2025年中考數學專題訓練：四邊形綜合

一、單選題

1.下列多邊形中，內角和等于900。的是（）

2.如圖，在，ABCD中，DG-.GC=1.2,連接BG并延長交的延長線于點尸，交對角線AC于點

E,若GE=4,則的長為（）

3.圖1是扳手和六角螺母的實物圖，圖2是它們的示意圖，QH〃NG,QH=NG,PQLGH,

MN//PQ,六邊形ABCDEF為正六邊形，若G〃=24mm,則螺母對角線AD的長度為（）

4.在VABC中，AB=2,AC=2&BC=4記。i為VABC外心，Oz為VABC內心，連接。02，以

為直徑作圓，則該圓的面積為（）

422

5.如圖，ABCD中，對角線AC,8D相交于點。，點E是CD的中點，若BC=8,則0E的長為（）

C.4D.3

6.在平行四邊形ABCD中，點E為C。邊上的中點，過點。作。GJ.3C于點G,若點尸為BG的中

點，DG=6,3C=10,則跖的長為（）

A.6B.734C.8D.回

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,3C=6,點E是BC的中點，連接AE,。尸，AE于點尸，連

接AC交加于點則黑的值為（

)

8

EL

986

1C

A.1B.8-7-D.5-

8.如圖，矩形ABCO周長為8,且BC>CD.連接8。，作點C關于5。的對稱點E,連接DE,連

接的交于點P,作PGLBD交8C于點G,下列說法中正確的有（）個.

E

①2<BC<4：②三角形的周長為定值4

③當BC變大時，四邊形B4SG的面積先變大后變小；④當BC變大時，”反而變小

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

9.如圖，一張長方形紙片的長AD=6,寬=1.點E在邊AD上，點尸在邊3C上，將四邊形芯

沿直線所翻折后，點B落在邊/W的三等分點G處，則EG的長為

10.如圖，Rt^ABC中，ZC=90,AC=4,BC=3,點。是AC上一點，把.BDC沿3D折疊,

點C對應點E,連接AE,若VADE為直角三角形，則DC=.

11.如圖，已知P是線段上的動點（P不與點A,8重合），AB=6,分別以"，尸3為邊在線

段A3的同側作等邊△AEP和等邊△PFB,連接斯，設所的中點為G；連接PG,當動點P從點A

運動到點8時，則尸G的最小值是.

12.把圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖2所示

的正方形，則圖1中菱形的面積是

圖1圖2

13.如圖，在VABC中，點。在A5的延長線上，且AB=48D,點/在線段3C上，以BD,BF為

鄰邊作二BDE尸，連接CE、AE,AF,若與尸的面積和為5,則VABC的面積為

14.在2025年春晚上，舞蹈節目《秧如r》由16臺人形機器人與16名新疆藝術學院的舞蹈演員共同

表演，大放異彩.如圖所示，機器人小數在平面直角坐標系中從A點開始，按順序沿

AfBfCfDfEfF—CfG—>A循環舞動跳8字舞，它舞動的路徑由兩個全等菱形拼接而成,

已知菱形的邊長為1米，/ABC=120。，點2的坐標為(1,0).若機器人小數從點4(0,0)出發，舞動

AC=BC=9.點。是邊AC上一點且AD=6,點E是

邊A3上的動點，線段DE繞點。逆時針旋轉90。至DP,連接所，CF.

圖1圖2

(1)如圖2,當點E與點A重合時，線段族=

(2)點E運動過程中，線段C廠的最小值是

三、解答題

16.如圖，在cABCD中，點E,尸分別在AD,2C上，AE=CF,連接BE,DF.

(1)求證：四邊形￡S￡D是平行四邊形；

(2)已知AB=2,AD=4,ZABC=6O°,當AE的長為一時，四邊形EBED是菱形.

17.如圖，這是一輛自卸式貨車的平面示意圖，矩形貨廂ABCD的寬BC=2ni,ABAC=30°.卸貨

時，貨廂繞點A處的轉軸旋轉.點A處的轉軸與后車輪轉軸(點M處)的水平距離叫做安全軸距，

測得該車的安全軸距為0.5m,貨廂對角線AC,3。的交點G可視為貨廂的重心，卸貨時發現，當A,

G兩點的水平距離小于安全軸距時，會發生車輛傾覆事故.

(1)求AG的長.

(2)若N&W=45。.請通過計算判斷該貨車是否會發生車輛傾覆事故.(參考數據：sin75°?0.97,

cos75°?0.26,tan75°?3.73)

18.如圖1,已知矩形ABCD和矩形AEFG,AD=2AB,AG=2AE,連接￡>G,BE.

圖1圖2

⑴發現

①線段DG與線段BE之間的數量關系是；

②直線DG與直線BE之間的位置關系是.

（2）探究

若已知條件不變，將圖1中矩形A￡FG繞點A順時針旋轉儀0。<2<180。），如圖2,則（1）中結論

還成立嗎？請給出證明.

（3）應用

在（2）的情況下，AB=4,AE=/7,當矩形AEFG繞點A旋轉到2,E,b在同一條直線上時，

線段。G,3尸的長度分別是多少？（直接寫出結論）.

19.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E是邊BC上一點，且砥=1,點尸為邊AB上一動點,

連接PE,過E作尸E的垂線交折線段于點。連接尸Q.

圖I圖2圖3

⑴如圖1,當點。與點。重合時，求尸3的長；

PEPE

⑵如圖2,當點。在AO上時，而是否變化？若不變，請求出所的值，若變化，請說明理由;

⑶點M是P。的中點.

①如圖3,當。在線段DC上時，CM的最小值為.

②當點P從圖1的位置運動到點A時，點M的運動路程長為.

20.綜合與實踐

如圖，正方形ABCD和正方形A￡FG有公共頂點A,將正方形AE尸G繞點A按順時針方向旋轉，記旋

轉角其中0。4&<360。，連接。F，BF.

⑴如圖1,當&=0。時，求證：DF=BF；

⑵請你畫出除圖1外，滿足止=2尸的其它圖形，并寫出。的度數；

(3)旋轉過程中，?=時，DF最大,?=時，BF最小;

⑷旋轉過程中，判斷。尸與防的大小關系，并寫出對應的。的范圍.

21.折疊問題是我們常見的數學問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質解決的相關問題.數學活動課

上，同學們以“正方形的折疊”為主題開展了數學活動.

在正方形ABCD中，點P在射線AD上,將正方形紙片ABCD沿族所在直線折疊，使點A落在點E處,

連接CE,直線CE交所在直線于點尸，連接AF.

圖1圖1備用圖

【觀察猜想】

(1)如圖1,當Z4BP=22.5。時，ZAFB=°.

【類比探究】

(2)如圖2,正方形的邊長為4,ZABP=a(0°<a<90°),連接AC,取AC的中點0,連接

0F,求乙。B的度數及線段OF的長度.

【拓展應用】

(3)在(2)的條件下，當」AFC被線段OP分成一個等邊三角形和一個等腰三角形時，請直接寫出

線段AP的長度.

《2025年中考數學專題訓練：四邊形綜合》參考答案

題號12345678

答案cAAACBBB

1.C

【分析】本題考查了，邊形的內角和公式，根據〃邊形的內角和公式(“-2)x180。進行列式計算，即

可作答.

【詳解】解：設該多邊形為〃邊形，

:內角和等于900。，

(〃-2*180。=900。,

〃—2=5,

n=l9

故選：C.

2.A

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，二元一次方程組的應用.設FG=%

BE=b,DF=x,證明，QFGsaCBG和得至lj2a=〃+4①，3%=2a+8②，據此求

解即可.

=a,BE=b,DF=x,貝!］跖=~+屆=。+4,

??四邊形ABC。是平行四邊形,

\AD//CB,AD=BC,

：DF//CB,

??DFGs_CBG,

.DFFGDG1x

??——―，——

BCBGCG2BCZ?+42

BC=2x,2a=b+4①，

AD=BC=2x,AF=AD+DF=3%,

'：AF//CB,

：./\AFE^/\CBE,

.AFFE3xa+4

??二,BJ-,

BCBE2xb

：.3人=2〃+8②，

解①②得b=6,a=5,

：.BF=5+4+6=15,

故選：A.

3.A

【分析】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，平行四邊形、矩形的性質和判

定方法是正確解答的關鍵.

根據平行四邊形的性質和判定方法可得四邊形NGHQ是平行四邊形，在根據平行線的性質以及矩形

的判定和性質得到DF=NQ=GH=24mm,由正六邊形的性質得到AZMF是含有60°的直角三角形,

根據直角三角形的邊角關系進行計算即可.

【詳解】解：連接FD,NQ,

?：QH〃NG,QH=NG,

/.四邊形NGH。是平行四邊形，

/.NQ〃GH,

又；PQ-LGH,

：.PQ-LNQ,

?/六邊形ABCDEF是正六邊形，

DFLCD,AF〃CD,

.?.四邊形。WVQ是矩形，

/.DF=NQ=GH=24mm,

—上.(6-2)x180°1

在RtAADA尸中，ZDAF=-----』-------x—=60°,DF=24mm,

62

DF24

sinZDAF=—,即sin60°=——，

ADAD

AD=-------=16A/3(mm).

sin60°v7

故選：A.

4.A

【分析】設。。2分別與BC,ACAB相切于點。，E,F,連接GDQE,O2F,根據切線長性質得

AE=AF,BD=BF,CD=CE,設AE=AF=x,得BD=BF=2—x,CD=CE=2^/3—x,得

2C=2+2指-2x,...得x=G-l,判定VABC是直角三角形，N54C=90。，得四邊形A/RE是正

方形，得020=。2/=百-1，根據。1。=百-1，得。&=8-40，即得以。。2為直徑的圓的面積

為(2-他.

【詳解】解：設。2分別與3C,AC,鉆相切于點。，E,F,連接CDO2E,O2F,

貝I」AE=AF,BD=BF,CD=CE,

設AE=AF=x，

?/AB=2,AC=2y/3,BC=4,

:.BD=BF=2-x,CD=CE=2^3-x,

BC=BD+CD=2+243-2x,

，2+23-2x=4,

解得x=g-l,

'：AB2+AC2=22+=42=BC2,

；.VA3c是直角三角形，ABAC=90°,

ZAEO2=ZAFO2=90°,

四邊形4尸。2石是正方形，

O2F=AF=X=S/3-1,

：.O2D=O2F^y/3-l,

；OiB=；BC=2,BD=2-x=3-y/3,

O\D=C\B-BD=幣-1,

2

o.o；=O2D+qD?=8-46，

.?.以002為直徑的圓的面積為兀兀竽=(2-@7t.

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的內心和外心.熟練掌握三角形內切圓和外接圓的性質，切線長定理，勾

股定理，勾股定理的逆定理，正方形的判定和性質，圓面積公式，是解題的關鍵.

5.C

【分析】本題考查平行四邊形的性質，三角形中位線定理，關鍵是由三角形中位線定理得到

OE=-BC.由平行四邊形的性質推出。5=8,得到0E是的中位線，推出OE=^BC,即

22

可求解.

【詳解】解：：ABCD,對角線AC,8。相交于點。，

OB=OD,

是CO中點，

OE是ADBC的中位線，

/.OE=-BC=-x8=4.

22

故選：C.

6.B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，三角形中位線定理，勾股定理等知識，正確地作出輔助線是

11

解題的關鍵.取CG的中點H,連接團，則S=]CG,而GF=,所以=GF+GH=5,

因為E為CD的中點，所以EH〃DG,EH=LDG=3,則/FHE=N3GO=90。，求得

2

EF=y/FH2+EH2=A/52+32=734>即可得解；

【詳解】解：取CG的中點//,連接EH,則GH=CH=1CG,

2

??,點/為BG的中點，DG=6,BC=10,

：.GF=BF=-BG,

2

:.FH=GF+GH=-(BG+CG)=-BC=5

22f

YE為CD的中點，”為CG的中點，

/.EH//DG,EH=-DG=3

29

:.ZFHE=ZBGD,

DGLBC,

:.NFHE=NBGD=900,

:.EF=^FH2+EH2=752+32

故選：B.

7.B

【分析】如圖所示，延長O歹交5c于點G,勾股定理求出AE=JAB?+5石2=5，得到

3]81R7

sinZADF=sinZBAE=-,求出AF=5，EF=AE-AF=5--=-,然后訐明出A4八尸sAM一,

得到42=竺，代數求出GE=Z,GC=GE+EC=-+3=—,然后證明出ADM^CGM,得出

GEEF333

AMAD69

南一衣―邁一g即可.

T

【詳解】解：如圖所示，延長。尸交5c于點G,

???四邊形ABCD是矩形，

ABC=AD=6,IB90?,

??,點E是5c的中點，

BE=CE=LBC=3,

2

'：AB=4,

?**AE=JAB?+BE2=5，

???smZBAE=-=-,

AE5

,:DFLAE,

：.ZADF^-ZDAF=ZBAE^-ZDAF=90o,

：.ZADF=ZBAE,

3

sinNADF=sin/BAE=—,

.AF3AF3

??茄M即nn工=M,

Z.AF=y,

1Q7

???EF=AE-AF=5——=-,

55

9：AD//BC,

：.AADF^AEGF,

.ADAF

??—9

GEEF

18

._L=5

“GE—7，

5

7

：.GE=-

3f

I-I〔A

:.GC=GE+EC=*3=—,

33

'：AD//BC,

，.ADMs.CGM,

AMAD_69

MC-GC-l6-8.

T

故選：B.

【點睛】此題考查了矩形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，解直角三角形等知識，解題

的關鍵是掌握以上知識點.

8.B

【分析】根據矩形的性質可得CD+5C=4,再結合BC>CD,可得2VBe<4,進而判斷①正確，

連接。G,令PG與交于點。，再證的可證得則尸的周長=48+轉+5P=i5C+CD=4,

進而判斷②正確，再證四邊形尸3Go是菱形，貝13P=DG,SABPG=SADPG,RtMRRtCDG(HL),

1119

得黑神二黑的，可知四邊形叩G的面積=/S矩形-BC)=5(3C-2y+2,進而可知

當2<BC<4時，四邊形皿G的面積隨著2C增大而增大，進而判斷③錯誤；由題意得族=3。-釬，

AB=CD=4—3C,則在RtABP中，AP2=BP2-AB2=(BC-AP)2-(4-BC)2,AP-4一一—,

進而判斷④錯誤.

【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=CD,BC=AD,AD//BC,

:矩形ABCD周長為8,

ACD+BC=4,貝iJCD=4—BC,BC<4,

■:BC>CD,

：.BC>4-BC,貝|3C>2,

.\2<BC<4,故①正確；

連接￡>G,令PG與BD交于點、0,

由折疊可知，NCBD=NEBD,

'：AD//BC

:.NCBD=NPDB,則NEBD=NPDB

，BP=DP,

則一AB尸的周長=AB+AP+3P=AB+AP+OP=AB+AD=3C+CD=4,故②正確;

,/PG1BD,

：.NBOP=NBOG,

又：BO=BO,

：.ABOP^ABOG,

:.BP=BG,則3G“尸

，四邊形PBGD是平行四邊形，

又,:BP=BG,

，四邊形PBGD是菱形，則3P=DG,SABPG=SADPG

/.RtABP^RtCDG(HL),

?,^AABP=S^cDG>

1119

???四邊形的面積=()

PABG55WASCD=-BC4-SC)=-(BC-2^+2,

當2<BC<4時，四邊形PABG的面積隨著BC增大而增大，故③錯誤；

?：BP=PD=AD—AP=BC-AP,AB=CD=4-BC,

貝!I在RtABP中，AP2=BP2-AB2=（BC-AP）2-（4-BC）2,

Q

整理得：AP=4-^~,

BC

，當BC變大時，AP也變大，故④錯誤，

綜上，正確的有①②，共2個，

故選：B.

【點睛】本題考查矩形與折疊問題，勾股定理，菱形的判定及性質，全等三角形的判定等知識點，理

解并掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵.

c5-17

9.一或一

48

【分析】本題考查了折疊的性質、勾股定理.因為點G為AD的三等分點，所以AG=2或4,由折疊

的性質可得AG=A5=1,AE^A'E,ZA=ZA=90°,設EG=x,則AE=A'E=2—x或

AE=A'E^4-x,再由勾股定理分別計算即可得出答案.

【詳解】解：由折疊的性質可得：A'G=AB=1,AE=AE,ZA,=ZA=90°,

:點G為AD的三等分點，

，AG=2或4,

當AG=2時，

設EG=x,則AE=AE=2—x,

由勾股定理得：A'E2+A'G2=EG2,即（2-才+12=尤2,

解得：x=g,

4

EG=~,

4

當AG=4時，

設EG=x,則AE=AE=4—x,

由勾股定理得：AE2+AG2=EG2,即（4-4+產=/,

17

解得：x=

O

7

??￡jkJ----,

8

517

故答案為：了或丁.

48

3

10.—或3

2

【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理解直角三角形，正方形的判定及性質，合理分類討論是解

題的關鍵.

分類討論直角的情況，利用折疊的性質分析求解即可.

【詳解】解：當NADE=90。時，如圖所示:

???折疊，

ABDC%ABDE,

：.ZC=ABED=ZEDC=90°,CD=ED,

四邊形為正方形，

，CD=BC=3；

當NDE4=90。時，如圖所示：

???折疊，

ABDC%ABDE,

:./BED=/C=90°=/DEA,BE=BC=3,DE=CD,

；.A,E,3三點共線,

?.?在中，AB2=7AC2+BC2=V32+42=5-

:.AE=AB-BE=5—3=2,

設CD=DE=x,貝l|4）=AC—CD=4—x,

.,.在RtA4E￡）中，AE2+DE2=AD2，

22+X2=（4-X）2,

3

解得：A］；

3

故答案為：3或

2

..3g

11.-----

2

【分析】分別延長AE、BF交于點、H,易證四邊形EPEH為平行四邊形，得出G為P”中點，則G

的運行軌跡.的中位線得出從而求得尸G<A"且尸G大于等于MN與A3間垂

線段的長

【詳解】解：如圖，分別延長AE、BF交于點、H,

八AEP,APFB分別是等邊三角形，

ZA=ZAPE=ZAEP=NFPB=NB=NPFB=60。,

/.AH//PF,PE//BH,ABH是等邊三角形，

四邊形EPM為平行四邊形，

，E5與HP互相平分.

?；G為所的中點,

；.G正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為物的中點，所以G的運行軌跡為4H45的中

位線MN,

：.MN//AB,PG<AM,

當尸在AB中點時，PH±AB,PG的值最小，

ABH是等邊三角形，

：.AH=AB=6,

PH=AHsin60°=3y/3,

：.PG=-PH=—

22

PG的最小值時還，

2

故答案為38.

2

【點睛】本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質，解答本題的關鍵是作出輔助線，找到點

G移動的規律，判斷出其運動路徑，綜合性較強.

12.4

【分析】本題考查菱形的性質、全等三角形性質，解二元一次方程組等知識，先由菱形性質得到

A—[a+6=3

RtAOD.RtCOD、RtAOB.RtCO5四個直角三角形全等，再由圖2列出方程組<，求出

\b-a-\1

a、〃值后，由菱形面積與三角形面積關系,求出三角形面積即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示:

ELH

在菱形ABCD中,對角線AC、2D交于點0,貝!IAB=BC=CD=D4,OD=OB=^BD,

OA=OC=-AC,ACJ.BD,

2

:.Rt,AOD,RLCOD、RtAOB,RtCOB四個直角三角形全等,

設OD=OB=—BD=a,OA=OC=—AC=b,且b>a,

22

由圖2左圖可知，a+b=3,

由圖2右圖可知，b-a=l,

a+b=3〃二1

，聯立,,,解得

b—a=1b=2'

非ABCD=4%tAOD=4x—xab=2ab=2x1x2=4,

故答案為：4.

13.20

【分析】此題考查了平行四邊形的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的判定和性質是關鍵.

連接3E,過C作。0〃交DE的延長線于點M,可證四邊形CBDM是平行四邊形，由△AEF邊EF

上的[Wj和邊ET7上的iWj相同知S他尸=S-所以=5SyBOMC=5,設

Y3Z肌7C的邊3D上的高為人，則①>/?=10,又AB=4BD,即可求得VABC的面積.

【詳解】解：如圖，連接BE,過C作。0〃AB交。E的延長線于點

MC

DB

四邊形8。跖是平行四邊形,

，BC//DE,

，四邊形CBDM是平行四邊形，

由△⑷印邊防上的高和ABEF邊EF上的高相同知，

SAEF=SBEF，

?'S^AEF+S^CEF=S^CEB=],^YBDMC=5>

設Y3ZWC的邊即上的高為/?,則BD/=10,

又：AB=4BD,

：.-ABh=lO

4

：.-AB-h=20

2

VA3C的面積為20.

故答案為：20

14.（3,73）

【分析】本題考查了菱形的性質，解直角三角形，點坐標規律探究，數形結合是解答本題的關鍵.作

DHLOB于點、H,求出舞動了100米時所在位置是點E.求出=百米，初=1米，進而可求出

點E的坐標.

【詳解】解：作03于點

V100^8=12...4,

舞動了100米時所在位置是點E.

,??菱形的邊長為1米，ZABC=120°,

，BD=2米，ZDBH=60°,

：.Z）H=BD-sin60°=2x—=738H=8Z>cos60°=2x』=l米，

22

???點E的橫坐標為1+1+1=3,縱坐標為g,

...點E的坐標為（3,6）,

舞動了100米時所在位置的坐標是（3,退）.

故答案為：（3,若）.

【分析】(1)由直角三角形的性質可求A3,"的長，即可求解；

(2)先確定點廠在過點7/且垂直A3的直線上運動，由矩形的性質可求解.

【詳解】解：(1)：ZACB=90。，CA=CB=9,

：.ZCAB=ZCBA=45°,AB=，,+次=,92+92=班,

,??線段DE繞點。逆時針旋轉90。至，點E與點A重合,

：.DE=DF=AD=6,NED尸=90°,

ZCAB=ZDEF=ZDFE=45°,

，點F在線段AB上，

EF=y]DE2+DF2=正+G=6行，

BF=AB-EF=96-60=3五,

故答案為：3A/2;

(2)如圖，過點C作。VLAB于N,過點。作。HLAC,交AB于H,連接制,

VZACB=9Q°,CA=CB=9,AB=9近,

：.AN=NB=-AB=-x9y/2=-y/2,

222

VZC4B=45°,DH±AD,

A4汨是等腰直角三角形，

DH=AD=6,ZDAH=ZDHA=45°,

AH=^DH2+AEr=A/62+62=60，

：.NH=AH-AN=6y/2--s/2=-s/2,

22

:線段DE繞點,D逆時針旋轉90°至DF,

ADE=DF,NEDF=90。=ZADH,

：.ZADE^ZHDF,

在VADE和HDF中,

DA=DH

<ZADE=ZHDF,

DE=DF

：..ADEWHDF(SAS),

JZDAE=ZDHF=45°,

：.ZAHF=ZDHA+ZDHF=45。+45。=90°,

???點尸在過點”且垂直AB的直線上運動，

???當C/LFH時，C/有最小值，

?：CFLFH,CN±AB,ZAHF=9Q°,

???四邊形CNHF是矩形，

：.CF=NH=-^2,

2

...線段的最小值是

故答案為：172.

【點睛】本題考查旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，矩形

的判定和性質，垂線段最短等知識，確定點廠的運動軌跡是解題的關鍵.

16.(1)見解析

⑵1.2

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，菱形的性質，解直角三角形，勾股定理，添加適當的

輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

(1)利用平行四邊形的性質和等式的性質得到小=所，再利用一組對邊互相平行且相等的四邊形

是平行四邊形的判定定理解答即可；

(2)過點B作交D4的延長線于點X,利用平行四邊形的性質，直角三角形的邊角關系

定理求得9,AH,設AE的長為無，則上=AD-AE=4-x,利用勾股定理和菱形的性質解答即可

得出結論.

【詳解】(1)證明：.四邊形A3CD是平行四邊形，

.\AD//BC,AD=BC,

:.ED//BF.

又：AE=CF,

:.ED=BF,

，四邊形是平行四邊形.

(2)解：過點8作出/_LZM,交D4的延長線于點X,如圖,

設AE的長為x,則OE=AD—AE=4—x,

?/AD//BC,

：.ZHAB=ZABC^60°,

'：BHLDA,

ABH=AB-sm60°=2x^-=y/3,H4=,乂可=],

HE=HA+AE=x+l,

：.BE2=BH2+HE2=3+(x+l)\

:四邊形￡?/力是菱形，

；?BE=DE,

BE2=DE1，

A3+(X+1)2=(4-X)2,

x=1.2.

，當AE的長為1.2時，四邊形的是菱形.

故答案為：1.2.

17.(l)AG=2m；

(2)該貨車不會發生車輛傾覆事故，理由見解析.

【分析】本題考查了矩形的性質，直角三角形的性質，解直角三角形的應用，掌握知識點的應用是解

題的關鍵.

(1)由四邊形A3CD為矩形，則NABC=90。，AG=-AC,通過30。所對直角邊是斜邊是斜邊的一

2

半可得AC=2BC=4m,從而求解；

(2)過點G作GELHV,垂足為E,則可求得NC4N=/C4B+NB4N=75。，然后通過

AE=AGcosZGAE即可求解.

【詳解】(1)解：??,四邊形ABCD為矩形，

AZABC=90°,AG=-AC

2f

VBC=2m,ABAC=30°,

：.AC=2BC=4m,

：.AG=-AC=2m；

2

(2)解：如圖，過點G作GEL4V,垂足為￡,

???ZCAN=/CAB+ZBAN=75°,

AE

在RtAGE中，cosNGAE=-----,

AG

???AE=AGcosZGAE?2x0.26=0.52(m)

0,52>0.5,

???該貨車不會發生車輛傾覆事故.

18.(1)①DG=2BE；②DG工BE

⑵成立，證明見解析

(3)Z)G=6,BF=2耳+3或BF=2近-3

【分析】本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確找出兩個相似三

角形是解題關鍵.

(1)①先根據矩形的性質可得N3AE=NZMG=90。，再證出，根據相似三角形的

RHAD1

性質可得而=而=/,由此即可得；

②根據相似三角形的性質可得NABE=/AOG,從而可得N3"G=90。，由此即可得；

(2)參照(1)的方法，先證出△ABES^")G,再根據相似三角形的性質可得翌=黑=:，

DCrAU2

ZABE=ZADG,由此即可得;

(3)分兩種情況：①當點5,E,尸在同一條直線上，且點￡在線段所上時，②當點5,E,F在

同一條直線上，且點3在線段E尸上時，先利用勾股定理求出超的長，再求出所的長，由此即可得.

【詳解】⑴解：①:四邊形A5CD和四邊形短“都是矩形，

???ZBAE=ZDAG=90%

VAD=2AB,AG=2AE,

.ABAE1

**AD-AG_2J

在「ABE和/XADG中，

ZBAE=ZDAG=90°

<ABAE，

AD~AG~2

???乙ABEs乙ADG,

.BEAB_1

**5G-AD-2?

DG=2BE,

故答案為：DG=2BE.

②如圖，延長郎，交DG于點H,

*.?ZDAG=90°,

：.ZADG+ZAGD=90°,

由(1)①已證：△ABES^ADG,

：.ZABE=ZADG,

：.ZAB石+ZAGD=90。，

：.ZBHG=90°,

：.DG工BE,

故答案為：DG工BE.

(2)解：(1)中結論還成立，證明如下:

四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，

:.ZBAD=ZEAG=90°,

：.ZBAD-ZEAD=ZEAG-ZEAD,即/B4￡=/D4G,

AD=2AB,AG=2AE,

.AB-_1

**AD-AG-2?

在‘鉆石和/XADG中,

ZBAE=ZDAG

ABAE1,

AD~^G~2

：.AABEsAADG,

BE_AB_1

ZABE=ZADG,

DG~AD~2

:.DG=2BE,

如圖，延長班\交AD于點M,交。G于點H,

???ZDHM=180O-ZADG-ZDMH

=180°-ZABE-ZAMB

=ZBAM

=90°,

???DGYBE.

(3)解：①如圖，當點3,E,廠在同一條直線上，且點￡在線段3尸上時,

???四邊形AEFG為矩形，

AE//FG,BFLFG,EF=AG,

???AE^BF,

：.ZAEB=90°,

VAB=4,AE=a,

BE=VAB2-AE2=3，

由（2）已證：DG=2BE,

：.DG=6,

又?:AG=2AE=2幣,

EF=2而,

BF=EF+BE=2幣+3;

②如圖，當點8,E,尸在同一條直線上，且點8在線段砂上時,

同理可得：BE=3,EF=AG=2AE=2g,

:.DG=2BE=2x3=6,BF=EF-BE=2幣-3,

綜上，DG=6,BF=2幣+3或BF=2近-3.

19.(1)PB=1；

小、于七PE717

⑵不變，而F；

(3)①姮；@^-2V2

22

【分析】(1)證明△尸BEs△召C。，根據相似三角形的性質即可求解；

PE1

(2)過點。作。HJLBC于點同(1)可證PBEsEHQ,根據相似三角形的性質求出豆=],

根據勾股定理求出PQ=后PE,即可求解；

(3)①連接過M作于a,于F交CD于G,證明PMFWQMG,得出

3

MF=MG,可證明AB〃血H〃CD,利用平行線分線段成比例可求出CH=8H=5,根據勾股定理可

得出E"-]|-11=C"-0,則山=余+2,故當90最小時，CM最小,根據直角三角形

斜邊中線的性質得出EM=(PQ,則轉化為求尸。的最小值，當P。與FG重合時，P。取最小值為3,

即可求解；

②由①可知M在直線上運動，當尸Q1AB時，M運動到最低點，當P運動到A和。在。處時,

M運動到最高點，即最高點為最低點為則M運動的路程長為2初外,如圖，延長M陷交AZ)

于N,可得四邊形例是矩形，則而=4V=4,同理①可證AM=DV,根據三角形中位線定理可

求出必2=14=(,證明.BEPsCQE,可求出CQ=7L同理證明四邊形CQWH是矩形，得出

MH=CQ=sl2,然后根據線段的和差求出跖％,即可求解.

【詳解】(1)解：???矩形ABCD,AB=4,BC=3,

AB=DC=4,AD=BC=3,ZB=Z.C=90°,

,:BE=1,

：.EC=2,

?：PEA.QE,

：.ZPEQ=90°,

ZPEB+ZQEC=ZQEC+ZEQC=90°,

:.ZPEB=ZEQC,

???APBEsAECQ,

?_PB__BE

??訪一&'

?PB-1

??7一"

APB=~；

2

(2)解：過點。作于點”，

ZQHE=ZQHC=90°,

???四邊形A5CD為矩形，

???ZC=ZD=ZA=90°,

???四邊形均為矩形,

：.QH=CD=4f

同（1）得PBEsEHQ,

?_P__E____B_E____1

?,衣一麗一拼

PQ=^QE2+PE-=yfnPE，

.PEA/H

>?---=----;

PQ17

(3)解：①連接過“作MWLBC于H,叱,至于尸，交C。于G,

則四邊形BCGb是矩形，

:.FG=BC=3,

??,矩形ABCD,

：.AB//CD,

：.ZPFM=ZQGM=90°,

???M是尸。中點，

PM=QM,

又/PMF=/QMG,

PMF"QMG,

:,MF=MG,

.：MHIBC,ZB=ZC=90°,

：.AB//MH//CD,

.BHFM

??屈一而一'

3

CH=BH=~,

2

"?MH2=EM2-EH2=CM2-CH2,BP=CM2-^

CM2=EM2+2,

.?.當EM最小時，CM最小，

?：PE1QE,/是P。中點，

EM=；PQ,

:當PQ與尸G重合時，PQ取最小值為3,

3

???91的最小值為

2

???CM的最小值為

故答案為：叵;

2

②解：由①可知M在直線MZ上運動，當尸Q/A5時，M運動到最低點，當尸運動到A和。在。處

時，M運動到最高點，即最高點為“1，最低點為則M運動的路程長為2腦%,如圖，延長腦％

交AD于N,

則四邊形印必B是矩形，

NH=AN=4,

同理可證AZV=DN,

由（1）知，

7

AT\=AB-BP}=~,

???是耳。的中點，

?17

??切\州="

ZPEQ=90°,ZB=ZC=90°,

：.ZBPE=ZQEC=90°-ZBEP,

:?工BEPsCQE,

.BEBPi_ce

?.麗=豆，即透=了，

CQ=A/2（負值舍去），

同理四邊形CQM。是矩形，

MH=CQ=42,

：.MM,=HN-MH-M1N=3-6,

2MM.=2-20,

2

點M的運動路程長為3-2加,

故答案為：|-20.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，全等三角形判定與性

質，點的軌跡的探究等知識，明確題意，添加合適輔助線，探究處點M的運動軌跡是解題的關鍵.

20.⑴見解析

⑵畫圖見解析，?=180°

(3)135°,45°

⑷當a=0°或180°時，DF=BF,當0°<a<180°時，DF>BF,當180°<。<360°時，DF<BF

【分析】(1)連接AC3D,根據題意，當夕=0。時，AG,AD重合，AE,AB重合，由正方形的

性質可得/叢8=/。3=45。，則ARAC重合，根據正方形的性質可得AC,2。垂直平分，即可得到

DF=BF；

(2)由(1)知，當點尸在3D垂直平分線上時，則D尸=3尸，可得除圖1外，當點尸在C4延長線

上時，滿足DF=BF,根據正方形的性質即可求出

(3)根據題意可得點尸在以點A為圓心，正方形AEFG對角線的長為半徑的圓上運動，結合圖形可

得當3Ap三點共線時，。廠由最大值，同理可得當4民/三點共線時，3斤有最小值；由此即可解

答；

(4)由(1)(2)知，&=0。或180。時，DF=BF；畫出示意圖，結合圖形根據三角形大角對大邊，

即可解答.

【詳解】(1)證明：如圖，連接AEACB。，

當。=0。時，則重合，重合,

?/四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形,

ZFAB=ZCAB=45°,

：.A￡AC重合,

AC,3。垂直平分,

，DF=BF；

(2)解：由(1)知，當點尸在3〃垂直平分線上時，則

當點P在C4延長線上時，滿足。尸=3尸，

如圖：

則/C4D=/E4G=45。，即。AG三點共線，點G在ZM延長線上,

A?=180°；

(3)解：根據題意可得點尸在以點A為圓心，正方形AEPG對角線的長為半徑的圓上運動,

如圖，當RA廠三點共線時，DF由最大值，

此時，a=ZDAG=180°-ZGAF=135°；

同理，如圖，當A8產三點共線時，B尸有最小值,

D