北師大版七年級數學下冊《第四章三角形》單元測試卷（帶答案）

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【數學素養】

特殊化是一種重要的數學思維策略，指在面對一般性或復雜問題時，通過研究其特殊情況（如特殊值、特殊圖

形、特定條件等）來尋找規律或突破口，進而推廣到一般問題的解決方法。新版教材增設“問題解決策略”專題，

旨在將日常教學中的數學思想顯性化，改變傳統滲透式教學，直接引導學生掌握策略。同時，也能夠與新版課程標

準中的核心素養要求相銜接，通過真實情境（如旋轉正方形重疊面積問題）培養學生的數學分析能力。

一、特殊化的核心內涵

（-）從一般到特殊的轉化，即將復雜問題簡化為易于處理的特殊情形，例如：

在三角形全等判定中，先研究直角、等邊等特殊三角形的性質，再推廣到一般三角形；

對于代數問題，則通過代入特殊值（如x=O,l）觀察規律。

（二）辯證的認知規律

華羅庚提出“善于退，退到最原始而不失重要性的地方”，強調通過特殊化揭示問題本質。

二、特殊化的應用場景

（一）幾何問題

示例：證明“三角形三條中線交于一點”時，可先驗證等邊三角形這一特殊情況。

策略：通過特殊圖形（如等腰、直角三角形）發現一般性質。

（二）代數與函數

示例：研究復雜找規律問題時，可以分析某一個值為0時的簡化形式。

策略：特殊值代入法快速驗證選項或猜想。

（三）選擇題與探索性題目

通過極端情況（如極限值、邊界條件）排除錯誤選項或確定結論。

【例1】代數中的特殊化策略

【典例】數學興趣小組開展探究活動，研究了“任意兩個連續奇數的平方差是否是8的倍數”的問題.

⑴指導教師將學生的發現進行整理，得出如下部分信息（〃為正整數）.

任意兩個連續奇數的平方差8的倍數

表示結果32-128=8x1

第1頁共38頁

52-3216=8x2

72-5224=8x3

92-7232=8x4

II2-9240=8x5

一般結論（2n+l）2-（2n-l）28n

按上表規律，完成下列問題：

(i)192-I7J=x.

(ii)(2n+7)2-(2??+5)2=.

(2)請根據你學過的相關數學知識，證明(ii)中的結論成立.

【變式1]"字母表示數”被后人稱為從“算術”到“代數”的一次飛躍，用字母表示數可以從特殊到一般的表達數學規

律.請觀察下列關于正整數的平方拆分的等式：

第1個等式：22=1+12+2;

第2個等式：32=2+22+3;

第3個等式：42=3+32+4;

第4個等式：52=4+42+5;

⑴請用此方法拆分2025，

(2)請你用上面的方法歸納一般結論，列出第"個等式"為正整數)，并借助運算證明這個結論是正確的.

【變式2】請認真閱讀下列材料，并完成相應學習任務.

在第十四章《整式的乘法與因式分解》探究數字規律活動課上，老師出示如下問題：觀察下列計算兩個數積的方法，

你發現了什么規律？

53x57=5x6x100+21=3021

38x32=3x4x100+16=1216

84x86=8x9x100+24=7224

任務一：按規律計算71x79=.

任務二：用兩個字母”b表示出發現的規律，并給出證明.

第2頁共38頁

任務三：上面這種從具體數字計算，到用字母表示出一般性規律，體現了一種很重要的數學思想是.（填正

確選項代碼）

A.方程思想B.數形結合思想C.從特殊到一般

【變式3】閱讀：在計算（彳-。卜"+-+/2+...+X+1）的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的情形入手，再到

復雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結，形成解決一類問題的一般方法，數學中把這樣的過程叫作特殊到一

般如下所示：

［觀察］①（無一1）（X+1）=尤2-1；

②（彳_1）（*2+X+1）=彳3_［；

③+x?+X+1）=/-1;

⑴［歸納］由此可得(X—D(x"+x"T+x"-2+…+x+l)=.

(2)［應用］請運用上面的結論計算：22期+22023+22。22+22?！?…+2+1=

(3)計算：220-219+218-217+-+24-23+22-2+1.

【例2】平行線中的特殊化策略

【典例】（1）【問題解決】如圖1,已知他CD,/BEP=3Q。,ZCFP=155°,求NEP尸的度數；

（2）【問題遷移】如圖2,若A3〃CZ）,點尸在A3的上方，則/尸FC,ZPEA,/EPR之間有何數量關系?并說明理

由；

（3）【聯想拓展】如圖3,在（2）的條件下，已知/EPF=（z,NPEA的平分線和/尸尸。的平分線交于點G,求NG

的度數（結果用含a的式子表示）.

【變式1】【模型發現】數學興趣小組的同學在活動中發現：圖①中的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是將這個圖形

稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數量關系.

第3頁共38頁

①②③

(1)如圖①，AB//CD,M是A3,CD之間的一點，連接3",DM,若NM=100。，求NB+ND的度數；

【靈活運用】

(2)如圖②，AB〃C￡),M,N是AB,CD之間的兩點，當N3-/C=g/3MN時，請找出ZBW和/MNC之間的數

量關系，并說明理由；

【拓展延伸】

(3)如圖③，43〃8,石,廠,6均是9，CD之間的點，如果/E+/F=2NG=70。，直接寫出ZB+NO的度數.

【變式2】如圖，將一個含60。的直角三角板A3C放置在直尺上，使直尺與三角板的邊8C重合，再將一個含45。的

直角三角板3跖放置在直尺上，使得三角板的最長邊DE在A3所在直線/上.其中NABC=60°/DEF=45°

MN//JK.

(2)如圖2,AB與直尺上沿交于點G,連接FG,在三角板DE尸沿直線/運動的過程中，是否存在某個位置，使得尸G

與三角板ABC的一條邊平行.若存在，請求出此時ZEFG的度數；若不存在，請說明理由；

(3)如圖3,小明將直角三角板O砂換成一般三角形卡片尸.其中NOEF=e(0o<a<30。).在三角形卡片OE廠沿

直線/運動的過程中，當NEFG與。滿足怎樣的數量關系時，尸G與三角板的一條邊AC平行.

【變式3】(1)【閱讀思考】輔助線是在解決幾何問題時，為了幫助我們更好地理解和解決問題，而在原圖上添加的

一些線.這些線不是題目中原本就有的，是我們根據解題的需要自己畫上去的.

如圖一，已知AB〃EF,/B=/E,請說明BC〃Z)E.

第4頁共38頁

證明：分別過點C,。作CG〃AB,DH//EF.

因為①,所以AB//CG//DH//EF.

由②,可知=N2=N3,/4=/E.

由題知N3=NE,所以③.

貝ijZ1+Z2=Z3+Z4,即④.

由⑤,可得

請根據自己的理解，將上述證明過程補充完整.

(2)【遷移應用】如圖二，已知AB〃CD,CE,BE的交點為E.判斷—3EC,/ABE./DCE之間的關系，并說

明理由.

(3)【拓展延伸】在第(2)題的條件下，現對圖二作如下操作：第一次操作，分別作-ABE和/DCE的平分線，

交點為與：第二次操作，分別作和的平分線，交點為E2;第三次操作，分別作/48當和/DC%的

平分線，交點為E??，第”次操作，分別作/ABE-和NDCE,T的平分線，交點為E?,如圖三、若ZE?=1°,求/EC

【例3】三角形中的特殊化策略

【典例】學習情境?實踐探究

【從特殊到一般思想】如圖，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起.

第5頁共38頁

ED

【計算與觀察】

⑴若NOCE=45°,則NACB=；若NACB=130。，則/Z)CE=

【猜想與證明】

⑵猜想ZACB與NDCE的大小有何特殊關系？并說明理由;

【拓展與運用】

(3)若NDCE:NACB=4:5,求/OCE的度數.

【變式1】綜合與實踐課上，老師讓同學們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開展數學活動.

(1)【操作判斷】在VABC中ZB=40°ZC=70°作/BAC的平分線交于點。.

①操作一：在下圖中用三角尺作8C邊上的高AE垂足為點E求/D4E的度數

②操作二：如圖1在AD上任取點尸作FEL3C垂足為點E直接寫出血石的度數

(2)【遷移探究】

操作三：如圖2將(1)中“在AD上任取點尸'改為“在ZM的延長線上任取點廠”其他條件不變判斷/。芯的度

數是否會發生變化并說明理由

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F

圖2

(3)【拓展應用】

如圖3圖4在VABC中ZB=aNC=￡AD是—SAC的平分線在直線4D上任取點尸過點尸作

與直線8C交于點E請直接寫出“EF與a夕之間的數量關系.

圖3圖4

【變式2】問題情景：如圖1在同一平面內點2和點C分別位于一塊直角三角板PW的兩條直角邊PM,PN上

點A與點P在直線BC的同側若點尸在VABC內部試問/ABPN4CP與-A的大小是否滿足某種確定的數量

關系？

圖I各用圖

(1)特殊探究：若ZA=55則ZASC+ZACB=_______度NPBC+NPCB=度ZABP+ZACP=______度

⑵類比探索：請猜想NABP+NACP與ZA的關系并說明理由

(3)類比延伸：改變點A的位置使點P在VABC外其它條件都不變判斷(2)中的結論是否仍然成立？若成立

請說明理由若不成立請直接寫出NABPZAC尸與N4滿足的數量關系式.

【變式3】已知△A8C和△AZJE都是等腰三角形AB=ACAD=AEZDAE=ZBAC.

【初步感知】(1)特殊情形：如圖①若點。E分別在邊ABAC上則DBEC.(填〉＜或=)

(2)發現證明：如圖②將圖①中△AOE的繞點A旋轉當點。在AA8C外部點E在AABC內部時求證:

DB=EC.

【深入研究】(3)如圖③△ABC和△AOE都是等邊三角形點CE。在同一條直線上則/CDB的度數為

第7頁共38頁

線段CE8。之間的數量關系為

(4)如圖④△ABC和△AOE都是等腰直角三角形NBAC=/ZME=90。點CDE在同一直線上AM為

AADE中DE邊上的高則/CDB的度數為線段AMBDC。之間的數量關系為

圖①圖②圖③

圖④

【例4】探究類問題的特殊化策略

【典例】仔細觀察探索規律:

(x-l)(x+l)=x2-1

(X-1)(爐+X+1)=%3—1

則32024+3”23+32022+...+3+1=()

。25

32024-132T32024-132025-1

A.B.C.D.

3322

【變式1】李明在教材第83頁的教學活動探索發現如圖用相同的小正方形拼大正方形拼第1個正方形需要4

個小正方形拼第2個正方形需要9個小正方形...拼一拼想一想按照這樣的方法拼成的第〃個正方形比第

(“-1)個正方形多()個小正方形?

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【變式2】【體驗與實踐】

【解題呈現】如圖在VA3C中AB=ACP為底邊BC上的中點PDYABPEVAC點、DE為垂足過

點C做腰線A3的垂線(高線)垂足為尸貝吊尸D+PE=CV.

某同學的思路分析：本題涉及到三角形的高線則利用等面積法進行思考與探索即SMBC=SA.P+SMCP所以

-ABxCF=-ABxDP+-ACxPE

222

而AB=AC①式化為：-ABxCF^-ABxDP+-ABxPEn!^CF=PD+PE.

222

【探究與實踐】如圖已知：等腰三角形ABC中AB=AC.

(1)P為底邊2C上的任意一點自P向兩腰所在的直線做垂線尸EPF點E/為垂足.求證：PE+PR等于定值

⑵若點尸在底邊BC的延長線上時情況如何？

【變式3】如圖在中ZACB=90°將Rt^ABC沿著斜邊A3翻折得到RtAlBDMN分別是射線

AC和射線ZM上的點且NMBN=|NCBD

【初步探索】

(1)如圖1點MN分別在線段AC和線段ZM上試探究線段MNCMDN之間的數量關系.

小明同學探究此問題的思路：延長AD至點E使得=連接班先證明△MCB/汨再證明

MBNREBN即可得到線段MNCMDN之間的數量關系.

請依照小明的思路把過程補充完整.

【探索延伸】

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（2）如圖2點MN分別在線段ACZM的延長線上（1）中的結論還成立嗎？若成立請給予證明若不

成立請探究線段MNCMZW之間新的數量關系并說明理由.

【靈活運用】

3

(3)在Rt^ABC中若3c=3AC=4AD=-AN請直接寫出一的周長

2

M

圖2

參考答案

【數學素養】

特殊化是一種重要的數學思維策略指在面對一般性或復雜問題時通過研究其特殊情況（如特殊值特殊圖

形特定條件等）來尋找規律或突破口進而推廣到一般問題的解決方法。新版教材增設“問題解決策略”專題旨

在將日常教學中的數學思想顯性化改變傳統滲透式教學直接引導學生掌握策略。同時也能夠與新版課程標準

中的核心素養要求相銜接通過真實情境（如旋轉正方形重疊面積問題）培養學生的數學分析能力。

一特殊化的核心內涵

（-）從一般到特殊的轉化即將復雜問題簡化為易于處理的特殊情形例如：

在三角形全等判定中先研究直角等邊等特殊三角形的性質再推廣到一般三角形

對于代數問題則通過代入特殊值（如x=0,1）觀察規律。

（二）辯證的認知規律

華羅庚提出“善于退退到最原始而不失重要性的地方”強調通過特殊化揭示問題本質。

二特殊化的應用場景

（一）幾何問題

示例：證明“三角形三條中線交于一點”時可先驗證等邊三角形這一特殊情況。

策略：通過特殊圖形（如等腰直角三角形）發現一般性質。

第10頁共38頁

(二)代數與函數

示例：研究復雜找規律問題時可以分析某一個值為0時的簡化形式。

策略：特殊值代入法快速驗證選項或猜想。

(三)選擇題與探索性題目

通過極端情況(如極限值邊界條件)排除錯誤選項或確定結論。

【例1】代數中的特殊化策略

【典例】數學興趣小組開展探究活動研究了“任意兩個連續奇數的平方差是否是8的倍數”的問題.

(1)指導教師將學生的發現進行整理得出如下部分信息(〃為正整數).

任意兩個連續奇數的平方差8的倍數

32-128=8x1

52-3216=8x2

72-5224=8x3

表示結果

92-7232=8x4

II2-920=8x5

一般結論（2M+1）2-（2H-1）28〃

按上表規律完成下列問題：

(i)192_172==x.

(ii)(2n+7)2-(2n+5)2=.

(2)請根據你學過的相關數學知識證明(ii)中的結論成立.

【答案】(1)(i)7289(ii)8/7+24

(2)見解析

【難度】0.65

【分析】本題主要考查了數字類的規律探索平方差公式正確理解題意找到規律是解題的關鍵.

(1)(i)仿照題意求解即可(ii)觀察可知兩個連續奇數的平方差等于8乘以這兩個奇數和的四分之一據此規

律求解即可

第11頁共38頁

（2）利用平方差公式求出（2力+7）2-（2〃+5）2去括號后的結果即可證明結論.

【詳解】（1）解：（i）由題意得192-172=8X^±1Z=8X9=72

4

9「3+1

（ii）32-12=8X——=8x1=8

4

05+3

502-32=8X——=8x2=16

4

.c7+5

72-52=8X——=8x3=24

4

9+7

972-7?2=8x------=8x4=32

4

以此類推可知（2〃+7）2-（2"+5）2=8.2"+7丁+5=8（〃+3）=8〃+24

（2）證明：（2"+7）2-（2〃+5）2

=［伽+7）+（2n+5）］［（2?+7）-（2n+5）］

=（471+12）-2

=8幾+24.

【變式1】"字母表示數”被后人稱為從“算術”到“代數”的一次飛躍用字母表示數可以從特殊到一般的表達數學規

律.請觀察下列關于正整數的平方拆分的等式：

第1個等式：22=1+12+2

第2個等式：3=2+22+3

第3個等式：42=3+32+4

第4個等式：52=4+42+5

（1）請用此方法拆分20252.

（2）請你用上面的方法歸納一般結論列出第"個等式（”為正整數）并借助運算證明這個結論是正確的.

【答案】（1）20252=2024+20242+2025

（2）n2=（7?-1）+（?-1）2+?證明見解析

【分析】本題主要考查了數字規律型問題還考查了整式的混合運算和乘法公式.熟練掌握等式所反映的規律是

解題的關鍵.

（1）依據材料中等式的規律解答即可

（2）根據依據材料中發現等式的規律寫出含〃的等式證明成立即可.

【詳解】（1）解：第1個等式：2J1+F+2

第2個等式：32=2+22+3

第12頁共38頁

第3個等式：42=3+32+4

22

第4個等式：5=4+4+5

第2024個等式：20252=2024+20242+2025

(2)解:第1個等式：22=1+12+2

第2個等式：32=2+22+3

第3個等式：42=3+3?+4

第4個等式：52=4+4?+5

則含n的等式是A?=("-1)+(〃一1)2+〃.

理由：?.?右邊=”-1+〃2-Za+l+Mu/

左邊="2

左邊=右邊

tV=(n—l)+(?z—1)2+n成立.

【變式2】請認真閱讀下列材料并完成相應學習任務.

在第十四章《整式的乘法與因式分解》探究數字規律活動課上老師出示如下問題：觀察下列計算兩個數積的方法

你發現了什么規律？

53x57=5x6x100+21=3021

38x32=3x4x100+16=1216

84x86=8x9x100+24=7224

任務一：按規律計算71x79=.

任務二：用兩個字母ab表示出發現的規律并給出證明.

任務三：上面這種從具體數字計算到用字母表示出一般性規律體現了一種很重要的數學思想是.(填正

確選項代碼)

A.方程思想B.數形結合思想C.從特殊到一般

【答案】任務一：5609

任務二：(10a+8)(10a+10—b)=100a(a+l)+Z?(10—匕)證明見解析

任務三：C

【分析】本題考查多項式乘法多項式法則數式規律探究通過觀察出數式計算規律和熟練掌握多項式乘法多項式

法則是解題的關鍵.

(1)仿材料的計算方法求解即可

第13頁共38頁

(2)設兩個兩位數的十位數字為。第一個的個位數字為b則第二個數的個位數為(I。-%)則

(10a+&)(10o+10-Z2)=100a(?+l)+^(10-Z7)再利用多項式乘以多項式法則分別計算等式的左邊與右邊即可得出

結論.

(3)從具體數字計算到用字母表示出一般性規律體現了從特殊到一般的數學思想.

【詳解】解：任務一：71x79=7x8x100+9=5609

任務二：設兩個兩位數的十位數字為a第一個的個位數字為b則第二個數的個位數為(10-3則

(10a+&)(10o+10-Z2)=100a(?+l)+/?(10-Z7)

證明：(10a+6)(10a+10-6)

=100a2+100a—lOab+lOab+10b—b2

=100/+100。+10人

100<7(a+l)+Z?(10—Z?)

=lQ0a2+l00a+10b-b2

\(10a+&)(10o+10-ti)=100o(a+l)+Z?(10-b)

任務三：用字母表示出一般性規律體現了一種很重要的數學思想是從特殊到一般.

故選：C.

【變式3】閱讀：在計算(*-。廿'+尸+/2+...+彳+1)的過程中我們可以先從簡單的特殊的情形入手再到

復雜的一般的問題通過觀察歸納總結形成解決一類問題的一般方法數學中把這樣的過程叫作特殊到

一般如下所示：

［觀察］①(x-l)(x+l)=f—1

②尤2+X+1)=尤3-1

③(x—D(%3+X2+尤+1)=X4—1

(1)［歸納］由此可得(x—D(x"+x"I+x"-H--FX+1)=.

(2)［應用］請運用上面的結論計算：22°24+22°23+22°22+22必+…+2+1=.

20191817432

(3)計算:2-2+2-2+...+2-2+2-2+1.

【答案】⑴-—1

/O\o20251

第14頁共38頁

【分析】本題主要考查數字規律整式的混合運算有理數的乘方的運算理解材料提示找出規律掌握整式的

運算法則是關鍵.

(1)根據材料提示的計算方法求解即可

(2)結合材料添加(2-1)即可求解

(3)設S=22°—2i9+2i8_2i7+…+2’—23+2?—2+1①貝U2S=2?1一2"+吸9一＞'+…+2$—24+23—2?+2②由止匕

列式求解即可.

【詳解】(1)解：已知①(x—l)(x+l)=d—1

@(x-l)(x2+x+l)=x3-1

③尤3+x2+尤+])=x4-1

...(尤一1)(無“+x'T+無片2+…+尤+1)=尤"+1_]

故答案為：xn+,-l

(2)解：22024+22023+22022+22?1+■?■+2+1

=(2-1)X(22024+22023+22022+22021+-+2+1)

故答案為：22025T

(3)解:S=220-219+21*-217+???+24-23+2i-2+1①

貝I]2s=221—22°+219—2|8+~+25—24+23—22+2②

①+②得3s=2”+1

【例2】平行線中的特殊化策略

【典例】(1)【問題解決】如圖1已知鉆CD,/BEP=30。,ZCFP=1550求的度數

(2)【問題遷移】如圖2若AB〃CD點P在A3的上方則/抨CZPEA,NEPb之間有何數量關系?并說明理

由

(3)【聯想拓展】如圖3在(2)的條件下已知NEP尸=0，/尸石4的平分線和NPFC的平分線交于點G求NG

的度數(結果用含a的式子表示).

第15頁共38頁

ffil圖2圖3

【答案】（1）55°（2）ZPFC=ZPEA+ZEPF理由見解析（3）-a

2

【分析】（1）過點P作PM〃筋由平行線定理可得AB〃CD〃尸河根據平行線的性質可得

ZBEP=NEPM=30。ZCFP+ZMPF=180°即NMP尸=25。即可求解

（2）如圖PF與A3相交于點N根據平行線的性質可得NP產C=NPN4再根據三角形內角和定理和平角的定

義利用等量代換可得4PNA=NPEA+ZEPF即可得證

（3）如圖GE與相交于點。由對頂角相等和三角形內角和定理可得NG+!NPFC=a+《NPE4

22

ZG+ZGFO=ZP+ZPEO再由角平分線的定義可得由（2）可得ZPFC=ZPEA+ZEPF進行等量代換即可求解.

【詳解】解：（1）如圖過點尸作尸

?；AB//CD

：.AB//CD//PM

：.ZBEP=ZEPM=30°Z.CFP+ZMPF=180°

?.NMPF=180°-155°=25°

ZEPF=Z.EPM+ZMPF=300+25°=55°

(2)ZPFC=ZPEA+ZEPF理由如下：

如圖尸尸與A3相交于點N

:AB//CD

：.ZPFC=ZPNA

?/ZPNA+ZPNE=180°ZPNE+Z.PEA+Z.EPF=180°

NPNA=ZPEA+ZEPF

：.ZPFC=ZPEA+ZEPF

第16頁共38頁

(3)如圖GE與P歹相交于點。

1/Z.GOF=NPOE

：.ZG+ZGFO=ZP+ZPEO

,：GE平分NPEAGF平分ZPFC

：.ZGFO=-ZPFCZPEO=-ZPEA

22

ZG+-ZPFC=a+-ZPEA

22

由（2）可得ZPFC=ZPEA+ZEPF

【點睛】本題考查平行線的性質三角形內角和定理對頂角相等平行線性質角平分線的定義熟練掌握平行

線的性質和三角形內角和定理是解題的關鍵.

【變式1】【模型發現】數學興趣小組的同學在活動中發現：圖①中的幾何圖形很像小豬的豬蹄于是將這個圖形

稱為“豬蹄模型”“豬蹄模型”中蘊含著角的數量關系.

(1)如圖①AB//CDM是AB,C￡>之間的一點連接若ZM=100。求NB+NO的度數

【靈活運用】

(2)如圖②AB〃Cr>,M,N是AB,C。之間的兩點當=時請找出ZBMV和/MNC之間的數

第17頁共38頁

量關系并說明理由

【拓展延伸】

(3)如圖③AB〃CD,瓦尸,G均是AB,CD之間的點如果NE+NF=2NG=70。直接寫出N3+ND的度數.

9

【答案】(1)100°(2)ZMNC=-ZBMN理由見解析(3)ZB+ZD=35°

【分析】本題考查了平行線的性質和判定構造輔助線掌握“豬蹄模型”是解本題的關鍵.

(1)過點M作ME〃鈣證明AB〃ME〃CD則=N1,/￡>=N2進而得Nfi+ND=N1+N2=NBMD由此可

得NB+NZ)的度數

(2)過點M作MF7/AB則48=/1證明狼〃CD由(1)得/C+N2=NMNC則/C=NA/7VC-N2進而

得NB-NC=N1+N2-NMNC再根據N1+N2=NRVMNB-NCug/BMN即可得出ZBMV和NMNC之間的

數量關系

(3)過點G作G”〃A3依題意得NE+N尸=70o,NEG^=Nl+N2=35°證明AB〃GH〃CD由(1)得

ZE=ZB+Zl,ZF=ZD+Z2貝i|ZE+ZF=ZB+/1+ZD+N2由止匕可得ZB+ZD的度數.

【詳解】解：(1)過點M作ME〃/1B如圖①所示：

ABCD

AB//ME//CD

.-.ZB=Z1,ZD=Z2

.-.ZB+ZD=Z1+Z2

4+N2=N3MD=100°

:.ZB+ZD=ZBMD=100°

2

(2)ZBAW和/MVC之間的數量關系是：ZMNC=-ABMN理由如下:

圖②

.".ZB=Z1

AB//CD,MF//AB

第18頁共38頁

:.MF//CD

由⑴得：NC+N2=NMNC

.\ZC=ZMNC-Z2

/.Zfi-ZC=Zl-(ZWC-Z2)=Zl+Z2-ZWC

Z1+Z2=/BMN

NB—NC=ZBMN-ZMNC

又.ZB-ZC=-ZBMN

3

ZBMN-ZMNC=-ZBMN

3

:.ZMNC=-ZBMN

3

(3)ZB+ZD=35°理由如下：

過點G作G"〃AB如圖③所示：

/E+NF=2ZEGF=70°

ZE+ZF=70°,ZEGF=35°

/.Z1+Z2=ZEGF=35°

AB//CD,GH//AB

ABGHCD

由(1)得：NE=NB+N1,NF=ND+N2

.-.ZE+ZF=ZB+Z1+ZD+Z2

.\700=ZB+ZD+35°

,\ZB+ZD=35°.

【變式2】如圖將一個含60。的直角三角板ABC放置在直尺上使直尺與三角板的邊重合再將一個含45。的

直角三角板DEF放置在直尺上使得三角板的最長邊OE在A5所在直線/上.其中NABC=60。ND石尸=45。

MN//JK.

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圖1圖2圖3

⑴如圖1當點E與點8重合時EF與直尺上沿兒W交于點X求"的度數

⑵如圖2與直尺上沿交于點G連接尸G在三角板DEF沿直線/運動的過程中是否存在某個位置使得

尸G與三角板ABC的一條邊平行.若存在請求出此時ZEFG的度數若不存在請說明理由

(3)如圖3小明將直角三角板OE尸換成一般三角形卡片DEF.其中NDEF=a(0°<a<30°).在三角形卡片DEF沿

直線/運動的過程中當NEFG與1滿足怎樣的數量關系時FG與三角板的一條邊AC平行.

【答案】(1)75。

⑵NEFG=15°或75。

⑶NEFG=30。一々

【分析】本題考查與三角板有關的計算平行線的判定和性質熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵.

(1)利用角的和差關系結合平行線的性質進行求解即可

(2)分兩種情況：和FGAC時分別畫出圖形求出結果即可

(3)先求出NBAC=90。—NABC=30°根據平行線的性質得出NAffiD=NBAC=30。NEFG=NFEM求出

NFEM=NMED-NDEF=30。一a即可得出答案.

【詳解】(1)解：,/ZABC=6Q°/DEF=45°

，ZFBC=60°+45°=105°

MN//JK

：.NMHB=180。一ZFBC=75°

(2)解：①當FG〃3c時如圖過點￡作四〃3。

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則：EM//BC//FG

???NBEM=ZABC=60。NGFE+NFEM=180。

9：ZFEM=ZDEF+ZBEM=600+45°=105°

ZEFG=180°-105o=75°

②當FGAC時如圖：過點￡作上用〃AC

則：EM//FG//AC

9：ZABC=60°

：.ABAC=90°-ZABC=30°

又???應0〃2G〃AC

：.ZMED=ZBAC=30°ZEFG=ZFEM

ZFEM=ZDEF-ZMED=45°-30°=15°

???ZEFG=ZFEM=15°

綜上分析可知：NEFG=15?；?5。

(3)解：如圖：過點E作￡M〃AC

???ZABC=60°

???ABAC=90°-ZABC=30°

?.,FGAC

：.EM//FG//AC

：.ZMED=ABAC=30°ZEFG=ZFEM

第21頁共38頁

AFEM=ZMED一NDEF=30°-?

ZEFG=NFEM=30°-（z.

【變式3】（1）【閱讀思考】輔助線是在解決幾何問題時為了幫助我們更好地理解和解決問題而在原圖上添加的

一些線.這些線不是題目中原本就有的是我們根據解題的需要自己畫上去的.

如圖一己知/B=/E請說明

圖一

證明：分別過點G￡＞作CG〃AB,DH//EF.

因為①所以AB//CG//DH//EF.

由②可知=N2=N3,Z\=ZE.

由題知NB="所以③.

則/1+N2=N3+N4即④.

由⑤可得3c〃。瓦

請根據自己的理解將上述證明過程補充完整.

（2）【遷移應用】如圖二已知AB〃CD,CE,BE的交點為E.判斷NBEC,NABE.—OCE之間的關系并說

明理由.

（3）【拓展延伸】在第（2）題的條件下現對圖二作如下操作：第一次操作分別作N4狙和-DCE的平分線交

點為反：第二次操作分別作NAB&和NOC&的平分線交點為當第三次操作分別作乙42區和ZDCE2的平

分線交點為心第〃次操作分別作乙m紇一和NOCE.T的平分線交點為E,如圖三若NEn=1。求

NBEC的大小.

圖三

【答案】（1）①AB〃EF②兩直線平行內錯角相等③4=N4?ZBCD=ZCDE⑤內錯角相等兩直線

平行⑵NBEC=ZABE+NDCE理由見解析(3)(2")°

第22頁共38頁

【分析】本題考查了平行線的判定與性質角平分線的定義解題的關鍵是掌握平行線的性質和判定定理.

(1)根據平行線的判定與性質結合已給推論過程求解即可

(2)過E作得到ABHEFHCD推出N3=N1ZC=Z2結合/3EC=/l+/2即可求解

(3)根據(2)的結論可推出/耳即可求解.

【詳解】解：(1)分別過點CD作CG〃ABDH//EF.

因為Afi〃￡F所以AB〃CG〃DH〃EF.

由兩直線平行內錯角相等可知=/2=N3Z4=ZE.

由題知NB=NE所以N1=N4.

則Z1+Z2=Z3+Z4即Z.BCD=ZCDE.

由內錯角相等兩直線平行可得BC//DE.

故答案為：①AB〃EF②兩直線平行內錯角相等③N1=N4?ZBCD=ZCDE⑤內錯角相等兩直線平

行

(2)ZBEC=ZABE+ZDCE理由如下：

AB//CD

.ABHEFIICD

.ZB=Z1ZC=Z2

ZBEC=Z1+Z2

ZBEC=ZABE+ZDCE

(3)—WE和—DCE的平分線交點為耳

.ZCEB=ZABE+ZDCE.=-ZABE+-ZDCE=-ZBEC.

111222

/ABE1和ZDCE,的平分線交點為E2

ZBE2C=ZABE2+ZDCE2=：ZABEt+1ZDCE、=；NCE1B=[ZBEC

和的平分線交點為

/ABE2ZDCE2E3

:NBE3c=NABE3+ZDCE=-ZABE+-ZDCE=-ZCEB=-ZBEC

32222228

第23頁共38頁

以此類推NE“=±NBEC.

.?.當NE“=1。時/BEC等于(2")。.

【例3】三角形中的特殊化策略

【典例】學習情境?實踐探究

【從特殊到一般思想】如圖將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起.

【計算與觀察】

(1)若NDCE=45°則=若NACB=130。貝?。軳DCE=

【猜想與證明】

⑵猜想ZACB與ZDCE的大小有何特殊關系？并說明理由

【拓展與運用】

⑶若NOCE:NACB=4:5求—DCE的度數.

【答案】(1)135。50°

(2)ZACB與NDCE互補見解析

(3)ZDCE=80°

【難度】0.65

【分析】本題主要考查了余角和補角角的和差定義等知識點靈活運用所學知識解決問題成為解題的關鍵.

(1)根據角的和差定義計算即可

(2)利用角的和差定義計算即可

(3)利用(2)的結論計算即可.

【詳解】(1)解：VZACD=ZECB=90°NDCE=45。

ZACE=90°-ZDCE=45°

ZACB=ZACE+ZBCE=135°.

ZACB=130°ZACD=ZECB=90°

ZACE=NDCB=130°-90°=40°

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ZDCE=ZACD-ZACE=90°-40°=50°.

故答案為：135050°.

(2)解：/AC5與/OCE互補.理由如下：

ZECB=90°ZACD=90°

：.ZACB=ZACD-^-ZDCB=90°+ZDCBZDCE=ZECB-ZDCB=90°-ZDCB

C.1ACB1DCE90?1DCB90?1DCB180?

???ZACB與NDCE互補.

(3)解：VZDCE:ZACB=4:5

ZACB=-ZDCEZACB+ZDCE=180