甘肅省白銀市靖遠一中2025年高考數學模擬試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若/(x)=1,W(2)=(

)

1乙tX,r_-L

A.0B.1C.2D.4

2.已知sin(f+a)=則cos(a-f)的值為()

A1B這C-1D-考

A，33J3U-3

3.已知一組從小到大排列的數據：1,3,m,17,19若其極差等于平均數的2倍，則m的值為()

A.4B.5C.6D.8

4.已知p："0<x<1”是“/<1”的必要不充分條件，q：i是虛數單位，mnGN,(1+i)n=-4,則

()

A.p和q都是真命題B.”和q都是真命題

C.p和飛都是真命題D.”和7?都是真命題

5.一個圓臺的母線長為5,上、下底面的半徑分別為2,5,則圓臺的體積為()

A.647rB.567rC.487rD.527r

6.已知向量a和3滿足m=2,\b\=i,|a+b|=/7,則向量a+B在向量a上的投影向量為()

22

8.若%o為方程式20%+elnx—2e=0的根，則久°+lnx0=()

A.eB.e2C.2D.4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數/(%)=|cos%+則下列結論正確的有()

A.對任意aER,函數/(%)的最大值與最小值的差為2

B.存在QGR,使得對任意％ER,/(x)+f(ji—x)=2a

C.當a70時，存在非零實數x,使得f(X+今=fG-％)

D.當a=0時，存在T6(0,兀)，x0&R,使得對任意葭GZ,都有/'(比)=/Qo+nT)

nn

10.已知無為數列{即}的前ri項和，且滿足為=(-l)an-2-,則下列結論正確的有()

A1

A.=-B.當九為偶數時，冊=1

14

1

C.當九為奇數時，an=—D.S5+S6=--

11.如圖所示，這是曲線E:(/+y2)3=8%2y2,設P(%°,y°)和QyQ為曲線

E上的任意兩點，且滿足PG{(%o，yo)l%oeZ或y。eZ},則下列結論正確的有

()

A.淄+比W2

B.滿足%oeZ且y°eZ的點P(%0,yo)共有4個

C.曲線E關于直線y=±%對稱

D.任取一點尸?),yo)，該點滿足%oeZ且y。eZ的概率為總

三、填空題：本題共3小題，共20分。

12.橢圓4+4=1的離心率為______.

64

13.已知三棱錐P-4EF的三條側棱P4,PE,PF兩兩垂直，且P4=2,PE=PF=1,則三棱錐P-AEF

的外接球的半徑為;若M為線段PE的中點，則過點M的平面截三棱錐P-4EF的外接球所得截面面

積的最小值為.

2b2

14.若正實數a,b滿足a+b=l,則n￡+上的最小值是____.

a+1D+Z

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在AABC中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,角4的角平分線交BC于點。，且as譏C=ccos*

AD=2AA3.

(1)求角a.

(2)已知c=3b.

(i)求加c的值;

(ii)求sinB的值.

16.(本小題12分)

如圖，A,B是拋物線C：y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點，直線過拋物線C的焦點F,且焦點尸

到準線的距離為2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若|4B|=6,求AQ4B的面積.

17.（本小題12分）

如圖，在直三棱柱ABC—a/iG中，/.BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E是BC中點.

(1)求證：〃平面AEG；

(2)求平面AEG與平面4BB14所成銳二面角的余弦值;

(3)求點當到平面AEG的距離.

18.(本小題12分)

某校為了提高教師身心健康號召教師利用空余時間參加陽光體育活動.現有4名男教師，2名女教師報名，本

周隨機選取2人參加.

(1)求在有女教師參加活動的條件下，恰有一名女教師參加活動的概率；

(2)記參加活動的女教師人數為X,求X的分布列及期望E(X)；

(3)若本次活動有慢跑、游泳、瑜伽三個可選項目，每名女教師至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1

項或2項的可能性均為：，每名男教師至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為提

每人每參加1項活動可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項活動彼此互不影響，記隨機選取的兩人得

分之和為y,求丫的期望E(Y).

19.(本小題12分)

n

定義：i=lttj=ar-a2...an,其中九GN*.

(1)求證：當％>0時，卜％W%-1(當且僅當久=1時取等號).

(2)對于任意正整數n,是否存在正整數血，使得不等式百=1(1+》<m恒成立？若存在，請求出山的最

小值；若不存在，請說明理由.

(3)若正項數列｛即｝滿足2即+$=忌+/A0<b<,n€N*,求證：研嬴*可

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因為/(%)=償巴丁)'“<1，

由已知，當xNl時，/(%)=2X,

所以/(2)=22=4.

故選：D.

根據分段函數分段處理的辦法，代入求值即可.

本題主要考查了函數值的求解，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：cos(a-7)=cos(7一a)=cos《-(a+7)]=sin(a+?)=；，

故選：A.

直接利用誘導公式的應用求出結果.

本題考查的知識要點：三角函數關系式的變換，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：一組從小到大排列的數據：1,3,m,17,19.

則平均數為其1+3+M+17+19)=其40+㈤，極差為19-1=18,

...極差等于平均數的2倍，

-(40+m)=18,解得巾=5.

故選：B.

利用已知條件求出極差和平均數，再利用極差和平均數的關系即可求得m的值.

本題主要考查極差的定義，以及平均數公式，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：當n=4時，(1+i)4=[(1+I)2]2=(2i)2=-4,可得q是真命題，飛是假命題；

因為好<1解得—1<x<1,所以“0<%<1”是<1”的充分不必要條件，所以p是假命題，”是

真命題.

綜上可知，”和q都是真命題.

故選：B.

根據必要不充分條件的定義及存在命題的性質結合非的定義判斷即可.

本題主要考查充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：由題意圓臺的母線長為5,上、下底面的半徑分別為2,5,

可得圓臺的高為h=J52—(5-27=4,

???圓臺的體積V="(22+52+2X5)X4=527r.

故選：D.

首先求出圓臺的高，再由圓臺的體積公式計算可得.

本題考查了圓臺的體積公式，是基礎題.

6.【答案】D

【解析】?：\a+b\=V7,

.■.\a\2+2a-b+\b\2=7,

又聞=2,\b\—1,

??-4+2a-b+l=7,a-b=1,

■.(a+b)-a=\a\2+a-b=4+1=5,

故所求投影向量為：

\a\\a\=22=4

故選：D.

利用向量模長公式求出a石的數量積，再通過投影向量的公式計算向量益+3在向量a上的投影向量即可得

解.

本題主要考查投影向量的求解，屬于基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：因為過雙曲線的焦點并垂直于實軸的弦的長是2,所以生=2,

a

因為雙曲線為盤Y=l(a>0),所以52=3,所以誓=2,解得a=3,

所以雙曲線為tY=l,必⑹。)，

因為點P(x,y)，所以k=三為4P的斜率,

所以當4P與半圓+(y-1)2=1(久>0)相切時，斜率k最小,

此時設4P的方程為y=k(x—3),所以/ex—y—3k0,所以早曾1,

解得k=-7或左=。(舍去)，所以左加九=-7-

故選：A.

利用已知條件先求出點4的坐標，再借助直線與圓的位置關系求解即可.

本題考查直線與雙曲線的綜合應用，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意可知函數/(%)=一2?2的定義域為(0,+8),

又因為%。為方程/e"+e2lnx-2e2=0的根，所以％o>0,

所以瞪e~=e2(2—ITIXQ),

即比e&=e2-In—.

xo

又因為%0>0,

一p22

所以％oe%。=—?In—p,

%o%o

令9(%)=xex(x>0),

則“(%)=靖(％+1)>0,

所以g(%)在(0,+8)上單調遞增.

222

又因為g(ln三)=三.也與，

e2

所以％°=In—=2—lnx0，

%0

所以％°+lnxQ=2.

故選：C.

22

由題意確定%o滿足方程%。靖。=—In—,構造函數g(%)=xex(x>0),由其單調性即可求解.

%0%0

本題考查了函數與方程思想、轉化思想，考查了導數的綜合運用，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對于4當。=0時，/(%)=\cosx\,其最大值為1,最小值為0,

則/(%)的最大值與最小值的差為1,故A錯誤；

對于8,當a=l時，/(x)=\cosx+1|=1+cosx,

f(jl—%)=|COS(7T—%)+11=11—COSXI=1—COSX,

因此對任意％eR,/(%)+f(ji—%)=1+cosx+1—cosx=2=2a,故3正確；

對于C,因為f(%+1)=|cos(^+x)+a|=|a—sinx\,

-%)=|cos(^—%)+a|=|a+sinx\,

當％=7T時，/(%+^)=/(^-x)=|a|,故C正確；

對于。，當a=0時，/(%)=\cosx\,

此時函數的周期為7T,

取T=安配=p

貝,Oo)=/(力=|cosj|=苧，

當?1=1時,f(x0+nT)=憑+今=|cos(J+^)|=|—s嗚|=苧，

當?1=2時，/(x0+nT)=/(；+兀)=|cos(：+兀)|=|-cos^|=

當ri=3時，/Oo+nT)=/(；+亨)=|cos(^+y)|=|sin^|=苧，

當?i=4時，/(x0+nT)=/(：+2兀)=|cos(:+2兀)|=|cos^|=苧，

當"=5時,f(x0+nT)=/(；+：)=|cos(Jy)|=|cos(；+個|=|—s嗚|=爭

由周期函數可知，對任意neZ,都有/(%o)=/Oo+">故。正確.

故選：BCD.

對于4選項，取特殊值a=0;

對于B選項，取特殊值a=1；

對于C選項，取特殊值X=7T;

對于。選項，取特殊值T=JZ%o=P4即可判斷.

本題考查了余弦函數的性質，考查了分類討論思想，屬于中檔題.

10.【答案】BC

【解析】解：Sn為數列的前n項和,且滿足％=(-DSn—2-%

當71=1時，Si=T=_的_2-1,解得的=一右故A錯誤；

n+1

當n>2時,an=Sn-Sn_1=(-l)"an-2r-(―1產％…+2-=(―1)飛+(-1)為…+/，

當n為偶數時，5=即+an_r+參，

1、。

。九一1=—尹'n>2,

即即=_2Al，71為正奇數，故C正確；

當n為奇數時，2%,=—%i-i+宗=—十，即即_1=2^1，

即即=或，n為正偶數，故B正確；

S+S

s6=2s5+a6=2(玄一玄)+/=一去=一專，故。錯誤.

故選：BC.

令n=1,求出的，判斷4；當n22時，求得廝=+(-I)%.：!+玄，分n為偶數和n為奇數討論

求與，判斷B和C；由Ss+S6=2Ss+ci6代入求值，判斷D.

本題考查數列的遞推式和數列的通項與前71項和的關系，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：因為(后+資尸=8x2y2<8(苧］,

所以以+走<2,當且僅當媚=資=1時取等號，所以選項A正確；

因為瞪+據42,所以|%o|wJ2，

所以滿足%oEZ且y°EZ的點P共有(一1,一1)，(—L1)，(0,0)，(1,-1)，(1,1)這5個，

所以選項B錯誤；

因為將點(—y,—%)代入E：(久2+y2)3=8%2y2,可得(%2+y2)3—8%2y2,因此關于y=一%對稱，

點(％X)代入E：(%2+y2)3=8%2y2,可得(%2+、2)3=取2y2,因此關于y=%對稱,所以C項正確；

因為E具有對稱性，所以只研究E在第一象限上的點的橫坐標或縱坐標為整數的情況，

,2

令%0=1,那么(1+y2)3=8y2,設y>0,那么有l+y2=2yG,

2

令yW=3t>0,那么1+/=2。

所以(t—l)(t2+t-l)=0,解得t=1或t=要，

所以1+y2=2裝有兩個正根1和J(告與,

所以結合曲線的對稱性可知在第一象限橫坐標或縱坐標為整數的點共有3個：

(1,1),(J(有:4,1),(1,J(要尸),四個象限一共12個，再加上(0,0),

所以整個曲線上橫坐標或縱坐標為整數的點共有13個，

所以任取一點PQ),yo)，那么該點滿足配ez且yoCZ的概率為K，因此選項D正確.

故選：ACD.

對于4用基本不等式的推論即可證明；

對于8,根據4可判斷|xol3合，再代入整數計算即可判斷；

對于C,代入(y,x),(-y,-x)即可判斷;

對于D,求出所有橫坐標或者縱坐標為整數的點的個數，再利用古典概型求概率即可.

本題考查曲線與方程，屬于中檔題.

12.【答案】苧

【解析】解：由橢圓卷+21,得。2=6,62=4,故6=]—.=

故答案為：

根據離心率公式直接求解即可.

本題主要考查求橢圓的離心率，屬于基礎題.

13.【答案】甯

【解析】解：三棱錐P—AEF的三條側棱P4PE,PF兩兩垂直，且P4=

2,PE=PF=1,

將三棱錐P-AEF補形為成長方體PEQA-FGNH,

則三棱錐P-4EF的外接球的半徑R即長方體PEQ4-FGNH對角線長的一

半,

即R=PA2+PE2+PF2=苧

當截面與0M垂直時，截面面積最小，設截面半徑為r,

又0M=JEN=￥，所以產=R2_OM2=I，

224

所以截面面積的最小值為兀產=

故答案為：乎；

24

由于三棱錐三條側棱兩兩垂直，所以把三棱錐的外接球問題轉化成長方體的外接球問題來處理即可；分析

出當截面與。M垂直時，截面面積最小，再去解由球半徑R,截面圓半徑r和球心到截面圓的距離。M組成的

直角三角形即可求出r,進而求出截面圓的面積.

本題主要考查了棱錐外接球性質的應用，屬于中檔題.

14.【答案】"

【解析】解：方法一a+b=l,.,.a+l+b+2=4,

222a2(b+2)b2(a+l)

ab1ao19

=4(^+l+KT2)(Cl+1+Z，+2)=4[a++b2]

a+1+b+2a+1+b+2

111

>-(a2+2ab+b2)=-(a+h)2=

444

當且僅當a=%匕=|時取等號，，魯+告2"

方法二：設a+l=s,b+2=3貝!Js+t=a+b+3=4,

..a2,b2_(s-l)2(.2)2141414

=s-2+-+t-4+=s+t+-+-6=-+-2,

?a+1b+2st777

14114it4s9

??--+7=4(-+7)(S+t)=4(-+T+5)>

當且僅當s=*t=*即。=$6=1時取等號,

a2b291

-------------->—2=—.

a+1b+2-44

故答案為：

4

方法一，直接根據基本不等式“1”的妙用求解.

方法二，利用換元法，然后根據基本不等式“1”的妙用求解.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題.

15.【答案】4=全

(助b=*c=8；(助詈.

【解析】解：(1),?easinC=ccosg,由正弦定理得siziAsinC=sinCcos^,

又ce(0,TT),則s譏c豐o,

..A.AA

???sinA=cos-=zsm-cos-,

A

又COS5H0,

,A1

???sin-=

???白(0,今，則

(2)(即由⑴知4=或4D是角4的角平分線，

S^ABC=S^ABD+S^ACD，

?*.之cbsin^=-ADsin^+上匕?ADsiny,

2326Z6

又AD=2/3,

則得cb=2c+2b,又c=3b,

2

3b=8bf解得b=*即c=8.

(團)a=Vc2+h2—2cbcosA=J64+號—程=

.b.721

???sinBn=-sinAA=.

a14

(1)由已知，利用正弦定理可得s譏4=cos*再由二倍角公式可得sin3=,,由矢(0,勺，可得4=今

(2)(團)由SMBC=SAABD+S-CD，利用面積公式及已知條件，即可求得b,c的值；

(ii)利用余弦定理求出a,再利用正弦定理即可求得s譏B的值.

本題主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理的應用，還考查了三角形面積公式的應用，屬于中檔

題.

16.【答案】y2=4x；

V-6.

【解析】解：(1)因為4B是拋物線C：y2=2p%(p>0)上異于頂點的兩個動點，

直線2B過拋物線C的焦點F,且焦點F到準線的距離為2,

所以p=2,所以拋物線C的方程為y2=4%；

(2)由(1)得尸(1,0),且直線4B不垂直于y軸，

所以設直線4B的方程為x=ny+l,

聯立J：：I得丫？一4ny-4=0,設4(%1，%)，B(x2,y2),

則4=16n2+16>0,yi+72=4m，yry2=-4,

2=222

所以=V1+n\yr—y2lV1+n-V16n+16=4(1+n)=6,解得九2=1.

又點。到直線4B的距離d=而餐=孚，

所以SAO,=|\AB\d=x6x竽=yj~6,

所以△04B的面積為，石.

(1)由焦點到準線的距離求解出p的值，則得拋物線的方程；

(2)設直線4B的方程為x=ny+L與拋物線的方程聯立，利用弦長公式解出幾，求出點。到直線4B的距

離，即可求得AOAB的面積.

本題考查拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)證明：連接C4,交4G于。點，連接。E,

直棱柱中，AC=AA1=2,顯然。是C①中點，

又因為E是BC中點，所以0E〃84,

因為。Eu面4EQ,BA±C面4EC],貝UB&〃面

(2)由直三棱柱48C—4B1C1中ABAC=90°,故可構建如圖所示空間直角坐標系,

所以平面的一個法向量為記=(0,1,0),

又因為EQU0),6(0,2,2),

所以衣=(1,1,0),宿=(0,2,2),

設平面AEG的法向量為元=Q,y,z),則屈1元，宿_L元，

所以巴，令y=—L則—

所以平面AEG與平面4BB14所成銳二面角的余弦值為：|cos<m,n>|=I瑞看I=?.

(3)因為4(2,0,2),所以福=(2,0,2)，

則點名到平面4EQ的距離d=|霄|=表=苧.

【解析】(1)連接C4,交4G于。點，連接OE,易證。再由線面平行的判定定理證明結論;

(2)構建空間直角坐標系，應用向量法求面面角的余弦值；

(3)根據(2)所得空間直角坐標系，應用向量法求點面距.

本題考查線面平行的證明，二面角的求法，點到平面的距離求法，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)設“有女教師參加活動”為事件4“恰有一名女教師參加活動”為事件B,

則P(48)=等=9P⑷=當產3

、8

所以「伊|4)=瑞=萼8

9

(2)依題意知X服從超幾何分布，且P(X=k)=七一(卜=0,1,2),

C6

p(x=0)=q=I，P(x=1)=嬰=2P(x=2)=4=

、/ci5、7c|15v7d15

所以X的分布列為：

X012

281

P

51515

F(X)=0X|+1XA+2X±=|.

(3)設一名女教師參加活動可獲得分數為XI,一名男教師參加活動可獲得分數為X2，

則X］的所有可能取值為3,6,X2的所有可能取值為6,9,

P(X1=3)=P(X1=6)=芯1E(X1)=3x1^+6x1^9=^,

11115

尸(X2=6)=P(X2=9)=5，E(Xz)=6x-+9x-=y,

有X名女教師參加活動，則男教師有2-X名參加活動，

y=|91x5+y(2-x)=15-3X,

所以E(Y)=EQ5-3X)=15-3E(X)=15-3xj=13.

即兩個教師得分之和的期望為(13分).

【解析】(1)由條件概率的計算公式即可求解；

(2)參加活動的女教師人數為X,則X服從超幾何分布，即可寫出X的分布列及期望.

(3)根據一名女教師和一名男教師參加活動獲得分數的期望，即可得Y=15-3X,即可求得E(y).

本題考查超幾何分布