行駛到路對

面的車速檢測儀A的正前方30m的點C處，2s后小汽車行駛到點B處，測得此時小汽

車與車速檢測儀/間的距離為50m.

(1)求8c的長.

(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由.

""B\--------------------------1

'NA

車速檢測儀

【分析】(1)由勾股定理求出8c的長即可；

(2)求出這輛小汽車的速度，即可解決問題.

【解答】解：(1)根據題意得：乙4c8=90°,AC=30m,AB=50m,

**?BC—7AB2—AR=—3()2=40(m),

答：BC的長為40m；

(2)這輛小汽車超速了，理由如下：

:該小汽車的速度為40+2=20(m/5)=72(km/h)>10km/h,

這輛小汽車超速了.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理求出2c的長是解題的關鍵.

【變式8-4】（2024春?蜀山區期中）校車安全是近幾年社會關注的熱點問題之一，安全隱

患主要是超速和超載，某中學八年級數學活動小組進行了測試汽車速度的實驗.如圖所

示，現在筆直的公路/旁取一點/,在公路/上確定點瓦C,使得/C，/,/B4C=

60°,再在NC上確定點。，使得NADC=75°,測得/。=40米，已知本路段對校車

限速是50千米/時，若測得某校車從5到C勻速行駛用時10秒.（參考數據：V3?

1.73）

（1）求點。到線段N8的距離（結果保留整數）；

（2）利用（1）中的結果，請通過計算判斷這輛車在本路段是否超速？

【分析】（1）過。作。EL42于E，則/。口=90°,求出N4DE=30°,再求出4E?的

長度，最后根據勾股定理求出DE的長度即可；

（2）根據已知條件求出/C8D=15°,則8。平分NN3C,得出。。=。￡=35%，從而

/C=40+35=75〃7,再求出車速，最后比較即可.

【解答】解：（1）過。作于E,

則NDE/=90°,

VZBAC=60°,

；.NADE=90°-N2/C=30°,

'：AD=40m,

1

RtAADE中，AE=~AD=20m,

；?DE=^JAD2—AE2=V402—202=20V3~20X1.73?35m,

：.D到線段45得距離為35米.

(2)VZBDC=15°,AC.LI,

:?NBCD=90°,ZABC=90°-NBAC=30°,

：.ZCBD=90°-ZBDC=\5°,

1

工乙CBD=i乙ABC,

：?BD平分N4BC,

:DEL4B,DCLl,

..CD—DE—35m,

'.AC—40+35=75m,

：.Rt/\ABC中AB=2AC=150mf

BC=yJAB2—AC2=V1502—752=75A/3（加），

???車速為75百+10-12.99（米/秒），

V12.99米/秒=46.76千米/時＜50千米/時，

??.這輛車在本路段未超速.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應用，熟練運用勾股定理是解題的關鍵.

m限時測評

1.（2024春?德州期末）我國古代數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：“一根竹子高1

丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，折斷處離地面的高度是多少？"（說明：1

丈=10尺）.如圖，根據題意，設折斷后竹子頂端落在點/處，竹子底端為點比AB=3

尺，折斷處為點C,可以求得折斷處離地面的高度5c為（）

【分析】設BC=x尺，貝Ij/C=（10-x）尺，根據勾股定理列出方程求解即可.

【解答】解：設3C=x尺，則4C=（10-x）尺，

在直角三角形N3C中，根據勾股定理可得N82+8C2=HC2,

即3?+/=（10-%）2,

9191

解得：x=20,即2c的長為五尺；

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，正確理解題意、根據勾股定理得出方程是解題的

關鍵.

2.（2024秋?橋西區期末）如圖，某自動感應門的正上方4處裝著一個感應器，離地/2=

2.1米，當人體進入感應器的感應范圍內時，感應門就會自動打開.一個身高1.6米的學

生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（2C=1.2米），感應門自動打開，則人頭

頂離感應器的距離/。等于（）

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

【分析】過點。作DELAB于點E,構造Rt/\ADE,利用勾股定理求得的長度即可.

【解答】解：如圖，過點。作。于點E,

：/8=2.1米，8￡=C￡）=1.6米，ED=3C=1.2米，

：.AE=AB-BE=2.1-1.6=0.5（米）.

在RtzXADE中，由勾股定理得到：AD=y/AE2+DE2=Jo.52+l,22=1.3（米），

故選:B.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形，利

用勾股定理求得線段的長度.

3.(2024春?南部縣校級期末)如圖，一個梯子斜靠在一豎直的墻/。上，測得/。=

2m.若梯子的頂端沿墻下滑0.5米，這時梯子的底端也恰好外移0.5米，則梯子的長度

22

【分析】BO=xm,由勾股定理得4爐=22+/,CZ)2=(2-o.5)+(x+0.5),則2?+/=

(2-0.5)2+(x+0.5)2