第3講輔助圓的妙用

模塊1本質(zhì)原理

很多題目中沒有出現(xiàn)圓，但是如果利用圓的特征添加圓，能讓題目解起來變得十分簡單.因此，輔助圓思想是我

們解題中非常重要的工具.

續(xù)表

輔助圓的本質(zhì)原理就是：鎖定圓的軌跡，利用圓的性質(zhì)與定理，確定邊角關(guān)系.

輔助圓的慣用性質(zhì)、定理如下：

(1)等量關(guān)系定理(圖3.1)

在同圓或等圓中，等圓心角(NAOB=NDOC)、等弧(血=前)、等弦(AB=CD)、等弦心距(OF=OG),知一推三;

求證的核心是：△AOB^ACOD.

(2)垂徑定理(圖3.2)

垂徑定理中的五個條件：過圓心的線(AB)、垂直弦(ABLCD)、平分弦(CE=DE)、平分優(yōu)弧?=麗)、平分

劣弧(女=助)，知二推三；求證的核心是：△COE=ADOE.

圖3.1圖3.2

（3）圓周角定理及其推論

①同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半（如圖3.3所示，^AOB=2zC=2ND=2NE）.

②同弧或等弧所對的圓周角相等（如圖3.3所示，ZC=Z0=ZE）.

③直徑所對的圓周角是直角（如圖3.4所示，ZC=ZD=90°）.

D

O“----D

\!

\、/'

\/

V一一，

B

圖3.3圖3.4

④圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ),，外角等于內(nèi)對角（如圖3.5所示，乙4+4BCD=180。,進(jìn)而/A=/l）.

圖3.5

（4）圓幕定理

①相交弦定理（圖3.6）.

結(jié)論：PA-PB=PC-PD.

證明提示：AAPCADPB.

②切割線定理（PA為切線）（圖3.7）.

圖3.6.圖3.7

結(jié)論：PA2=PC-PD.

證明提示:△PACS/XPDA.

③割線定理（圖3.8）.

圖3.8

結(jié)論:PA-PB=PCPD.

證明提示:△PBC^APDA.

模塊2場景演練

四點(diǎn)共圓的判定

類型1:雙垂直型

1.如圖3.9所示,AB是。。的直徑,CD是弦，且CO團(tuán)于點(diǎn)K.E為劣弧一-AC上的一點(diǎn)，連接AE交DC的

032

延長線于點(diǎn)F.求證:E,F,B,K四點(diǎn)共圓.

A

4

B

圖3.9

類型2：雙銳角型

2.如圖3.10所示,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,P,Q,R分別是AB,BC,AD的中點(diǎn).連接QP與DA的延長線交于點(diǎn)

S,連接RP與CB的延長線交于點(diǎn)T.求證:S,T,Q,R四點(diǎn)共圓.

圖3.10

類型3：對角互補(bǔ)型

3.如圖3.11所示,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),D,E,F分別在BC,CA,AB邊上，已知P,D,C,E四點(diǎn)共圓,P,E,A,F四點(diǎn)共圓.

求證:B,D,P,F也四點(diǎn)共圓.

圖3.11

輔助圓的應(yīng)用：計(jì)算與證明

4.如圖3.12所示，在四邊形ABCD中,,AB=AC=40,若/.CAD=76",Z.BDC=13。,則乙CBD=^BAC=

A

圖3.12

5.如圖3.13所示,正方形ABCD的中心為O,面積為5cm2,,P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且乙OPB=45°,PA-.PB=1:2

，則PB=,.

6.如圖3.14所示，平面上有四個點(diǎn)人,0》。其中/人08=120。,/人?3=60。△0=BO,AB=2百,則0C=

7.如圖3.15所示，在△ABC中，乙4cB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為△48c外一點(diǎn)（P與C在直線AB異側(cè)），且

乙APB=45。..設(shè)點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為E,連接PE,CE,線段AB與CE的數(shù)量關(guān)系為.

圖3.15

8.如圖3.16所示，已知四邊形ABCD,AB\\CD,AB=AC=AD=a,BC=8且2a>b，則BD=

圖3.16

9.如圖3.17所示,四邊形ABCD是正方形,M是BC上一點(diǎn)，ME團(tuán)4M交NBCD的外角平分線于點(diǎn)E.求證：

AM=EM.

10.如圖3.18所示，已知△4BC是等腰三角形，AB=AC=2迎點(diǎn)D在BC上(不與BC的中點(diǎn)重合),連接

AD.作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E,連接EB并延長交AD的延長線于點(diǎn)F,連接AE,DE.

(1)證明:A,D,B,E四點(diǎn)共圓.

(2)AD-AF的值是否會發(fā)生變化?若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

A

F

圖3.18

輔助圓的應(yīng)用：定弦定角

如圖3.19所示，在△ABC中,AB的長為定值（即AB=a）,ZC的角度為定值（即/C=a）,該圖形為定弦定角模型.

情景1如圖3.20所示當(dāng)/C<90。時，點(diǎn)C在小ABC外接圓。O的優(yōu)弧—4CB上運(yùn)動（不與點(diǎn)A,B重合）.此

時,OA=OB=OC,NAOB=2/ACB.

情景2如圖3.21所示當(dāng)/C=90。時，點(diǎn)C在AABC外接圓0O上運(yùn)動（不與點(diǎn)A,B重合）.此時,OA=OB=OC.

情景3如圖3.22所示，當(dāng)/。90。時，點(diǎn)C在公ABC外接圓。O的劣孤-4B上運(yùn)動（不與點(diǎn)A,B重合）.此

時,+乙4cB=180°.

模型的識別：定弦定角

11.如圖3.23所示，已知AB=3,BC=4,點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)且4PBC=NPCD,則△PBC面積的最大

值為.

12.如圖3.24所示，在RtAACB中，乙ACB=90°,AC=3,BC=4,兩頂點(diǎn)B,C分別在x軸的正半軸和y軸的

正半軸上運(yùn)動，則頂點(diǎn)A到原點(diǎn)0的最大距離為.

圖3.24

13.如圖3.25所示，40=60。,48=6,點(diǎn)A,B分別在射線OM,ON上運(yùn)動，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰Rt

△ABC,,則點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離為.

14.如圖3.26所示，4。=45°,AB=6,點(diǎn)A,B分別在射線OM,ON上運(yùn)動，在運(yùn)動中，△40B面積的最大

值為.

ON

圖3.26

15.如圖3.27所示，已知拋物線y=-曰/+誓%+百與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸

交于點(diǎn)C,在拋物線對稱軸上找到一點(diǎn)Q，使乙4QC=N4BC,此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

16.如圖3.28所示，已知拋物線y=-|x2+|^+4交x軸于A(-3,0),B(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,連接AC,B

C,在拋物線的對稱軸上找到一點(diǎn)Q，使得^AQC=45。,此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

圖3.28

17.如圖3.29所示在△4BC中,AC=4,BC=6,/ACB=3(T,D是.△ABC內(nèi)一動點(diǎn),。。為△4CD的外接圓,00

交直線BD于點(diǎn)P,交邊BC于點(diǎn)E,若^力E=⑦則AD的最小值為.

圖3.29

18.如圖3.30所示，頂點(diǎn)為M的拋物線y=-/+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,若在第一

象限的拋物線下方有一動點(diǎn)D,滿足DA=。4,過點(diǎn)D作.DG回x軸于點(diǎn)G,設(shè)AADG的內(nèi)心為I,則CI的最小

值為.

圖3.30

19.如圖3.31所示，在正方形ABCD中，AB=2,,點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊BE上，且乙BFC=NCED,,則D

F的最小值為,

圖3.31

遇見中考：定弦定角

20.（2022.通遼）如圖3.32所示,。O是△4BC的外接圓AC為直徑若48=2低BC=3,點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，

在△4BC內(nèi)運(yùn)動且始終保持乙CBP=Z82P,當(dāng)C,P兩點(diǎn)距離最小時，動點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為.

圖3.32

輔助圓的應(yīng)用：定角定高

如圖3.33所示，在△ABC中,ADLBC于點(diǎn)D,其中NBAC=a為定角度,AD=h為定值，該圖形為定角定高模型.

情景①如圖3.34所示，當(dāng)/BAC=90。時，探究BC的最小值.

先:作△ABC的外接圓。0;

再:連接OA;

后:由圖知AONAD,當(dāng)AO=AD（或h）時,BC取得最小值.

情景2如圖3.35所示當(dāng)/BAC<90。時探究BC的最小值.

先作△ABC的外接圓。O;

再:連接0A,0B,0C,過點(diǎn)。作0ELBC于點(diǎn)E;

后:由圖知A0+0ENAD,當(dāng)AO+OE=AD時,BC取得最小值.

【分析】因?yàn)?BAC=a,所以/B0E=a,貝!]BE=rsina,故

BC=2rsina.①

又r+OE^AD,則r+rcosaNAD,即

AD

、②

由式①②可得BC2修經(jīng)

1+cosa

當(dāng)點(diǎn)A,O,E共線時，即AO+OE=AD,BC取最小值，此時BD=DC.

針對情景1與情景2的解題點(diǎn)睛①當(dāng)BC取最小值時，SAABC也取最小值；②當(dāng)BC取最小值時,BD=D

c.

模型的識別：定角定高

類型1:模型直接用

21.如圖3.36所示在△4BC中，點(diǎn)B,C在直線1上運(yùn)動，且Z.BAC=60°,D是BC邊上一點(diǎn)，且AD1BC.AD

=3,則BC邊的最小值為；AABC面積的最小值為

BDC

圖3.36

22.如圖3.37所示,在菱形ABCD中，AB=6,乙4BC=60°,AC與BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F是對角線BD上的

兩點(diǎn)，且4EAF=60。,當(dāng)EF取得最小值時，AE的長為.

圖3.37

23.如圖3.38所示，有塊邊長為4m的正方形營地ABCD,在它的中心O處架設(shè)了一盞可以自由旋轉(zhuǎn)的探照燈，

已知探照燈照射的角NEOF始終是45。,，設(shè)在探照燈旋轉(zhuǎn)過程中某時刻營地被照明部分的面積為S,則S的最小

值為.

圖3.38

24.如圖3.39所示,正方形ABCD的邊長為4,E,F分別是邊BC,CD上的動點(diǎn)，則△4前面積的最小值為

圖3.39

25如圖3.40所示，點(diǎn)A,B分別在y軸、x軸的正半軸上.AAOB的兩條外角平分線交于點(diǎn)P,點(diǎn)P在反比例函

數(shù)y=(的圖像上.PA的延長線交x軸于點(diǎn)C,PB的延長線交y軸于點(diǎn)D,連接CD.

(1)ZP的度數(shù)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

(2)AAOB面積的最大值為.

圖3.40

類型2：構(gòu)造相似

26.圖3.41是某市街道的一部分，因自來水搶修，需在4B=3m,AD=6M的矩形ABCD平面開挖一個△AEF

的工作面,其中E,F分別在直線BC、直線CD上，且/.EAF=30。,為了減少對該路段的擁堵影響，要求△AEF

的面積最小，那么△2EF面積的最小值為m2.

圖3.41

27.圖3.42是某座城市街道的一部分，因自來水搶修需在AB=4m,AD=6M的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個

△4EF的工作面，其中E,F分別在BC,CD邊上（不與B,C,D重合），且/.EAF=45。,,為了減少對該路段的擁堵影響，

要求△4EF面積最小，此時△4EF的面積為nA

BE

圖3.42

輔助圓的應(yīng)用：米勒圓

如圖3.43所示,兩定點(diǎn)A,B在NC的一條邊上，另有一動點(diǎn)P在NC的另一條邊上，連接AP,BP,則點(diǎn)P在何

處時NAPB最大？

解題方法：如圖3.44所示，過A,B兩點(diǎn)且和NC的另一邊相切作。O,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到切點(diǎn)P處時，乙4PB最

理論依據(jù)：同弧所對圓周角相等（（"P'B=乙4DB）,,圓外角小于圓周角（（“DB〉/APB）.

此類問題叫作米勒圓，也叫作最大張角問題.

圖3.43圖3.44

模型的識別：米勒圓

28.如圖3.45所示，在正方形ABCD中，AB=8,,點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE,CE過點(diǎn)B作于點(diǎn)F,

當(dāng)心最小時，BF的長為.

圖3.45

29.如圖3.46所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,6),點(diǎn)P在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)乙4PC取得最大值時，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為

圖3.46

30.如圖3.47所示,A(0,8),B(0,2),點(diǎn)E為x軸正半軸上一動點(diǎn)，設(shè)tan乙=zn,則m的取值范圍是

31.如圖3.48所示,在矩形ABCD中，AB=6tAD=8,,點(diǎn)E,F分別是邊CD,BC上的動點(diǎn)，且^AFE=90。,當(dāng)

DE取時，乙4ED最大.

BC

圖3.48

32*.圖3.49為矩形足球場的示意圖，寬力B=66科球門EF=8科且EB=尸4點(diǎn)P,Q分別為BC,AD上的點(diǎn),

BP=7m/BPQ=135。.一位左前鋒球員從點(diǎn)P處帶球，沿PQ方向跑動，球員在PQ上的何處才能使射門角度（

QEMF）最大?此時PM的長度為m.

遇見中考：米勒圓

33.（2022?桂林）如圖3.50所示,某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走.已知

乙4。8=30。,MN=WM=40m,,當(dāng)觀景視角NMPN最大時,游客P行走的距離OP是_________m.

B

O

圖3.50

第3講輔助圓的妙用

1.如圖J3.1所示，連接BE,BF.

因?yàn)锳B是＜30的直徑,所以/AEB=/BEF=90。.

又CD_LAB,則NFKB=90。,因此NFKB=NFEB=90。,故E,F,B,K四點(diǎn)共圓.

2.如圖J3.2所示，連接AC,BD.

因?yàn)镻,Q,R都是中點(diǎn)，所以PQ\\AC,PR\\BD,,則乙PQB=^ACB,Z.PRA=ZADB.

又/ADB=NACB,則/PRA=NPQB,故S,T,Q,R四點(diǎn)共圓.

圖J3.1圖J3.2

3.如圖J3.3所示，連接PE,PF,PD.

因?yàn)锳,E,P,F四點(diǎn)共圓，所以/AFP=NCEP.

又C,D,P,E四點(diǎn)共圓，貝！J/BDP=/CEP,即/AFP=NBDP,于是NBFP+NBDP=180。,故B,D,P,F四點(diǎn)共圓.

4.38°,26°.

以點(diǎn)A為圓心、AB為半徑作輔助圓，則點(diǎn)C,D均在。A上,所以ZCBD=|zCX￡)=38°,ZBAC=2ZBDC

5.2cm.

如圖J3.4所示，連接0A,0B.

因?yàn)锳BCD是正方形，所以/AOB=9(T,/OAB=45。.

又/OPB=45。,則A,B,0,P四點(diǎn)共圓，于是/APB=NAOB=90。.

在RtAABP中，PA2+PB2=482..設(shè)PA=k,PB=2k,則k2+4k2=5,解得k=l,故PB=2cm.

圖J3.3圖J3.4

6.2.

因?yàn)镹AOB=120o,NACB=6(r,AO=BO,所以點(diǎn)A,B,C在以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓周上.

又4B=2百，故0C=0A=0B=皆=2.

7.AB=V2CE.

如圖J3.5所示，連接AE.

因?yàn)辄c(diǎn)P、點(diǎn)E關(guān)于AB對稱，所以NAPB=/AEB=45。.

又/ACB=9(T,AC=BC廁點(diǎn)A,B,E在以點(diǎn)C為圓心的圓上，于是CA=CB=CE.因?yàn)?B=所以AB=42

CE.

8.V4a2一爐.

如圖J3.6所示，以點(diǎn)A為圓心、a為半徑作圓，則點(diǎn)B,C,D都在圓上.延長BA交。A于點(diǎn)E,連接ED.

因?yàn)锳B〃CD,所以/CAB=NDCA,NDAE=NCDA.

又AC=ADJI]ZDCA=ZCDZDAE=ZCABACAB絲ZiDAE,則ED=BC=b.

因?yàn)锽E是直徑.所以/EDB=90。.由勾股定理得ED2+BD2=BE2,^

BD=yjBE2-ED2=J(2a)2_爐=V4a2-b2.

9.如圖J3.7所示，連接AC,AE.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以/ACD=45。.

又CE是外角平分線，則/DCE=45。,于是/ACE=90。.由NAME=90。可知A,M,C,E四點(diǎn)共圓，所以/AEM=NA

CB=45。,貝!!/EAM=45。.故AM=EM.

10.(1)因?yàn)锳B=AC,所以/ABC=NACB.

又點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD對稱，貝!]AE=AC,DE=DC,于是/AEC=/ACE,/DEC=/DCE,即NAED=/ACB,貝！|/A

ED=NABC,故A,D,B,E四點(diǎn)共圓.

(2)ADAF的值不會發(fā)生變化，恒為8.

證明如下：如圖J3.8所示，連接CF.

因?yàn)辄c(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD對稱，所以FE=FC廁/FEC=/FCE.

又/DEC=/DCE廁/FED=/FCD.

因?yàn)锳,D,B,E四點(diǎn)共圓，所以/FED=/BAF,于是NBAF=/FCD,則A,B,F,C四點(diǎn)共圓，故/AFB=NACB=NABC.

又因?yàn)镹BAD=NFAB,所以△ABDs/\AFB,則梟=禁，故AD-AF=AB2=8.

11.4.

如圖J3.9所示由NPBC=NPCD得/P=90。以BC的中點(diǎn)。為圓心、OB長為半徑畫圓，作PELBC,則

111

S&PBC=1?BC-PE<j--PO=jx4x2=4.

12.V13+2.

如圖J3.10所示，因?yàn)镹COB=90。,所以點(diǎn)。在以BC的中點(diǎn)D為圓心、OD長為半徑的圓上運(yùn)動，此問題就轉(zhuǎn)

化為點(diǎn)A到。D上的距離，故點(diǎn)A到原點(diǎn)O的最大距離為AD+00=713+2.

13.3+3V3.

如圖J3.ll所示，作△AOB的外接圓01,連接CI并延長，分別交。I和AB于點(diǎn)（。，和點(diǎn)D.

當(dāng)0運(yùn)動到O時，0C最大，此時△AOB是等邊三角形，則B(y=AB=6,故=CO'=CD+。0'=巳

獨(dú)+個。'=3+3W.

14.9+9V2.

如圖J3.12所示，作aAOB的外接圓。I,則由/AOB=45。,得NAIB=90。,所以△AIB為等腰直角三角形教A1

=—AB=3V2.

2

當(dāng)OIXAB時,△AOB的面積最大，直線01交AB于點(diǎn)C,此時。。=3+3位,所以=|X6X(3

+3V2)=9+9V2.

25215.(1,2)或(1,-2).

易證/ACB=90。,如圖J3.13所示，作RtAABC的外接圓OE,則NACB=NAQB=90。,此時△AQB為等腰直角三

角形，所以EQ=AE=BE=2.故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,2)或(1,-2).

設(shè)(26《).因?yàn)?人(^=/?8人=45。,所以?,(2,：6人四點(diǎn)共圓.此時圓心在直線x=2與線段BC的中垂線y=x

的交點(diǎn)處，則(q-丁=(4-|)2+(10)2,解得q=亨或手，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為&吟)或Q-).

17.2g—6.

如圖J3.14所示,因?yàn)锳E=碇，所以NACB=NCDP=30。,則.Z.BDC=180°-30°=150。,因此點(diǎn)D在以BC

為弦、/BDC=150。的圓弧上運(yùn)動.

如圖J3.14所示，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的圓弧圓心為點(diǎn)M,當(dāng)A,D,M三點(diǎn)共線時，AD最小，取優(yōu)弧BC上一

點(diǎn)N,連接MB,MC,NB,NC,AM,MD,則.乙BNC=180°-乙BDC=30。,所以NBMC=60。.

因?yàn)锽M=CM,所以ABMC為等邊三角形廁/MCB=6(F,MC=BC=6.

八iiE//c\

/\\B//\

/\\//\

I\\;//:

\\M：

\\//

\\/

\\//

、、、''、/

N

圖J3.14

又乙ACB=30。,貝(J乙4cM=90。,于是

AM=yjAC2+MC2=V42+62=2V13,

止匕時,ADAM-MD=2V13-6.

]83同一3二

'2'

如圖J3.15所示，連接IO,ID,IA.

因?yàn)镮是△4DG的內(nèi)心,所以易得.△ADI=△AOI,,由雙內(nèi)模型可得，"/0=90。+26°=.。=13

5°.

y八

圖J3.15

又OA為定線段,NOIA恒等于135。,則點(diǎn)I在以O(shè)A為弦、所含的圓周角等于135。的圓弧上.

當(dāng)點(diǎn)I在線段CE上時，CI的值最小，則

CI的最小值=CE-OE=J(|)2+(|+3)2—誓=吟至1.

19.V5-1.

如圖J3.16所示由

———]=ABCFs/\BEC=>BC2=BF?BE,

/ECB—/2J

因此

BC=ABAB2=BF-BE

AB2=BF-BE=>

BC2=BF?BEZ.ABF=/ABE

0ABAF^ABEA=>ZBAE=ZAFB=90°,

所以點(diǎn)F在以AB為直徑的圓弧上，當(dāng)點(diǎn)F在線段DG上時，DF的值最小，故

DF的最小值=DG-GF=^JAG2+AD2-FG=%一1.

圖J3.16

20V3.—兀.

3

如圖J3.17所示取AB的中點(diǎn)J.

因?yàn)锳C是直徑，所以NABC=90。,則/ABP+ZPBC=90。.

又/BAP=NPBC,則.ZB4P+乙48P=90。,因此/APB=90。,故點(diǎn)P在以AB為直徑的。J上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)J,P,C

共線時，PC的值最小.

在RtACBJ中，BJ=W,BC=3,則tanNC/B=￡=低即/BJC=60。,故當(dāng)C,P兩點(diǎn)距離最小時，動點(diǎn)P的

運(yùn)動路徑長為言?2兀B=今加

DOU3

21.2V3;3V3.

圖J3.17

當(dāng)BC取最小值時,BD=DC,NBAD=30。,所以tan300=籌=等=當(dāng)即BD=V3,in=2其故

=|BC7ntlt,4。=|x2V3X3=3G

22.2V3.

當(dāng)EF取最小值時,E0=FO,NEAO=30。,所以cos30。=絲=二=￡即AE=2V3.

AEAE2

23.（4V2-4）m2.

如圖J3.18所示，當(dāng)S取最小值時,GM=GN,此時乙MOG=22.5°.

V2-1,即GM=2

圖J3.18圖J3.19

24.16V2-16.

如圖J3.20所示ShAEF=\-EF-AG.

以EF為斜邊，作等腰RMEOF,,則點(diǎn)A在以點(diǎn)O為圓心、OE為半徑的圓上.

圖J3.20

設(shè)OH=a，則S"EF=l-EF-AG=^-2a-4=4a由半角模型知AG=AB=4).

因?yàn)锳O+OHNAG=4,所以V2a+a>4,解得aN4近一4,故S^AEF>16V2-16.當(dāng)然，依然還可以直接用E

G=GF搭建勾股求解.

25.(1)45°,(3,3).

如圖J3.21所示作PMXOA于點(diǎn)M,PNXOB于點(diǎn)N,PH±AB于點(diǎn)H.

易證△PAM絲ZiPAH,同理可證4BPN絲△BPH,所以

1

乙APB=4APH+乙BPH=j(4MPH+4NPH)=45°

因?yàn)镻M=PN,所以可以假設(shè)P(m,m).

又P(m,m)在y==上，則m=3,故P(3,3).

(2)27-18V2.

如圖J3.22所示當(dāng)SAABP最小時,SAAOB最大以AB為斜邊，作等腰R3ARB,則點(diǎn)P在以點(diǎn)R為圓心、

AR為半徑的圓上.

設(shè)RV=a，則S4ABp=^-AB-PW=^-2a-3=3a.

因?yàn)镻R+RVNPW=3,所以V2cz+a>3,解得a2-3,因此S^ABP>9或-9,故

S^AOB)max=SPMON-2S“AB=9-2(9a-9)=27-18Vl

256

A'

/BNx1守

B

圖J3.21圖J3.22

26.6.

如圖J3.23所示,把^ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。并把邊長縮小為原來的|彳導(dǎo)至!]△ABG,貝1)AG=^AFt^EAG

=60。.過點(diǎn)E作ENXAF于點(diǎn)N,此時S^=--AF-FN

AEF2.H

因?yàn)锳F=2AG,AN=WNE,所以

S"EF=*NE=2=2晶GB\EIC

S&AGE-AG-ANV33'

圖J3.23

即S"EF=￥~S?AGE又(SzkAGE)而九=刁.川5-GEmin，根據(jù)“定角定高”模型可得GEmin=2BE=2百，故

2

(SMEF)mm=誓{^ACE}min=誓x]x3x2g=6(m)

27.24/-24.

如圖J3.24所示，把△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。并把邊長縮小為原來的|彳導(dǎo)到△ABG,則嚕=|,N￡2G=4

3AF3

5。.過點(diǎn)E作EN±AF于點(diǎn)N,此時ShAEF=^AF?EN因?yàn)锳F=|AG,4N=NE,所以

S^AEF1-AF-NE

S^AGE-AG-AE2'

即SAAEF=|SAME?同26題可得G￡min=2BE=8tan22.5。=8夜—8,故

(SA4EF)m譏=I(SAAGE)min=|X：X4X(8&-8)=(24/-24)(m2).

28.喑

當(dāng)/EBF最小時,/BEF最大.

如圖J3.25所示，過點(diǎn)B,C作。O與AD相切于點(diǎn)E,此時/BEF最大.連接EO并延長交BC于點(diǎn)G,則EG垂

直平分BC,即CG=4,貝(]CE=V42+82=4右,故^BC-EG=|￡C-BF,即|x8x8=|x4V5XBF,解得BF=

2

16V5

51

當(dāng)/EBF最小時,BF的長為噌.

圖J3.24

29.(-2+2V6-0).

如圖J3.26所示，過點(diǎn)A,C作。Q與x軸正半軸相切于點(diǎn)P,連接QA,QP,此時NAPC最大AQ=PQ,作AC

的中垂線，交AC于點(diǎn)B,交。Q于點(diǎn)D,E.

因?yàn)锳(0,2),C(4,6),所以B(2,4),直線AC的解析式為y=x+2.

又DE,AC,則設(shè)直線DE的解析式為y=-x+b,將B(2,4)代入得4=-2+b,解得b=6,所以直線DE的解析式為y=-x

+6.

因?yàn)閳A心Q在直線DE上,所以設(shè)Q(x,-x+6),則P(x,O),因此力Q=QP,即%2+(-x+4)2=(-%+6產(chǎn)解得

%1=-2+2