第二十七章相似單元測試

一、單選題

1.在V/8C中，AB=AC,44=36。，BD平分/ABC,DE〃BC,則與V48c相似的是

（）

A.ADBEB.ABCDC.AABDD.xDEC

2.如圖，點￡為正方形4BCD邊上一點，點RG分別為CD,BC上一點，己知￡尸〃

,EG=AE,知道下列哪兩個點之間的距離，可以求出四邊形/瓦曬的面積（）

A.點4GB.點、D,GC.點尸，GD.點C,G

3.如圖,將矩形ABCD沿對角線AC翻折，BC的對應(yīng)邊EC交40于點R過點8作BG1CE

交/C于點與垂足為G,若4B=3,BC=4,則AG的長度為（）

4.如圖，與△DCE是以點E為位似中心的位似圖形，若/8=4,CD=8,5C=8,

則BE的長為（）

248

A.-B.-C.2D.-

333

5.如圖，在VN8C中，AB=AC,NB4c=36°,分別以A,C為圓心，以大于g/C長為

半徑畫弧，兩弧交于點W,N,過點N作直線交于點。，交4c于點E,再連接

以下結(jié)論①。；②；④些=@二1.其

CD.4L?C=72KDEsxCDB@S^ESABCD.

CD2

中正確的結(jié)論序號是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

6.下列各組條件中不能使V/BC與9￡尸相似的是（）

A.4=/。=40。，NB=NE=60。,AB=DE

B.AA=AD=60°,4=40。，AE=80°

C.Z-A—Z.D=50°,AB=3,AC=5,DE=6,DF=10

D./B=/E=70。，AB:DE=AC:DF

7.如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形OAB的頂點。（0,0）,8（2,0），點A在第

一象限，已知AOA'B'與△048位似，位似中心是原點O,且AOA'B'的面積是

則點A對應(yīng)點A'的坐標為（）

B.（273,2）或卜2百,一2）

C.(4,4A/3)D.(2,2⑹或(-2,-273)

8.如圖，在正方形48co中，若E為邊的中點，尸是3c邊上的一動點，則下列條件:

@BP:BC=1:3,②BP:BC=1:2,③BP:BC=2:3,@BP:BC=3:4.其中能推出ANBP

與△EC尸一定相似的條件有（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

9.如圖，在V48c中，點。，￡分別在邊48、AC±,下列條件中不能判斷△/BC?

八ADABrDEAE

(=I)=

,AEAC'BCAC

AT2

10.如圖，AB//CD//EF,分別截兩直線于六點.若一=彳，BD=8,則5/二

CE3

().

40

A.12B.—C.20D.

3T

11.如圖，已知4〃/2〃，3，如果45:80=2:3,那么土土等于（）

DF

12.如圖所示，直線。〃6〃c,直線機分別交直線。，b,c于點A,B,C,直線〃分別

JR7FF

交直線a,b,c于點。，E,F.若差=彳，則笠的值為（）

BC3Dr

h

二、填空題

13.如圖，N5是。。的直徑；弦交N8于點廠，BF=20F,弦4ELCO于點G,連接

CE,CE//AB.若CG=4,貝l|FG=,AB=

14.如圖，在Rt^4BC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,。是NC的中點，點￡在3c上,

分別連接、/￡交于點尸.若/BFE=45°,貝i」CE=.

15.如圖，在矩形ASO中，M是對角線NC與8。的交點，過點M作血WIND,垂足為

16.如圖，在V4BC中，點。在C8的延長線上，點尸在/C邊上，DF交AB于E,若

AE:BE=3:2,DE:EF=5:4,則AF:FC=

￡

DRC

三、解答題

17.如圖，在正方形ABCD中，點尸是2c邊上一點，連接”，以4F為對角線作正方形AEFG,

連接NC、DG,求證：AAFCS"GD.

（2）如圖2,若尸為CD中點，CE=3BE,求不.

AB

⑶如圖3,口/BCD中，/DBC=30。,尸為對角線8。上一動點，過尸作直線即使得

ZBPE=120°,分別交直線BC于點F、E,若BD=6,請直接寫出加'+DE的最小

值.

19.如圖，在平面直角坐標系中，。是坐標原點，點42的坐標分別為（3,1）,（2,-1）.

（1）以原點O為位似中心，畫出（點45的對應(yīng)點分別為點4、4），△048與

△0/0在位似中心。的異側(cè)，且畫與△048的相似比為2:1；

⑵在（1）的條件下，寫出點4的坐標.

20.如圖，在V48c中，D,￡分別是邊ZB/C的中點.

⑴尺規(guī)作圖在邊BC上找一點凡連接。/，使/EDP=/C.（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，連接即，求證：EF//AB.

參考答案

題號12345678910

答案BADDBDDCDc

題號1112

答案AD

1.B

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，由等腰三角

形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理推出ABE。、ACDE、△48。是鈍角三角形,

而V4BC是銳角三角形，因此和V4BC不相似，由平行線的性質(zhì)推出

V/OE和△NC8的兩角對應(yīng)相等，因此VNDE和△NC8相似.

【詳解】解：,??A8=/C,ZA=36°,

/ABC=1x(180°-36°)=72°,

?：DE//BC,

.?./48C+/8ED=180。,

ABED=108°,

??.△AED是鈍角三角形，

■■■\JABC是銳角三角形，

V/8C和ADBE不相似，

故A不符合題意；

,；BD平分NABC,

ZDBC=-ZABC=36°="

2

又,

ABDCS^ABC,故B符合題意；

?；BD平分NABC,

;.NABD=LNABC=36°,

2

:"ADB=180°-一NABD=108°,

.?.△加。是鈍角三角形，

■-X/ABC是銳角三角形，

:NABC和AABD不相似，

故C不符合題意；

-DE//BC,

ZCDE+ZBCD=ISO°,

ZCDE=108°,

.?.ACDE是鈍角三角形，

MABC和&CDE不相似，

故D不符合題意.

故選：B.

2.A

【分析】連結(jié)/G,過點E作EH1.4G于點H,由四邊形/BCD為正方形，可得

NB=90。,AD〃BC,再證明A4E"SA/GB.得出/〃?NG=,再證明四邊形NE打）

為矩形，得出由等腰三角形三線合一性質(zhì)得出=最后得出

S四邊…=蝕.EF=4E.AB=AH.AG=g4G。.

【詳解】解：如圖，連結(jié)/G,過點E作E"J_/G于點H,

EH1AG,

/AHE=ZB=90°,

又ZEAH=/BAG,

:.^AEH^AAGB.

.AEAH

…就一下’

/.AH?AG=AE?AB,

?：EF//AD.AE//DF,

???四邊形/￡尸。為平行四邊形,

???/￡4D=90。，

???四邊形/為矩形,

EF=AD=AB,

?/EG=AE,EH1AG,

AH=-AG,

2

S四皿“EFD=4E.EF=AE.4B=4H.4G=3AG??

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)及等腰三

角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的

判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì).

3.D

【分析】過點2作于點。，根據(jù)勾股定理求出AC=dAB/BC、5,

AQ=^AB2-BQ2=證明=得出=證明

5

7CGH3CEA,得出一=——,即GH_《，求出結(jié)果即可.

AEAC~3~=~5

【詳解】解：過點3作8QJL/C于點Q,如圖所示：

?.?四邊形/8CL1為矩形，

ZABC=90°,

根據(jù)勾股定理得：AC=ylAB2+BC2=5,

■■SVABC=^ABXBC=^ACXBQ,

…ABxBC3x412

???BQ=--------=------=—,

AC55

■■■AQ=^AB2-BQ2=32-f=f,

根據(jù)折疊可知：4E=4B=3,EC=BC=4,NAEC=/ABC=9。°,ZBAC=ZEAC,

???BGICEf

ZBGC=ZE=90°f

??.BG//AE,

；?NAHB=/EAC,

??.NAHB=NBAC,

???AB=BH,

-BQ1ACf

918

??.AH=2AQ=2x-=—,

1o7

CH=AC-AH=5——

55

??.BG//AE,

:NCGH3CEA,

GHCH

,?萬一定‘

7

即里_5，

"T-y

21

解得：GH^—.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，

折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

4.D

【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，位似圖形與相似圖形的關(guān)系.根據(jù)位似圖形的性質(zhì),

得到A/BESADCE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：與是以點E為位似中心的位似圖形，

???AABES公DCE

BEAB

**CE-Bc?

vAB=4,CD=8,BC=8,

BE_4

：8-BE一飛'

Q

解得：BE=-,

故選：D.

5.B

【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的畫法和性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì),

三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程解幾何問題，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用.

利用線段的垂直平分線的畫法和性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，

相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程解幾何問題等知識點逐項進行判定即可.

【詳解】解：①尺規(guī)作圖的操作可知，直線"N垂直平分線段NC,

/.DA=DC,

.\ZA=ZACD=36°,

ABDC=ZA+ZACD=72°f

故①正確；

@-：AB=AC,ZA=36°,

ZB=NACB=72°,

/BCD=NACB-ZACD=36°

ZBDC=180°-ZS-/BCD=72。，

又,??直線MN垂直平分線段/C,

ZCDE=ZADE=54°,

在RCDE和MDB中只有/BCD=ZDCE=36。,其余兩角不相等，所以兩個三角形不相似,

故②錯誤；

③如圖：

過點￡作E"，CD于點H,過點。作。K13C于點K,

ZEHC=ZDKC=90°,

又???ZECD=ZDCB=36°

:AECHS^DCK

EC

由RNDCE可知,w1

CD

W1

DK

即EH聲DK,

由②得/3=/8。。=72。

BC=CD

???在△BCZ）和△Z）CE中，底邊相等，底邊上的IWJ不相等，所以兩個二角形的面積不相等,

???ZA=ZACD,ZAED=ZCED=90°,DE=DE

:."DEaCDE(AAS)

A/\BCD的面積和V4Z1E的面積不相等,

故③錯誤；

（4）???4B=/B,/BCD=/Z=36。

LBCDsLBCA

BDBC

5CAB

彳段設(shè)AB—1,BD=x,則AD=CD-BC—\—x,

x_1-x

整理得，x2-3x+1=0,

解得，X[=3:,x?3+V5

2

'：x<\,

.3>

3)

BD_2_V5-1

~CD=.3-V5=2

2

故④正確;

故選：B.

6.D

【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定法則即可得出答案，熟練運

用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、AA=AD=40°,NB=NE=60。，

；.AABCs^DEF,故選項不符合題意；

B、?.?/￡>=60°,ZE=80°,

=180°-ZD—ZE=180°-60°-80°=40°,

；.NB=NF,

又?；ZA=ZD，

AABCSADFE,故選項不符合題意；

C、-：AB=3,/C=5,DE=6,DF=10

AB3AC5I

"DE~6~DF~10-2,

又ZA=ZD=50°,

AABCS^DEF,故選項不符合題意；

D>■：ABDE=ACDF,

與NC的夾角為DE與。尸的夾角為一。,

而給出的條件為NB=NE=70。,

.?.不能判斷故選項符合題意；

故選：D.

7.D

【分析】本題考查坐標與位似，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，過點A作/C,08,根據(jù)

等邊三角形的性質(zhì)，求出A點坐標，根據(jù)兩個三角形的面積，求出相似比，進而得到位似比,

根據(jù)以原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標特點，進行求解即可.

【詳解】解：過點A作

△AOB

???邊三角形OAB的頂點0(0,0),8(2,0),

...OA=OB=1,OC=-OB=\,

2

?1?AC=>JOA2-OC2=也，

.聞1,@,

■■^OA'B'與△048位似，且△04"的面積是△048面積的4倍，

△。4'8'與△048的相似比為2:1,

二位似比為：2:1,

??,位似中心是原點O,

^（2x1,2xV3）^^（-2xl,-2x73）,

即：H（2,2百）或4-2,-2@；

故選D.

8.C

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)題意得到/B=8C=CD=/D,N3=NC=9O。，CE=gcD,若A/8尸與△ECP一定相

ADRp

似，則需滿足k=而，得到AP=2CP,得出AP:BC=2CP:3cp=2:3,所以符合條件的

只有③AP:8C=2:3,即可得到答案.

【詳解】解：???正方形4BC。，

AB=BC=CD=AD,AB=ZC=90°,

???E為CD邊的中點，

:.CE^-CD,

2

AT）DD

若A/2尸與尸一定相似，則需滿足豆=而，

.里=2,

CP

:.BP=1CP,

BC=BP+CP=3CP,

BP:BC=2CP:3C尸=2:3,

符合條件的只有③AP：8C=2:3,

故選：C.

9.D

【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定法則依次判斷即可，掌握相

似三角形的判定法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???/%=//,ZADE=ZB,

/\ABC?ZxADE,故A選項不符合題意;

,??//=Z.A,Z.AED=ZC,

MABCyADE,故B選項不符合題意；

ADAB

Z-A—/A，——=——，

AEAC

MABC~AADE,故C選項不符合題意；

DE_AE^

BC~AC'

??.無法證明△48Cs故D選項不符合題意；

故選：D.

10.C

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得

黑=笑=據(jù)此求出。尸的長即可得到答案.

DFCE33,

【詳解】解AB"CD"EF,

BDAC_2

??而一百一

?；BD=8,

???。尸=12,

：.BF=BD+DF=20,

故選：C.

11.A

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，比例的性質(zhì)，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，進而計算判斷即可.

【詳解】解：???45:50=2:3,

.AB_AB_2

''^C~AB+BC~~5'

III/2II/3，

.DEAB_2

*DF-IC-5?

故選：A

12.D

【分析】本題考查了平行線分線段成比例和比例的性質(zhì)，掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.根

QF4R7FF

據(jù)平行線分線段成比例可得笑=會=彳，利用比例的性質(zhì)求黑的值即可.

EFBC3DF

【詳解】解..?：allbllc,

DEAB_2

??麗一茄—“

DE+EF2+3DF5

A------------=-------,即Rn——=-,

EF3EF3

EF_3

=一，

DF5

故選：D.

13.81273

【分析】如圖所示，連接5E,/C,可證GFII2E,“GFSAABE,當=空=空，由

AEABBE

AQ

BF=20F,設(shè)。尸=x,則5分=2x,則——=2,由。￡||4S得4/G/S^EGC,貝！J

GE

4GGF

三=鼻=2,可得G/=8,根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形89CE是平行四邊形，

GACG

BE=CF=CG+GF=4+8=12fBE=AC=12,在中，

222222222

AG=AC-CG=12-4=128,在用中，AG=AF-GF-Sf列式得

（4X）2-82=128,由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接8瓦4C,

?：AB是直徑，

???/AEB=90。,

???AE1CD9

???/AGD=900=/AEB,

：.GF\\BE,

；.AAGFS小4BE,

AG_AFGF

??白一方一茄’

???BF=20F,

設(shè)。尸=x,則AF=2x,

；.0A=0B=0F+FB=3x,

：,AB=6x,AF=4x,

AF4x2AGGF

AB6x3AEBE

-：CE\\AB

AAGFSAEGC,

AGGFc

~GE~~CG~'

???G尸=2CG=2x4=8,

?.-BF\\CE,CF\\BEf

???四邊形BFCE是平行四邊形,

■，BE=CF=CG+GF=4+^=n,

■.■AB\\CE,

ZBAE=ZAEC,

■■■ZADC=NAEC,

ZBAE=ZADC,

；.BE=AC=12,

在RMACG中，AG2=AC2-CG2=122-42=128,

在R/A/FG中，AG2=AF2-GF2=（4x）2-82,

???（4X）2-82=128,

解得，x=2\/3（負值舍去）,

；.AB=6x=12班;

故答案為：①8；@12G.

【點睛】本題考查了圓周角定理及推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性

質(zhì)，勾股定理的綜合運用，掌握圓的基礎(chǔ)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

30c8

14.—/2—

1111

【分析】本題考查了矩形和平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，構(gòu)造全等三角形，一線三直

角模型是解題關(guān)鍵.以NC、C8為鄰邊作矩形NC8K,過點A作//〃。8交8K于點

過點Af作ACVJ.4W交4E的延長線于點N,再過點N作5c的平行線交NC、KB的延長

線于點〃、Q,則四邊形是矩形，結(jié)合矩形的性質(zhì)，證明四邊形3M是平行四邊

形，AZMV是等腰直角三角形，從而推出A4O/%MQN（AAS）,求出CH=5,HN=5,

再證明“CESA/HV,即可求出CE的長.

【詳解】解：如圖，以NC、C8為鄰邊作矩形NC8K,過點A作//〃。8交8K于點M,

過點Af作ACVJ.4W交4E的延長線于點N,再過點N作5c的平行線交NC、KB的延長

線于點"、Q,則四邊形8C8。是矩形，

AC//BK,AC=BK=6,4K=BC=HQ=8,

BQ=CH,

???。是NC的中點，

;.AD=CD=-AC=3,

2

???AM//DB,AD//BM,

四邊形NO8M是平行四邊形,

:.BM=AD=3,

:.KM=BK-BM=3,

vAM//DB,ZBFE=45°,

AMAN=45°,

???MN1.AM,

.?.△MW是等腰直角三角形，

AM=MN,

ZKAM+ZAMK=90°,ZAMK+ZNMQ=90°,

ZKAM=ZNMQ,

「.△/KM絲△M0N（AAS）,

:.AK=MQ=8,KM=NQ=3,

..CH=BQ=MQ-BM=5,HN=HQ-NQ=5,

BC//HQ,

:AACES八AHN,

.ACCE

??初一麗’

.6_CE

"6+55’

【分析】此題主要考查矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，證明△/m，根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：,.?M是矩形Z5C。對角線/C與的交點，

??.M是AD的中點，即黑=；，

DD2

-MN1AD,

ZDNM=90°,

???四邊形45CQ是矩形，

/./DAB=90。,

AB//MN,

：.ANMDsAABD,

故答案為：;.

16.7:18

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造平行線得到相似三角形是解題的關(guān)鍵;

過點E作EG||NC交DC于點G,則△OEGs△。尸c,YBEGsYBAC,仄而有EG:FC=5:9,

95

EG:AC=2:5,得FC=—EG,AC=-EG,即可求得結(jié)果.

52

【詳解】解：如圖，過點E作￡G||4c交DC于點、G,

則△Z)￡Gs△。尸。，YBEG3BAC,

：?EG:FC=DE:DF=5:9,BE:AB=EG:AC=2:5,

95

BPFC=-EG,AC=-EG

52

7

??.AF=AC-FC=—EG,

10

79

???AF:FC=—EG:—EG=7:18,

105

故答案為：7:18.

17.見解析

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，

先根據(jù)正方形的性質(zhì)得和&4G尸都是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性

質(zhì)得=/=45。，—=—=然后根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角

ACAF2

形相似.

【詳解】證明：?:AC,AF分別是正方形ABCD和正方形AEFC的對角線，

LADC和44G尸都是等腰直角三角形，

ADAC=ZGAF=45°,—=—=

ACAF2

:.NDAG+ZCAG=NCAF+ACAG,

ADAG=NCAF,

：.MAFC^JAGD.

18.⑴48=2

(3)6

ATiRF

【分析】(1)證明△”吐公￡皿則法二而代入數(shù)值即可得到答案;

(2)延長EF交4D的延長線于點Q,設(shè)BE=a,則CE=3a,則3C=4a,由四邊形4BC。

是平行四邊形得到40〃3C,AD=BC=4a,證明AC斯義AD”(AAS),則

DQ=CE=3aEF=FQ=^EQ得到NQ=4D+D0=7a,證明A/EQSAEB/,得到

BEAEAB器求出3。,求出嘖T，設(shè)EQ"，則爪*

~AE~AQ,~EQ

則的=/。=^￡0=3工，即可得到答案；

(3)先證明四邊形0匹叢＞是平行四邊形，得BP=PE,結(jié)合四邊形/BCD是平行四邊形，

以及等角對等邊得。。=斯=8。=6,證明是等邊三角形，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系

列式計算，即可作答.

【詳角軍】(1)解：VuABCD,^AEF=ZABC=90°,

???四邊形456是矩形，

ZABE=ZECD=90°,AB=CD,

???AAEB+ZCED=ZAEB+/BAE=90°,

??.ZCED=/BAE,

???/\ABE^/\ECD,

ABBE

''~EC~~CD'

AB_1

??丁一布’

解得：AB=2(負值不合題意，舍去)；

(2)解：延長斯交的延長線于點0,設(shè)BE=a,則CE=3〃，則5C=4a,

圖2

??,四邊形ABCD是平行四邊形,

AD//BC,AD=BC=Aa,

,?"Q=/CEQ,ZEAQ=ZAEB,ZCDQ=ZECF,

?.F為CQ中點，

CF=DF,

.?.ACE尸絳。。尸(AAS),

,-.DQ=CE=3a,EF=FQ=^EQ,

：.AQ—AD+DQ-7〃,

???ZAEF=/ABC