第25講圓錐小題壓軸9類

【題型一】第一定義及其應用

22

【典例分析】已知橢圓C:二+4=l(a〉6〉0),Fi,F2為其焦點，平面內一點P滿足PF2_LFIF2,且

/b2

?..,\BFA

|尸局=忸門，線段PFi，PF2分別交橢圓于點A,B,若阿=1叫，則局=—

【變式演練】

22

~~~Y=1(?>0,Z?>0)FFF

1.已知雙曲線。b的左、右焦點分別為J,過巧且垂直于x軸的直線與該雙曲

b2

線的左支交于A,3兩點，AF\8月分別交》軸于P,0兩點，若APQ心的周長為16,則。+1的最大

值為.

2.已知拋物線。：了2=2幺%(2>0)的焦點為/，直線/與。交于A，3兩點，AF±BF,線段A5的

\AB\

中點為M，過點M作拋物線。的準線的垂線，垂足為N,則扁的最小值為

22

3.設耳,工分別是橢圓言+微=1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點加的坐標為(6,4),則PM+P4

的最大值為_.

【題型二】第二定義及應用

【典例分析】已知雙曲線C:^+，=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為&,尸2，。為坐標原點.P是雙曲線

在第一象限上的點，直線PO,PF2分別交雙曲線C左、右支于另一點MN.若〔PF/=2\PF2\,且乙MF2N=60°,

則C的離心率為

【變式演練】

L如圖，橢圓C:，+3=l（a〉2），圓0:/+/=/+4,橢圓c的左、右焦點分別為4,B，

過橢圓上一點尸和原點0作直線/交圓。于M,N兩點，若尸耳.「鳥=8,則PM.PN的值為.

2.過拋物線V=2%的焦點F作直線交拋物線于A,3兩點，^\AB\=—,\AF\<\BF\，則|AF卜

22IPFI2

3.設Fi，F2為雙曲線二（a>0,b>0）的左右焦點，P為雙曲線右支上任一點，當-11「最

a2b2lPFrl2e1

小值為8a時，該雙曲線離心率e的取值范圍是.

【題型三】第三定義及其應用

..f/1

【典例分析】已知橢圓ab的右焦點為I'刃，且離心率為2,ZMBC的三個頂點

都在橢圓廠上，設ZZ4BC三條邊A3、BC、AC的中點分別為D、E、M,且三條邊所在直線的斜率分別為

《、履、網，且《、《、占均不為0.0為坐標原點，若直線OD、OE、OM的斜率之和為1,則

111

—+—+—=

k]k2k3

【變式演練】

22

1.設雙曲線C:\—2=1（。〉0）〉0）的左，右頂點為4瓦p是雙曲線上不同于的一點，設直線

的斜率分別為利“，則當，13+：加〃1-2nm-3（111網+111師取得最小值時，雙曲線C的離心

率為

2

A.多C.出D.y/5

2.已知平行四邊形A3CD內接于橢圓Q:二+當=1（。〉6〉0）,且A5,斜率之積的范圍為（32

ab匕-g

則橢圓Q離心率的取值范圍是（）

植叵I

9

3.在平面直角坐標系中，0為坐標原點，MN是雙曲線上-上=1上的兩個動點，動點尸滿足

24

OP=2OM-ON，直線。恢與直線ON斜率之積為2,已知平面內存在兩定點耳、工，使得|怛耳卜|。巴||

為定值，則該定值為

【題型四】焦點三角形與離心率

【典例分析】

2

已知工分別是雙曲線好—a=1的左，右焦點，A是雙曲線上在第一象限內的點，若|Ag|=2且

ZF}AF2=45°.延長AF2交雙曲線右支于點B，則AF,AB的面積等于.

【變式演練】

22

—7+=1（。>b>0）

1.點町是橢圓礦盯上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點E,圓河與y

軸相交于RQ,若APW是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是.

22

2.已知雙曲線「：——3=1（。〉0力〉o）的左、右焦點分別為耳,耳，尸是r右支上的一點，。是的

ab

3

延長線上一點，且工，若sinN尸耳Q=《，則「的離心率的取值范圍是.

3

3.設拋物線V=2x的焦點為尸，過點“(6,0)的直線與拋物線相交于A,3兩點，與拋物線的準線相交

于點C,忸耳=2,則A3C尸與AACF的面積之比黃比=__________.

3AAe「

【題型五】定比分點

X2V

—+yy-1(^>b>0)AR

【典例分析】已知橢圓「：ab的左、右焦點分別為4，色,點A”在橢圓「上,

曲由耳=°且9='巴巴則當Xe[2,3]時，橢圓的離心率的取值范圍為.

【變式演練】

1.設雙曲線C：//一">'>的右焦點為過尸且斜率為由的直線交C于A、B兩點,若

AB=5FB,則C的離心率為.

2.拋物線y2=4x,直線1經過拋物線的焦點F,與拋物線交于A、B兩點，若函=4麗，則△04B(O為

坐標原點)的面積為.

3.直線過橢圓：=+與=1(a>0,b>0)的左焦點F和上頂點A,與圓心在原點的圓交于P,Q兩點，

ab

若尸尸二3/Q,ZPOQ=120°,則橢圓離心率為()

A.1B.@C.昱D.叵

2337

【題型六】焦點三角形與四心

【典例分析】已知尸是拋物線V=4x的焦點，A，3在拋物線上，且的重心坐標為(3，；)，則

II-H阻L

\AB\一—

4

【變式演練】

22

1..已知點P為雙曲線靠—色=l（a〉0,b>0）右支上的一點，點后，/2分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線

的一條漸近線的斜率為近，若M為/P&F2的內心，且S”MFI=S/PMFZ+4S/MFIFZ，貝版的值為.

22

2.橢圓工+2_=1的左、右焦點分別為Fi,F2,弦AB過點FI,若AABF2的內切圓周長為無，A,B兩點的

167

坐標分別為（xi,yi）,（X2,y2）,則|yi-yz|=.

3.點耳、工分別是雙曲線必-《=1的左、右焦點，點尸在雙曲線上，則△尸與心的內切圓半徑廠的取值

范圍是（）

A.（0,73）B.（0,2）C.（0,72）D.（0,1）

【題型七】共焦點的橢圓雙曲線性質

【典例分析】

橢圓與雙曲線共焦點耳、F2,它們的交點P對兩公共焦點耳、B的張角為/片尸鳥=2。，橢圓與雙曲線

的離心率分別為外、《2,貝U（）

cos20sin20.sin20cos20e.2e：—^+―=1

A.-j—+——=1B.D.

e；e；cos20sin20sin20cos20

【變式演練】

FFZ.FXPF2=一

1.己知是橢圓和雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，且3,橢圓的離心率為6,

13

—+—=

雙曲線的離心率與，則662.

7T

2.已知尸一4是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且/月。鳥=耳，記橢圓和雙曲線的

5

離心率分別為6,e2,則l+且的最大值為()

e\22

A.子B.與C,2V3>2加

3.已知片，B是橢圓和雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，且/耳2耳=3-,則橢圓和雙曲線

的離心率之積的范圍是()

A.(1,+8)B.(0,1)C.(0,72)D.(V2,+oo)

【題型八】切線與切點弦

【典例分析】

過點M(2,—2p)作拋物線x2=2py(p>0)的兩條切線，切點分別為A,B,若線段AB的中點的縱坐標為6,

則p的值是.

【變式演練】

1.兩個長軸在％軸上、中心在坐標原點且離心率相同的橢圓.若A,3分別為外層橢圓的左頂點和上頂點，

9

分別向內層橢圓作切線AC,50,切點分別為C,D,且兩切線斜率之積等于-三，則橢圓的離心率為()

22

2.己知雙曲線2=1(。>0,方>。)的左、右焦點分別為片，與，過百作圓/+丫2=02的切線，交雙曲線右支

ab

于點若/隼倏=60。，則雙曲線的漸近線方程為()

A.y=±(3+>^)尤B.y=i2xC.y=±+xD.y=±(1+>/3)x

3.過拋物線C:久2=4y的焦點F的直線/交C于4B兩點，在點2處的切線與軸分別交于點M,N,若Z1M0N的

6

面積為之，則|4F|=________________

【題型九】多曲線

【典例分析】

已知點A是拋物線必=4〉的對稱軸與準線的交點，點E為拋物線的焦點，點尸在拋物線上且滿足

\P^^m\PF\,若加取最大值時，點尸恰好在以A/為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

CA/5+1

A.6+1B,V2+1D與

.2

【變式演練】

1丫22

1.己知點E是拋物線G：丁=一必與橢圓心：二+2=1伍〉。〉0）的公共焦點，鳥是橢圓G的另一焦

4a~b

點，p是拋物線a上的動點，當1^1取得最小值時，點P恰好在橢圓。2上，則橢圓G的離心率為

附I

2.己知雙曲線G：=一與=l（a>0,人〉0）的左、右焦點分別為耳,心，其中工也是拋物線

ab

3

G：V=2PMP>O）的焦點，G與G在一象限的公共點為尸，若直線尸耳斜率為丁，則雙曲線離心率

e（e>2）為.

22

3.已知橢圓。：=+二=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為耳、F2,拋物線丁=2內的焦點與工重合,

ab

若點尸為橢圓和拋物線的一個公共點且cosNP耳耳=|,則橢圓的離心率為.

7

【課后練習】

1.如圖，過拋物線=2px(2>0)的焦點/作兩條互相垂直的弦A3、CD,若人43與4配產面積

之和的最小值為16,則拋物線的方程為.

29

2.已知雙曲線京-翥=1(a>0方>0)的左右焦點分別為見尸2,過點6且垂直于久軸的直線與該雙曲

線的左支交于4B兩點，4F2,8尸2分別交y軸于P，Q兩點，若4PQF2的周長為12,則仍取得最大值時該

雙曲線的離心率為()

A.V2B.V3C.—D.—

32

22

3.橢圓二+與=1(。〉6〉0)的一個焦點為尸，過點尸的直線交橢圓于A3兩點，點c是點A關于原點

ab

的對稱點.若AX,廠。，AB=FC,則橢圓°的離心率為.

4.已知兩定點A(-1,0)和B(1,0)，動點PYJ)在直線；)=,-2上移動，橢圓C

以A,B為焦點且經過點P,則橢圓C的離心率的最大值為.

22

5.已知雙曲線靠一靠=l(a>0,6>0)上一點C,過雙曲線中心的直線交雙曲線于4B兩點.設直線AC、BC

的斜率分別為自、的，當作+也自+1皿2最小時，雙曲線的離心率為________________.

?述2

6.設拋物線/=2%的焦點為過點M(g,0)的直線與拋物線相交于A3兩點，與拋物線的準線相交于

8

點C,忸典=2,則ABCF與AACF的面積之比產=.

3AAe/

7.已知A、3是過拋物線V=2px(2>0)的焦點E的直線與拋物線的交點，0是坐標原點，且滿足

AB=3FB，SOAB=^\AB\，貝的值為.

22

8.已知雙曲線C：三一斗=1(。>0,6>0)的左，右頂點分別為A，5,點/為雙曲線

ab

C的左焦點，過點F作垂直于X軸的直線與雙曲線。交于點尸，。，其中點P在第二象限，連接

交y軸于點E,連接AE交Q尸于點M，若FM=2MQ,則雙曲線。的離心率為.

9.設拋物線必=4〉的焦點為E,A為拋物線上第一象限內一點，滿足IA戶1=2,己知p為拋物線準線上

任一點，當IR4I+IP尸I取得最小值時，AB4/的外接圓半徑為.

10.在等