高三數學考試題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)3.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.-\(\frac{3}{4}\)4.雙曲線\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x\)C.\(y=\pm\frac{5}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)5.已知\(a=0.3^{2}\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=\log_{2}0.3\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(c\lta\ltb\)C.\(b\lta\ltc\)D.\(c\ltb\lta\)6.若等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，且\(S_3=6\)，\(a_1=4\)，則公差\(d\)等于（）A.1B.\(\frac{5}{3}\)C.-2D.37.已知函數\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，若\(f(1)=f(2)=f(3)=0\)，則\(f(0)\)的值為（）A.1B.2C.3D.68.圓\(x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0\)的圓心坐標和半徑分別是（）A.\((1,-2)\)，3B.\((1,-2)\)，9C.\((-1,2)\)，3D.\((-1,2)\)，99.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個數中任取\(2\)個數，則這\(2\)個數之和為偶數的概率是（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)10.已知函數\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)）的圖象的一個最高點坐標為\((\frac{\pi}{12},2)\)，相鄰的一個最低點坐標為\((\frac{7\pi}{12},-2)\)，則\(\omega\)的值為（）A.2B.4C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{4}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^{2}+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=2^{x}\)2.已知直線\(l_1\)：\(ax+y+1=0\)，\(l_2\)：\(x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可能為（）A.1B.-1C.0D.23.以下關于圓錐曲線的說法正確的是（）A.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距）B.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)C.拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點坐標是\((\frac{p}{2},0)\)D.橢圓和雙曲線都有兩個焦點4.已知\(a\)，\(b\)為正實數，且\(a+b=1\)，則下列說法正確的是（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)5.對于函數\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，以下說法正確的是（）A.最小正周期是\(\pi\)B.圖象關于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱C.圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱D.在\((-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})\)上單調遞增6.已知\(\{a_n\}\)是等比數列，公比為\(q\)，則下列數列中一定是等比數列的有（）A.\(\{a_{n}^{2}\}\)B.\(\{a_{n}+a_{n+1}\}\)C.\(\{\frac{1}{a_n}\}\)D.\(\{a_n\cdota_{n+1}\}\)7.下列命題中，真命題有（）A.\(\existsx\inR\)，\(x^{2}+1\lt0\)B.\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+x+1\gt0\)C.\(\existsx\inQ\)，\(x^{2}=2\)D.\(\forallx\inR\)，\(\sinx\leqslant1\)8.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(x,1)\)，若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(x\)的值可以是（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)9.函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖象可能是（）A.在第一象限B.在第二象限C.在第三象限D.在第四象限10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，且當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^{2}-2x\)，則下列說法正確的是（）A.\(f(0)=0\)B.當\(x\lt0\)時，\(f(x)=-x^{2}-2x\)C.\(f(x)\)的單調遞增區間是\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)D.\(f(x)\)的圖象關于原點對稱三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）2.函數\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）3.直線\(x=1\)的傾斜角是\(90^{\circ}\)。（）4.若\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）是純虛數，則\(a=0\)且\(b\neq0\)。（）5.等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^{2}+n\)，則\(a_3=6\)。（）6.若\(A\)，\(B\)是互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）7.函數\(y=\cos2x\)的圖象是由函數\(y=\cosx\)的圖象橫坐標縮短為原來的\(\frac{1}{2}\)得到的。（）8.圓\(x^{2}+y^{2}=1\)與直線\(y=kx+2\)恒有公共點，則\(k\)的取值范圍是\(R\)。（）9.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)。（）10.函數\(y=\lnx\)在\((0,+\infty)\)上是增函數。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的單調遞增區間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解不等式得\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{6},k\inZ\)，所以單調遞增區間是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}],k\inZ\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求數列\(\{a_n\}\)的通項公式。答案：設公差為\(d\)，由\(a_3=a_1+2d\)，得\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)，則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)，求\(c\)的值。答案：根據余弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cosC\)，將\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)代入，得\(c^{2}=9+16-2\times3\times4\times\frac{1}{3}=17\)，所以\(c=\sqrt{17}\)。4.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，所求直線與之平行，斜率也為\(2\)。由點斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)=(1,2)\)，\(k=2\)）得\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^{2}-2x+3\)在不同區間上的單調性。答案：函數\(y=x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2\)，其圖象開口向上，對稱軸為\(x=1\)。在\((-\infty,1)\)上函數單調遞減，在\((1,+\infty)\)上函數單調遞增。2.已知橢圓和雙曲線都有兩個焦點，討論它們在定義和性質上的相同點與不同點。答案：相同點：都有兩個焦點，都有焦距等概念。不同點：定義上，橢圓是到兩定點距離和為定值，雙曲線是到兩定點距離差的絕對值為定值。性質上，橢圓離心率\(0\lte\lt1\)，雙曲線\(e\gt1\)；橢圓有范圍限制，雙曲線漸近線是重要特征。3.討論如何根據已知條件求數列的通項公式。答案：若已知數列類型（等差、等比），利用其通項公式結合條件列方程求解；若給出\(S_n\)與\(a_n\)關系，可利用\(a_n=S_n-S_{n-1}(n\geqslant2)\)，再驗證\(n=1\)時情況；若給遞推關系，可通過變形構造新數列等方法求通項。4.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，計算圓心到直線的距離\(d\)，與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數法，聯立直線與圓方程得方程組，消元后看判別式\(\Delta