考點(diǎn)26等比數(shù)列

知識梳理

i.等比數(shù)列的有關(guān)概念

⑴定義：

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列

就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，等=q.

說明：等比數(shù)列中沒有為0的項(xiàng)，其公比也不為0.

⑵等比中項(xiàng)：

如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即：G是°與6的等比中項(xiàng)0a,

G,b成等比數(shù)列=>G2=ab=>G=±V7.

說明：任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，但與等差中項(xiàng)不同，只有同號的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng).兩

個(gè)同號的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

2.等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項(xiàng)公式：

YlCl\,Q~~1,

=<

(2)前〃項(xiàng)和公式：Sna\(l—q")a\~anq

i=-i，q#1.

I—ILq

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，是其前〃項(xiàng)和.(加，n,p,q,丫,kWN*)

(1)右根+〃=p+q=2廠，貝Clm*Un=Clp*CLq—C^\

(2)數(shù)列am,am+k9am+2kf即+3女，…仍是等比數(shù)列；

(3)數(shù)列5,S2mSm,S3ys2加，…仍是等比數(shù)列(此時(shí)｛斯｝的公比4W一1).

精講精練

題型一等比數(shù)列基本運(yùn)算

[例1]⑴設(shè)等比數(shù)列等〃｝的前n項(xiàng)和是S〃，ai=~2,。5=-16,則Se=___

⑵等比數(shù)列｛4｝中，％=1，。5=4%.記5〃為｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.若5m=63,m=.

⑶己知數(shù)列｛4｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且生=；。4,又出，%+L%成等差數(shù)列，則｛4｝的

通項(xiàng)公式為

【答案】⑴-63(2)6(3)a?=2"T

【解析】⑴設(shè)公比為q，則%=4/，即—16=—2/,解得4=2,所以q=&=-1

Q

所以56=勺上與上-63,故選人

(2)設(shè)｛4｝的公比q,由%=4%可得4=±2,

當(dāng)q=—2時(shí)，所以7J"-2)=63,即(-2)"=-188,此時(shí)方程沒有正整數(shù)解;

l-2m

當(dāng)彳=2時(shí)，所以S,,-----=2"'—1=63,即2nl=64,解得m=6.故答案為：6.

1-2

11

A.7rB.an=—C.an=2D.

⑶由題意，設(shè)數(shù)列｛%,｝的公比為q(q>0),

因?yàn)槌?；%，所以/=4,解得4=2(負(fù)值舍去)；

又“2，a4+l,生成等差數(shù)列，

3

所以2(%+1)=4+%，即2(qq+1]=0tq+q/,

x

則2(8。]+1)=2%+16q,解得q=l,an=T~.

【方法總結(jié)】

(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量內(nèi)，小q,斯，S”

一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.

(2)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q=l時(shí)，｛斯｝的前w項(xiàng)和S"="ai；當(dāng)

時(shí)，｛斯｝的前n項(xiàng)和Sn=」

【舉一反三】

1.設(shè)等比數(shù)列｛%｝滿足。1+。2=—1，%—%=-3,則公比4=

【答案】-2

【解析】由于數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，故由4+。2=—1，勾―%=—3可得,

CL+CLq——11+q1

2,兩式作比可得：1/=彳，解得1—9=3,即9=—2.故答案為：-2

a{-axq=-31-q3

2.已矢口等比數(shù)歹！茜足3a3=2%且4=2,貝！Jq=

4

【答案】-

3

a3_/_2_4

【解析】因?yàn)?%=24,所以4=5?故由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得%=彳=3=§?

%22

4

故答案為：一

3

，、1117，、

3.已知在等比數(shù)列｛%｝中，2a3=1，—+一+—=W，則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為

ClyCl?^^32

2

【答案】an=22f(〃eN*)或a“=2"-(neN*)

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q，因?yàn)?4a3=1，所以色=1，解得%=1，

01a3=1Q]=21

"1=5

所以《115，解得＜1或＜

-----1-----二—

%。32。3=2

當(dāng)時(shí)，%=1，所以4=2,即有％,=gx2"T=2""；

當(dāng)％=2時(shí)，4=1，所以4=；，即有4=22-".

故答案為：%=22feN*)或%=2geN*).

4.數(shù)列｛a“｝("wN*)中，數(shù)列前九項(xiàng)和為S“，若4=1,2an=all+l,則&()=.

【答案】1023

【解析】因?yàn)閝=L2an=an+1,所以數(shù)列｛4｝(〃eN*)是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)

列，

所以S]o=l02)=1023?故答案為:1。23.

題型二等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)

【例2】⑴已知等比數(shù)列｛%+1｝,%=0,%=3,則%=()

A.-3B.-2C.-1D.1

(2)等比數(shù)列｛4｝中，。2=；，4=2,則為與的等比中項(xiàng)是()

一11

A.+4B.4C.i-D.一

—44

⑶已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列｛an｝滿足。4-2a；+3/=0,數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且b7=a7,

則b2b8bli等于()

A.1B.2C.4D.8

【答案】(1)D(2)A(3)D

【解析】(1)由題意得：(%+1)2=(4+1).(%+1)=4,由%+1=(〃]+1)?鄉(xiāng)2>。，得

%+1=2,故。3=1，

故選：D.

(2)回％=；,q=2,回〃6=。2X/=；x2'=4.又〃4〃8=〃：=16.回。4與“8的等比中項(xiàng)是

±4.

故選：A.

⑶因?yàn)椋鸻n｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，由4-2%2+3%=0可得：

(g+/)—2%2+24=0,2a6—2%2+2%—0=>2(4+1)—2%?=0=>4%—2^2—0

.解得%=2,所以e=%=2,所以b2b8b[I=瓦瓦區(qū)=b7b6b&=*=8,關(guān)系存在D

【舉一反三】

1.若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且4%%3=8,則4%二()

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛叫是等比數(shù)列，由q=8,得姆=8,所以%=2,因此

“31=〃7=4"

故選：c.

2.正項(xiàng)等比數(shù)歹!]｛%｝滿足+2〃3〃7+。6〃10=16,則。2+。8=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)歹！I｛%｝滿足蠟+2%%+%qo=16,貝1|有4+2a24+4=16,即

(。2+%)一=16,

又由數(shù)列｛%｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，故4+/=4.故選：C.

3.公差不為0的等差數(shù)列｛凡｝中，2%—%2+2%=0,數(shù)列也｝是等比數(shù)列，且用=%,

則b6b&=()

A.2B.4C.8D.16

【答案】D

［解析】等差數(shù)列｛a“｝中,%+=2al，故原式等價(jià)于蠟-4%=0解得%=0或%=4,

各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列｛4｝,故得到%=4=2,數(shù)列｛〃｝是等比數(shù)列，故b6b8=b；=16.

故選：D.

4.等比數(shù)列｛。“｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且qoioqou=3.貝ijlog3ai+log3a2++log3a2020=

()

A.3B.505C.1010D.2020

【答案】C

析】由q42020—^2^2019—%“2018——^1010^1011—3，

1010

所以log3?1+log3a2++log3“2020=log3(%oioqou)=l°g33=1010.故選：C

5.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛qj中，坨。3+坨。6+坨。9=6,貝！的值是()

A.10B.1000C.100D.10000

【答案】D

【解析】正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，因?yàn)閘gq+lg%,+坨。9=6,所以Ig%。6a9=3％>3=6，

即31g4=6,lg4=2,故牝口。。，。1。11=412=1000°.故選：D.

vi-iL4-1r

6.在等比數(shù)列｛%,｝中，4，％5是方程6x+8=0的根，則---=()

。9

A.272B.-272C.±2應(yīng)D.2

【答案】A

2a0

【解析】根據(jù)題意：/+%5=6,a3-4Z15=8=ag,故。3>0,%5>。，9=>>

故佝=2，5,則」曰上=3―=%=2J5.故選：A.

。9〃9

7.己知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，數(shù)列也｝是等差數(shù)列，若夕％4=36，

37r仇十仇

bl+b6+bn=-—,則tan^~的值是()

4l-tz4,?8

A/7B&C忘D1

A.—7J力?L?------------u.-I-

-22

【答案】D

【解析】在等差數(shù)列｛2｝中，由4+d+%=3%=—苧，得生=—?，

71

:,b3+bg=2b6=--,

在等比數(shù)列｛%,｝中，由勺％,％1=3有，得《=3百，&6=上，

n

則tan么+與=tan——=tan—=T故選：D'

]—%,%—24

題型三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)

【例3】(1)已知等比數(shù)歹的前〃項(xiàng)和S〃=3"2+3t,則t=()

A.1B.-1C.-3D.-9

⑵等比數(shù)列｛%｝的前。項(xiàng)和為s“，若$4=2,58=6,則，6為()

A.18B.30C.54D.14

(3)在等比數(shù)列｛oj中，如果。1+。2=40,03+04=60,那么07+。8=()

A.135B.100

C.95D.80

⑷已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列｛a,J,所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之

積為64,則q=().

A.11B.12C.13D.14

【答案】(1)C(2)B(3)A(4)B

n+23

【解析】⑴因?yàn)榈缺葦?shù)列｛。力的前n項(xiàng)和Sn=3+3t,則ai=Si=3+3t=27+3t,

4354

O2=S2~Si=(3+3t)-(3+3t)=54,a3=S3-S2=(3+3t)-(3+3t)=162,

則有(27+3t)xl62=542,解得t=-3,故選：C.

(2)｛4｝是等比數(shù)列，則邑,58-54,512-58,516-512也成等比數(shù)列，

vS4=2,Sg=6,S8-S4=4,^2-S8=8,則S12=14,S16-S12=16,則S16=30.

故選：B.

⑶由等比數(shù)列前"項(xiàng)和的性質(zhì)知，。1+。2,。3+。4,as+a&,。7+。8成等比數(shù)列，

其首項(xiàng)為40,公比為如=3,所以07+08=40x(3)3=135.故選：A

4022

⑷由題意可得所有項(xiàng)之和S奇+S偶是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，回s奇+S偶=4s偶,

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得5偶=“5奇，即5奇=45偶，

q

團(tuán)—S偶+S偶=4s偶,團(tuán)S偶0°,團(tuán)解得q——,

q3

又前3項(xiàng)之積=W=64,解得a,=4,回。1=友=12.故選:B.

q

【舉一反三】

1.已知等比數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和為S,,若s“=3”+j+l,貝心=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】S“=；=：3"+亍⑵+1),所以2f+l=—1,解得f=—1.故選：B

2.設(shè)等比數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S“，若§2=3,邑=15,則其=()

A.31B.32C.63D.64

【答案】C

【解析】因?yàn)?〃為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，所以$2，54-52,$6-成等比數(shù)列，

2

所以⑸―S2）2=S2（S6—Sj，BP（15-3）=3（S6-15）,解得SG=63.故選：C

3.己知數(shù)列｛aj是等比數(shù)列，5"為其前n項(xiàng)和,若01+°2+。3=4,04+05+06=8,則Si2=

A.40B.60

C.32D.50

【答案】B

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列53,S6-S3,S9-56,S12-S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8,

S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列，因此512=4+8+16+32=60,選B.

4.已知等比數(shù)列｛%,｝的公比q=2,前100項(xiàng)和為Si。。=90,貝|其偶數(shù)項(xiàng)。2+/+一-+%00

為（）

A.15B.30C.45D.60

【答案】D

［解析］S］00=。］+a2++。100=90,設(shè)S=。］+%++。99，則2s=。2+++"100>

所以S+2s=90,S=30,故4+4+-+600=2S=60,故選D.

5.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S6：S3=l：2,則S9：S3=（）

A.1：2B.2：3C.3：4D.1：3

【答案】C

【解析】團(tuán)同｝為等比數(shù)列則S3,S6-S3,S94也成等比數(shù)列

由S6：53=1：2令S3=x,則56=—X,S6—=--X,貝1JS3：Se-S3=S6-S3：Sg-S6=-1：2

133

則Sg-S6=—X則S9=—X則S9：$3=-X：x=3：4故選C.

444

12

6.設(shè)a>0,6>0.若石是3〃與變的等比中項(xiàng)，則一+7的最小值為（）

ab

A.3B.2&c.2+372D.3+2加

【答案】D

【解析】回也是3"與3"的等比中項(xiàng)，團(tuán)3"-3"=（6『=3,回。+5=1.

八7八12/7Jilb2a__/r-

回〃>0,/?>0.0——i—=(〃+〃)——i——=3H---1--->3+2.-----=3+2v2，

abyab)abyab

i9

當(dāng)且僅當(dāng)b=0a=2—正時(shí)取等號.回一+一的最小值為3+2行.故選：D.

ab

7.已知等比數(shù)列｛%｝中，=9/，數(shù)列也｝是等差數(shù)列，且4=%，則4+%=()

A.18B.9C.16D.81

【答案】A

【解析】由題意可知，對任意的〃eN*，an*0,

由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得%=。；=9a8，可得。8=9，則4=%=9.

由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得4+43=24=18.故選：A.

8.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝滿足。=9,則

log3%+1。83。4+log3a5+log3a6+log3%的值為()

78cl0

A.-B.-C.3D.—

333

【答案】D

【解析】已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝滿足=9,由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得d=32,

2

3

/.a5=3'

由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得log3a3+log3a4+log3a5+log3a6+log3a7=(a3a4a5a6a7)

(2丫io］0

3

=log3-log33=一.故選：D.

IJ3

題型四等比數(shù)列的定義運(yùn)用

［例4］已知等差數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和為S“，%=7,§6=48,數(shù)列也｝滿足2%i=%+2,

4=3.證明：數(shù)列｛%-2｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝與數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式;

【答案】證明見解析；an=2n+\.+2，〃eN*

【解析】配「2'+1-2J

bn-2bn-2bn-22

所以數(shù)列｛2—2｝是首項(xiàng)為伍-2,公比q=g等比數(shù)列,

所以2_2=屹_2)[^]“=]3]]即％

neN';

%=%+2d=7

由＜6x5,，解得。i=3,d=2,所以見=q+(〃—l)d=2〃+1

【方法總結(jié)】

等比數(shù)列的判定方法

若“:一如為非零常數(shù)，"CN*）或許一如為非零常數(shù)且定2,“GN*）,則｛斯｝

定義法斯an-i

是等比數(shù)列

中項(xiàng)公式法若數(shù)列｛斯｝中，斯且若+1=斯?斯+2（〃￡N*）,則｛斯｝是等比數(shù)列

若數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式可寫成斯=cq"-i（c,g均為非零常數(shù)，”CN*）,則｛%｝

通項(xiàng)公式法

是等比數(shù)列

前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和&=左/一碎為非零常數(shù)，#0,1）,則｛斯｝是等比數(shù)列

【舉一反三】

1.已知數(shù)列｛4｝滿足卬=-2,4+1=24+4,證明：｛%+4｝是等比數(shù)列;

【答案】見解析；

【解析】由題意，數(shù)列｛%｝滿足％=-2,所以％+4=2

/\+4

又因?yàn)?+I=24+4,所以%+44=2%+8=2(%+4),即4^=2,

氏+4

所以｛%+4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

2.在數(shù)列｛。“｝中，4=1,a“+i=2a“+l,求證數(shù)列｛4+1｝為等比數(shù)列，并求％關(guān)于〃

的通項(xiàng)公式；

【答案】證明見解析；4=2"-1

【解析】。用+1=2（%+1）,

回｛%+1｝為等比數(shù)列且首項(xiàng)為4+1=2,公比為2,

回4+1=2-2"T=2",an=T-\.

3.已知正項(xiàng)數(shù)列｛a“｝滿足：%=a，a〉］—4a；+a“+i-24=0,〃eN*，判斷數(shù)列｛4｝

是否是等比數(shù)列，并說明理由；

【答案】答案不唯一，具體見解析；

【解析】Ea；+i-4a；+an+1-2an=0=>（a?+1-2an）（a,7+1+2an+1）=0,

又｛??｝是正項(xiàng)數(shù)列，可得an+l2+an+1>0,0%=2an,

團(tuán)當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列；

當(dāng)awO時(shí)，易知4片0,故口吐=2,

an

所以數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2.

4.己知數(shù)列｛4｝滿足：al=i,41M=—（24+〃）.求證：數(shù)列”是等比數(shù)列；

【答案】證明見解析

【解析】設(shè)優(yōu)="+1,則“+|=烏以+1,

nn+1

&L+12%+氣1

同或+i_"+1_n_2（。“+”）_2

bn%+1%+1an+n

nn

回2=%+1=2,回?cái)?shù)歹U｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即數(shù)列+“是等比

數(shù)列

題型五歷史中的數(shù)列

【例5】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加

增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"意思是："一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩

層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？"現(xiàn)有類似問題：一座5

層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的中間一層共

有燈（）

A.3盞B.9盞C.27盞D.81盞

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設(shè)塔的底層共有X盞燈，則每層燈的數(shù)目構(gòu)成以X為首項(xiàng)，g為公比的

等比數(shù)列，

XX”:）12

則有5=----『一=363,解可得：x=243,所以中間一層共有燈243義（§）2=27盞.故選：