福建省龍巖市2025屆高三下學期5月教學質量檢測

數學試題

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知向量乙=(一3,0),B=(m,后,且向量口與B的夾角為4,則[6|=()

3

A1B.2C.3D.2-73

【答案】B

【解析】因為向量々=(-3,0),B=市),且向量a與B的夾角為三，

JIAb—3m1

所以8s丁麗二八KT5,化簡4療的2+3

所以m2=1，則W=,)2+3=2.

故選：B.

2.已知集合4={%|%22},集合3=卜|丁=亞口,%64，則4口3=()

A.[0,+oo)B.[V3,+oo)C.[2,+CO)D.[3,+oo)

【答案】C

【解析】因為A={x|x22},

由xN2,所以2工一122?—1=3，所以y=JF=1之外，

所以3=卜|y='2工_1,X6.={y|y2g,

所以AcB=[2,y).

故選：C

3.甲、乙、丙三家公司生產同一種產品.三家公司的市場占有率如圖所示，且甲、乙、丙

三家公司產品的次品率分別為2%、1%和加％.若市場上該產品的次品率為2%,則

m=()

D.4

【答案】C

【解析】設從出廠產品中任取一件，它是次品為事件A,

貝”（A）=50%x2%+25%xl%+25%xm%=2%,

解得m=3.

故選：C

4.若函數y=cos[0x+gJ（0〉O）的圖像向左平移g后得到一個奇函數的圖像，則。

的最小值為（）

13

A.—B.1C.—D.3

42

【答案】A

【解析】函數y=cos[s+3的圖像向左平移g后得

/（X）=cos10[x+g）+m=cos（cox+g0+m），為奇函數，

二匚2兀兀7717r13k,

rn以——G+—=EH——>k=（o=—?-----,keZ，

33242

又69>0,所以69=—,

4

故選：A.

5.己知正四棱臺ABCD-ABiG，的上，下底面邊長分別為及和2后.若該棱臺的體

積為此叵，則該棱臺的外接球表面積為（

3

32

A.7兀B.—71C.16兀D.16兀

【答案】C

【解析】在正四棱臺ABCO—A4GQ中，AB=2皿，44=應，體積為當1,高為

h,

故肛

-(2+8+，2義8)〃=>丸=y/3，

33、

連接3D、AC相交于點E，BR、AG相交于點尸，

設外接球的球心為。，若。在臺體外,

設0到底面ABCD的距離為d，

則半徑為R=S/EB^+OE2=JB尸+(//+0E『,

即/=Jl+(G+d)2，

解得d=0,所以球心。與點E重合,

若。在臺體內，。到底面A3CD的距離為d,

則半徑為R=[EB?+OE。={BF+（h—0E）2，

即“+/=+—，解得d=0,所以球心。與點￡重合,

綜上所述，h=EF=OF=6故R=2，所以4成2=16兀.

故選：C.

6.已知/（%）=|2*-1|,當a<Z?<c時，有，則必有（）

〃<。/<。,

A.c<0B.a<0,b>0fc>0

C.2Ta<2CD.l<2a+2c<2

【答案】D

【解析】畫出的/(x)=|2-l|圖象：

對于A,。<08<0,。<0不能同時成立，因為。<03<0,c<0時，函數單調遞減，得

不到/(。)>/(。)>/伍)，故A錯誤；

對于B,如圖，當a<匕<c時，有/(a)>/(c)>/0),則b可能小于零，也可能大于

零，故B錯誤；

對于C,如圖，當—a>c>0時，2-“>20，故C錯誤；

對于D,由圖象可知，?<0,c>0,所以0<2"<l,2c>l,

又/(a)>/(c)，所以1一2">2°-1，

所以1<2"+2c<2，故D正確

故選：D.

22

7.己知橢圓C:工+3=1(。〉人〉0)的左，右焦點分別為片，F],。為坐標原點.若

ab

橢圓C上的點〃滿足閨鳥|=|叫|,則橢圓C的離心率為()

A.2-72B.73-72C.2-百D.73-1

【答案】A

【解析】如圖，過點M作肱V，。與，垂足為N,

^\MF\=\OM\,知|N制=|ON|=,所以|N用=》，而出閭=眼閭=2c,

所以阿N|=閭2—|N閭2=半,則阿耳|=yj\MNf+\NFxf=0c，

由橢圓定義知，I"胤+|也"|=2a,即J5c+2c=2°,

所以橢圓的離心率為e=亍=尚+2=2-0.

故選：A

8.己知函數/(x)=2優—e/(。>0且awl),e=2.71828…是自然對數的底數，函數

/(x)的導函數為/"(X).實數m,，滿足/'(M=/'5)=0,/(m)>/(n),當m>n

時，實數。的取值范圍為()

A.B.［：/］C.(l,e)D.(e,+co)

【答案】B

［解析1由f'(m)=/'(〃)=0,/(m)>f(n),m>n,

知加，〃分別為/(x)的極大值點和極小值點，

所以/(%)在(Y,")、(見”)上單調遞減，在(n,m)上單調遞增.

f(x)-2ax—ex2,f'(x)-2axIna-2ex,

則當尤w(-00,")時，f\x)<0,

若a>l且］<0時，/(x)=2a1na—2ex〉0,與/''(x)<0矛盾，不符合題意，

故0<a<l.

令r(x)=0n優Ina=ex,該方程有兩個不同的解,

則函數y=a*lna,y=ex圖象在R上有兩個不同的交點,

作出函數丁=a*lna,y=ex圖象，如圖,

設過原點且與曲線y=相切的直線為/,切點為（%,優。Ina）,

In/7Q1

則）/=々％]112々，所以〃M]n2q=--------,解得/=----,

x0-0In〃

此時切線I的斜率為左“土命a=eh?a,

要使函數y=a*Ina,y=ex圖象在R上有兩個不同的交點，

需e>eln2a,由0<a<l,解得1>。>—.

e

故選：B.

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的

選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有

選錯的得0分.

9.已知復數z=l—gi，則（）

A.復數2的模長為2

B.復數z在復平面內對應的點在第二象限

C.復數z是方程%2一2%+4=0在復數集內的解

D.若復數。滿足|/一Z|=l,則|0|max=3

【答案】ACD

【解析】對于A,同=|z|=J+（_&j=2,故A正確；

對于B,復數z在復平面內對應的點坐標為（1,-石），在第四象限，故B錯誤;

對于C,將Z=1-曲代入方程，得

（1—Gi『—2（1—6i）+4=—2—2"—2+2百i+4=0,故C正確；

對于D,設復數0對應向量為麗=（%?）,復數z對應的向量為無=（1,-百卜

由|0—z|=l得，|方可=1,0對應點在圓心為[,—十）半徑為1的圓上，

uuiruimIuuir

所以OW=OZ\+ZW=2+1=3,即|0』=3,故D正確；

maxI

故選：ACD.

10.已知數列｛4｝的前，項和為S“，則（）

A.若｛a.｝是等差數列，則52,S4-S2,S6-S4成等差數列

B.若｛4,｝是等比數列，則S2，S4-S2,S6-S4成等比數列

C.若|。”+]且%=1,則存在數列｛4｝,使得$102=1

D.若|%+1—%|=1，且％=1,則存在左eN*，使得5如=100

【答案】AC

【解析】對于選項A：｛4｝是等差數列，設其公差為d,

因為5(2=〃]+a2，一S?=/+%=Q]+%+4d,-5*4=/+6=[+/+8d

則2(84—82)=82+(56—84)

所以邑，S4-S2,$6-S4,…成等差數列，故A正確；

對于選項B：例如an=（―1）”,則S2=q+〃2=-1+1=。，

可得邑,S4-S2,$6-S4不成等比數列，故B錯誤；

對于選項C：例如周期數列1,0,-1,0,1,0,—1,0,……，滿足I4+1—a,J=l,且%=1,

此時Hu=25x（1+。—1+0）+1+0=1,故C正確；

對于選項D：因為|%+1-%|=1，且％=1,所以該數列的項奇偶交替，且為整數，

而前4k+1項包含2左+1個奇數，2左個偶數，這些項的和為奇數，而Sm+i=1°0為偶數，

矛盾,

故D錯誤;

故選：AC

22

11.已知雙曲線c：二—斗=1（。〉0力〉0）的左，右焦點分別為K，歹2,左、右頂點分

ab

別為A,B.P（%,%）為雙曲線。在第一象限上的點，設上4，的斜率分別為匕，

3

左2,且4?&過點尸作雙曲線C的切線與雙曲線的漸近線交于〃，N兩點，則

（）

\PA\B.雙曲線C的離心率為五

A.茜的值隨著/的增大而減小

2

C./+左2W\/3D.\PM\=\PN\

【答案】ABD

【解析】對于A,雙曲線烏―1=1（。〉〉0）的左頂點為A（—a,0），右頂點為8（。,0）,

b

漸近線為y=±—x,在AP4R中,

a

\PA\sinNPBAsin（7i—NPBA）

由正弦定理可知

\PB\sinZPAB~sinZPAB

顯然兀-NPR4,/上旬均為銳角且隨著飛的增大分別減小與增大,

即sin（兀-NPBA）,sinZPAB隨著/的增大分別減小與增大且均為正數,

二的值隨著玉的增大而減小，故A正確；

對于B,由P（的%），則為2=廿一T，因為左頂點為4—。,0）,右頂點為

ka7

8（。,0）,

（尤2、

2

2b烏7,

k卜一%_%_va）_b

收一。仁—熱丁

即乙=2,所以2=且，e=叵,故B正確；

a24a22

對于C,顯然％i，左2>。且女產女2，.二（+左2>2dhik?=g，故C錯誤;

22

對于D,可設雙曲線C：^乙=1（左〉0）,

4k3k

在點尸處的切線方程為訝匹-9=1,

4k3k

[6

丁=虧工12k

聯立《可得X“二^—不行—，

xoxy（）y34_2,3%

Ak^k~

[6

y=_f-x12k

聯立《可得樂=Q°A，

空—%z=]3%+2,3%

Ak^k~

_12k12k_72kx°_72Ax0_

一%+赤—3%-26%+3%+26%―9%2―12%2—36k—%（

二點尸為線段MV的中點，即|PM|=|PN|,故D正確；

故選：ABD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在（2x+l）"的展開式中，各二項式系數的和與含靖t的項系數之比為1:16,則〃的值

為.

【答案】32

【解析】由題可知各二項式系數的和為2"，

由（2x+爐的展開式中的7；=C：（2x）J=C：2"T,

2”12

根據它們的比為1:16可得:->--=—=>H=32

C；2T--16----n16

故答案為：32

13.在“BC中，BC=2屈,。為A8邊上的點，且滿足45=AC，

BD=CD=3,貝!JcosA=

7

【答案】-

【解析】在△BDC中，BC=2y[6,BD=DC=3,

9+9-241

由余弦定理得出cos/CDB=--------=——=-cosZCDA,

2x3x33

在八40。中，AD=AC,

所以NADC=NACE>,則

cosA=-cos2ZADC=-(2cos2ZADC=2cos2ZCDB-1)=-I2x-1-lU|

7

故答案為：—

14.棱長均為正的四面體的頂點分別在四個互相平行的平面上.若相鄰兩平行平面的距離

都為d,則d的值為

【答案】也

2

【解析】在正方體中作出正四面體O-A3C,

作其中過C,。，A三個頂點的互相平行的平面，如圖:

由于相鄰兩平行平面間距離都相等，不妨求平面AESK與平面OMNQ間的距離,

其中M，N,E，S為正方體棱上的中點，

過E作歷，。暇于尸，則EF即為兩平行平面間的距離,

因為tanZFOE=tan|-ZLOF

tan/LOF

2_275

所以sinNFOE=45=~r

所以EE=OEsinNFOE=^x^=—,

2V252

即相鄰平行平面間的距離為變.

2

故答案為：—.

2

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

15.某項科研活動共進行了5次試驗，其數據如下表所示：

特征量第1次第2次第3次第4次第次

X258911

y1210887

（1）根據表中的數據，計算相關系數廠；

（2）求特征量）關于X的線性回歸方程，并預測當特征量X為12時特征量y的值.

參考公式：相關系數一=/.I,

'J------------=號----------，a=y-bx.

i=\i=l

參考數據：肩—)2=50，JE(X-y)2=4.V2-1.414.

5

]535145

解：(1)由題意得亍=￡三七=彳=7,9=工￡%=彳=9,

3i=i33z=i3

55

￡(七一元)(%—9)=—5回=2x12+5x10+8x8+9x8+11x7-5x7x9=-28,

Z=1J=1

55

￡(圖-可2=50,X(x-y)=16,

Z=1Z=1

5

Z&-元)(%-歹)

i=l-28二a-0.99

?.?相關系數廠=

750x165V2

應—)2但5H

Vi=lVi=l

5

,2(%-丁)(％-可_28

(2)由(1)知，b――一；-------------==—0.56,

2a一葉50

；=1

，a=y—g元=9—(—0.56)x7=12.92,

所求的線性回歸方程是y=-0.56x+12.92.

當特征量了為12時，可預測特征量y=-0.56x12+12.92=6.2.

16.已知數列｛4｝的前幾項和為S"，且滿足"S"+i—5+l)S“="5+1),〃eN*，

Q]=1.

(1)求數列｛4｝的通項公式;

2a+2

(2)若4=(T)",—,求數列也｝的前〃項和

anan+l

解：(1)由〃S〃+]—S+l)S〃=〃5+l),〃￡N*，得——」=1,又。]=1,

n+1n

數列是首項為1=6=1,公差d=1的等差數列，

s

...」=〃，即，=后9,

n

當2時，4=S〃—Ei="2_(〃_1)2=2“—1,且4=1也滿足，

=2”—1,則數列｛%,｝的通項公式為=2”-1；

(2)由(1)得=2H-1,

4〃11

?M=(T)'--------------------1------

(2〃-1)(272+1)2幾一12〃+1

11]

-----------F=-1+(-1)"

2n-l2n+l2,n+1

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，R4J_平面ABCD,BC±CD,AB//DC,

BC=CD=2,A8=4，M，N分別為PB,PC的中點.

P

（1）設兩=44,且A,M.N四點共面,求實數X的值;

（2）若平面和平面尸支所成角的余弦值為巫，求三棱錐C-的體積.

5

解：（1）方法一：坐標法（利用共面向量基本定理）

在平面43。內作人5,43,以A為原點，AB，AS,"所在直線分別為％軸，丁

軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設Q4=2a,-.AB//DC,BC=CD=2,AB=4,BCLCD,

.?.5(4,0,0),C(4,2,0),尸(0,0,2a),￡>(2,2,0),而=(2,2,—2a),

又???M，N分別為PB,PC的中點，，麗7=(2,0,a),AN=(2,1,a),

-,-AH=AP+APb=(0,0,2a)+2(2,2,—2a)=(22,22,2(1-2)a),

AH-AM>前共面，，存在實數x,y,使得由=+y麗

即(22,22,2(1-A)a)=x(2,0,a)+y(2,1,a)=(2x+2y,y,ax+ay),

22-2x+2y

2

24=y，解得力=—；

3

2(1-A)a=ax+ay

方法二：坐標法（利用法向量）

在平面ABC。內作AS，A3,以A為原點，AB，AS,"所在直線分別為％軸，V

軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

設B4=2a,-.-AB//DC,BC=CD=2,AB=4,BC上CD,

.?.8(4,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2a),￡>(2,2,0),而=(2,2,—2a),

\-AH=AP+APD=(0,0,2a)+2(2,2-Id)=(22,22,2(1—4)a),

又?；M，N分別為PB,PC的中點,

AM=(2,0,a),麗=(2,1,a),

設平面AMN的法向量為n=(x,y,z),

n-AM-2x+az-0

：?<_.,y=。，令z=2得x=-a,

n-AN=2%+y+az=0

n=(-a,0,2),

又,：&i，AM版共面，

—.2

n-AH=-2aA+4(1—X)a=0,解得A=—；

方法三：幾何法：延長NH交CD于s,連接S4,

VM，N分別為PB,PC的中點，AMN//BC,

MN/平面ABCD,BCu平面ABC。，

兒W〃平面ABCD,

又,:AS=平面AMNHP|平面ABCD,

：.MN//SA,BC//SA,又

二四邊形ABCS是平行四邊形，

AB=CS,:.CD=DS,

過.N作NT〃CD交PD于T,PT=TD，

HTNTNT_1.PH2

---------,??/L------

HDDSCD2PD3

(2)方法一：由(1)得行=(一。,0,2),

又?凱=(2,0,0),DP=(-2,-2,2a),

設平面CDP的法向量為m=(x,y,z),

m-DC=2x=Q

\,解得x=o,令z=i得

m-DP=—2x—2y+2az=0

/.m=(0,(2,1),

設平面AMN和平面CDP所成的角為凡

八\n-m\2JIU

?.?cos￡=--------==-----,

r2

\n\\m\y/a~+4yla+l5

整理得/+/—6=0,

,二。>0,.,.a=l>BPPA=2；

方法一：利用向量法求三棱錐C-AMN的高，

???平面AMN的法向量為為=(—L0,2),AC=(4,2,0),

設點C到平面AMN的距離為d,:.d=|AC'/?I=述,

I利5

QA，平面ABCD,又5Cu平面ABCD,..1%_LBC,

又；BCLCD,BAr>PA=A，BA>Q4u平面ABP，

■??3。，平面45尸，

又〈M，N分別為PB,PC的中點，

MN//BC,MN=-BC=\,

2

MN,平面ABP，又,?,AMu平面APB，二上WLAM,

又??,JR4，AB,AB=4，PA=2:.AM=BM=-BP=45,

2

則%"N=gAM.“N=￥,

所以、/-1c?一14石石一2

所以LAMN=2S\AMN.d=].Y=J；

方法二：幾何法：???M，N分別為PB,PC的中點，」.BC〃1W,

??,MNu平面AAW,3。,平面4^,，3。〃平面41加，

YSMBC='x2x4=4，出,平面ABC，PA=2,

T,11,C2

?'-^C-AMN

18.己知曲線￡：x2=2py（p〉0）,點尸為曲線Cj的焦點，點A為曲線C1上一點，且

（1）求曲線Cl的方程;

⑵設曲線。2：/+/—2y=o,若過點尸的直線4與曲線。1，從左到右依次相交

于點C,M，N,D.

（i）證明：|QW|?|ND|為定值；

（，i）若直線。。，co（。為坐標原點）分別交直線，2：y=x—8于點G,H,求IGH|

的最小值.

解：（1）因尸（0,“），設A&,則FA=(X],在一4)=(后一,),

22p24

3

1化簡得：2P2_p_6=0,解得。=2或“=一一（舍）,

“2

，拋物線C］的方程為f=4y.

(2)(i)由/+y2—2y=0得。2：/+(>_1)2=1,圓心(0,1),半徑為1,

拋物線C1的焦點與C2的圓心重合，即為F（0,l）,

顯然，直線斜率存在，設直線4方程為y=Ax+l,設點。（%,%）、D（W，%），

v=kx+1

聯立方程12“，消去y并整理得必―4區—4=0，

/=16（左2+1）>0,由韋達定理得%+%=4左，=-4.

由拋物線的定義可知|CF|=%+1,\DF\=y2+l,%1<0,x2>0.

(

：.\CM\-\ND\=(\CF\-\)-(\DF\-V)=yiy0=^=^=\,

lolo

即|CM|?|ND|為定值1；

(ii)由⑴可知：|%1二j(再+%2)2=4,女2+1.

再2

1_弘_工_玉，則直線CO的方程為y=五?x,

cco--—~~r4

xx4

y=--x32

由＜-4可得//=;----

Ux-84|f

y---x32

同理直線DO的方程為y=2?%，由＜4可得%=；------

|y=x—8…1

3232須-x3272-V^+l

.-.|G/7|=V1+12-|X-X|=V2=3252

HG一玉

44—x?xxx2-4(^+X2)+16|4^-3|

設4左一3=，，/wO,k=,

4

32萬J(丁『+18萬戶

4.'+3_3”

4

=8A/2?J^+1+l=8A/2-,25(；+福-￡

19.已知函數/(x)=e*-x+lna*-久，k=L2,…，n.

n

(1)若4(x)2。，k=l,2,…，〃，求￡%的值;

k=l

(2)若以>1(keN*),集合/={x，(x)=O,左=1,2,…,集合A,8為M的子

集，它們各有〃個元素，且4口3=0.設玉eA,y,eB,z=l,2,…，〃，且

n

xt<x2<...<xn,證明：2(%+1)(%+1)<”-

i=l

⑴解：：

當龍<0時，力'(九)=/—1<0，當x>o時/'(x)=e“—1>0，

???力(X)在(-8,0)上單調遞減，在(0