第1頁/共1頁2024北京初二（下）期末數學匯編一元二次方程章節綜合（京改版）（解答題）一、解答題1．（2024北京平谷初二下期末）如圖，有長為的籬笆，圍成矩形花圃，且花圃的長可借用一段墻體．（墻體的最大可用長度為），如果圍成的花圃的面積為，試求的長．

2．（2024北京平谷初二下期末）解方程：(1)．(2)．3．（2024北京石景山初二下期末）一次函數的圖象與直線交于點．(1)求，的值；(2)函數的圖象與軸交于點，為直線上一點，若，請結合函數圖象，直接寫出點的坐標為______．4．（2024北京石景山初二下期末）選擇適當的方法解方程：．5．（2024北京石景山初二下期末）隨著產品質量的提升和國際市場的開拓，中國新能源汽車的出口潛力巨大．2021年，我國新能源汽車出口約30萬輛；2023年，我國新能源汽車出口量約120萬輛．求從2021年到2023年，我國的新能源汽車出口量的年平均增長率．6．（2024北京延慶初二下期末）某公園在綠化時，工作人員想利用如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長）和長為米的籬笆圍成一個矩形場地，其中邊，為籬笆．如果矩形場地的面積是平方米，求矩形場地的長和寬各是多少米？7．（2024北京延慶初二下期末）解方程：(1)；(2)．8．（2024北京石景山初二下期末）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求m的取值范圍；(2)當m為滿足條件的最小整數時，求出m的值及此時方程的兩個根．9．（2024北京海淀初二下期末）解方程：(1)(2)．10．（2024北京順義初二下期末）列方程解應用題：斑馬魚是生物學研究的模式生物，具有很高的科研價值，若選取一條斑馬魚作為觀察實驗樣本，對其視網膜厚度進行量化分析，此時它的視網膜厚度為（微米），兩周后視網膜厚度達到了（微米）．假設每周視網膜厚度的增長率相同，求這條斑馬魚視網膜厚度的周平均增長率11．（2024北京順義初二下期末）關于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的一個根小于，求的取值范圍．12．（2024北京延慶初二下期末）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求實數m的取值范圍；(2)若m為滿足條件的最大整數，求此時方程的根．13．（2024北京房山初二下期末）解下列方程：(1)；(2)；(3)．14．（2024北京通州初二下期末）已知一元二次方程的一個根為，求m的值及另一個根．15．（2024北京海淀初二下期末）已知a是關于x的一元二次方程的一個根，求代數式的值．16．（2024北京通州初二下期末）如圖，某班級門口有一塊長為20厘米、寬為15厘米的小型長方形優秀事跡展板，展板上粘貼上下左右對齊兩排的6個長方形且面積都為18平方厘米的班級學生主要事跡貼紙，若要求學生的主要事跡貼紙之間以及到上下左右的寬度都相等（設為x厘米），如圖所示，求寬度x．17．（2024北京通州初二下期末）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：不論k取何值，該方程都有兩個實數根；(2)若方程有一個根大于1，求k的取值范圍．18．（2024北京平谷初二下期末）已知關于的一元二次方程（為常數）．(1)求證：不論為何值，該方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程的一個根為3，求的值和方程的另一個根．19．（2024北京昌平初二下期末）學校組織趣味運動會，某游戲項目需用長為的繩子圈定的矩形區域，求這個矩形的長和寬．20．（2024北京昌平初二下期末）已知關于的一元二次方程．(1)求證：對于任意實數，該方程總有實數根；(2)若這個一元二次方程的一根大于2，求的取值范圍．21．（2024北京昌平初二下期末）解方程：．22．（2024北京十一學校初二下期末）解下列方程：(1)(2)23．（2024北京房山初二下期末）關于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若方程有一個根小于1，求m的取值范圍．24．（2024北京清華附中初二下期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0．（1）求證：無論實數m取何值，方程總有兩個實數根；（2）若方程兩個根均為正整數，求負整數m的值．25．（2024北京順義初二下期末）解一元二次方程

參考答案1．的長為12米【分析】本題考查了二次函數的應用，根據題意列出函數關系式是解答本類題目的關鍵．設的長為，則，根據圍成的花圃的面積為建立方程求解，排除不符合實際的解，即可得出結果．【詳解】解：設的長為，則，由已知，，則依據題意列方程得：，解得：（舍），答：的長為12米．2．(1)，(2)，【分析】本題考查解一元二次方程（1）根據題意利用公式法求兩個解．（2）根據題意利用十字相乘法求兩個解．【詳解】（1）解：（1），由于，，，，（2）解：（2），，，，，3．(1)，；(2)或．【分析】本題考查求一次函數解析式和勾股定理以及解一元二次方程，掌握一次函數的圖像及性質是解題的關鍵．（1）由直線過點，得，把代入得，求解即可；（2）由，得一次函數為，從而得，設，由構建方程求解得或，從而即可得解．【詳解】（1）解：∵直線過點，∴，解得，∴，把代入得，解得；（2）解：∵，∴一次函數為，令，則，解得x=2，∴，由為直線上一點，設，∵，，∴解得或，∴或．故答案為：或．4．，【分析】此題考查了解一元二次方程因式分解法，利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，或，，．5．從2021年到2023年，我國的新能源汽車出口量的年平均增長率為【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，理解題意，弄清數量關系是解題關鍵．設新能源汽車出口量的年平均增長率為，根據題意，可知2022年我國新能源汽車出口量約萬輛，則2023年我國新能源汽車出口量約萬輛，據此列出方程并求解，即可獲得答案．【詳解】解：設新能源汽車出口量的年平均增長率為，根據題意，可得，解得（不合題意，舍去），．答：從2021年到2023年，我國的新能源汽車出口量的年平均增長率為．6．矩形場地的長為米，寬為米【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，熟練根據題意列出式子是解題的關鍵．設矩形場地的長為米，則寬為米，根據面積是平方米列式求解即可，注意長大于寬．【詳解】解：設矩形場地的長為米，則寬為米，由題意得：，化簡得：，解得：，當時，；當時，（不合題意，舍去）；∴，，答：矩形場地的長為米，寬為米．7．(1)，(2)，【分析】本題考查解一元二次方程．（1）根據配方法求解即可；（2）根據公式法求解即可．【詳解】（1）.解：∴原方程的解為，．（2）解：，，．．∴．∴原方程的解為，．8．(1)(2)；【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式；（1）根據方程有兩個不相等的實數根可得，解不等式求出m的取值范圍；（2）由（1）中m的取值范圍得出m的最小整數，代入方程，利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）由題意得：解得：（2）∵∴m的最小整數為此時方程為解得：9．(1)(2)【分析】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．（1）變形為一般形式后，用公式法解方程即可；（2）變形后利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：則∵，∴，∴，∴（2）解：，∴∴，∴或，∴；10．設視網膜厚度周平均增長率為【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用——增長率問題．設視網膜厚度周平均增長率為x，根據題意列出方程求解即可．【詳解】解：設視網膜厚度周平均增長率為x，根據題意得：，解得：（不符合題意，舍去）．答：設視網膜厚度周平均增長率為．11．(1)見解析(2)【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟練掌握一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解題的關鍵．（1）根據，證明即可；（2）由，可得，解得，或，由方程的一個根小于，可得，計算求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴方程總有兩個實數根；（2）解：∵，∴，解得，或，∵方程的一個根小于，∴，解得，．12．(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，解不等式，對于（1），根據題意可知，再求出解即可；對于（2），根據取值范圍求出m的值，再求出方程的解即可．【詳解】（1）解：依題意，得．∵方程有兩個不相等的實數根，∴．∴；（2）解：∵m為滿足條件的最大整數，∴．∴，∴．13．(1)，(2)，(3)，【分析】本題主要考查了解二元一次方程，掌握運用直接開平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程成為解題的關鍵．（1）先移項，然后運用直接開平方法求解即可；（2）直接運用因式分解法求解即可；（3）直接運用公式法法求解即可．【詳解】（1）解：，，，所以該方程的解為：，．（2）解：，，或，所以，該方程的解為：，．（3）解：，∵，，，∴，∴，所以，該方程的解為：，．14．m的值為2及另一個根．【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，利用兩根和與兩根積的公式即可得解．【詳解】解：∵一元二次方程的一個根為，∴，解得：，∵，∴即m的值為2及另一個根．15．9【分析】本題考查了一元二次方程的解，已知代數式求值，先利用乘法公式展開、合并得到原式，利用一元二次方程根的定義得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：，∵a是關于x的一元二次方程的一個根，∴，∴，∴原式16．2【分析】本題考查了一元二次方程的應用，利用平移的觀點，把6個長方形平移在一起，成為一個一個新的長方形，則長和寬分別是米和米，根據面積公式即可列方程求解．【詳解】解：根據題意，得，整理得，解得，（不符合題意，舍去）故寬度x為2．17．(1)見解析(2)【分析】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關鍵是（1）牢記“當時，方程有兩個實數根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程結合方程一根大于1，找出關于的一元一次不等式（1）根據方程的系數結合根的判別式，可得，由此可證出方程總有兩個實數根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出,根據方程有一根大于1，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍；【詳解】（1）證明：∵在方程中，，∴方程總有兩個實數根；（2）∵，∴，∵方程有一根大于1，∴，∴的取值范圍為；18．(1)見解析；(2)，．【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，掌握，方程有兩個不相等的實數根是解題關鍵．（1）根據一元二次方程根的判別式，得到，再根據平方的非負性，即可證明結論；（2）將代入方程，求出，再根據因式分解法解二元一次方程即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，不論為何值，該方程總有兩個不相等的實數根．（2）解：將代入方程，得：．解得：．當時，方程為，，，，方程的另一個根是．19．矩形的長為，矩形的寬為．【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設矩形的長為，則矩形的寬為：，依題意可得方程∶，解一元二次方程即可求解．【詳解】解：設矩形的長為，則矩形的寬為：，依題意可得方程∶整理得：，解得：，，∴當時，，當時，，故矩形的長為，矩形的寬為．20．(1)見解析；(2)．【分析】本題考查了根的判別式及解一元二次方程，正確運用判別式是解題的關鍵：（1）根據一元二次方程判別式為，即可解答；（2）解方程，求得，，根據題意得到，解不等式即可．【詳解】（1）證明：∵關于x的一元二次方程，∴，∴對于任意實數m，該方程總有實數根；（2）解：設方程的兩個實數根為，，，∴，，∵這個一元二次方程的一根大于2，∴，解得：，∴m的取值范圍．21．，【分析】本題考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．【詳解】解：，，，，．22．(1)，(2)，【分析】（1）根據配方法解一元二次方程即可求解；（2）根據因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：方程兩邊同時加上5，即即，∴，解得：，（2）解：∴，∴，解得：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．23．（1）見解析；（2）【分析】（1）直接利用根的判別式，判斷△≥0即可；（2）利用求根公式求得兩個，根據有一個根小于1列出不等式求解即可．【詳解】（1）證明：，∵無論m取何值時，，∴此方程總有兩個實數根．（2）解：，．．∵此方程有一個根小于1，且．．．【點睛】本題考查根的判別式和用公式法解一元二次方程．解題的關鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有兩個實數根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根．24．(1)見解析；(2)m=-1.【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△=1>0，由此即可證出：無論實數m取什么值