2025年春九年級數學中考復習《圖形變換綜合壓軸題》考前沖刺專題訓練(附答案)

1.在Rt△力BC中，N4BC=90。,乙4cB=30。.將△ABC繞點C順時針旋轉一定的角度a得

到ADEC,點/、5的對應點分別是點。、E.

(1)如圖1,當點￡恰好落在47邊上時，求乙4DE的度數；

(2汝口圖2,當a=60。時，點/、E、。在同一條直線上，點尸是邊AC的中點，求證：四邊形

BFDE是平行四邊形.

2.已知在AABC中，AB=AC,BC=4.點D、E分另lj為48、AC的中點.將AADE繞點4逆

時針旋轉得到△力直線與射線C4相交于點F,連接B?、CE'.

⑴當AADE旋轉到如圖1所示位置時，請直接寫出線段BD、CE，的數量關系；

⑵當△AOE旋轉到如圖2所示位置時，D'E'1AC5.CE'=V5,求出AB的長；

⑶當NB4C=60。時，AADE旋轉過程中當點B落在直線上時，請直接寫出CE，的長度.

3.如圖①邊長為a和3的兩個正方形放在直線/上，連接2。、CF,貝=

⑴將正方形。DEF繞點。逆時針旋轉一定的角度，如圖②.4D還等于CF嗎？說明理由.

(2)將正方形ODEF繞點。逆時針旋轉，使點￡在直線/上，如圖③，求CF的長.

4.在等腰直角△力BC中，ZXC5=90°MC=BC,。為直線BC上任意一點，連接力D.將線

段2D繞點D按順時針方向旋轉90。得線段ED,連接BE.

【嘗試發現】

（1）如圖1,當點。在線段BC上時，線段BE與CD的數量關系為；

【類比探究】

（2）當點。在線段8c的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段BE與CD的數量關

系并證明；

【聯系拓廣】

（3）若AC=BC=1,CD=2,過點￡作EM1BC于M,請直接寫出誓的值.

圖1圖2

5.矩形4BCD中，AB<AD,點M,N分別在邊BC,CD上，/.MAN=45°.

⑴如圖1,連接MN,若AM=MN,求證：ABAM三4CMN；

（2）如圖2,若4B==3,DN=2,求翳的值；

（3）如圖3,連接MN,若BM=2,DN=3,MN=50,求力D的長.

6.【綜合實踐】如果兩個等腰三角形頂角相等，且頂角頂點互相重合，則稱此圖形為"手拉

手全等模型因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為"手拉手模型

【問題初探】

（1）△ABC和ADBE是兩個都含有45。角的大小不同的直角三角板，當兩個三角板如圖1所

示的位置擺放時，D、B,C在同一直線上，連接AD、CE,請證明：AD=CE

【類比探究】

(2)AABC和ADBE是兩個都含有45。角的大小不同的直角三角板，當三角板ABC保持不動

時，將三角板DBE繞點8順時針旋轉到如圖2所示的位置，判斷4D與CE的數量關系和位置

關系，并說明理由.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，NBAD=90°,AB=AD,BC=-CD,,BD,^ACD=45°,

4

/到直線CD的距離為7,請求出△BCD的面積.

7.綜合與探究

發現問題：

(1)如圖1,在RtAABC與RtACDE中，zB=zF=^ACD=90°,AC=CD,B,C,E三點、

在同一直線上.若AB=2.5,ED=3.5,則BE=.

提出問題：

(2)如圖2,在RtAABC中，^ABC=90°,BC=2,將AC繞點。順時針旋轉90。得到DC,連

結8D,求ABC。的面積.

靈活應用：

⑶如圖3,在AABC中，將AB繞點4順時針旋轉90。得到2E,將AC繞點4逆時針旋轉90。得到

AG,連結EG,過點4作4"1BC于點“，延長H4交EG于點/.求證：/是EG的中點.

8.【問題背景】

在△ABC中，^ACB=90°,2LABC=a(0°<a<45°),點。，￡分別在線段BC,AC上，將

線段DE繞點。逆時針旋轉180。-2a得到線段DF,求尸落在線段28上.

【問題初探】

（1）如圖1,當a=45。，點E與點C重合時，求證：FB=FA；

【問題提升】

（2）如圖2,當a=45。，點￡在線段力C上時，過點E作EGIIBC,交線段4B于點G,猜想

線段4G與線段BF之間的數量關系，并證明；

【問題拓展】

（3）如圖3,當a745。，點E在線段AC上時，過點￡作GEIIBC,交線段4B于點G,（2）

的結論是否成立，若成立，請證明，若不成立，請寫出新的結論，并說明理由.

9.平面內有一等腰直角三角板（N71CB=90。），直線MN過點2.過點C作CE1MN于點E,

過點B作BF1MN于點F.當點E與點4重合時（如圖①），易證：AF+BF=2CE.

CBC

圖①圖②圖③

⑴當三角板繞點4順時針旋轉至圖②的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予

證明；若不成立，請說明理由；

⑵當三角板繞點4順時針旋轉至圖③的位置時，線段力F,BF,CE之間又有怎樣的數量關系？

請直接寫出你的猜想，不需要說明理由.

10.已知，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.尸是BC邊上一動點（尸不與8、C

重合），將AACP沿2P折疊得AADP,點C的對應點為。.

圖1圖2圖3圖3備用圖

【特例感知】（1）如圖L當點。落在4B上時，求CP的長；

【類比遷移】（2）如圖2,當點。在力B上方且滿足AB=2N8AD時，求CP的長；

【拓展提升】

（3）如圖3,將線段4P繞點/逆時針旋轉90。得4E,連接DE.當△2DE為等腰三角形時,

直接寫出CP長;

11.綜合與實踐已知：乙MBN=90。,在BM和BN上截取84=8C,將線段48邊繞點/逆時

針旋轉a(0°<a<180。)得到線段力。，點E在射線BD上，連接CE,ABEC=45°.

【特例感知】

(1)如圖1,若旋轉角a=90。，則8。與CE的數量關系是

【類比遷移】

(2)如圖2,試探究在旋轉的過程中BD與CE的數量關系是否發生改變？若不變，請求BD與

CE的數量關系；若改變，請說明理由;

【拓展應用】

(3)如圖3,在四邊形4BCD中，AD=AB=BC=5,N2BC=90。，點E在直線BD上,

NBEC=45。，CE=4V2,請直接寫出△CDE的面積.

12.己知：AB1AC,AB=AC,CD1DE,CD=DE,尸為BE中點.

⑴如圖1,點C在BE上，作AEPM,使AEPM與ABPA關于點尸成中心對稱，并證明ADEM=

△DCA；

(2汝口圖2,點C不在BE上，X為力。中點，求證PH14D,PH=^AD-,

⑶如圖3,點N為△ABC內一點，^ANC=135°,若AN+CN=6,且AN不小于3,則BN的

最小值=.

13.如圖1.在平面直角坐標系中，已知直線y=+2與x軸交于點力，與y軸交于點C.過

A,C兩點的拋物線=-2/+b%+c與無軸的另一個交點為點—點p是位于工軸上方的

拋物線打上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線4c于點E,點、F.

F

x

(1)求拋物線刀的解析式；

(2)當EF=4C時，求點P的坐標；

⑶如圖2,將圖1中的拋物線刀向下平移4個長度單位得到拋物線G，點M在直線2C上，線

段MC繞點M逆時針旋轉90。得到線段MN,當點N在拋物線乙2上時，求點M的坐標.

14.如圖，在等腰A/IBC中，AB^AC,^LABC=a,D,E分另Ij在48,8C邊上(點。不與4,B

重合)，將線段DE繞點。逆時針旋轉a后點E的對應點F恰好落在4c上.

CBCB

備用圖

(1)當a=30。時，如圖1,

①求證：AADF=ABED；

②判斷線段BE-4D與4F的數量關系，并證明.

⑵當a=15。時，如圖2,若4D=2,BD=6,直接寫出線段BE的長度

15.綜合與實踐

【情境】在數學綜合實踐課上，同學們以特殊三角形為背景，探究動點運動的幾何問題，如

圖，在△ABC中，點M,N分別為AB,4C上的動點（不含端點），且AN=BM.

圖①圖②

【嘗試】（1）如圖①，當AABC為等邊三角形時，歡歡發現：將M4繞點M逆時針旋轉120。得

到MD,連接8D,則MN=DB,附思考并證明.

【探究】（2）欣欣嘗試改變三角形的形狀后進一步探究：如圖②，在△28C中，AB=AC,

^BAC=90°,AE1MN于點E,交BC于點F,將M力繞點M逆時針旋轉90。得到MD,連接

DB.試猜想四邊形4FB0的形狀，并說明理由.

【拓展】（3）彬彬在（2）的條件下繼續探究：當MNIIBC時，且點E為2尸的中點，直接寫出

四邊形4FBD的形狀.

16.綜合與實踐：開展"矩形的旋轉”數學探究活動，同學們用矩形紙片操作實踐并探索發

現.在矩形紙片4BCD中，AD=2,AB=V3.

【數學思考】如圖1,圓圓將矩形4BCD繞著點D逆時針旋轉得到矩形EFGD,使得點E落在BC

邊上，點力作4”IDE.求證：AADH^ADEC；

【解決問題】如圖2,連結4G,求線段4G的長.

【拓展研究】從圖2開始，圓圓將矩形EFGD繞著點D逆時針轉動一周，若直線ED恰好經過

線段4G中點。時，連結4E,AG,直接寫出AAEG的面積是.

圖1備用圖

17.如圖，二次函數y=-/+6%+c與x軸交于點4(—1,0)和B(5,0),與y軸交于點C.

(1)求二次函數的表達式和直線BC的表達式；

⑵若點D為二次函數的頂點，連接BD、CD,求△BCD的面積.

⑶將(1)中的二次函數圖像平移，使其頂點與坐標原點重合，再將其圖像繞坐標原點逆時

針旋轉90。得到拋物線G,若拋物線G與直線BC交于M,N兩點，點P是拋物線G上位于直線MN

左側一個動點，連接PM,PN,求APMN的面積最大值.

老師讓同學們以“圖形的變換”為主題開展數學活動.

圖1

⑴操作判斷如圖1,將矩形紙片力BCD折疊，使AB落在邊力D上,點8與點E重合,折痕為力尸,

即可得到正方形4EFB,沿EF剪開，將正方形力EFB折疊使邊力B,4E都落在正方形的對角線

4F上，折痕為AG,AH,連接GH,如圖2.根據以上操作，貝UNGA”=

(2)遷移探究

將圖2中的NG4H繞點/按順時針旋轉，使它的兩邊分別交邊BF,FE于點/,J,連接〃，

如圖3.探究線段引，〃，￡/之間的數量關系，并說明理由.

⑶拓展應用

連接正方形對角線BE,若圖3中的NL4J的邊4/,句分別交對角線BE于點K,R,將正方形

紙片沿對角線BE剪開，如圖4,若BK=2,ER=4,請直接寫出KR的長.

19.將正方形4BCD和正方形CGEF如圖1擺放，使。點在CF邊上，M為4E中點,

FE

GG

圖1圖2圖3

(1)連接MD,MF,則容易發現MD,MF間的關系是；

⑵操作：如圖2,把正方形CGEF繞C點順時針旋轉，使對角線CE放在正方形4BCD的邊BC

的延長線上(CG>BC),取線段4E的中點探究線段MD,MF的關系，并加以說明

⑶將正方形CGEF繞點C順時針旋轉任意角度后(如圖3),其他條件不變，(2)中的結論是

否仍成立？直接寫出猜想，并加以證明.

20.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線加曠=61刀2+.一3與太軸交于〃(一1,0)和％(3,0)

兩點.

(1)求拋物線少的解析式.

(2)如圖，將拋物線丫=&/+6乂-3繞點可旋轉180。后得到拋物線皿，，拋物線VV'與x軸交

于另一點Q.

①直接寫出點Q的坐標和拋物線”'的解析式.

②利用①中的結論，當4WXW6時，求拋物線的最大值和最小值.

(3)尸為拋物線爪上的一個動點，點尸的橫坐標為巾(爪>0),以點P為中心作正方形4BCD,

AB=2m,且AB1x軸.

①當拋物線落在正方形內部的點的縱坐標y隨x的增大而減小時，求m的取值范圍.

②正方形ABCD的邊與拋物線只有兩個交點，且交點的縱坐標之差為封，請直接寫出力的

值.

參考答案

1.(1)解：團將△力BC繞點C順時針旋轉一定的角度a得到△DEC,點￡恰好在4C上,

回以=CD,乙ECD=/.BCA=30°,乙DEC=乙ABC=90°,

OCX=CD,

S^CAD=ACDA=|(180°-4ACB)=|x(180°-30°)=75°,

"DE=4DEC-ACAD=90°-75°=15°；

(2)證明：回點尸是邊力C中點，^ABC=90°,

0BF=CF=-AC,

2

^ACB=30°,

i

團48=-AC,

2

團BF=CF=AB,

團將△ABC繞點。順時針旋轉60。得到△DEC,

^BCE=Z.ACD=60°,CB=CE,DE=AB,

團OE=BF,△ACD^\LBCE為等邊三角形，

^\BE—CB,AC=CD,

團點廠為^ACD的邊AC的中點，

ELDF1AC,

在RtAABC和RtACFD中,

(AC=CD

lAB=CF'

0RtACFD三Rt△XSC(HL),

ELDF=BC,

ELDF=BE,

又回DE=BF,

回四邊形BEDF是平行四邊形.

2.(1)解：ABAC,點、D、E分別為4B、AC的中點，

11

AD=AE=-AB=-AC,

22

???△ADE繞點/逆時針旋轉得到△AD'E',

???/-BAC=ND'AE',AD=ADr,AE=AE'

???^BAD'=/.CAE',AD'=AE'

AB=AC

I￡AABD'^WLACE'^\^BAD'=/-CAE',

、AD'=AE'

???ABD'22ACE'

BD'=CE'-,

(2)解：如圖，延長AD，交BC于點G

???AC平分ND'AE，，

???乙DAD'=^D'AF=^E'AF

AB=BC,BC=4

???AG1BC,BG=GC=2

■：BD'=E'C=V5,

D'G=JBD,2-BG2=1,

設4D=x,貝i]2B=2x

在Rt△AGB^AG2+BG2=AB2

即(％+1)2+22=(2x)2,

5

???X=-,

3

.「10

AB=—；

3

(3)解：癡+1或舊一1

由(1)知ABD'△-△ACE，，

BD'=CE',

???點。、E分別為48、AC的中點,

11

???DE=-BC=-x4=2,

22

如圖，當點B在的延長線上時,

^D'AE'=60°,

AD'=AE',

??.△AD'E'是等邊三角形，

???^AD'E'=Z-AE'D'=60°,

AAAD'B=AE'C=120°,

???/.CBE'=60°,

過點C作CG1BE'于點G,

ZCG￡,=90°,

Z.E'CG=30°

設CE'=BD'=a,

E'G^-CE'a,CG=—a,BE'=a+2,

222

■.BGBE'-E'G=-a+2,

2

-??BG2+CG2=BC2,

?0+2）2+ga『=16,

解得a=V13-1或a=-V13-1（舍去），

CE'=V13-1；

如圖，當點B在ZTE，的延長線上時，過點B作1CE，于點兒

同理可得NBE'C=60。，BE'=V13-1,

CE'=BDr=BEr+DE=V13-1+2=V13+1,

綜上CP的長度為履-1或同+1.

3.(1)解：AD=CF,理由：

如圖①在^CF。和△Z。。中，

OC=DA

^LCOF=Z.AOC,

.OF=OD

0ACFO三△AD。(SAS),

團4。=CF,

將正方形。DEF繞點。逆時針旋轉一定的角度，如圖②.AD=CF成立，理由:

團四邊形ZBC。和。。EF者R是正方形

團4。=。。，OD=OF,/-AOC=^DOF=90°,

團NZOC+乙COD=4DOF+(COD.

團NA。。=乙COF.

(AO=CO

在△4。。和△C。尸中，\^AOD=/.COF

(OD=OF

0ACF。三△AD。(SAS).

團4。=CF.

(2)解：由(2)得：CF=AD,

連接DF交。E于G,

EOA

F

回四邊形。DEF都是正方形.

團。F10E,DG=0G.

團正方形ODEF的邊長為魚

團。E=y[20D—V2XV2=2.

回0G=0G=1.

團正方形A8C。的邊長是3

團4G=AO+OG=4.

團/￡)=y/AG2+DG2—V42+l2=V17.

團CF=AD=V17.

4.解：(1)過點E作EM1CB延長線于點M,

由旋轉的性質得/。=DE/ADE=90°,

???AADC+乙EDM=90°,

???乙ACB=90°,

???乙ACD=乙DME,乙ADC+Z.CAD=90°,

Z.CAD=乙EDM,

/.AACD三△DME(AAS),

??.CD=EM,AC=DM,

???AC=BC,

??.BM=DM—BD=AC-BD=BC-BD=CD,

??.BM=EM,

???EM1CBf

■.BE=V2EM=V2CD,

故答案為：BE=V2CD；

(2)BE=V2CD,理由如下：

過點E作EM1CB于點、M,

A

由旋轉的性質得4D=DE,^ADE=90°,

???乙ADC+乙EDM=90°,

???/-ACB=90°,

???乙ACD=乙DME,乙ADC+乙CAD=90°,

Z.CAD=乙EDM,

/.△ACD三△DME（AAS）,

??.CD=EM,AC=DM,

???AC=BC,

??.DM=BC,

??.DM-CM=BC-CM,

???CD=BM,

??.EM=BM,

???EM1CB,

BE=V2￡M=V2CZ）；

（3）如圖，當點。在CB延長線上時，過點E作EM1CB延長線于點M,

由（2）得DM=AC=1,EM=CD^2,

???CM=CD+DM=3,

???CE=VCM2+EM2=V13,

EM_2_2V13

,,CE-V13-13，

當點。在BC延長線上時，過點E作EM1CB于點M,

A

同理可得：AACD三ADME,

??.DM=AC=lfME=CD=2,

CM=2-1=1,

CE—V22+l2=V5,

EM_2_2A/5

'演=后=w

綜上所述，吧=2或越.

CE135

5.(1)解：如圖，AM=MN,AMAN=45°,

AAAMB+乙CMN=90°

而“MB+Z.BAM=90°

貝"BAM=乙CMN,

又IM8CD是矩形，

=ZC=90°,

?-.ABAM=△CMN.

(2)解：如圖，由4B=AD,將AADN繞點4順時針旋轉90。，得AAN'B

貝1J4V=4N',DN=BN'=2

乙N'AB=乙NAD

貝UNAMM=乙NAM=45°

又???AM=AM

.-.AAN'M=AANM

???MN=MN'=ND+BM=5,

設2D=AB=BC=CD=x,由NC=90°

0MC2+NC2=MN2.

即(x—3)2+(x-2)2=52.

則=-1(舍去)a2=6

???AM=3瓜AN=2V10

AM_3V2

麗=—

(3)解：如圖，△4DN繞點4順時針旋轉90。,得AAEN'

乙NAD=NN2E貝ikN'AM=NM4M=45°

又AM=AM

?■?AAN'MdANM

：.N'M=NM=5V2

作MF1"E交N'E的延長線于點尸

??.N'F=3+2=5

???MF=J(5近尸-52=5

BE=MF=5

設力D=AE=x,由AB=CD,AD=BC,zC90°

得(x-8)2+(x-2)2=(5V2)2

則的=1(舍去)%2=9

AD=9.

6.解：（1）團△ZBC和是兩個都含有45。角的大小不同的直角三角板,

^/-DBE=乙ABC=90°,AB=BC,BD=BE,

0ADBA三△EBC(SAS),

團4。=CE；

(2)AD=CE,AD1CE,理由如下：

^DBE=/-ABC=90°,

^DBA=乙BCE=90°-乙DBC,

團48=BC,BD=BE,

[?]△DBA=△EBC(SAS),

回/。=CE,Z-ADB=乙CEB；

延長/。與CE交于點。，

^BDE+乙BED=90°,

^BDE+乙BEC+Z.CED=90°,

^BDE+乙ADB+乙CED=90°,

0ZODE+Z.OED=90°,

團4。=90°,

團4。1CE；

(3)過/作AC1AM交CO延長線于M,過/作4V1CD交CD于N,

C

回入4CD=45°,

團4AC。=/_M=45°,

團4c=AM,

^BAD=90。,AB=AD

^BAC=^LDAM=90°-ADAC,

0AXBC=AXDM(SAS),

汕C=DM,4ACB=ZM=45°,

^BCD=Z.ACB+“CD=90°,

團點4到直線CO的距離為7,

團4N=7,

團4c=AMf

團CM=2AN=14,

3

^\BC=-CD,CM=BC+DM=BC+CD,

4

團BC=6,CD—8,

回S"co=]BC,CD=5X6x8=24.

7.(1)解：=ZE=^ACD=90°,

團NA+乙ACB=90°,乙DCE+乙ACB=90°,

^\Z-DCE=Z-A,

團4c=CD,

[?]△ABC=△CED(AAS),

團48=CE=2.5,BC=ED=3.5,

團BE=BC+CE=6,

故答案為：6.

(2)解：過點。作交BC延長線于點E,

由題意得，(ABC=^LACD=Z.E=90°,AC=DC,

回乙A+乙ACB=90°,乙DCE+乙ACB=90°,

^\Z-DCE=Z.Ay

團4c=CD,

回△ABCCED(AAS),

團BC=ED=2,

回SABCD=I^C-ED=2.

(3)證明：過點E作EMLH/交用延長線于點M,過點G作GN1HI交HI于點N,

0ZM=乙BAE=乙BHA=90°,4GNA=Z.GAC=乙AHC=90°,

由旋轉可得，AE=AB,AG=AC,

AEMA幺A”B(AAS),AGNAdXWC(AAS),

WM=AH=GN,

又［3NM=AGNI=90°,4MIE=乙NIG,

0AEMISAGNI(AAS),

SEI=GI,

團/是EG的中點.

8.(1)證明：如圖，連接EF

當a=45。，點E與點C重合時，ZX5C=45°,NEDF=180。-2a=90。

由旋轉可得，DE=DF

HADEF是等腰直角三角形

^DEF=4DFE=45°

0ZDEF=AABC=45°

^\FB=FE

^ACB=90°

團乙4EF=ABAC=45°

團凡4=FE

^\FB=FA

(2)AG=2BF

證明：如圖，過點。作DMIBC,交ZB于點M,連接EM

A

團當a=45。，點￡在線段ZC上時，乙48c=45。，AEDF=180°-2a=90°

^BMD=45°,乙MDB=乙EDF=90°

^ABC=乙BMD=45°

=DB,乙EDM=LFDB,

由旋轉可得，DE=DF

0AEDM三△FOB(SAS)

團ME=BF,乙DME=(DBF=45°

回匕GME=乙DMB+乙DME=90°

0EG||BC

團4AGE=LABC=45°,乙AEG=4ACB=90°

^MGE=乙MEG=45°,/-MAE=乙MEA=45°,

團MG=ME,MA=ME

團4G=2ME

團4G=2BF

(3)成立

證明：如圖，在線段上取點M,使DM=DB,取4G中點N,連接EM,EN

BDC^DMB=乙DBM=a,=2NE

團乙MDB=180°-2a

回乙MDB=乙EDF

團4EDM=乙FDB

由旋轉可得，DE=DF

EDM三△尸DB(SAS)

團ME=BF,Z-DME=(DBF=a

^\Z-BME=2a

回EG||BC

團GE=乙ABC=a,乙AEG=乙ACB=90°

團N是AG的中點，

團NG=NE,AG=2NE

國匕NGE=乙NEG=a

團Z_ENM=2a,乙ENM—Z-BME=2a

團NE=ME,

團4G=2BF

9.(1)解：AF+BF=2CE仍成立，

證明：如圖，過B作8"J.CE于點H,

C

團四邊形EFB”是矩形，

團BF=HE,

^BCH+/-ACE=90°,

又團在Rt^ACE中，/LACE+/.CAE=90°,

^\Z-CAE=乙BCH,

又EL4C=BC,/.AEC=乙BHC=90°,

0A4CEdCBH(AAS).

0C//=AE,BF=HE,CE=BH,

0XF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC；

(2)解：不成立，線段4F、BF、CE之間的數量關系為：2CE=AF-BF,

證明：如圖，過點B作BG1CE,交CE的延長線于點G,

回四邊形EFBG是矩形，

0BF=GE,

EZBCG+AACE=90°,

又回在RtAACE中，^ACE+^CAE=90°,

B/.CAE=/.BCG,

又EL4c=BC,^AEC=乙BGC=90°,

SAACESACBG(AAS).

團CG=AE,CE=BG,

團AF-BF=AE+EF—BF=CG+EF—GE=CE+EF=2EC.

10.解：(1)???Zf=90°,

AC=3,BC=4,

???AB=Vi4C2+BC2=V32+42=5,

由折疊得：AD=AC=3,DP=CP,AADP=Z.C=90°,

???乙BDP=90°,

BD=5-3=2,

設則=BP=4-x,

在Rt^BDP中，DP?+BD2=BP?,

?,?%2+22=(4—%)2,

解得：x=l，

CP=-；

2

(2)如圖，延長Z。、尸8交于M,

A

c二PB一M?.乙4BC=4BAD+zM,

乙ABC=2Z.BAD,

???Z.BAD=Z.M,

BM=AB=5,

CM=BC+BM=4+5=9,

在RtAACM中，AM=>JAC2+CM2=V32+92=3A/10,

ADM=AM-AD

=3V10-3,

設CP=x,貝ljDP=比，PM=9-x,

在RtAPDM中，

DP2+DM2=PM2,

2

???x2+(3V10-3)=(9-x)2,

解得：%=Vio-1,

CP=Vio-1；

(3)由旋轉得：AE=AP,

/.PAE=90°,

???2.PAD+Z-DAE=90°,

vAP>AD,

AE>AD,

①當R4=ED時，

如圖，過E作EH_LAD交于H,

^AHE=Z,C=90°,

???乙DAE+乙AEH=乙PAD+^DAE=90°,

???Z.PAD=乙AEH,

由折疊得：Z.PAC=^PAD,

???/.PAC=乙AEH,

在△PAC和△ZE”中

乙C=^AHE

/-PAC=乙AEH,

.AP=AE

??.APAC=△AEH(AAS),

???CP=AH=I；

②當AD=DE時，

由①得：EH=AD,

S\EH=DE,即點”和點。重合，

團4。1ED,

團4。1DP,

ISE、D、P三點共線，

0XDHBC,

0ZCPD=90°,

E

SAAPD=45°,

AD=DP,

???四邊形ZCPD是正方形,

.?.CP=AC=3；

綜上所述：CP的長為|或3.

11.解：(1)團將線段48邊繞點/逆時針旋轉a=90。得到線段AD,BA=BC

SBA=BC=AD,乙MBN=/.BAD=90°,

SBCWAD,BD=y/AD2+AB2=&AB,

回四邊形力BCD是正方形，

0ZBDC=45°,BA=BC=AD=CD

回點E在射線BD上，乙BEC=45°,

回此時。、E重合，

團B4=CD=CE,

團=V2AB=V2CE；

(2)在旋轉的過程中=或CE不變，理由如下：

如圖，過/作AG18D于G,過C作CFJ_8。于F,貝！kAGB=尸C=90。，

團將線段邊繞點A逆時針旋轉a得到線段/D,

的4=AD,

汕。=2BG,

國乙MBN=90°,

回乙4BG+CBF=乙BCF+CBF=90°,

^1Z-ABG=Z-BCFf

^\BA—BC,

0AABG=A^CF(AAS),

團BG=CF,

^BEC=45°,乙EFC=90°,

^BEC=乙ECF=45°,

團FC=EF,

0FC=EF—BG,

團CE=VCF2+EF2=yjBG2+BG2=&BG,

團=2BG=V2CE；

(3)當E在點B右邊時，如圖，過/作AG1BD于G,過C作CF1BD于F,則/AGB=乙BFC=

乙EFC=90°,

^ABC=90°,

^ABG+CBF=乙BCF+CBF=90°,

^\Z-ABG=Z.BCF,

^\BA=BC,

0AABG=A^CF(AAS),

回BG=CF,AG=BF,

^BEC=45°,乙EFC=90°,

^BEC=乙ECF=45°,

團FC=EFf

團FC=EF—BG,

0CE=VCF2+EF2=y/BG2+BG2=0BG,

團CE=4V2,

團FC=EF=BG=4,

回AG=BF=>JBC2-CF2=V52-42=3,

SAD=AB=BC=5,

0DG=yjAD2—AG2=V52-32=4,

^\BD=BG+DG=4+4=8,

國DE=BD—BF-EF=8—4—3=1,

ii

回SACDE=-DE-CF=-xlx4=2；

同理，當E在點B左邊時，如圖

4(

DE=BD+BE=BD+EF—BF=8+4—3=9,

i1

回SACDE=-DE-CF=-x9x4=18；

綜上所述，ACDE的面積為2或18.

12.(1)解：如圖，延長4P到M,itPM=AP,連接EM,DM,則△EPM與△BPA關于點尸

成中心對稱；

證明如下：

^\AB1AC,AB=AC,CD1DE,CD=DE,

[UZB=4ACB=乙DEC=乙DCE=45°,

^DCA=180°一乙DCE一乙ACB=90°；

0AEPM與A824關于點尸成中心對稱，

0AEPM=△BPA,

團EM=AB.乙MEP==45°,

團乙。EM=(DEC+乙MEP=90°,

團48=AC,

團EM=AC,

在△DEM與△DCZ中，

DE=DC

^LDCA=乙DEM=90°,

AC=EM

[?]△DEM=△DCA；

(2)解：如圖，連接/P并延長到使PM=AP,連接EM、CE；

A

H

D

M

又國乙APB=4MPE,PB=PE,

[?]△EPM=△BPA,

團EM=AB,乙MEP=Z.ABP=乙MEP；

團48=AC,

回EM=AC；

^ABP=AABC+Z.CBP,乙CBP+乙CEP=180°一人BCE,

團乙。EM=(DEC+乙MEP+Z-CEP

=乙DEC+"BP+(CEP

=乙DEC+Z.ABC+乙CBP+乙CEP

=45°+45°+180°-乙BCE

=270。一乙BCE；

^DCA=360°-乙DCE一乙ACB-乙BCE=270°-乙BCE,

0ZDEM=/-DCA；

又團CD=DE,AC=EM,

[?]△DEM=△DCA,

團AD=DM,Z-ADC=Z-MDE,

^ADM=^ADC+Z,CDM=乙MDE+Z,CDM=乙CDE=90°,

ap是AM的中點，

1

團OP1AM.AP=DP=-AM；

2

團〃為ZD中點，

回P”1/D,PH=-AD；

2

（3）解：如圖，過/作AN的垂線，交CN的延長線于尸，連接BF；

^ANC=135°,

團乙4NF=45°；

團4NlAFf

^AFN=匕ANF=45°,

回zkANF是等腰直角三角形，且ZN=AF；

^AC=AB,乙CAN=90。一乙NAB=^BAF,AN=AF,

ANC=AT4FB,

^AAFB=乙ANC=135°,BF=CN,

國匕NFB=乙AFB-乙AFN=90°；

設AN=AF=x,則FN=V2x,BF=CN=6-AN=6-x；

由勾股定理得BN?=FN2+BF2

=2x2+(6—x)2

=3(%-2)2+24,

團4N不小于3,即久之3,

回當久=3時，BN?有最小值，且最小值為27,

回BN的最小值為3b.

故答案為：3V5.

13.(1)解：把y=0代入一1%+2=0中，即一1%+2=0,

0%=4,即4(4,0)；

當％=0時，y=2,

團C(0,2).

把力(4,0),C(0,2)代入)/=一92+.+時，即］

解得『二I,

lc=2

回拋物線解析式為y=—1/+1久+2.

(2)解：(PE||x軸,PF||y軸,

0ZFEP=/.CAO,/LPFE=/.OCA.

又EIEF=AC,

0APFFd0cA(ASA),

回PF=0C=2.

設P(久,一：一+|刀+2),則F(x-:久+2),

當點尸在點P上方時，

PF=—工久+2一(一工工2+三萬+2)=2,

2\22)

解之得/=2-2V2,%2=2+2V2>4(不合題意，舍去);

當點尸在點P下方時，

PF=一三久2+三乂+2一(一工工+2)=2,

22\2)

解得：久1=上=2,

^(2-272,72-1),22(2,3).

(3)解：如圖，由題意乙2的解析式為y=—5/+萬％—2.

設M1,-1+2),

如圖，過點M作“Qlly軸，過點C作C”1"Q于點”，過點N作NQ1”Q于點Q,

回匕CHM=(NQM=90°.

團"MN=90°,

^CMH+ANMQ=90°.

又回NHCM+Z.CMH=90°,

團4HCM=(NMQ.

又團MC=MN,

CMH三△MNQ(AAS).

團M”=NQ,CH=MQ.

團M”=OC-=2-(-)+2)=MQ=%.

團NQ^-|X+2)

把N的坐標代入y=-1x2+1%-2中，

BP—-%+2=--(-x)+-x-%—2,

22\2722

解得：勺=2,亞=16.

團Mi(2,1),M2(16,-6).

14.(1)解：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,AB=a=30°,

團=Z.C=30°,

回NZ=180°一乙B—乙C=180°-30°-30°=120°,

①證明：回a=30。，

0ZB=30°,

團將線段DE繞點。逆時針旋轉a后點E的對應點F恰好落在AC上，

團匕EDF=a=30°,

^ADF+(EDF+乙BDE=180°,

^ADF+乙BDE=180°-乙EDF=180°-30°=150°,

在△BDE中，乙B=30°,

^BDE+乙BED=180°一乙B=180°-30°=150°,

^\Z-ADF+Z-BDE=Z.BDE+Z-BED,

^\Z-ADF=乙BED：

@BE-AD=2AF,理由如下，

如圖所示，在BE上截取EM=4。，

由(1)可得，乙ADF=LBED,由旋轉可得DE=OF,

在△4DF和△EMO中，

AD=EM

Z-ADF=乙MED,

DF=ED

0AXDF三△EMD(SAS),

^Z-AFD=乙MDE,AF=DM,

在△ADF中，LA=120°,

^ADF+AAFD=180°-44=180°-120°=60°,

^MDE+乙MED=60°,

DEM的外角，

^BMD=乙MDE+乙MED=60°,

在△BDM中，AB=30°f^BMD=60°,

^BDM=90°,即^BDM是直角三角形，

回BM=2DM,

國

BM=BE-EM=BE—AD,DM=AFf

團BE—AD=2AF；

(2)解：如圖所示，類比(1)的證明方法，在BE上截取EG=AD,

H

團△ABC是等腰三角形，AB=AC,/-ABC=^ACB=15°,

團44=180°-乙ABC一乙ACB=150°,

在aZDF中，Z-ADF+^AFD=180°-zX=30°,

回旋轉，

田匕EDF=15°,

^ADF+乙BDE=180°-15°=165°,

在中，Z.ABC=15°,

^BDE+(BED=180°-A.ABC=165°,

^ADF=乙BED,

在△ADF和△EGD中，

AD=EG

AADF=乙GED，

DF=ED

^ADF三△EG。(SAS),

團/。=EH=2,AADF+Z.AFD=30°=乙GDE+乙GED,

^BGD=30°,

如圖所示，過點B作8”IGO延長線于點H,

國乙H=90°,

在中，^BGH=30°,

^GBH=60°=/.ABC+乙ABH,

^ABH=乙GBH-^ABC=60°-15°=45°,

^BDH=45°,

BDH是等腰直角三角形，即8”=DH,

^BD=6,BD2=BH2+DH2,BR36=2BH2,

=3V2,負值舍去，

在中，4BGH=30。,ZH=90°,

甌G=2BH=6V2,

國BE=BG+GE=BG+AD=6V2+2,

故答案為：6A/2+2.

15.解：(1)團△ZBC為等邊三角形，

團乙/=60°,

團將MA繞點M逆時針旋轉120。得到MD,

^\AM=MD,/.AMD=120°,

國乙DMB=180°-^AMD=60°=4/,

在△AMN和△MDB中，

'AN=MB

Z.A=乙DMB，

.AM=MD

AMN=AMDS(SAS),

團MN=DB；

(2)四邊形AFBO為平行四邊形，理由如下：

團48=AC,^BAC=90°,

^ABC=乙ACB=工x90。=45°,

2

團將MA繞點M逆時針旋轉90。得到MD,

團4M=MD,/.AMD=90°,

^MAD=^MDA=|(180°-AAMD)=45°,乙BMD=180°-4AMD=90°=^BAC,

^MAD=(ABC=45°,

^\AD\\BF,

在△AMN和AMOB中，

AN=MB

乙BAC=乙DMB=90°,

AM=MD

團AAMN三△MDB(SAS),

團4ANM=乙MBD,

團4E1MN,

^ANM+乙NAE=^NAE+^BAF=90°,

團4ANM=4BAF,

^Z-MBD=Z-BAF,

團喇AF,

X^ADWBF,

0四邊形ZFBO為平行四邊形；

(3)四邊形ZFBO的形狀為正方形，理由如下：

如下圖，

團MNIIBC,

^AMN=乙ABC=45°,乙ANM=乙ACB=45°,

回乙AMN=乙ANM=45°,

團4M=AN,

由(2)可知，〉AMN

團4N=MB,MN=DB,

團4M=BM,

又團MNIIBC

團MN為△ZBC的中位線，

i

WB=MN=-BC,

2

^\AE1MN,

團4MAE=乙NAE=90°-45°=45°,

團乙F/D=/-MAE+/-MAD=90°,

由回AB=AC,

i

回BF=CF=-BC,

2

^BF=BD,

團四邊形AFBD為平行四邊形，

團四邊形AF80的形狀為正方形.

16.解：數學思考：證明：?.?將矩形ZBCD繞著點。逆時針旋轉得到矩形EFGD,

??.AD=DE,“=乙ADC=90°,

???乙CDE+乙ADH=90°,

???AHIDE,

???乙AHD=90°,

???乙HDA+ADAH=90°,

???乙DAH=乙CDE,

??.LADH三△DEC(AAS)；

解決問題：解：過點G作GM1/。，交4。的延長線于點M,連接AE

AvAADH"DEC,

AH=CD=V3,

???矩形ABCD繞著點。逆時針旋轉得到矩形EFGD,

CD=DG=V3,乙GDE=90°,

???DH=y/AD12-AH2=1,

??.HE=DE-DH=1,

???AE=y/HE2+AH2=2,

/.AE=DE=AD=2,

0AADE是等邊三角形，

???^ADH=60°,

???乙GDM=30°,

???GM=-DG=—,

22

DM=<GD2-GM2=

2

7

??.AM=DM+AD=

2

???AG=yjMG2+AM2=V13；

拓展研究：解：當線段DE與4G交于點。時，作4