福建省廈門第六中學(xué)2024母025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知萬(wàn)，瓦1均為單位向量.若2=3+八則行與1夾角的大小是（）

71—兀27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

2.VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=3百，c=2,A+C=—,則6=

6

A.y/13B.6C.7D.8

3.若向量滿足|M|=3,g-B|=5,6-5=1,貝！（）

A.72B.35/3C.2A/3D.372

4.已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1,且圓柱的側(cè)面積等于球的表面積，則

該圓柱的母線長(zhǎng)等于（）

A.1B.2C.3D.4

5.在VABC中，AB=5,BC=6,AC=1,則VA3c的面積為（）

A.5百B.2岳C.475D.6a

6.若圓錐的軸截面是一個(gè)頂角為三，腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，則過(guò)此圓錐頂點(diǎn)的

所有截面中，截面面積的最大值為（）

A.乎B.2月C.ID.3百

7.互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中

兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.如圖，在斜坐標(biāo)系中，過(guò)

點(diǎn)尸作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在X軸和y軸上的截距。力分別作為點(diǎn)尸的X坐標(biāo)和y

坐標(biāo)，記尸（。力）.若斜坐標(biāo)系中，x軸正方向和y軸正方向的夾角為凡則該坐標(biāo)系

中”（玉,弘）和兩點(diǎn)間的距離為（）

B.一尤2)2+(%-%)2-2(%-%)(乂-％)8$)

22

C.A/(x1-x2)+(y1-y2)+2|(x1-x2)(y1-y2)|cos6>

D.1(%一%『+(X-%『一2|(占一尤2)(M一%)|cos夕

8.湖北武漢的黃鶴樓是中國(guó)古代四大名樓之一，因唐代詩(shī)人崔潁的《黃鶴樓》而

名揚(yáng)天下，小張同學(xué)打算利用鏡面反射法測(cè)量黃鶴樓的高度.如圖所示，小張將平

面鏡置于黃鶴樓前的水平地面上，他后退至從鏡中正好能看到樓頂?shù)奈恢茫瑴y(cè)量出

人與鏡子的距離風(fēng).沿直線將鏡子向后移距離再次從鏡中觀測(cè)樓頂，并測(cè)量出

此時(shí)人與鏡子的距離網(wǎng)（網(wǎng)>叫）.若小張的眼睛距離地面的高度為拉，則黃鶴樓的

高度”可表示為（）

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

B.正四面體是一種特殊的正三棱錐

C.平行六面體是一種特殊的斜四棱柱

D.一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫出此平面圖形的直觀圖恰好是一個(gè)

邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則原平面圖形的面積是2n

10.已知VA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若sinA>sinB,貝!JA>B

B.若/+>2<02,則VA3C為鈍角三角形

C.若acosA=AosB,則VA3C為等腰三角形

D.若。=2,4=30。的三角形有兩解，則。的取值范圍為（1,2）

11.已知點(diǎn)尸在VA3C所在的平面內(nèi)，2eR,則下列命題正確的是（）

A.若西?麗=麗.k=汽.西，則點(diǎn)P是VA3C的垂心

B.^（PA+PB）-AB=（PB+PC）BC=O,貝I］同=|啊=|園

/____________、

__,AD4d

C.若福=%口一+L——，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)過(guò)VA3C的內(nèi)心

|AB|sinB因sinC

-?;1—>;1—?

D.若AP==——+--AB+口——+-AC,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)過(guò)VABC

|AB|cosB2j^|AC|cosC2,

的外心

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知平面向量￡=（2,1）,5=（-1,3）,則石在￡上的投影向量為（結(jié)果

用坐標(biāo)表示）

13.在正四棱臺(tái)中，AB=2，A4=LAA=0，則該棱臺(tái)的體積

為.

AT

14.已知VABC中，點(diǎn)〃在邊8c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)土取得最

AB

小值時(shí)，BD=.

四、解答題（本大題共5小題）

15.已矢口a=（-l,0）,b=（2,1）.

⑴若麗=21B，配=2+/且A、B、C三點(diǎn)共線，求加的值.

（2）當(dāng)實(shí)數(shù)上為何值時(shí)，人之一方與Z+2S垂直？

16.如圖，在菱形ABCD中，BE^-BC,CF=2FD.

2

W^EF=xAB+yAD,求3x+2y的值；

⑵若|通1=6,ZBAD=60°,求前.麗.

17.海岸上建有相距40g海里的雷達(dá)站GD,某一時(shí)刻接到海上6船因動(dòng)力故障

發(fā)出的求救信號(hào)后，調(diào)配附近的4船緊急前往救援，雷達(dá)站測(cè)得角度數(shù)據(jù)為

a=ZBCA=45°,/3=ZACD=30°,y=ZBDC=45°,3=ZADB=15°.

（1）救援出發(fā)時(shí)，力船距離雷達(dá)站C距離為多少？

（2）求A3之間的距離，并判斷若/船以30海里每小時(shí)的速度前往6處，能否在3

小時(shí)內(nèi)趕到救援（說(shuō)明理由）？

18.現(xiàn)有一幾何體由上，下兩部分組成，上部是正四棱錐下部是正四

棱柱與G2(如圖所示)，且正四棱柱的高OQ是正四棱錐的高PQ的4

倍.

(1)若AB=6,PO、=2,求該幾何體的體積.

(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6,PO、=2,

(i)求正四棱錐尸-A用GR的側(cè)面積.

(ii)若Q,N分別是線段4片，尸片上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ+QN+NG的最小值.

7E

19.已知。，b,c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，滿足A=§,

A/3OCOSC+asinC=2厲.

⑴求6；

(2)若VA3C為銳角三角形，且外接圓圓心為。，

(i)求前?衣的取值范圍；

(ii)求AOAC和△O3C面積之差的最大值.

參考答案

I.【答案】C

【詳解】己知&=5+八兩邊平方可得價(jià)=(5+1)2.

則(石+02=斤+2方］+12,所以花2=52+251+乎.

因?yàn)閍,"K均為單位向量,所以?商|=|5|=憶|=1.

根據(jù)商2=1萬(wàn)「=1,b2=\b|2=1!?2=1c|2=1.

rr1

將其代入32=后+251+12可得：l=l+2b-c+l-貝1］八。=一5.

1rr11

設(shè)5與乙的夾角為。，0<0<71,且|6|=|cr|=l,b-c=--,可得一e=lxlxcos。，即

八1

cose=——.

2

一27r

因?yàn)閛wew萬(wàn)，所以e=y.

則在與才夾角的大小是9看77.

故選C.

2.【答案】A

【詳解】：A+C=9，

6

71

：.B=7T_(A+C)=_,

6

*.*a=34，c=2,

-1-由余弦定理可得：b^aSaccosB=J(3后+2,-2X3/X2X曰=屈.

故選A.

3.【答案】D

【詳解】由忖一可=5兩邊取平方，\a-b^=a2-2d-b+b2=25,

則有9-2+麻=25,則網(wǎng)=3立,

故選D.

4.【答案】B.

【詳解】設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為％,則2兀?％=4兀，解得％=2.

故選B.

5.【答案】D

■、辛hjj▼?時(shí)、九八AB?+BC?—AC?25+36—491口__.任巾g_r

【詳解】由題設(shè)cosB=---------------二----------=—,且3為二角形的最大角,

2ABBC2x5x65

所以sinB=口役，則VABC的面積為5=工45?5。5m5=二5乂6、3區(qū)=6指.

5225

故選D.

6.【答案】C

【詳解】由題意得，圓錐的軸截面t是頂角為9胃IT的等腰三角形，圓錐的母線長(zhǎng)為

1=3,

設(shè)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面三角形頂角為1，則0＜。(彳，

1Q7rq

則截面面積為S=]/2sina=]Sina,當(dāng)1=,時(shí)，Smax=-,

故選C.

7.【答案】A

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，原x軸正方向?yàn)閤軸，垂直于x軸的方向?yàn)閥軸建立平

面直角坐標(biāo)系，

則在直角坐標(biāo)系下，M^+^cos^^sin0),N(%+y2cos0,%sin夕)，

2

則\MN\=cos0-x2-y2cos9)+sin0-y2sin0\

=-％y+(%-%『+2(%-%)(%-%)os??

故選A.

8.【答案】A

【詳解】

如圖，由△ABCs/\poc知：—=!^|,即|oc|=2^,

hH.H

由△。石Fs△尸OF可知——=7—-7,即(OF=―m―,

機(jī)2\0F\h

,TTah

則|0日一因=邛「誓=可得”=------

m,一叫

故選A.

9.【答案】AC

【詳解】對(duì)于A：有兩個(gè)面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面體不一定是棱

臺(tái)，

只有當(dāng)梯形的腰延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)多面體才是棱臺(tái)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：正四面體是四個(gè)面都是全等的正三角形的四面體，

而正三棱錐的定義是：底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正三角形的中心

的三棱錐，

因此正四面體是一種特殊的正三棱錐，故B正確；

對(duì)于C：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，

而側(cè)棱不垂直于底面的四棱柱叫做斜四棱柱，

因此平行六面體不一定是斜四棱柱，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：直觀圖面積為S直=；X2X2X￥=6，

根據(jù)直觀圖與原圖面積關(guān)系可得5原=20S直=2底,故D正確.

故選AC.

10.【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閟inA>sinB,由正弦定理可得所以A>3,A正確；

對(duì)于B,由余弦定理cosC=^2~-<0,可知C為鈍角，B正確；

2ab

對(duì)于C,因?yàn)閍cosA=bcosB,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

所以2A=23或2A+2B=TC,即VABC為等腰三角形或直角三角形，C不正確；

對(duì)于D,因?yàn)槿切斡袃山猓?sinA<a<b,即。的取值范圍為（1,2）,D正確.

故選ABD.

11.【答案】ABD

【詳解】A.由麗?麗=而?/=麗?（而一斤）=而.55=0,

即尸3LAC,同理PC_LAB,PAA.BC,則點(diǎn)尸是VA3C的垂心，故A正確；

B.^（PA+PB）AB=（PB+PC）BC=O,則點(diǎn)尸是VABC垂直平分線的交點(diǎn)，則

|PA|=|PB|=|PC|,故B正確；

C.由正弦定理得兇=網(wǎng)，故區(qū)同sinB=|Z@sinC,

sinCsinB

AB

故而=彳2(AB+AC\,

網(wǎng)sinB同sin8

一,22?

取BC的中點(diǎn)N，則”

/

2121

D.麗=1-----------+—-AB+]------------+—■AC

cosB2碼cosC2,

這+工+工(AB+AC)

cosBACcosC2

設(shè)BC的中點(diǎn)為N,1（AB+AC）=W,

AAB

所以Q=+醞

網(wǎng)cosBACcosC

AABBCAACBC

APBC=+AN-BC=-A\BC\\BC\+AN-BC

|A51cos3IACICOSCj

=ANBC，

所以反一而.覺=（衣一布）居=而.居=0,

故點(diǎn)P在的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)過(guò)VABC的外心，故D正確.

故選ABD.

2￡

12.【答案】

555

【詳解】因?yàn)椤?(2,1),1=(-1,3),

所以￡0=2X(-1)+1X3=1,/=22+12=5,

b-aa1-2

所以方在2上的投影向量為

555

13.【答案】城/??

66

【詳解】如圖，過(guò)人作AM_LAC,垂足為M,易知A"為四棱臺(tái)A5CQ

的高，

因?yàn)锳B=2，AB[=1,A4,=V2,

貝|JA。]=』AG=Lx6A四=-,AO=-AC=l-xy/2AB=^2,

22222

故AM=；(AC—AG)=#，則AiM=yl^-AM2

所以所求體積為V=k(4+l+”^jx4l=△叵

326

14.【答案】^-1/-1+A/3

【詳解】［方法一］:余弦定理

設(shè)CD=2BD=2m>0,

則在AABD中，AB'=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=加+4+2m,

在AACD中，AC?=CZ)2+AZ)2-2CZ>ADCOSZADC=4M2+4-4優(yōu)，

AC2_4m2+4-4/71_4(療+4+2m^-12(l+m)

A12

所以AB?-m2+4+2mm2+4+2m=4------------

(m+l)+----

'7m+1

>4——12=4-2^

2+])?/—

V7m+1

當(dāng)且僅當(dāng)加+1=-^即加=6-1時(shí)，等號(hào)成立,

m+1

所以當(dāng)r三取最小值時(shí)，,77=73-1.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點(diǎn)，0C為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,百)，B(-t,0)

,AC2_(2I『+34/+4j_____12_>4_26

AB"。+丁+3/+2f+4("i)+&

I7/+1

當(dāng)且僅當(dāng)/+1=6\即5。=1時(shí)等號(hào)成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=X,CD=2x.由余弦定理得

c?=%?+4+2x

/.2c2+b2=12+6x2,

b2=4+4x2-4x

c2=X2+4+2X

/.2c2+〃=i2+6%2,

b2=4+4x2-4x

令商”則2c0%2=12+6F

12+6x212+6x2

/.t2+2==6>6-2^,

c2x2+2x+4（x+l）+^—

I7X+1J

z2>4-273,

3

當(dāng)且僅當(dāng)x+「二I'即x=6+l時(shí)等號(hào)成立?

［方法四］:判別式法

設(shè)8D=x,貝l］CD=2x

在△"￡>中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=x2+4+2x,

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosZADC=4x2+4-4x,

uur、［AC~4x?+4—4x4x?+4—4x

所以--=--------，記f---------，

AB-x?+4+2尤x?+4+2尤

貝I］（4T）f_（4+2f）x+（4_4r）=0

由方程有解得：A=（4+2/）2-4（4-/）（4-4r）>0

即/_8+4V0，解得：4-2A/3<Z<4+2A/3

所以，min=4—2g,此時(shí)X=---=出-1

4-t

所以當(dāng)空取最小值時(shí)，x=y/3-l,即80=&-1.

15.【答案】⑴-;

⑵-1

【詳解】（1）由題意可得，通=（＜-!）,前=（2〃-1,相），

且A、B、C三點(diǎn)共線，則可得須〃及S

即-4m-（2m-l）（-l）=0,

解得加=一；；

（2）由題意可得，質(zhì)-6=（-%-2,-1）,萬(wàn)+25=（3,2）,

因?yàn)榉酪?與商+2B垂直，貝IJ可得3（—左一2）+2x（T）=。，

Q

解得人=-}

16.【答案】⑴-1；

⑵-9；

【詳解】（1）因?yàn)樵诹庑蜛BQ中，BE^BC,CF^2FD.

__.__.__.i__,2__.

^EF=EC+CF=-AD——AB,

23

2I

故x=-],y=/,所以3x+2y=-l；

(2)顯然衣=荏+蒞，

所以".而=(荏+而)-(5礪一1硝

22

=^1AB+-AD--ABAD……①，

326

因?yàn)榱庑蜛BC。，且I通1=6,ZBAD=60°,

故|而|=6,(麗麗)=60。.

所以荏?麗=6x6xcos6(T=18.

?11

故①式二一X62+-X62——xl8=-9.

326

故無(wú)5?麗=-9.

17.【答案】(1)120海里

⑵AB=400，能在3小時(shí)內(nèi)趕到救援，理由見解析

【詳解】(1)在△ADC中，因?yàn)閆ACD=3O。，NBDC=45。,ZADB=75°,

所以ZDAC=180°-ZACD-ZBDC-ZADB=30°,ZADC=NBDC+ZADB=120°,

DCACBn406AC

又DC=406,所以由正弦定理可得及-------------------,解得

sinZDAC-sinZADCsin30°sinl20°

AC=120,

所以/船距離雷達(dá)站C距離為120海里;

BCDC

(2)在ABDC中，根據(jù)正弦定理可得

sinZBDC~sinZDBC

BC40A/3

即------=---------------------------解得BC=4072，

'sin45°sin(180°-45°-30c-45°)

在VABC中，由余弦定理可得AB?=12()2+(40及了一2x120x40&cos45。=8000,

解得A3=40上，

因?yàn)?船以30海里每小時(shí)的速度前往8處，而史好=越＜3,

303

所以能在3小時(shí)內(nèi)趕到救援.

18.【答案】(1)312

(2)(i)326(ii)京29+81

【詳解】(1)由條件可知，正四棱柱的高。0=8,

所以正四棱柱的體積為6x6x8=288,

三棱錐P-A1BC2的體積為:*6x6x2=24,

所以該幾何體的體積為288+24=312；

(2)(i)。丘府-？？=4夜,所以4G=40x3=8,

正四棱錐2-A4GR側(cè)面的高為7^二不=2出，

所以正四棱錐的側(cè)面積為4xgx8x26=32石；

(ii)如圖，將長(zhǎng)方形ABBM，△尸44和展開在一個(gè)平面,

P\=PB}=PC}=6,A,耳=B|G=8,設(shè)/4耳尸=￡

42

cosNA用尸=cosNPBG=cosa=—=—,4g=A\-8AB,=8A/2

63

NA4A=f，所以sina=—^,

43

訴l、j.0°?^24^/^

所以sm2a=2sinacosa=2x—x—=------,

339

cos2a=l-2sin2a==-g,

/4n(兀c)7C_.7C._

cosNA4a=cosI—+2crI=cos—cos2a-sm—sin2a

V2+45/10

~18

當(dāng)AQ,N，G四點(diǎn)共線時(shí)，AQ+QN+NQ最短,

所以AC】={AB；+B、C；-2ABi-BG?cosZA^C

所以AQ+QN+NG的最小值為g729+875.

19.【答案】(1)2

(2)(i)(-2,1)；(ii)也

12

【詳解】(1)由正弦定理得,

abb--

則7F一麗石可，即。=—

Tsinl|+C

又也acosC+asinC=2退,則2asin[C+弓)=2^/3,

則2-----z--―?sinfC+—1=2相,即b=2.

Sm3+CV

(2)(i)由祐/=前.網(wǎng)-網(wǎng)=前.前-麗.麗,

因?yàn)椤閂ABC外接圓圓心，即外心,

所以招品△就2」/,BO.BA=-BA=-c2,

2222

由余弦定理得，a2=b2+c2—2bccosA=4+c2—2c,

—.—.