2025年中考數學總復習《圖形的旋轉》專項測試卷及答案

學校:姓名：班級：考號：

1.如下圖，將VAO3繞點。按逆時針方向旋轉45。得到ZAOB=\5°.

(1)寫出點A,5的對應點；

(2)求403的度數.

2.綜合與實踐：

在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，請運用已有的經驗對“對等

垂美四邊形”進行研究.定義：對角線相等且垂直的四邊形叫作對等垂美四邊形.

圖1

(1)定義理解

圖1中，A、B、。三點均在格點上，請在格點上確定點C,使四邊形為對等垂美四

邊形.

(2)深入探究

如圖2,在對等垂美四邊形ABCD中，對角線AC與班)交于點。，且OA=OD,OB=OC,將

△COB繞點。逆時針旋轉(0"旋轉角＜45。)，B、C的對應點分別為9和C,如圖3,請

判斷四邊形M'CQ是否為對等垂美四邊形，并說明理由.(僅就圖3的情況證明即可)

(3)拓展運用

在(2)的條件下，若03=3,OA=5,當△。皿為直角三角形時，直接寫出四邊形神。。

的面積.

3.在ABC中，點。是線段轉上一動點，連接8.將線段。繞點C逆時針旋轉至CE,

記旋轉角為叫連接AE.取AE的中點為點G,連接CG.

【問題探究】

(1)如圖1,已知，ABC是等腰直角三角形AC=BCZACB=90°a=90°延長AC至點月

使CF=AC連接所.請直接寫出所與即的數量關系—CG與加的數量關系.

【類比遷移】

(2)如圖2已知.ABC是等腰三角形AC=BCZACB=120°a=60°.探究線段CG與

的數量關系并證明你的結論

【變式拓廣】

(3)如圖3已知在ABC中BC=13AC=7ZABC=30°ZACB=180°-a.延長AC至尸

使B=3C=13連接所.在點。的運動過程中求線段CG長度的最小值.

圖1圖2圖3

4.如圖1在VABC中點。E分別是AB與AC的中點可得。石〃比且

［初步感知］(1)如圖2在RtA4BC中ZABC=90°AB=BC=2ADCE是Rt^ABC的中

線并相交于點GMN分別是AD和CE上的點且黑=笠;求MN的長

［嘗試應用］(2)如圖3在RtAMC中DE分別是ABAC的中點連接祝將

VADE繞點A逆時針旋轉一定角度0(0。＜”/胡。)連接如CE若冬=；求黑的值

nCZCzi

［拓展運用］(3)如圖4在等邊三角形A3C中。是射線BC上一動點(點。在點C的

右側）連接AD把線段8繞點。逆時針旋轉120。得到線段取廠是砥的中點連接

DFCF.若AB=8CF=|CD求CP的值.

mi圖2圖3圖4

5.如圖在VABC中CA=CB。是VABC內一點連接8將線段。繞點。逆時針旋

轉至|jCE使/DCE=ZACB連接AD,DE,BE.

（1）求證：CAD%CBE.

⑵當ZCAB=60。時求ZCBE與/BAD的度數和.

6.【知識技能】（1）如圖1在VA5c中AB=AC440=90。點。為平面內一點（點

AB。三點不共線）AE為△ABD的中線延長AE至點"使得=連接

DM.求證：ZMDA+ZDAB=180°.

【數學理解】（2）如圖2在VABC中AB=ACABAC=900點。為平面內一點（點4B

。三點不共線）AE為△曲的中線將AD繞點A按順時針方向旋轉90。得到釬連接

CF.求證：AE=^CF.

【拓展探索】（3）如圖3在（2）的條件下點O在以點4為圓心的長為半徑的

圓上運動（AD>4?）直線AE與直線N交于點G連接BG在點。的運動過程中BG

的長度存在最大值.若筋=4求BG的長度的最大值.

7.如圖在VABC中AB=ACABAC=a。是BC的中點E是線段瓦）上的動點（不與

點B。重合）連接AE.尸是AE的中點線段正繞點下逆時針旋轉a得到線段切連

接AH,EH.

⑵連接判斷。〃與AC的位置關系并證明.

8.如圖1在等腰直角三角形A3C中ZBAC=90。.點石尸分別為AB，AC的中點H為

線段所上一動點（不與點E尸重合）將線段繞點A逆時針方向旋轉9。。得到AG

連接GC,HB.

（1）證明：AHB^AGC

（2）如圖2連接GEHG,AF交AC于點Q.

①當E”=3FH=4求AH的值

②若AB=AC=4當E”的長度為多少時AQG為等腰三角形？（不要求寫解答過程只

需直接寫出答案即可）

9.探究式學習是新課程倡導的重要學習方式某興趣小組擬做以下探究在n△MC

中ZACB=90°ZABC=45°AB=V10。為線段A5上一點.

圖1圖2圖3

【初步感知】

(1)如圖1連接。將8繞點。逆時針旋轉90。至CE.連接AEQE求29比的度數

【深入探究】

(2)如圖2將.ACD沿。折疊至ECO.射線CD與射線3E交于點尸.若尸E=3所求MEF

的面積

【拓展應用】

(3)如圖3BD=BC連接OG為線段AC上一點作點G關于直線。的對稱點“

點G繞5順時針旋轉45。至點K連接"KHB請問CD和"K存在何種關系？并說

明理由.

10.如圖VASC與,m為等邊三角形點。為射線C4上的動點作射線OM與直線BC相

交于點E將射線加繞點。逆時針旋轉60。得到射線ON射線ON與直線8相交于點

(1)如圖①點。與點A重合時點E歹分別在線段BC,8上請直接寫出AE和胡的數

量關系

⑵如圖②當點。在C4的延長線上時E歹分別在線段CB的延長線和線段。上試

探索CE,CECO三條線段之間的數量關系并說明理由

⑶點。在線段AC上若"=8,80=7當B=1時請直接寫出3E的長.

H.已知VA5C是等邊三角形點尸是平面內一動點.

⑴如圖1若點尸是等邊三角形MC內的一點PA=6PB=8PC=10.若尸是VABC外

的一點且△尸AB絲APAC求點尸與點P之間的距離及-AM的度數.

(2)如圖2若點尸在等邊三角形A3C外部當AP=2PC=3P3=5時求APBC的面積.

12.如圖在邊長為4的正方形A2CD中E為8邊上一點.

⑴如圖1將射線的繞點A順時針旋轉90。后交CB的延長線于點尸求四邊形AFCE的面

積

(2)如圖2若E是CD的中點G是8C邊上一點將線段AG繞點G順時針旋轉90。后得到

線段用點”恰好落在射線4石上求證：CG=2BG

(3)如圖3若DE=3CE點/在正方形A5CZ)的對角線AC上且N越=135。求四的長

度.

13.如圖是，"CD的對角線DE是邊AB的高AB=11AD=5sinA=1.點尸為A3邊

上任意一點連接即將口繞點尸順時針旋轉9。。得到線段PQ.

⑴求DE的長.

⑵當點。在邊即上時求"的長.

(3)當點。在ABCD的邊上時求點。到邊即的距離.

(4)當PQ被邊叨分成1:2兩部分時直接寫出的長.

14.如圖四邊形如。是邊長為2一個銳角等于60。的菱形紙片小芳同學將一個三

角形紙片的一個頂點與該菱形頂點。重合按順時針方向旋轉三角形紙片使它的兩

邊分別交CB胡(或它們的延長線)于點EF/EZ邛=60。當CE=”時如圖1小

芳同學得出的結論是小=〃尸.

⑴繼續旋轉三角形紙片當CEHAF時如圖2小芳的結論是否成立？若成立加以證

明若不成立請說明理由

(2)再次旋轉三角形紙片當點E尸分別在CB班的延長線上時如圖3連跖若

BE=g求。即的面積.

15.【知識技能】(1)如圖1矩形與R3QMN疊放在一起(點。N分別與點A

5重合點M落在對角線AC上)已知NQMN=90。，3C=20,CD=15則肱V=_.

【數學理解】(2)如圖2-QMN以每秒I個單位長度的速度在線段AC上從點4向點。

運動同時動點尸以每秒2個單位長度的速度在線段根上從點。向點A運動設它

們的運動時間為小)連接尸”.解答下列問題：

①當/為何值時點A在線段9的垂直平分線上？

②是否存在某一時刻片使得△加與四邊形PMCD面積之比為6：19?若存在求出彳的值

若不存在請說明理由.

【拓展探索】(3)如圖3將一QMN繞著點"順時針旋轉180。得到。陽M點N。的對

應點是連接驅PQ當方為何值時Py+PQ的值最小？

參考答案

1.⑴AB'

(2)60°

【分析】本題考查了旋轉的性質掌握旋轉的性質是本題的關鍵.

(1)由旋轉的性質可得

(2)由旋轉的性質可得ZAOV=N3C”=45。即可求解.

【詳解】(1)解：將水小繞點。按逆時針方向旋轉45。后得到AA，。’

點A的對應點A點B的對應點B'

(2)解：因為將VAOB繞點。按逆時針方向旋轉45。得到AA，。夕所以404=45。

所以ZAOB=ZAOA+ZAOB=450+15°=60°.

2.(1)見詳解

(2)證明見解析

(3)32或29

【分析】本題主要考查復雜作圖全等三角形的判定與性質以及勾股定理的應用

正確理解“對等垂美四邊形”的定義是解答本題的關鍵.

(1)根據“對等垂美四邊形”的定義作圖即可

(2)連接ACB，D交于點N設與歹。交于點E證明AOC-￡>O?(SAS)得=M

ZC'AO=ZB'DO再證明AC'±B'D即可得出結論

(3)當ZAO笈是直角時當乙出。為直角時分別求解即可

【詳解】(1)解：如圖四邊形小8即為所作的對等垂美四邊形

(2)解：四邊形是對等垂美四邊形理由如下:

連接ACB，D交于點、N設。1與交于點E

由題意知OA=ODOB'=OCZAOD=ZB,OC,=90°

/.ZAOD+ZDOC=ZBfOC+ZDOC即ZDOB'=ZAOC

在AAOC和ADOBf中

"OA=OD

<ZAOC=/DOB

OC=OB'

...AOC^.DOB\SAS)

AC=DBrZCAO=NB，DO

又ZDEO=ZAEN

:.ZAOD=ZAND=90°

:.ACf±BrD

，在四邊形ABrCD中ACr±B'DAC=BrD

，四邊形AB'。。是對等垂美四邊形

(3)解：①當ZAO*是直角時如圖

..OC=3

S..,=-OAOB'+-OCOB'+-ODOA+-OCOD

ARBcCDn2222

=—x3x5+—x3x3+—x5x5+—x3x5

2222

=32

當wo為直角時如圖過點。作oc的垂線垂足為a

Q00=04ZOHD=ZAB'O

ZAOB'+ZHOA=90°NDOH+ZAOH=90°

NDOH=ZAOB'

DOH^.AOB'(AAS)

:.DH=AB'

0B=30A=5

貝!JAB'=4O^-OB'2=>/52-32=4

S..,^-OA-OD+-B'A.OB'+-OC'-OB'+-OC'-DH

AnBrCDn2222

=—x5x5+—x4x3+—x3x3+—x4x3

2222

2512912

=一+一+—+一

2222

=29

綜上所述四邊形鉆'。。的面積32或29

3.(1)EF=BDCG=^BD

(2)CG=^BD證明見解析

(3)線段CG長度的最小值為

【分析】(1)結合旋轉性質推得8=CENDCB-ECF即可利用“邊角邊”證明

DCB學ECF根據全等三角形性質可得所=如再由中位線定理可得=

(2)延長AC至點/使得CF=ZC連接所利用“邊角邊”證明。CB均ECF結合全

等三角形性質和中位線定理即可證得CG=；M

(3)取AE的中點H連接G”作CMLG”于"利用“邊角邊”證明FCEgBCD根據

全等三角形性質可得/R=ZABC=30。即點G在與AH成30。的定直線上運動當點G在“

處時CG最小結合含30。的直角三角形特征即可得CM=；CH=g(AH-AC).

【詳解】解：(1)依題得：CD=CEZDCE=a=90°AG=EG

AC^BCCF=AC

:.BC=FC

ZDCE=ZACB=90°

:.ZDCE=ZBCF=90°

即ZDCE-ZBCE=ZBCF-ZBCE

?./DCB=/ECF

在OCB和EC廠中

CD=CE

<ZDCB=ZECF

BC=FC

DCBRECF(SAS)

:.EF=BD

AG=EGCF=AC

，CG是一碼的中位線

:.CG=-EF=-BD

22

故答案為：EF=BDCG=；BD

(2)如下圖CG〈BD證明如下:

延長AC至點/使得CF=AC連接所

ZACB=120°

:.ZBCF=60°

AC=BCCF=AC

:.BC=CF

由旋轉得CD=CEZDCE=60°

/.ZBCF=ZDCE

:.ZBCF-/BCE=ZDCE-/BCE

:.ZDCB=ZECF

在一。CB和EC尸中

CD=CE

</DCB=ZECF

BC=FC

:…DCBMECF(SAS)

:.BD=EF

AG=GEAC=CF

;.CG是皿的中位線

:.CG=-EF

2

:.CG=-BD

2

(3)如下圖取A尸的中點H連接G"作CMLG”于“

依題得：ZBCF=180°-ZACB=180°-(180°-a)=a

GHEFAF=AC+CF=20AH=10

:.ZBCF=ZDCE=a

:./FCE=/BCD

在BCE和BCD中

CE=CD

<ZFCE=ZBCD

FC=BC

:._FCEWBCD(SAS)

:.ZF=ZABC=30°

???點G在與AH成30。的定直線上運動

??當點G在M處時CG最小

GHEF

:"CHM=30。

又CMLGH

:.CM=-CH=-(AH-AC)=-(10-l)=-

，CG的最小值為I".

【點睛】本題考查的知識點是旋轉性質全等三角形的判定與性質中位線定理含

3。。的直角三角形特征解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質.

4.（1）4（2）g（3）4或2

【分析】（1）連接DE由勾股定理可得AC=2應由題意易證。E是VABC中位線則

DE//ACDE=6再證明MGNS-DGE得到粵=等=〈即可求出MN的長

L）EJUkjr2

（2）由題意可得3C=2AB從而得到AC=BW證明的，ACE得到7=當即可求

AC

解

（3）分兩種情況討論：當B//DE時利用平行線分線段成比例定理得到CD=BC=8

即可求出b的長當CV與桃不平行時過點E作GE〃中交加的延長線于點G證

明W是△BGE的中位線再結合旋轉的性質推出△?G是等邊三角形從而得到

GE=GD=DE=CD=gcG=4即可求出CP的長.

【詳解】解：（1）如圖連接小

ZAfiC=90°AB=AC=2

22

AC=>JAB+BC=A/22+22=20

ADCE是RtAABC的中線

■DE分別為CBAB的中點即。E是VABC中位線

:.DE//ACDE=-AC=-x2y/2=y/2

△MGNsADGE

MNMG_l

~DE-DG-2

.MN■=-DE=-xy/2=—

222

AB_l

(2)BC-2

:.BC=2AB

ZAfiC=90°

AC=7AB2+BC2=^AB2+(2AB)2=小AB

AB旦

AC-5

AD=-ABAE=-AC

22

AO_AE_I

AC~2

AD_AB

~\E~AC

由旋轉得：NBAD=NCAE=a

-a-ABDACE

,BDABy/5

CE-AC-V

(3)如圖當C尸〃DE時

VA3C是等邊三角形AB=8

BC=AB=8

產是BE的中點

EF=BF

CF//DE

1

?.——CD=——EF=I

BCBF

..CD=BC=8

CF=-CD=4

2

如圖當W與DE不平行時過點E作GE〃CF交的延長線于點G

CG=BC=8

??.CP是△BGE的中位線

CF=-GE

2

由旋轉得：DE=CDZCDE=120°

CF=-CD=-DE

22

GE=DE

ZEDG=180°—Z.CDE=180°—120。=60°

△DEG是等邊三角形

GE=GD=DE=CD=-CG=-x8=4

22

CF=-GE=-x4=2

22

綜上述B=4或2.

【點睛】本題考查了勾股定理三角形中位線定理相似三角形的判定和性質平行

線分線段成比例定理旋轉的性質等邊三角形的判定和性質等知識掌握相關知識

點是解題關鍵.

5.(1)見解析

(2)60°

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質旋轉的性質等邊三角形的判定和性質:

(1)利用SAS證明,CAD^,CBE即可

(2)證明VA3C為等邊三角形進而得到44C=60。利用全等三角形的對應角相等結

合角的和差關系即可得出結果.

【詳解】(1)解：???旋轉

/.CD=CE

*.*ZDCE=ZACB

，ZDCE-Z.DCB=ZACB-ZDCB

：.ZACD=ZECB

CA=CB

CAD^CBE

(2)VCA=CBZCAB=60°

.?.VA5C為等邊三角形

/.ZBAC=60°

ZCAD+ZBAD=60°

由(1)知：CAD^CBE

：.NCBE=NCAD

：.ZCBE+ZBAD=(^°.

6.(1)見解析(2)見解析(3)20+2

【分析】⑴先證明梃紂MDE(SAS)由全等三角形的性質得出za4E=ZDME最后根據

平行線的性質即可得出ZMDA+ZDAB=180°.

(2)延長AE至點M使得=連接血/.由旋轉的性質可知

AF=AD,ZZ)AF=90°.證明ACF，DM4(SAS)由全等三角形的性質進一步即可證明.

(3)延長AE至點M使=M連接先證明ADE^MBE(SAS)再證明

ABM^CAF(SAS)根據得出點G在以AC為直徑的。上運動當且僅當8O,G三點共

線時BG的長度取得最大值此時3G=OB+OG.然后利用勾股定理以及直角三角形斜

線的中線等于斜邊的一半求解即可.

【詳解】解：（1）證明：隹為△河。的中線

:.BE=DE.

在一和_"D￡中

BE=DE,

<NAEB=/MED,

AF=ME,

ABE^MDE(SAS).

:.ZBAE=ZDME.

：.AB//DM.

:.ZMDA-^ZDAB=18Q°.

(2)證明：如答題圖延長A石至點M使得=連接0M.

由旋轉的性質可知AF=AD,ZDAF=90°.

ABAC=9Q°,ZZMF+ZBAC+ZDAB+NG4r=360。

.\ZDAB-^ZCAF=180°.

由(1)^MDA+^DAB=1SO,DM=AB=AC

:.ZCAF=ZMDA.

在AACF和ADMA中

'AF=DA,

<ZCAF=NMDA,

AC=DM,

:.ACF空Z)AZA(SAS).

:.CF=MA.

AE=-MA

2

...AE=-CF.

2

（3）解：如答題圖延長AE至點M使項f=連接3M.

在VAD石和石中

AE=ME,

<ZAED=/MEB,

DE=BE,

二.ADE^Affi￡(SAS).

:.AD=BM,NDAE=/M.

:.AD//BM.

:.ZDAB+ZABM=180°.

ZDAF+ZBAC=180°

:.ZDAB-^ZCAF=18Q°.

:.ZABM=ZCAF.

AF=AD

:.AF=MB.

在ABM和VC4F中

'AB=CA,

<ZABM=NCAF,

BM=AF,

...ABM^CAF(SAS).

:.ZBAM=ZACF.

ABAC=90°

../R4M+NC4G=90。.

..ZACF+NG4G=90°.

ZAGC=90°.

，點G在以AC為直徑的。上運動當且僅當BO,G三點共線時3G的長度取得最大

值止匕時3G=03+OG.

。為AC的中點AB=AC

:.OA=-AC=-AB=2

22

在RtA4BO中由勾股定理得0B=，帥2+"+22=2一.

在Rt.ACG中。為斜邊AC的中點

OG=-AC=2

2

???BG的長度的最大值為275+2.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的綜合問題直角三角形的性質旋轉的性質

勾股定理等知識.掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

7.（1）90°

（2）DH±AC證明見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半

圓周角定理正確作出輔助線是解題的關鍵.

（1）利用等腰三角形的定義即可解答

（2）連接連接即可得點ARE,。在以點P為圓心以融為半徑的圓上再連接

并延長交AC于點G證明NZMC+ZADG=90。即可解答.

【詳解】（1）解：尸是近的中點線段所繞點下逆時針旋轉a得到線段制

:.FA=FE=FH/EFH=a

1QQO_a

:,ZAHF+ZFAH=2ZAHF=ZEFH=aZFHE=-----

a

:./AHF=一

2

ZAHE=ZAHF+NFHE=-+心,-。=90°

22

(2)解：DHLAC理由如下:

如圖連接AD連接即

AB=AC。是BC的中點

:.AD±BC

廠是AE的中點

:.FD=FA=FE=FH

.?.點在以點尸為圓心以以為半徑的圓上如圖連接并延長交AC于點G

BE一

'：FE=FH,ZEFH=a

ZADH=ZAEH=啊一夕

2

ABAC=aAB=AC。是8C的中點

jex

...ZDAC=-ABAC=—

22

ZDAC+NADG=-+-80°~a=90°

22

:.ZAGD=90°

:.DG±ACDHLAC.

8.(1)見解析

(2)①|亞②及或2

【分析】(1)根據SAS可證明AHB^AGC

(2)①證明AEH仝AFG(SAS)可得ZAFG=ZAEH=45°FG=EH=3從而根據兩角的和可

得ZHRG=90。由勾股定理得〃G=5在等腰直角三角形出G中可得AH=半

②分兩種情況：i）如圖3AQ=QG時ii）如圖4當4G=QG時分別根據等腰三角形

的性質可得結論.

【詳解】（1）證明：如圖1

圖1

由旋轉得：AH=AG,44G=90。

ABAC=90°

/.ZBAH=ZCAG

AB=AC

/.AFG(SAS)

（2）解：①證明：如圖2在等腰直角三角形A3。中ABAC=90°

/.ZABC=ZACB=45°

二點E尸分別為AB,AC的中點

二?E尸是VABC的中位線

/.EF//BC,AE=AB,AF=AC

AAE=AF,ZAEF=ZABC=45°,ZAFE=ZACB=45°

VZEAH=ZFAG,AH=AG

/._AEH^tAFG(SAS)

，ZAFG=ZAEH=45°FG=EH=3

/.NHFG=45。+45。=90。

?*.HG=JHF?+FG=542+32=5

5c

在RtAM/G中AH=%HG=：啦

②分兩種情況：

i）如圖3AQ=QG時

圖3

AQ=QG

ZQAG=ZAGQ

,/ZHAG=ZHAQ+ZQAG=ZAHG+ZAGH=90°

/.ZQAH=ZAHQ

：.AQ=QH=QG

*/AH=AG

AQ1GH

*/ZAFG=ZAFH=45°

ZFGQ=ZFHQ=45°

ZHFG=ZAGF=ZAHF=90°

，四邊形AHFG是正方形

,/AC=4

，AF=2

FG=EH=42

???當EH的長度為a時-AQG為等腰三角形

ii)如圖4當AG=QG時ZGAQ=ZAQG

圖4

,/ZAEH=ZAGQ=45°,ZEAH=ZGAQ

；.ZAHE=ZAQG=ZEAH

EH=AE=2

當EH的長度為2時AQG為等腰三角形

綜上當四的長度為a或2時-AQG為等腰三角形.

71

9.(1)ZBAE=90°(2)6(3)HK=CD見解析

【分析】(1)根據SAS證明ACE當BCD得NCAE=ZB=45。進而可求出的度數

(2)作CT，防交好于點T由折疊的性質得AC=CEZACF=ZECF.^^ZF=ZFCT=45°

得CT=TF設BT=ET=a則莊=6。CT=TF=la由勾股定理求出AC=CE=指然后在

R3CET中利用勾股定理列方程求解即可

(3)連接3G,DK,CH延長C”交于點T證明CBG絲.DBK(SAS)得/皿K=ZACB=90。

CG=DK由旋轉得CG=C"從而有C"=DK.證明4TO=4DK=90。得C"〃DK可證四

邊形CDS是平行四邊形從而HK=HB=CD.

【詳解】解：(1)\?在RtZXABC中ZACB=90°ZABC=45°

：.ZBACZABC=45°

：.AC=BC.

?將。繞點。逆時針旋轉90。至CE

/.CE=CD,ZDCE=90°

/.ZDCE=ZACB

/.ZACE=ZBCD

BCD(SAS)

，ZCAE=ZB=45°

ZBAE=45°+45°=90°

(2)如圖作CTLBF交即于點T

,將AGO沿CD折疊至上CD

AC=CEZACF=ZECF.

AC=BC

，CE=BC

/.BT=ETZBCT=ZECT

ZACF+NECF+ZBCT+/ECT=9伊

ZFCT=-ZACB=45°

2

「?ZF=ZFCT=45°

：.CT=TF.

設BT=ET=a

*.*FE=3EB

FE=6a

，CT=TF=la

AC=CE=—AB=y/5

2

/+(7a『=(扃

?2_1

,?0-io

1121

?\S=—CT-EF=—x7Qx6〃=——

CEF2210

(3)如圖連接3G,DK,CH延長C"交AB于點T

CB

?點G繞5順時針旋轉45。至點K

.BG=BK,ZGBK=45°

?ZABC=ZGBK=45°

?ZCBG=ZDBK

?BD=BC

.CBG空DBK(SAS)

?ZBDK=ZACB=90°CG=DK.

.作點G關于直線。的對稱點“

.CG=CHZGCD=ZHCD

?CH=DK.

*BD=BCZABC=45°

?ZBDC=ZBCD=61.5°

?Z.GCD=ZHCD=67.5°-45°=22.5°

，“70=90。

/.ZCTD=ZBDK=9Q0

：.CH//DK

,/CH=DK

，四邊形C。田是平行四邊形

HK=CD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質等腰三角形的性質與判定軸對稱的

性質旋轉的性質勾股定理平行四邊形的判定與性質.

10.(1)AE=AF

(2)OC=CE+CF理由見解析

(3)4或2或6

【分析】(1)由等邊三角形的性質可得AB=AC=BC=AD=CD

ZBAC=ZBCA=ZADC=ZDAC=60°由旋轉的性質可得ZE4F=60。易得ZEAC=NFAD由

“ASA”可證.AEC.AFD即可得證

(2)過點。作交"'于點”可證CO/I是等邊三角形可得OC=CH=OH

ZOHC=60°=ZOCF由“ASA”可證OHE^OCF可得CF=EW即可得OC=CE+b

(3)分四種情形畫出圖形分別求解即可解決問題.

【詳解】(1)解："5C與ACD為等邊三角形

.-.AB=AC=BC=AD=CDZBAC=ZBCA=ZADC=ZDAC=60°

將射線OM繞點。逆時針旋轉60°

.\ZEAF=60°

ZEAC+ZCAF=ZCAF+ZFAD=60°

:.ZEAC=ZFAD

ZACB=ZADF=60°ACAD

:.^AEC^AFD（ASA）

:.AE=AF

(2)解：OC=CE+CF理由如下：

如圖②過點。作。“〃移交。尸于點〃

.\ZHOC=ZBAC=60°ZOHC=ZABC=60°

圖2

ZACB=6D°

??.△C8是等邊三角形

,-.OC=CH=OHZOHC=60°=ZOCF

QZEOF=60°

."COE+/EOH=ZFOC+ZCOE

ZEOH=ZFOC

OH=OCZOHE=ZOCF

OHE^OCF(ASA)

/.CF=EH

CH=CE+HEOC=CH

.\OC=CE+CF

(3)解：作BHLAC于點H

AB=8AH=CH=4

BH=6AH=4A/3

如圖③-1中當點。在線段AH上點尸在線段CO上點E在線段上時

圖③1

:.OH=yfo^r^BHI=}

:.OC=OH+CH=5

過點。作ON〃AB交BC于N

QVC是等邊三角形

；ON=OC=CN=5ZNOC=ZEOF=60°=ZONC=ZOCF

:.ZNOE=Z.COF

ON=OCZONC=ZOCF

ONE"OCF(SAS)

:.CF=NE

:.CO=CE+CF

OC=5CF=1

:.CE=OC-CF=4

:.BE=BC-CE=4

如圖③-2中當點。在線段AH上點廠在線段DC的延長線上點E在線段8C上時

圖③2

同法可證：CE-CF=OC

，CE=5+1=6

:.BE=BC-CE=8-6=2

如圖③-3中當點。在線段C段上點尸在線段。上點E在線段BC上時

圖③-3

同法可證：OC=CE+CF

OC=CH-OH=4-1=3CF=1

:.CE=OC-CF=3-1=2

:.BE=BC-CE=8-2=6

如圖③-4中當點。在線段C"上點尸在線段的延長線上點石在線段5c上時

圖③4

同法可證：CE-CF=OC

OC=CH-OH=4-1=3

.?.CE=OC+CF=3+1=4

:.BE=BC-CE=8-4=4

綜上所述滿足條件的BE的值為4或2或6.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質旋轉的性質全等三角形的判定與性

質勾股定理熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵.

11.⑴點尸與點戶之間的距離為6ZAPS=150°

(2)，石

【分析】本題考查了旋轉的性質等邊三角形的判定與性質和勾股定理的逆定理解

答本題的關鍵是掌握：旋轉前后兩圖形全等對應點到旋轉中心的距離相等對應點

與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角.

(1)連接尸P證明是等邊三角形得Z4PP=60。PP=PA=PA=6再根據勾股定

理的逆定理證明473=90。即可

(2)把△PBC繞點3逆時針旋轉60。至BAP連接PP過點A作于點E先證明

一5Pp是等邊三角形再證明點尸,三點共線在RtA4EP中求出高即可.

【詳解】(1)解：連接尸P如圖所示：

B

尸是等邊三角形ABC內的一點

,-.ZSAC=60°

,APAB會APAC

P'A=PA=6,P'B=PC=10,ZP'AB=ZPAC

:./FAB+ZBAP=ZPAC+ZBAP=ABAC=60°即NPAP=60°

.二H4P是等邊三角形

ZAPP'=60°PP=PA=PA=6

在△PfiP中P'P2+PB2=62+82=102=P'B2

:.ZP/PB=90°

/APB=ZAPP+NBPP=60°+90°=150°

(2)解：在等邊VABC中ZABC=ZACB=60°

把△尸3c繞點3逆時針旋轉60。至一連接PP過點A作AEL5P于點E

.-.PC=P'A=3PB=P'B=5NCBP=/ABP

ZCBP+ZABP=AABP+ZABP=60°

即NPBP=60°

???ABPP是等邊三角形

PP'=PB=5,ZPP'B=60°

P'A+PA=3+2=5=PP'

???點P，A尸'三點共線

在RtAAEPf中NEAP=90°-ZAPE=30°

/.5P=LAP=3,AE=《Ap2—Ep2=-y/3

222

■??SPBC=SABP,=(8P'-AE=；X5XT百=?壞.

12.(1)16

(2)詳見解析

(3)472-2

【分析】本題是四邊形綜合應用涉及正方形的性質旋轉的性質全等三角形的判

定和性質相似三角形的判定與性質等知識點熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵.

(1)證明AED-AFB(ASA)由全等三角形的性質得出入皿=S.版即可得出答案

(2)連接GE過點A作A7UM交CB的延長線于點尸由(1)可得△4即0小尸3證明

EAG^FAG(SAS)由全等三角形的性質得出屬=尸6=q+"=2+前由勾股定理求出BG

的長可得出答案

(3)證明.MBCS_EMC由相似三角形的性質得出MC可得出答案.

【詳解】(1)解：由旋轉的性質可得：ZEAF=90°

四邊形ABCZ)是正方形

：.AB=ADZD=ZDAB=ZABF=90°

.\ZEAF=ZDAB

:.ZDAE=ZBAF

在△4￡￡>和△AF8中

ZDAE=ZBAF

<AD=AB

ND=NABF

AED^AFB(ASA)

-v=q

,?0,AED-QAFB

.??四邊形AFCE的面積和正方形面積相等

S四邊形向CE=4x4=16

二四邊形AFCE的面積為16

(2)證明：如圖連接GE過點A作交CB的延長線于點尸

由(1)可得△AEZ涇ZVIFB

E是。的中點

BF=DE=—CD=2AE=AF

2

線段AG繞點G順時針旋轉90。后得到線段用

:.AG=GHZAGH=90°

:.ZHAG=45°

ZGAF=90°-ZHAG=45°

.\ZGAE=ZGAF

在AAEG和AFG中

AE=AF

</GAE=NGAF

AG=AG

AEG紀AFG(SAS)

:.EG=FG=FB+BG=2+BG

在Rt.ECG中EG2=EC1+CG2

(2+BG)2=22+(4-BG)2.

解得：BG=g

48

:.CG=BC—BG=4——=-

33

:.CG=2BG

(3)解：四邊形ABC。是正方形

/.ZABC=ZADC=90°ZACB=45°

/.AC=yjAB2+BC2=4A/2

ZMBC=1SO°-ZACB-ZBMC=1SO0-450-ZBMC=1350-ZBMC

DE=3CECD=4

:.CE=-CD=1

4

由題意可得ZEMC=1350-ZBMC

:.ZMBC=ZEMC

EMC

,BCMC

'~MC~~CE

:.MC2=BC-CE=4xl=4

解得：MC=2(負值舍去)

:.AM=AC-MC=^-j2-2.

，出的長度為40-2.

13.(1)DE=4

⑵”若13

⑶點。到邊即的距離為￥或呼

(4)當PQ被邊的分成1:2兩部分時的長為T或4

【分析】(1)根據sinA=筮=:即可求解

(2)如圖所示將加繞點尸順時針旋轉90。得到線段尸。點。在邊加上由勾股定理得

至I」BD=，。磨+3磨="2+82=4后sin2EBD=除=M=￡如圖所示過點。作Q師于

BD4,53

點/設QF=#)a,BQ=5aED-FPQ(AAS)EP=FQ=s/5aDE=PF=4

EF=EP+PF=51+4=8-2也a得"嚕由此即可求解

(3)第一種情況點尸,E重合點。在把上過點。作QGL5D于點G則

DE=DP=PQ=EQ=A.tanNG8Q=辭=：設QG=b,BG=2bBQ=帆?QG-=J(2域+金=后

EQ=BE-BQ=8-45b=4解得匕=?第二種情況如圖所示點。在QC上過點。作

QGJ_6。于點G過點。作于點H點民〃重合BE=DQ=8,DE=QB=4

NDEB=ZEBQ=ZBQD=90°四邊形DEBQ是矩形SDQB=^DQQB=；BDQG

QG=噌=喂=呼由此即可求解

BD4A/55

(4)第一種情況如圖所示PQ與BD交于點KH=1過點Q作于點R過

PKKLPL292228

點K作XL，助于點￡PKIsPQR-=-=—=-KL=-QR=-mPL=-PR=-x4=-

2

一in

RtBKL中tanZEBZ)=|=^^一第二種情況如圖所示PQ與BD交于點K

ZD，uZ

L-----m

3

黑=：=2過點。作。尺，的于點R過點K作于點c設EP=AQ=m

rK1

KL=-QR=-mPL=-PR=-x4=-BL=BE-EP-PL=^-m--=--m在H/5XL中

333333311

1

—m

tanZ￡BD=1=^=|由此即可求解.

2BL--m2

3

【詳解】(l)解：根據題意DEYAB在用ADE中AD=5sinA=^=^

44

/.Z)E=-AD=-x5=4

(2)解：如圖所示將如繞點尸順時針旋轉9。。得到線段PQ點。在邊BD上

,/AD=5,DE=4

AE=YIAD2-DE2=3則由AB-AE=ll-3=8

BD=y/DE2+BE2=742+82=475

.?.加㈤。=匹=吃=正

BD4A/55

如圖所示過點。作。尸，族于點尸

設QF=有a,BQ=5a

BF=4BQ'-QF-=J(5a)2-(>/5a)2=貝！jEF=BE-BF=8—2氐

,/NDPQ=90°=2DEP

/.NEDP+NEPD=NEPD+ZFPQ=90°

/.ZEDP=ZFPQ且。P=PQ

:.EDP烏FPQ(AAS)

/.EP=FQ=y/5aDE=PF=4

EF=EP+PF=?+4=8-2非a

解得