第3章空間向量及其應用單元綜合提優專練(解析版)

錯誤率：易錯題號：

一、單選題

1.(2021?上海市松江二中高二期中)已知向量｛a,b,c｝是空間的一組基底，則下列可以構成基底的一組向

量是()

A.a+b，a，a-bB.a+b>b，a-b

C.a+b>c■>a-bD.a+b>2a—b>a-b

【標準答案】C

空間的一組基底，必須是不共面的三個向量，利用向量共面的充要條件可證明A、3、O三個選項中的

向量均為共面向量，利用反證法可證明C中的向量不共面

【詳解詳析】

解：(a+4+(°-8)=2",a,a+b,a-B共面，不能構成基底，排除A；

[a+b)-(a-b)=2b,b,a+b，a-b共面，不能構成基底，排除8；

2a-b=—^a-b^+—^a+b^,a+b>a-b,—B共面，不能構成基底，排除O;

若c、a+b，a-b共面，則c=/l(a+b)+%(a-6)=(4+m)a+(4-，〃M,貝I]°、b、c為共面向量，止匕與

｛o,b,c｝為空間的一組基底矛盾，故八a+b，a-b可構成空間向量的一組基底.

故選：C.

【名師指路】

本題主要考查了空間向量基本定理，向量共面的充要條件等基礎知識，判斷向量是否共面是解決本題的

關鍵，屬于中檔題.

2.(2019?上海市延安中學高二期中)如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，A3是一條側棱，

月(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八個點,則集合｛>卜=A2?Ag,i=1、2、3、…、8｝中的元素個數

)

A.1B.2C.4D.8

【標準答案】A

本題首先可根據圖像得出AQ=AB+Be,然后將轉化為A^+川.股，最后根據棱長為1以及

48八B片即可得出結果.

【詳解詳析】

由圖像可知，AP^AB+BP,,

2

貝ljAB-AP^AB^AB+BP\=AB+ABBPi,

因為棱長為1,AB八BP',

所以ABAP,=AB+Bq=1+0=1，

故集合\y\y=AB-APi,i=1、2、3、…、8｝中的元素個數為1,

故選：A.

【名師指路】

本題考查向量數量積的求解問題，關鍵是能夠利用平面向量線性運算將所求向量數量積轉化為已知模長

的向量和有垂直關系向量的數量積的運算問題，考查了轉化與化歸的思想，考查集合中元素的性質，是

中檔題.

3.（2022?上海?高三月考）長方體A3Cr）-AB|G。，AB=A4,=10,AD=25,尸在左側面ADDA上，

已知尸到AR、AA的距離均為5,則過點尸且與AC垂直的長方體截面的形狀為（)

A.六邊形B.五邊形

C.四邊形D.三角形

【標準答案】B

以。為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，先利用向量找出截面與AA、AD和48的交點，再過

Q作QFIIMN交BG于F,過/作ER//QM,交于E,即可判斷截面形狀.

【詳解詳析】

以。為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則尸（20,0,5）,A（25,0,10）,C（0,10,0）,.-.^=（-25,10,-10）,

設截面與40交于。（％0,10）,則P。=&-20,0,5）,

.-，AC-Pe=-25（xe-20）-50=0,解得兀=18,即0（18,0,1。），

設截面與4。交于”（如,。,。），貝U=（如-20,0-5）,

.?，4C-PM=-25（XM-20）+50=0,解得%=22,即“（22,0,0）,

設截面與AB交于N（25,6,0）,則=（3,yw,0）,

.14??時=-25x3+10〉'=。，解得W=7$,即N（25,7.5,0）,

過。作QF//MN,交4G于F，設尸（號,10,10）,則。戶=（4-18,10,0）,

則存在4使得。尸=2MN,gp（^F-18,10,0）=/l（3,7.5,0）,解得號=22,故/在線段4G上，

過F作M//Q0,交BBi于E,設E（25,10,ZE）,則詼=（—3,0,10—z",

則存在〃使得石片=〃°聞，即（—3,0,10—ZE）=M（4,0,—10）,解得ZE=2.5,故E在線段5⑸上，

綜上，可得過點尸且與4C垂直的長方體截面為五邊形QMNEF.

【名師指路】

本題考查截面的形狀的判斷，解題的關鍵是先利用向量找出截面與42、AD和的交點，即可利用平

面的性質找出其它點的位置.

4.（2021?上海?高二期中）在棱長為1的正方體中，分別為瓦14￡的中點，點尸在

正方體的表面上運動，且滿足MPLCW,則下列說法正確的是（

B.線段的最大值為立

A.點P可以是棱B片的中點

2

C.點尸的軌跡是正方形D.點尸軌跡的長度為2+君

【標準答案】D

在正方體ABCD-A與G2中，以點。為坐標原點，分別以ZM、DC,方向為x軸、y軸、2軸正方

向，建立空間直角坐標系，根據確定點P的軌跡，在逐項判斷，即可得出結果.

【詳解詳析】

在正方體ABCD-A旦GR中，以點。為坐標原點，分別以D4、DC、方向為x軸、、z軸正方

向，建立空間直角坐標系,

因為該正方體的棱長為1,M,N分別為3〃,4c的中點,

則0(0,0,0),嗚另,咽,1,：c(o,i,o),

所以CN=1,O,1；設p(x,y,z),則=

因為MP_L&V,

所以《+z—!=0,2x+4z—3=0,當兀=1時，z=-；當x=0時，z=g；

212J244

取小臼，小切，G1，T,《。，。梳)，

連接所，FG,GH,HE,則所=GH=(0,1,0),EH=FG=(-1,0,

所以四邊形EFG”為矩形,

則所-CN=0，EH-CN=0,即砂_LOV,EHLCN,

又EFEH=E,且EFu平面￡FG",EHu平面EFGH,

所以CN_L平面EFGH,

又EM==所以M為EG中點，則Me平面￡FG〃,

所以，為使必有點Pe平面EFGH,又點尸在正方體的表面上運動,

所以點尸的軌跡為四邊形EFGH,

因此點「不可能是棱B用的中點，即A錯;

又|葉網=1,網=|而卜冬所以|叫平用,則點尸的軌跡不是正方形;

且矩形￡FGH的周長為2+2x或=2+君，故C錯，D正確;

2

因為點/為EG中點，則點M為矩形EFG”的對角線交點，所以點/到點E和點G的距離相等，且最

大，所以線段MP的最大值為由，故B錯.

2

故選：D.

【名師指路】

關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量的方法，由求出

動點軌跡圖形，即可求解.

5.（2021?上海?曹楊二中高三期中）已知正方體ABCD-ABCiR的棱長為2,E、F分別是棱AA1、4。

的中點，點尸為底面ABCO內（包括邊界）的一動點，若直線2P與平面3所無公共點，則點尸的軌跡

A.V2+1B.75C.血+等D."

【標準答案】B

【思路指引】

以點。為坐標原點，DA,DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設點

P（a/,0）,計算出平面詆的一個法向量加的坐標，由已知條件得出=可得出。、匕所滿足的

等式，求出點尸的軌跡與線段AD、2c的交點坐標，即可求得結果.

【詳解詳析】

以點。為坐標原點，DA.DC、所在直線分別為無、丁、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則5(220)、后(2,0,1)、尸(1,0,2)、。(0,0,2),設點尸(a也0),

BE=(0,-2,l),EF=(-1,0,1),設平面5石F的法向量為機=(x,y,z),

由＜，，取z=2,可得根=(2,1,2),

m-EF=-x+z=0

DF=(a,b,—2),由題意可知，RP〃平面BEF,則2P?%=2a+b—4=0,

令6=0,可得a=2；令b=2,可得a=l.

所以，點P的軌跡交線段A￡＞于點A(2,0,0),交線段BC的中點”(1,2,0),

所以，點P的軌跡長度為|=J(2-+(0-2『=6.

故選：B.

6.(2022?上海?高三月考)如圖一副直角三角板，現將兩三角板拼成直二面角，得到四面體ABCD,則下

列敘述正確的是()

①平面BCD的法向量與平面ACD的法向量垂直；

②異面直線BC與AD所成的角為60。；

③四面體ABCO有外接球；

④直線DC與平面ABC所成的角為30°.

A.②④B.③C.③④D.①②③④

【標準答案】C

【思路指引】

①由題設四面體相關側面的關系即可判斷正誤；②過。、C作BC、的平行線且交于尸，連接A尸，

則NAZ"就是異面直線8C與AD的夾角，設8。=1求相關邊的長度，再應用余弦定理求8$//10下；③

由四面體的性質即可知正誤；④由面面垂直確定。C與平面ABC所成的角是NDCS,即知線面角的大小.

【詳解詳析】

①平面BCD的法向量與平面ABC的法向量垂直，而與平面ACD的法向量不垂直，故錯誤；

②過。作BC的平行線，過C作5。的平行線，兩平行線交于點歹，聯結AF,則NADF就是異面直線

3c與AD的夾角，過A作AE_L8C,聯結即、EF,

若BD=1,則BO=2,BC=26,A8=AC=",

由面BDCc面ABC=3C,面面ABC,BDu面BDC,

8￡)_1面43。，ABi面ABC,則8。_LA8,同理可證FC_LAC,

/.AD=AF=y/10,DF=26,易得cosZADF=—,故錯誤；

③由于所有的四面體都有外接球，故正確；

④因為平面ABC,所以DC與平面ABC所成的角是“CB=30。，正確.

故選：C

二、填空題

7.(2018?上海?復旦附中高二期末)點4L2,1),7(3,3,2),C(A+1,4,3),若AB,AC的夾角為銳

角，則2的取值范圍為.

【標準答案】(-2,4)u(4,+。)

【思路指引】

根據AB,AC的夾角為銳角，可得A8.AC>0，且不能同向共線?解出即可得出.

【詳解詳析】

AB=(2,1,1),AC=(2,2,2),

42,4。的夾角為銳角，.14?/^：=2彳+2+2>0，且不能同向共線.

解得2>-2,2^4.則4的取值范圍為(-2,4)u(4,+8).

故答案為(-2,4)。(4,+8).

【名師指路】

本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

8.(2021.上海交大附中閔行分校高二月考)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E為BC的

中點，點P在線段DiE上，點P到直線CCi的距離的最小值為.

A

【標準答案】半

【詳解詳析】

點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設點P在平面ABCD上的射影

為P',顯然點P到直線CCi的距離的最小值為PC的長度的最小值，當PC_LDE時，PC的長度最小，

。樂

止匕時P，C=E2x1=T.

9.(2019?上海市青浦區第一中學高二期中)已知直線/的一個方向向量1=(4,3,1),平面。的一個法向量

n=(m,3,-5),且///a,貝j］機=

【標準答案】-1

【思路指引】

由題意可得，根據線面平行可得d_L〃，則d.〃=0，進而得至I]4祖+9-5=0,解得即可.

【詳解詳析】

解:由題意可得d_Lw，貝！j4ni+9-5=0

解得=-1

【名師指路】

本題主要考查了直線與平面的位置關系，根據線面平行、線面垂直的性質得到平面的法向量與平行于平

面的直線垂直，考查了空間向量垂直的坐標表示.

10.（2019?上海?曹楊二中高二期末）已知非零向量〃、b及平面向量〃是平面a的一個法向量，則

n-b=O是“向量6所在直線在平面a內”的條件.

【標準答案】必要不充分

【思路指引】

根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解詳析】

解：若向量九是平面a的法向量，則〃」a,

若〃.b=0,則方//a,則向量6所在直線平行于平面a或在平面a內，即充分性不成立，

若向量b所在直線平行于平面。或在平面a內，則6〃a,

向量■是平面a的法向量，

幾_La，

則及_Lb,即神=0,即必要性成立,

則〃"=0是向量0所在直線平行于平面a或在平面a內的必要條件，

故答案為：必要不充分

【名師指路】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據向量和平面的位置關系是解決本題的關鍵.

11.（2020?上海?復旦附中青浦分校高三月考）在斜三棱柱A4G-4BC中，8C的中點為44=。，

AG=b,AA=c，則4M可用a、b、c表示為.

-1--

【標準答案】c+-（b-a）

在斜三棱柱A4G-ABC中,利用三角形法則轉化4M為基底的線性運算求解.

【詳解詳析】

在中，BiM=BlB+BM，又BC的中點為=ggC

A#G-A3C是斜三棱柱，B?=BC,B{B=\A

在中耳

B1M=AA+1B1C1,M181G4G=AG-A

\4M=AA+g(AG-43])=c+g(b_a)

故答案為：c+-(b-a)

【名師指路】

本題考查空間向量的線性運算.

用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：

(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的

始點指向末尾向量的終點的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

12.(2020?上海?模擬預測)在正方體ABCD-4耳。田中，點M和N分別是矩形A8CD和的中

心，若點尸滿足。尸="DA+aDM+kDV,其中徵、〃、keR,且〃2+〃+左=1,則點尸可以是正方體表

面上的點.

【標準答案】B,(或C或，AC耳邊上的任意一點)

【思路指引】

因為點尸滿足+左DV,其中m、“、k&R,Rm+n+k=l,所以點A,三點共面，

只需要找到平面與正方體表面的交線即可.

【詳解詳析】

解：因為點P滿足QP=++左LW,其中加、n、kwR,S.m+n+k=l,

所以點AM,N三點共面，

因為點M和N分別是矩形ABCD和BB?C的中心，

所以CN=B]N,AM=MC,

連接MV,44,則MNA耳,所以，AC與即為經過AM,N三點的平面與正方體的截面，

故點尸可以是正方體表面上的點耳(或C或，AC左邊上的任意一點)

故答案為：片(或C或、AC耳邊上的任意一點)

【名師指路】

此題考查空間向量基本定理及推論，同時考查了學生的直觀想象、邏輯推理等數學核心素養，屬于中檔

13.（2020?上海?高三月考）正三棱錐的一個側面與底面的面積之比為2:3,則這個三棱錐的側面和底面所

成二面角的大小為.

【標準答案】600

【思路指引】

由題意作出正三棱錐S-ABC,設。為底面ASC的中心，過S作交A3于點E,連接EO,可得

NSEO為側面和底面所成二面角的平面角，由條件導隨==，得出第=2,從而得出答案.

sABC3\OE\

【詳解詳析】

如圖在正三棱錐S-45C中，設0為底面,ASC的中心，連接SO,則50,平面ABC.

過S作SELAB交AB于點E,連接EO

則SO_L,又SE_L,且SEcSO=S,所以AB_L平面SEO

則OE，AB,所以Z.SEO為側面和底面所成二面角的平面角.

3

在正三角形MC中，。為中心，s=sOBC+S0AB+S0AC=3SOAB=-|AB||OE|

由條件有產---P----可-得閣2

||AB|-|OE|

在直角三角形SOE中，cosZSEO=^|i=1

所以NSEO=60。

故答案為：60°

【名師指路】

本題考查三棱錐的線面關系，正三棱錐的側面面積與底面積的關系，考查二面角，屬于中檔題.

14.（2019?上海交大附中高二期中）已知A,B,C,尸為半徑為R的球面上的四點，其中A民AC,8c間的球

ITTT1T

面距離分別為一A,~R,~R,^OP=xOA+yOB+zOC,其中。為球心，則x+y+z的最大值是

322

【標準答案】4

3

【思路指引】

OP

根據球面距離可求得AABC三邊長，利用正弦定理可求得AABC所在小圓的半徑；。「'=」一，根據

x+y+z

R,,

平面向量基本定理可知P,AB,C四點共面，從而將所求問題變為的的最大值；根據|。耳最小值為球心

到AABC所在平面的距離，可求得|。尸［最小值，代入可求得所求的最大值.

【詳解詳析】

1TTT71

QAB間的球面距離為§尺:.ZAOB=-:.AB=2Rsin-=R

36

同理可得：BC=AC=42R

松+叱―AB2

cosC=sinC=

2ACBC44

???AABC所在小圓的半徑：r工旦=^R

2sinC7

OPxOA+yOB+zOC

設OP=一^一P',A氏C四點共面

x+y+zx+y+zx+y+zx+y+z

OPR

x+y+z=---1?

OP'1*1

若x+y+z取最大值，則需PH取最小值

I。尸［最小值為球心到AABC所在平面的距離d=一產=^.R

.?G+y+z)=q=且

v7max>/213

-----R

7

本題正確結果：孚

【名師指路】

本題考查球面距離、球的性質的應用、平面向量基本定理的應用、正余弦定理解三角形等知識；關鍵是

能夠構造出符合平面向量基本定理的形式，從而證得四點共面，將問題轉化為半徑與球心到小圓面距離

的比值的最大值的求解的問題.

15.（2018?上海市張堰中學高二月考）如圖，已知正方體A8CD-ABGR的棱長為4,點E、尸分別是線段

AB、GA上的動點，點尸是上底面4片GR內一動點，且滿足點P到點F的距離等于點P到平面的

距離,則當點P運動時,PE的最小值是.

【標準答案】26

【思路指引】

通過題意可知當E,F分別是AB,G2上的中點，尸為正方形A與GR中心時，PE取最小值，利用兩點間

距離計算即可求出.

【詳解詳析】

如圖建立空間直角坐標系：

設A￡=a,DF=b,Ogfc4,噫必4,P(尤,y,4),01!k4,藤64,

則下(0,44),E(4,a,0),PF=(-x*一y,0),

點P到F的距離等于點P到平面ABB^的距離，

.加+—了=(4_幻2,整理得尸點軌跡方程：x=2-他券，

所以P到平面ABB.A,的距離PP=d,1=4-尤=2+S3,

8

所以4nin=2,此時P與尸共線垂直DG,

又|陽=yld2+P'E2<74+16=2小

二當EF分別是AB,GR上的中點，尸為正方形431GA中心時，尸石取最小值，

此時尸(2,2,4),E(4,2,0),"0,2,4).

故答案為：2后

【名師指路】

本題主要考查了利用空間向量求兩點間的距離，及結合圖形研究最值問題，屬于難題.

16.(2022?上海?高三月考)在空間直角坐標系中，點尸(X,y,z)滿足：x2+y2+z2=16,平面a過點

M(l,2,3),且平面a的一個法向量”=(1,1,1),則點尸在平面a上所圍成的封閉圖形的面積等于

【標準答案】4萬

【思路指引】

由題意，點尸在球面上，所以點P在平面a上所圍成的封閉圖形即為平面a截球面所得的截面圓，根據

球的截面性質求出截面圓的半徑「即可求解.

【詳解詳析】

解：由題意，點尸在以(0,0,0)為球心，半徑為4的球面上，

所以點尸在平面a上所圍成的封閉圖形即為平面a截球面所得的截面圓，

因為平面a的方程為lx(x-l)+lx(y-2)+lx(z-3)=0,即無+y+z-6=0,

所以球心(0,0,0)到平面a的距離為d=42T>=2—，

所以截面圓的半徑r=,4?-僅⑹，=2,截面圓的面積為S==4萬，

所以點尸在平面a上所圍成的封閉圖形的面積等于4萬.

故答案為：4萬.

三、解答題

17.（2021?上海市復旦中學高三月考）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，上4,平面A3CD,

AP=AB,尸是PB的中點，E是BC上的動點.

（1）證明：PE1.AF；

（2）若BC=2BE=2gB,求直線R4與平面PDE所成角的大小.

【標準答案】（1）證明見解析；（2）60°.

【思路指引】

（1）以A為原點建立空間直角坐標系，證明=0即可；

（2）求出平面尸DE的法向量，根據$111。=卜0$<〃,/12>|即可求出.

【詳解詳析】

解：（1）建立如圖所示空間直角坐標系.

設AP=AB—2,BE=a,

則4(0,0,0),5(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),磯。,2,0),

于是，PE=(a,2,—2),A歹=(0,1,1),

則PE-AF=O，所以AFJ_PE.

⑵若BC=2BE=2有AB,則可460,0),尸。=卜&0,-2),PE=(2瓜2,-2),

設平面尸/汨的法向量為〃=（x,y,z）,

n-PD=014A-2z=0

令x=1,貝！Jz=2A/3,y=y(3,

n-PE=。'得：MX+2,-2Z=0

于是〃=（1,后2月,而#=（0,0,2）.

II\n-AP\

設AP與平面PDE所成角為d,所以sine=kos<〃,A尸—=—,

11忖網2

所以AP與平面PDE所成角。為60。.

18.（2021?上海?高二月考）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面正方形的對角線AC與交于點。,

CM

且AB=2,OP=3.點M在線段PC上，設專=彳.

（1）若4=g，求直線AM與總所成角的余弦值；

（2）若平面ABM與平面E4C所成銳二面角的余弦值為述，求彳的值.

10

【標準答案】（1）叵；（2）2=-.

115

【思路指引】

（1）由題可知AC，5￡>,OP,平面ABC。，則以Q4為％軸，。8為丁軸，OP為二軸，建立空間直角坐標

系，當為=：時，寫出各點坐標，得出40=-^-,0,-,PB=（0,拒，-3）,再利用空間向量法求空間異面

直線的夾角，即可得出直線A"與PB所成角的余弦值;

（2）設M（a,6,c）,貝Uc看=2孱>,進而得出點"（歷0,32）,根據空間向量求法向量的方法，求出平

’2虎-&、

面的法向量力=,根據線面垂直的判定定理可得出。，平面尸，從而得出平面

I323AC

ACP的法向量蔡=方=（0/,0）,最后利用空間向量求二面角的方法，可列出

/\m-n\13J2

cos(inn/=----------——_-.........

'lml-l?ljI『今&:10,從而可求出力的值?

【詳解詳析】

解：(1)由題可知，正四棱錐尸-ABCD且四邊形ABCD是正方形，

所以AC_L5￡>,OP_L平面ABC。，

則以。為原點，。4為了軸，02為〉軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標系,

則40,0,0),C(-0,0,0),尸(0,0,3),M一孝，°弓，8(。，&,。)，

京=(_述，0,3[病=(0,也,一3),

22

設直線40與尸3所成角為。,

—>—>9

|AM-5|2_V33

貝ljcos0=

\AM\-\PB\

???直線AM與總所成角的余弦值為叵.

11

(2)設M(a,6,c),則國即(。+應也)=(&，。，3為,

“+應=&,：.乂(及入一垃,0,34),

/?=0,c=3A

AB=(-0,y/2,0),AM=(&-2忘,0,32),AP=(-插,0,3),AC=(-260,0),

設平面ABM的法向量力=(x,y,z),

n-AB=-后x+\[ly=02A/2—-\/2A

取尤=1,得〃=['，32J

n-AM=(>/22-2A/2)X+32Z=0

由于3DJ.AC,OPL^ABCD,

可知3D_LOP,且OPcAC=O,則B￡>_L平面ACP,

則平面ACP的法向量藍=&=(0,1,0)，

???平面ABM與平面PAC所成銳二面角的余弦值為述,

10

/\m-n\1372

cos(m,n)\=-------=一,—=---

???|mNn|(2艮防10,

32

7

2

解得：A=1.

19.(2021?上海?高二月考)如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形AB￡F所在的平面互相垂直,

△4BE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,ZAEF=45°.

(1)求證：￡F_L平面3CE；

(2)設線段CD、AE的中點分別為尸、M,求證：〃平面BCE；

(3)求二面角/一的余弦值.

【標準答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)駕.

【思路指引】

(1)根據題意，由面面垂直的性質得出3C，平面進而得出由等腰直角三角形的性質

得出FE_LEB,最后根據線面垂直的判定定理，即可證明跖_L平面BCE；

(2)由題意可知/場，AS,通過線面垂直的判定定理可證出平面A3CD,從而以AD,AB,AE方向

分別為X,y,z軸正方向，建立空間坐標系，令正方形A5CD的邊長為2,求出各點的坐標，得出

前=(-以及平面3CE的一個法向量話=(o,_i「i),利用空間向量的數量積得出句>￡>=()，通

過空間向量法即可證明PM//平面BCE；

(3)設平面EBD的一個法向量〃=(x,y,z),通過空間向量求法向量的方法求得〃=(1,1,3),危=(0,0,2)

為平面A5CD的一個法向量，最后根據空間向量求二面角的方法，即可求出二面角尸-3D-A的余弦值.

【詳解詳析】

解：（1）..,平面ABEF_L平面ABCD,且平面）平面ABCD=AB,

由于正方形A3CD,所以3CJ_AB,

3C_L平面ABEF,

又由￡Fu平面ABEF,

BC上EF,

又：AABE是等腰直角三角形，AB=AE,則N3￡A=45。，

在，AEF中，FA=FE,ZAEF=45°,

:./FEB=90°,即FE_L￡B,

又,：EBBC=B,且EB,3Cu平面BCE,

，EF_L平面BCE；

（2）因為△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,所以AE_LAB,

又平面ABEF_1_平面ABCD,且平面ABEF平面ABCD=AB,

所以AE_L平面A5CD,因此AE_LA￡>,即AD,AB,AE兩兩垂直，

以A為坐標原點，4￡）,4民45方向分別為工，y,2軸正方向，建立空間坐標系,

令正方形A5CD的邊長為2,貝人

A（O,O,O）,B（O,2,O）,C（2,2,0）,D（2,0,0）,E（0,0,2）,F（0,-l,l）,P（2,l,0）,M（0,0,l）,

由（1）得￡F_L平面BCE,則d=（o,_i,_i）為平面BCE1的一個法向量，

又?,癡=（-2,-1,1），

則戰.Ek=0x（-2）+（-l）x（-l）+（-l）xl=0，

—>—>

PM1EF'

：.PM//平面BCE；

（3）設平面FBD的一個法向量〃=（x,y,z）,

法=（2,-2,0）,康=（0,-3,1），

n-BD=0f2x—2y=0

則，即a_n'

令x=l,則平面FBI）法向量乃=（LL3）,

又：鉆平面ABCD，則矗=（0,0,2）為平面ABCD的一個法向量，

令二面角尸-BD-A的平面角為0,

泰〃63而

則cos6=/二百二丁

所以二面角尸-BD-A的余弦值為平.

20.(2021?上海市奉賢區奉城高級中學高二月考)如圖，四邊形A8CD是邊長為。的正方形，出，平面

77

ABCD,尸。與平面ABC。所成角的大小為:

(1)求證：平面AP8_L平面CPB；

(2)求直線B4與平面P8C所成角的大小.

JT

【標準答案】(1)證明見詳解(2)-

4

【思路指引】

(1)由PA_L3C,AB_L3C證明BC_L平面APB,結合3Cu平面CPB,即得證；

(2)建立空間直角坐標系，計算平面P8C的法向量，利用線面角的向量公式，即得解

【詳解詳析】

(1)由題意，B4_L平面ABC。，BCu平面ABC。

s.PALBC

又四邊形ABC。是正方形，.1AB，3c

又PAAB=A,PA,ABu平面APB

BC_L平面APB,BCu平面CPB

；?平面”B_L平面CPB

JT

(2)由題意，出，平面ABC。，P。與平面ABC。所成角的大小為；

4

7T

???ZPDA=—,??.PA=AD=a

4

由于B4_L平面A5cZ),AB±AD,如圖所示建立空間直角坐標系

則A(O,O,O),P(O,O,a),6(000),C(o,%0)

則PA=(0,0,—a),PB=(0,a,—a),PC=(a,a,—a)

設平面PBC的法向量〃=(%,y,z)

[nPB=0(ay-az=0

In?PC=0[cue+ay—az=Q

n=(0,1,1)

不妨設直線PA與平面PBC所成角的大小為a

...PAna也小乃、

..sinct=-------=-]=~=—,a￡(0,1]

\PA\\n\41a2’2

71

CC——

4

TT

故直線鞏與平面由所成角的大小為「

21.（2021.上海.曹楊二中高三期中）如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面ABCQ,底面ABCD是邊

長為2正方形.

(1)求證：8。_L平面PAC；

(2)若求直線上4與平面PBD所成角的正弦值.

【標準答案】(1)證明見詳解

⑵近

3

【思路指引】

(1)先證明AC_L5￡),PA^BD,由線線垂直推線面垂直，即得證；

(2)建立空間直角坐標系，求解平面網見的法向量，利用線面角的向量公式，即得解

(1)

四邊形ABCD是正方形，

:.AC±BD,

又\PA_L平面A5CD,BOu平面ABCD

:.PA±BD,且PAAC=A,PA,ACu平面PAC

.?.3D_L平面PAC

⑵

由題意，P4_L平面ABCD,ABLAD

以A為坐標原點，所在直線為My"軸建立如圖所示的空間直角坐標系

故A(0,0,0),尸(0,0,2),8(2,0,0),0(0,2,0)

p

:.PA=(0,0,-2),PB=(2,0,-2),PD=(0,2,-2)

設平面PBD的法向量為〃=(%,y,z)

n-PB=2x-2z=0.

,令%=1故y=1,Z=1

n?PD=2y-2z=0

/.n=(1,1,1)

不妨設直線PA與平面尸皿所成角為。

mi.In...PAn25/3

則sina=|cos<PA,n>|=|-----1=--尸=——

\PA\\n\2x63

故直線上4與平面尸SD所成角的正弦值為走

3

22.(2021.上海市行知中學高二期中)如圖所示，在直三棱柱ABC-A/SG中，側面AA/CG為長方形,

AAi=l,AB=BC=2,ZABC=l2.0o,AM=CM.

(1)求證：平面AAGCJ.平面CMB；

(2)求直線AiB和平面3MB所成角的正弦值.

【標準答案】(1)證明見解析

(2)日

【思路指引】

(1)結合面面垂直的判定定理證得平面AACC±平面3MB.

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法計算出直線48和平面所成角的正弦值.

(1)

由于48=3。,4^=。河，所以3MLAC,

根據直三棱柱的性質可知BM1AA,,

由于ACCA4|=A,所以平面441GC,

由于8A/u平面GMB,所以平面AACC，平面GM8.

⑵

設N是AG的中點，連接MN,則MN〃/1A，兩兩相互垂直.

以M為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，

A(Ao,i),B(o,i,o),G(-V3,0,1),AB=卜61，T)，

設平面CtMB的法向量為〃=(x,y,z),

設直線\B和平面QMB所成角為凡

n-AiB2百厲

卜,利2-755

23.(2021.上海市大同中學高三月考)如圖，在正方體A2CZ)-中.

(1)求異面直線4C和8。所成角的大小；

(2)求二面角的大小.

【標準答案】(嗚

⑵空

3

【思路指引】

(1)建立空間直角坐標系，計算可得4。8。=0,即得解；

(2)分別求解兩個平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可

⑴

由正方體ABC。-4旦GR,故兩兩垂直，不妨令正方體邊長為1

以。為坐標原點D4,DC,DDt所在直線分別為尤,Mz軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

故A(1,0,1),C(0,1,0),0(0,0,0),8(1,1,0)

由于AC-BD=1—1=0，故AC，加

TT

異面直線AC和BO所成角的大小為]

(2)

由(1),DA.=(1,0,1),DC=(0,1,0),C\=(1,-1,1),CB=(1,0,0)

設平面D4c的法向量為〃=(x,y,z)

n-DA=x+z=0人11c遼

,q%=].，.z=-I,y=0,故幾=(l,0,—I)

n?DC=y=0

設平面3A1C的法向量為根=(%,%4)

m-CA=x—%+z,=0“</八

?，*]，令%=]「.Z]=I,%=0,故加=(0」」)

\mCB=玉=。

設二面角5-的平面角為a,由圖得二面角為鈍角

故cosa=-\cos<m,n>\=-\m"|=——」「=--

\m\\n\A/2-A^2

故￡=與，即二面角8-AC-。的大小為暮

24.(2021.上海市南洋模范中學高二期中)在正三角形ABC中，尺上尸分別是A8、AC、3C邊上的點，滿

足AE:EB=CF:FA=CP:PB=l:2(如圖I).將_但沿用折起到4所的位置，使二面角成

直二面角,連接4B、4尸(如圖2)

⑴求證：4乃，平面8￡尸；

(2)求直線AiE與平面AiBP所成角的大小；

(3)求二面角B-AiP-F的余弦值.

【標準答案】(1)證明見解析

(2)60°

⑶

8

【思路指引】

(1)設正三角形A8C的邊長為3.在圖1中，取BE的中點。，連接。E由已知條件推導出ADF是正三

角形，從而得到EPLAD在圖2中，推導出NA/E2為二面角A/-EF-8的平面角，且BE.由此能

證明A/E_L平面BEP.

(2)建立分別以為尤軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，利用向量法能求出直線A/E與平面

48尸所成的角的大小.

(3)分別求出平面AFP的法向量和平面5