2025年中考數學專題訓練：反比例函數

一、單選題

1.從1,-2,3這三個數中隨機抽取兩個不同的數，分別記作加和〃.若點A的坐標記作（祖,”），則

點A在雙曲線>上的概率是（）

A.—B.；C.—D.—

3236

2.定義：若一個函數圖象上存在橫坐標是縱坐標2倍的點，則稱該點為這個函數圖象的“倍值點”.下

列函數圖象上不存在“倍值點”的是（）

111

A.y=-x+\B.y=-C.y=x2-xD.y=-x

2xJ2

k

3.若反比例函數>=勺的圖象位于第一、三象限，則關于x的一元二次方程必一乙一上=。的根的情況

X

是（）

A.有一個實數根B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根D.沒有實數根

4.點（2a—1,乂）、（凡為）在反比例函數y=￡（左>0）的圖象上，若。<必<丫2,則。的取值范圍是（）

A.a<\B.a>lC.a<-lD.a>-l

g

5.如圖，函數*=x（x“）與必=—（x>0）的圖象相交于點A,直線x=2與必和y?分別交于點8,C,

X

下列說法中錯誤的是（）

A.兩函數圖象的交點A的坐標為（3,3）

B.當x>3時，

C.當尤=2時，BC=—

2

D.當x逐漸增大時，為隨著尤的增大而增大，為隨著龍的增大而減小

6.如圖，矩形ABCD的對角線經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數

y=的圖象上，若點A的坐標為則左的值為（）

y

C.4D.-4

7.已知y是x的函數，若存在實數當時，y的取值范圍是的"w加（t>o）.我

們將稱為這個函數的“級關聯范圍”.例如：函數y=2無，存在加=1,77=2,當1VXW2時，

2<y<4,即/=2,所以14尤42是函數>=2x的“2級關聯范圍”.下列結論：

①14無43是函數y=-x+4的“1級關聯范圍”；

②0VxV2不是函數y=Y的“2級關聯范圍”；

③函數y=-（k>0）總存在“3級關聯范圍”；

X

④函數y=一尤2+2尤+1不存在“4級關聯范圍”.

其中正確的為（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

二、填空題

8.反比例函數>=-三7（尤>0）的圖象在第象限.

9.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單位：Q）是反比例函

數關系，當火=3。時，/=4A,那么當A=6Q時，1=A.

10.在平面直角坐標系中，函數y=4（x>o）與y=x+l的圖象交于點尸（。8）,--7=^,則上的值

xab2

為.

11.如圖，在平面直角坐標系中，線段A3的兩個端點坐標分別為A（2,l）,5（2,5）,點尸（2#在線段A3

上（不與端點重合）.將線段依繞點P順時針旋轉90。，得到線段尸2.若點。在反比例函數y=3的

圖象上，則/的值為.

k

12.如圖，點A在反比例函數y=、（％N0,x<0）的圖象上，AB人x軸，垂足為點5,點C在x軸的正

則上的值為

13.如圖，在口ABC。中，軸，A（l,2）,D（O,1）,反比例函數y=：（左w0）的圖象經過點C,

XX

三、解答題

15.如圖，反比例函數y=:僅聲0）的圖像經過點（2,4）和點A（a,2）.

⑴求該反比例函數的表達式和點A的坐標;

（2）若將點A先向左平移根（〃〉0）個單位長度，再向下平移加個單位長度后，得到的點仍落在該反比

例函數的圖象上，求優的值.

k

16.已知一次函數弘=2x+m的圖象與反比例函數為=?左>0)的圖象交于A,B兩點.

⑴當點A的坐標為(2,1)時，求優,女的值；

(2)將一次函數％=2尤+根的圖象沿y軸向下平移4個單位長度后，使得點A,8關于原點對稱，求機

的值.

17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=x+2的圖象與反比例函數y=f優工0)的圖象交

于第一、三象限內的48兩點，點8的坐標為(-4,〃).

(1)求n的值和反比例函數的解析式；

(2)若0<±<x+2,求尤的取值范圍.

k

18.已知直線/：y=-x+5與雙曲線》=—的圖象交于A,8兩點，且48=30.

x

(1)求雙曲線的解析式；

(2)將直線/平移得，=-工+"當平移后的直線與雙曲線沒有公共點時，直接寫出6的取值范圍.

⑶直線x=r(t>0)交雙曲線于M,交線段于N,求面積的最大值.

19.如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數y=x的圖象與反比例函數>=：(左wo,x>o)的圖象在

第一象限內相交于點4將正比例函數的圖象向下平移3個單位長度后，與反比例函數的圖象在第一

象限內相交于點3(4,加)，連接

/

(1)求反比例函數的表達式.

(2)在x軸上是否存在點P,使得△海的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理

由.

20.如圖①，將一長方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放實驗，記錄了桌面所受壓強P

F

與受力面積S的數據關系如下表所示(壓強的計算公式是：P=g)：

桌面所受壓強

250400500800

P(Pa)

受力面積S(m2)0.80.5a0.25

60cm

圖①圖②

⑴求出壓強P(Pa)關于受力面積S(m2)的函數表達式及a的值；

(2)如圖②，將另一長、寬、高分別為40cm,10cm,60cm,且與原長方體相同質量的長方體放置于

該水平玻璃桌面上.若玻璃桌面能承受的最大壓強為3000Pa,問：這種擺放方式是否安全？若安全，

請說明理由，若不安全，請通過計算說明如何擺放更安全.(長方體完全置于玻璃桌面上)

《2025年中考數學專題訓練：反比例函數》參考答案

題號1234567

答案AACBBBA

1.A

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，反比例函數的性質.

根據題意列出表格，數出所有的情況數和符合條件的情況數，在根據概率公式即可解答.

【詳解】解：根據題意列出表格如下：

1-23

1(-2)(1,3)

-2(々I)(-2,3)

3(3」)(3.-2)

(-2,3)、(3,-2)在雙曲線y=圖象上，

由表可知，一共有6種情況，點A在雙曲線上的情況有2種,

.?.點A在雙曲線，="上的概率=叁=1,

x63

故選：A.

2.A

【分析】本題考查了新概念，函數圖象上點的坐標特征,解方程等知識,理解新概念“倍值點”是關鍵.根

據題意，存在“倍值點”的函數圖象上點(x,y)滿足y=j即為、,?；把此點坐標分別代入四個選項

中的函數式中，若方程無解則函數圖象上不存在“倍值點”，即可求解.

【詳解】解：根據題意，存在“倍值點”的函數圖象上點(x,y)滿足y=].

把點(無，,代入y=；x+l,得2=(x+l,此方程無解；

把點代入＞=得5=1,解得X=四或彳=-后；

把點代入y=尤2-X,得]=/一無，解得尤=0或了=:

把點代入V=得3等式恒成立，X可為任意值，

故選A.

3.C

【分析】本題考查反比例函數的圖象與性質，一元二次方程根的判別式等知識，先根據反比例函數

k

y=-的圖象位于第一、三象限求出k的取值范圍,再求方程x2-kx-k=o根的判別式并判斷其符合，

X

從而得解.

【詳解】解：.?.反比例函數>=七的圖象位于第一、三象限，

X

:.k>0,

:.A=k2+4k>0，

?,?該方程有兩個不相等的實數根，

故選C.

4.B

【分析】此題考查了反比例函數的性質，解題的關鍵是熟悉反比例函數的增減性，當化>0,在每一象

限內y隨工的增大而減小；當左<0,在每一象限內y隨x的增大而增大.

反比例函數中無>0,則每一象限內y隨工的增大而減小，由于得至！JO<2a-lva,從而得

到a的取值范圍.

k

【詳解】解：：在反比例函數y=A（左>。）中，

X

；?反比例函數圖象在第一，三象限，且在每一象限內y隨x的增大而減小，

°<%<%，

這兩個點在第三象限，

0<a<2。一1,

解得：a>1,

故選：B.

5.B

【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、反比例函數圖象上點的坐標特征、正比例函數的

性質以及反比例函數的性質,A聯立兩函數解析式求解即可得出答案;反觀察函數圖象，可找出當x>3

時，C.利用一次函數圖象上點的坐標特征及反比例函數圖象上點的坐標特征，可求出點8,

C的坐標，進而可得出8C=M；D.利用正比例函數的性質及反比例函數的性質，可得出答案.

乂="隆=3r%=-3

【詳解】解：A9,解得：3或。（舍去）

%=-。=3[y=-3

Ix

點A的坐標為（3,3）,說法正確，故選項A不符合題意；

B.觀察函數圖象，可知：當x>3時，%>%，原說法錯誤，故選項B符合題意;

C.當尤=2時，M=2,%=1=4.5,.?.點2的坐標為（2,2）,點C的坐標為（2,4.5）,BC=4.5-2=2.5,

原說法正確，故選項C不符合題意；

ZT.T>0,.?.當X逐漸增大時，%隨著X的增大而增大；

=9>0,JLx>0,

???當X逐漸增大時，上隨著X的增大而減小，原說法正確，故選項。不符合題意，

故選:B.

6.B

【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質，反比例函數比例系數的幾何意義.設分別于x

軸交于點E,G,8C,AT）與y軸交于點RH,可得邊形CR9G,MORA既汨。GOH均是矩形，

從而得到SsBCD=S^BOF=S&BOE，SdDOG=Sj30H進而得到S矩形CFOG二S矩形AEOH,再由反比例函數比

例系數的幾何意義，即可求解.

【詳解】解：如圖，設分別于"由交于點5G,與y軸交于點RH,

???四邊形ABCD是矩形，矩形的邊分別平行于坐標軸,

???ZFCG=ZCFO=ZCGO=90°,SBCD=5小，

???四邊形CR9G是矩形，

同理四邊形BEOF,AEOH,DGOH均是矩形，

—cq—c

?,。ABOF一0&BOE，°&DOG~0&DOH，

,,S矩形CFOG-S矩形AEO”，

點c在反比例函數y=-與的圖象上，點A的坐標為（-1,-1）,

2x

/.——=1x1,

2

解得：k=-2.

故選：B

7.A

【分析】本題考查了新定義，一次函數的性質，反比例函數的性質，二次函數的性質.

推出y=-x+4在時，即f=l,即可判斷①；推出y=爐在0VxV2時，

kk

即仁2,即可判斷②；③設當。V機4x4〃，則一WyW—,

nm

k

—=3m

當函數y=K化>o）存在“3級關聯范圍，，時;，整理得_L=3,即可判斷③；^m<x<n<\,

xK-mn

-=3〃

—rn2+-1-1-4A77

{-M2+2/1+1=477

求出相和〃的值，即可判斷④.

【詳解】解：①當X=1時，y=-x+4=3,當x=3時，y=-尤+4=1,

Va=-l<0,

隨尤的增大而減小，

y=—x+4在143時，即，=1,

...1WXV3是函數y=-x+4的“I級關聯范圍”；故①正確，符合題意；

②當x=0時，y=x2=0,當x=2時，y=x2=4,

=f對稱軸為y軸，?=1>0,

.,.當xNO時，y隨x的增大而增大，

y=x?在04x42時，0VyV4,即f=2,

；.0VxV2是函數y=Y的“2級關聯范圍”，故②不正確，不符合題意;

③：k>0,

，該反比例函數圖象位于第一象限，且在第一象限內，y隨x的增大而減小.

設當。（機則與4y4巴,

nm

k.

—=3m

當函數y=?左>0）存在“3級關聯范圍”時<n

k

——=3n

k

整理得：—=3,

mn

Vk>0,Q<m<x<n,

k

???總存在一=3,

mn

???函數>=：（左>0）總存在“3級關聯范圍”；故③正確，符合題意;

A

④函數y=-f+2x+l的對稱軸為>=-『=：!,

2a

*.*a=—1<0,

.,.當X<1時，y隨X的增大而增大，

設〃zVxV72<1,則-nr+Im+1<y<-n2+2H+1,

-m2+2m+1=4m

當函數y=-丁+2x+1存在“4級關聯范圍”時,

—n2+2〃+1=4n

m=-1-A/2

解得：

n=-1+5/2,

.?.一1一夜<彳4_1+血是函數丁=一/+2苫+1的“4級關聯范圍”,

；?函數y=-f+2x+l存在“4級關聯范圍”，故④不正確，不符合題意；

綜上：正確的有①③，

故選：A.

8.四

【分析】本題考查了反比例函數圖象的性質，掌握反比例函數圖象的性質是關鍵.

根據反比例函數解析式，反比例函數圖象的性質求解即可.

【詳解】解：反比例函數>=-誓(x>0)中，一2025<0,

；?圖象經過第二、四象限，

當x>0時，反比例函數圖象在第四象限，

故答案為：四.

9.2

【分析】本題主要考查反比例函數的圖象與性質，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵;

由題意可設R=。，然后可得左=12,進而問題可求解.

【詳解】解：由題意可設R=。，把R=3。時，/=4A代入得：左=12,

???可，

12

把H=6Q代入得：Z=—=2A；

6

故答案為2.

10.2

【分析】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，巧用整體思想是解題的關鍵.

根據題意，將點P坐標分別代入反比例函數及一次函數解析式，再結合整體思想即可解決問題.

【詳解】解：由題知，將點尸坐標分別代入反比例函數及一次函數解析式得，

ab=k,b=a+1,

又

?ab2,

b-a_1

ab2'

則鴻，

:.k=2.

故答案為：2.

11.2

【分析】本題考查了旋轉的性質，反比例函數圖形的性質，掌握旋轉的性質，反比例函數圖象的性質

是關鍵.

根據題意。（7-夕），代入計算即可.

【詳解】解：:4（2,1）,5（2,5）,

/.4811y軸，

VP（2,f）,

BP=5—t=PQ,

?'?Q（2+5—,即。（7—/,?）,

?.?點。在反比例函數）=里的圖象上，

X

**?~——t,整理得，i1—7^+10=0,

7T

解得，。=2,才2=5,

當r=2時，P（2,2）,當r=5時，尸（2,5）,與點5重合，不符合題意，舍去，

；??=2,

故答案為：2.

12.-4

k

【分析】本題考查反比例函數y=1（左。0）的G的幾何意義，如圖，連接AO,由于05:00=2:3,

7?k

根據三角形面積公式得到S^=-XS=-X5=2,再根據反比例函數y=—的人的幾何意義得到

AA5AABC5x

陽=2%05=4,然后利用反比例函數的性質得到上的值.解題的關鍵是掌握：過反比例函數圖象上

任意一點分別作X軸、）軸的垂線，則垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為悶是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接49,

,：OB.OC=2:3,VABC的面積為5,

,22

,,SRAOB=gxS/^ABC=Mx5=2,

「?|對=25AAQB=4,

k=+4,

k

??,反比例函數y=的圖象在第二象限，

：.k<0

k=-4,

即左的值為-4.

故答案為：-4.

13.（3,2）

【分析】本題主要考查坐標與圖形、平行四邊形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征等知識點,

熟練掌握相關性質是解題關鍵.

設AE=a,則AB=3AE=3a,根據平行四邊形的性質，結合點A、。坐標可得C（3a,l）,E（a+1,2）,

根據反比例函數圖象上點的坐標特征得出3a=2（々+1）,解方程求出〃的值即可解答.

【詳解】解：設AE=〃，

■:BE=2AE,

AB=3AE=3a,

:在QABCD中，軸，A（l,2）,0（0,1）,

：.CD=AB^3a,C（3o,1）,磯a+1,2）,

k

:反比例函數y=：（左wO）的圖象經過點C,

3。=2（。+1）=左，解得:a=2,

￡（3,2）,

故答案為：（3,2）.

14.3

【分析】本題考查反比例函數與幾何圖形的綜合應用.熟練掌握反比例函數中上的幾何意義，是解題

的關鍵.延長54交y軸于點D,根據反比例函數上值的幾何意義得到以皿,=:x2=1,S矩形℃BZ>=4,

根據四邊形ABCO的面積等于SmBD-S^ADO,即可得解.

2

???點A在函數y=—(x>0)的圖象上，

x

1,SAADO=5x2=1,

4

??,5。，1軸于點。軸，點5在函數y=—(%>0)的圖象上，

x

,?§矩形OCBD=4,

?'?四邊形ABCO的面積等于S矩形"Bo-SAA0O=4-1=3,

故答案為：3.

15.(l)y=：,A(4,2)

(2)機的值為6

【分析】本題主要考查反比例函數的性質、平移的性質和解一元二次方程，

(1)根據待定系數法求得反比例函數解析式，將點代入即可求得。；

(2)根據平移的性質得到平移后點的坐標(4-私2-租)，再將點代入反比例函數解一元二次方程即

可求的m.

【詳解】(1)解：將點(2,4)代入、=￡伏#0),得％=2x4=8,

Q

二反比例函數的表達式為y=9.

X

Q

將點A(a,2)代入y=9,得a=4,

X

.??點A的坐標為(4,2).

(2)解：將點A先向左平移租(機>0)個單位長度，再向下平移機個單位長度后，

則所得點的坐標為(4-私2-m).

Q

將點(4—辦2—町)代入y，得(4一㈤(2-㈤=8,

解得根=0(舍)，或加=6.

故加的值為6

16.(l)m=-3,k=2

(2)m=4

【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的綜合，熟練掌握待定系數法求解析以及反比例函數的性

質是解題的關鍵.

(1)待定系數法求解析式即可；

(2)根據正比例函數的中心對稱性即可求出加的值.

【詳解】⑴解：將點42,1)代入一次函數％=2%+根，

得4+機=1,

解得m=-3,

k

將點42,1)代入反比例函數%=—,

x

得k=2x1=2；

(2)解：一次函數弘=2工+根的圖象沿丁軸向下平移4個單位長度后，可得y=2%+m-4,

根據題意，得加一4二0,

解得m=4.

17.(D.y=-

X

(2)x>2

【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數形

結合的思想是解此題的關鍵.

(1)先求出點8的坐標，再利用待定系數法計算即可得解；

(2)先求出點A的坐標，再結合圖象即可得出答案.

【詳解】(1)解：:?點8(-4,〃)在直線A3上，

n=—4+2=—2,

3(-4,-2).

V點3(Y,-2)在反比例函數y=：(左片0)的圖象上，

AZr=(-4)?(2)=8,

Q

.??反比例函數的解析式為y=2.

X

y=x+2

(2)解：聯立8

y=一

X

%=-4X=2

解得2

=-2‘=4

...點A的坐標為(2,4).

k

結合函數圖象可知，當。<一<x+2時，x>2.

x

4

18.⑴y=一

x

⑵Tvbv4

⑶§

9

【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，正確理解題意是解此題的關鍵.

y=—x+5

(1)化簡方程組4k,得到％2_5%+左=0,于是得到4+4=5,xA-xB=k,根據A5的長度

y二一

IX

列方程可得結論；

(2)根據題意列方程即可得到結論；

(3)設N&T+5),表示出三角形面積即可得出答案.

y=—x+5

【詳解】(1)解：聯立k,

>=一

IX

??k=1%?+5%，

??—5x+左=0,

...?XA+XB=5,xA-xB=k,(乙一=(/+4)一4%A%B=25—4左，

：.k=4,

._4

.?y=一；

4

(2)解：由題意得直線/向下平移，-尤+6=—，化簡為：-x2+te-4=0,

x

???平移后的直線與雙曲線沒有公共點,

***A=/—4x4<0,

.?.例<4；

(3)解：?.?直線尤=(/>0)交雙曲線于交線段A3于N,

AW〃y軸，

設N&T+5),

Y2丑+5一》W]+：，

Q

d)MN面積的最大值是§.

4

19.⑴丁=一

x

⑵存在，尸(與,。)

【分析】本題考查的是利用待定系數法求解反比例函數的解析式，一次函數的平移，軸對稱最短路徑

問題，掌握以上知識是解題的關鍵.

(1)首先求出點8的坐標，然后利用待定系數法求解即可；

(2)首先聯立表達式求出4(2,2),作點3(4,1)關于x軸對稱的點人連接49交x軸于點尸，即為

所求，然后求出直線的函數表達式為y=-；x+5,令y=。，進而求解即可.

【詳解】(1)正比例函數V=x的圖象向下平移3個單位長度后的函數表達式為>=》-3,

把點3(4,加)代入y=尤-3,得加=4一3=1,

???3(4,1).

把點8(4,1)代入反比例函