PAGEPAGE1小題專練·作業(六)三角恒等變換、解三角形1．若角α的終邊過點A(2,1)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))＝()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)解析由題意知cosα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))＝－cosα＝－eq\f(2\r(5),5)。故選A。答案A2．已知tanθ＝2，則eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋sin2θ的值為()A．eq\f(19,5) B．eq\f(16,5)C．eq\f(23,10) D．eq\f(17,10)解析解法一：原式＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋sin2θ＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋eq\f(sin2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ)＋eq\f(tan2θ,tan2θ＋1)，將tanθ＝2代入，得原式＝eq\f(23,10)。故選C。解法二：在平面直角坐標系xOy中，tanθ＝2＝eq\f(2,1)，不妨設θ為銳角，角θ的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上取點P(1,2)，則|OP|＝eq\r(5)，由三角函數的定義，得sinθ＝eq\f(2,\r(5))，cosθ＝eq\f(1,\r(5))，所以eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋sin2θ＝eq\f(\f(2,\r(5))＋\f(1,\r(5)),\f(2,\r(5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))))2＝eq\f(23,10)。故選C。答案C3．若角α滿意sinα＋2cosα＝0，則tan2α＝()A．－eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)解析解法一：由題意知，tanα＝－2，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,3)。故選D。解法二：由題意知，sinα＝－2cosα，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(4,3)。故選D。答案D4．(2024·全國卷Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝()A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)解析由題可知S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC。因為C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,4)。故選C。答案C5．(2024·河南聯考)線段的黃金分割點的定義：若點C在線段AB上，且滿意AC2＝BC·AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點。在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若角B的平分線交邊AC于點D，則點D為邊AC的黃金分割點，利用上述結論，可以求出cos36°＝()A．eq\f(\r(5)－1,4) B．eq\f(\r(5)＋1,4)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)解析不妨設AB＝2，利用黃金分割點的定義得AD＝eq\r(5)－1，易知∠A＝∠ABD＝36°，故AD＝BD＝eq\r(5)－1。在△ABD中，cos36°＝eq\f(\r(5)－12＋22－\r(5)－12,2×2×\r(5)－1)＝eq\f(\r(5)＋1,4)。故選B。答案B6．(2024·陜西調研)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已在a，b，c成等比數列，且cosB＝eq\f(3,4)，則eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)＝()A．eq\f(\r(7),4) B．eq\f(2\r(7),3)C．eq\f(3\r(2),7) D．eq\f(4\r(7),7)解析由已知有b2＝ac，cosB＝eq\f(3,4)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(7),4)。由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)＝eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(sinCcosA＋cosCsinA,sinAsinC)＝eq\f(sinA＋C,sinAsinC)＝eq\f(sinB,sin2B)＝eq\f(4\r(7),7)。故選D。答案D7．(2024·洛陽統考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數列，且a2＝c2＋ac－bc，則eq\f(c,bsinB)＝()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\r(3)解析由題意得b2＝ac，a2＝c2＋ac－bc，故a2＝c2＋b2－bc，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)。因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)。依據正弦定理有eq\f(c,bsinB)＝eq\f(sinC,sin2B)，sin2B＝sinAsinC，故eq\f(c,bsinB)＝eq\f(1,sinA)＝eq\f(2\r(3),3)。故選B。答案B8．(2024·遼寧模擬)若a＝(cosx，sinx)，b＝(eq\r(3)，－1)，且a⊥b，則tan2x＝________。解析由題意得eq\r(3)cosx－sinx＝0，則tanx＝eq\r(3)，所以tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(2\r(3),1－3)＝－eq\r(3)。答案－eq\r(3)9．(2024·洛陽統考)已知sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),2)，則cos4α＝________。解析由題設有1＋2sinαcosα＝eq\f(5,4)，所以sin2α＝eq\f(1,4)，所以cos4α＝1－2sin22α＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)。答案eq\f(7,8)10．(2024·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________。解析依據題意，結合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝eq\f(1,2)，結合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A為銳角，且cosA＝eq\f(\r(3),2)，從而求得bc＝eq\f(8\r(3),3)，所以△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3)。答案eq\f(2\r(3),3)11．(2024·北京高考)若△ABC的面積為eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝________；eq\f(c,a)的取值范圍是________。解析△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)＝eq\f(\r(3),4)×2accosB，所以tanB＝eq\r(3)，因為0°<∠B<180°，所以∠B＝60°。因為∠C為鈍角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A)),sinA)＝eq\f(sin\f(2π,3)cosA－cos\f(2π,3)sinA,sinA)＝eq\f(\r(3),2tanA)＋eq\f(1,2)>2，故eq\f(c,a)的取值范圍為(2，＋∞)。答案60°(2，＋∞)12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝2b，△ABC的面積記作S，則下列結論肯定成立的是()A．B>30° B．A＝2BC．c<b D．S≤b2解析由a＝2b，得sinA＝2sinB≤1，則sinB≤eq\f(1,2)，因為B不是最大角，所以0°<B≤30°，A錯誤；sinA＝2sinB與A＝2B沒有關系，B錯誤；若a＝4，b＝2，c＝5，符合a＝2b，但c>b，C錯誤；三角形面積S＝eq\f(1,2)absinC＝b2sinC≤b2。故選D。答案D13．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c。若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面積為1＋eq\r(2)，則b的最小值為()A．2B．3C．eq\r(2)D.eq\r(3)解析由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1。因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4)。由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝1＋eq\r(2)，得ac＝2eq\r(2)＋4。又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－eq\r(2)ac＝(2－eq\r(2))·(4＋2eq\r(2))＝4，當且僅當a＝c時等號成立，所以b≥2，b的最小值為2。故選A。答案A14．(2024·江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________。解析因為∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面積公式可得eq\f(1,2)acsin120°＝eq\f(1,2)asin60°＋eq\f(1,2)csin60°，化簡得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1，則4a＋c＝(4a＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))＝5＋eq\f(c,a)＋eq\f(4a,c)≥5＋2eq\r(\f(c,a)·\f(4a,c))＝9，當且僅當c＝2a時取等號，故4a＋c的最小值為9。答案915．(2024·石家莊模擬)如圖，平面四邊形ABCD的對角線的交點位于四邊形的內部，AB＝1，BC＝eq\r(2)，AC＝CD，AC⊥CD，當∠ABC改變時，對角線BD的最大值為________。解析設∠ABC＝θ，θ∈(0，π)，則由余弦定理得AC2＝3－2eq\r(2)cosθ，由正弦定理得eq\f(1,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinθ)，得sin∠ACB＝eq\f(sinθ,AC)。在△DCB中，由余弦定理可得，BD2＝CD2＋2－2eq\r(2)CDcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠ACB))＝AC2＋2＋2eq\