課時練習20222023學年高二數學北師版選擇性必修一課時一橢圓的簡單幾何性質+Word版含解析（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.橢圓的標準方程是（）A.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）B.$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）C.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$（$a>b>0$）D.$\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=0$（$a>b>0$）2.橢圓的焦距是（）A.$2a$B.$2b$C.$2c$（其中$c^2=a^2b^2$）D.$a+b$3.橢圓的長軸與短軸之比是（）A.$\frac{a}{b}$B.$\frac{b}{a}$C.$\frac{c}{a}$（其中$c^2=a^2b^2$）D.$\frac{c}{b}$（其中$c^2=a^2b^2$）4.橢圓的離心率是（）A.$\frac{a}{b}$B.$\frac{b}{a}$C.$\frac{c}{a}$（其中$c^2=a^2b^2$）D.$\frac{c}{b}$（其中$c^2=a^2b^2$）5.橢圓上的點到兩個焦點的距離之和等于（）A.$2a$B.$2b$C.$2c$（其中$c^2=a^2b^2$）D.$a+b$二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）6.橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，則其長軸長度為________。7.橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，則其短軸長度為________。8.橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，則其焦距為________。9.橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，則其離心率為________。10.橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，則其上任意一點到兩個焦點的距離之和為________。三、解答題（共5小題，每小題10分，滿分50分）11.已知橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求證：橢圓的焦距等于長軸與短軸之差的絕對值。12.已知橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求證：橢圓的離心率等于焦距與長軸之比。13.已知橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求證：橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和等于長軸的長度。14.已知橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求證：橢圓的長軸與短軸互相垂直。15.已知橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求證：橢圓的中心在原點。四、計算題（共5小題，每小題8分，滿分40分）16.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓的焦距。17.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓的離心率。18.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓的長軸與短軸之比。19.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和。20.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓的中心坐標。五、應用題（共5小題，每小題10分，滿分50分）21.在一個橢圓的長軸上，有兩個點A和B，它們到橢圓中心的距離分別為3和4，求橢圓的離心率。22.在一個橢圓的短軸上，有兩個點C和D，它們到橢圓中心的距離分別為1和2，求橢圓的長軸與短軸之比。23.已知橢圓的焦距為6，長軸與短軸之比為sqrt31，求橢圓的標準方程。24.已知橢圓的離心率為frac12，長軸與短軸之比為2，求橢圓的標準方程。25.已知橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為10，長軸與短軸之比為3，求橢圓的標準方程。一、選擇題1.A2.B3.C4.D5.E二、填空題6.2a7.2b8.a2b29.a2+b210.fracab三、解答題11.已知橢圓的標準方程為fracx2a2fracy2b21，求證：橢圓的焦距等于長軸與短軸之差的絕對值。證明：由橢圓的定義可知，橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和等于長軸的長度，即2a。設橢圓的焦點為F1和F2，則根據距離公式，有F1F2=2a2c，其中c為橢圓的焦距。又由橢圓的性質可知，a2=b2+c2，即c2=a2b2。代入F1F2的表達式，得F1F2=2a2sqrt(a2b2)。化簡得F1F2=2sqrt(a2b2)，即橢圓的焦距等于長軸與短軸之差的絕對值。12.已知橢圓的標準方程為fracx2a2fracy2b21，求證：橢圓的離心率等于焦距與長軸之比。證明：由橢圓的定義可知，橢圓的離心率e等于焦點到中心的距離與長軸之比，即e=fracca。又由橢圓的性質可知，a2=b2+c2，即c2=a2b2。代入e的表達式，得e=fracasqrt(a2b2)。化簡得e=sqrt(1fracb2a2)，即橢圓的離心率等于焦距與長軸之比。13.已知橢圓的標準方程為fracx2a2fracy2b21，求證：橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和等于長軸的長度。證明：設橢圓上任意一點為P，焦點為F1和F2。根據距離公式，有PF1+PF2=2a。又由橢圓的性質可知，PF1+PF2=2a2c，其中c為橢圓的焦距。代入PF1+PF2的表達式，得2a2c=2a，即橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和等于長軸的長度。14.已知橢圓的標準方程為fracx2a2fracy2b21，求證：橢圓的長軸與短軸互相垂直。證明：設橢圓的長軸為AB，短軸為CD。由橢圓的性質可知，AB的中點為橢圓的中心O，CD的中點也為橢圓的中心O。又由橢圓的定義可知，AB的長度為2a，CD的長度為2b。根據勾股定理，有AO2+CO2=AC2，即a2+b2=AC2。又由橢圓的性質可知，AC=2c，其中c為橢圓的焦距。代入AC的表達式，得a2+b2=4c2。又由橢圓的性質可知，a2=b2+c2，即c2=a2b2。代入a2+b2的表達式，得a2+b2=4(a2b2)。化簡得3b2=3a2，即b2=a2。因此，AB與CD互相垂直。15.已知橢圓的標準方程為fracx2a2fracy2b21，求證：橢圓的中心在原點。證明：設橢圓的中心為O，焦點為F1和F2。由橢圓的性質可知，OF1=OF2=c，其中c為橢圓的焦距。又由橢圓的定義可知，橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和等于長軸的長度，即2a。設橢圓上任意一點為P，根據距離公式，有PF1+PF2=2a。又由橢圓的性質可知，PF1+PF2=2a2c。代入PF1+PF2的表達式，得2a2c=2a，即2c=0。因此，c=0，即橢圓的中心在原點。四、計算題16.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓的焦距。解：由橢圓的定義可知，焦距c=sqrt(a2b2)。代入a=2，b=1，得c=sqrt(2^21^2)=sqrt(3)。17.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓的離心率。解：由橢圓的定義可知，離心率e=fracca。代入a=2，c=sqrt(3)，得e=frac2sqrt(3)。18.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓的長軸與短軸之比。解：由橢圓的定義可知，長軸與短軸之比為fracab。代入a=2，b=1，得fracab=2。19.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和。解：由橢圓的定義可知，橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和等于長軸的長度，即2a。代入a=2，得2a=4。20.已知橢圓的標準方程為fracx22fracy211，求橢圓的中心坐標。解：由橢圓的定義可知，橢圓的中心坐標為(0,0)。五、應用題21.在一個橢圓的長軸上，有兩個點A和B，它們到橢圓中心的距離分別為3和4，求橢圓的離心率。解：由橢圓的定義可知，離心率e=fracca。由題意可知，A和B到橢圓中心的距離分別為3和4，即a=4，c=3。代入離心率的表達式，得e=frac34。22.在一個橢圓的短軸上，有兩個點C和D，它們到橢圓中心的距離分別為1和2，求橢圓的長軸與短軸之比。解：由橢圓的定義可知，長軸與短軸之比為fracab。由題意可知，C和D到橢圓中心的距離分別為1和2，即b=2，a=2。代入長軸與短軸之比的表達式，得fracab=1。23.已知橢圓的焦距為6，長軸與短軸之比為sqrt31，求橢圓的標準方程。解：由橢圓的定義可知，焦距c=sqrt(a2b2)，長軸與短軸之比為fracab。由題意可知，c=6，fracab=sqrt31。代入焦距和長軸與短軸之比的表達式，得6=sqrt(a2b2)，fracab=sqrt31。解得a=6sqrt3，b=6。因此，橢圓的標準方程為fracx2(6sqrt3)^2fracy26^21。24.已知橢圓的離心率為frac12，長軸與短軸之比為2，求橢圓的標準方程。解：由橢圓的定義可知，離心率e=fracca，長軸與短軸之比為fracab。由題意可知，e=frac12，fracab=2。代入離心率和長軸與短軸之比的表達式，得frac12=fracca，fracab=