壓軸專題09定角定高模型

技法全歸納

知識考點與解題策略

定角定高模型（探照燈模型）

模型解讀

定角定高模型：如圖，直線外一點4,A到直線距離為定值（定高4。），NB4C為定角，則

有最小值，即AA5C的面積有最小值。因為其形像探照燈，所以也叫探照燈模型。

條件：在AA5C中，ZBAC=a（定角），40是5c邊上的高，且（定高）。

結(jié)論：當AABC是等腰三角形（AB=AC）時，BC的長最??；AABC的面積最小；AA8C的周長最小。

證明：如圖，作AABC的外接圓eO,連接04,OB,OC,

過點。作OHLBC于點E,設(shè)eO的半徑為r,貝!jNB0H=NR4C=a；

BC=2BH=2OB?sina=2r?sina,OH=OB-cosa=r-cosa。

'：OA+OH>AD（當且僅當點A,O,H三點共線時，等號成立）,

.\r+rcosa>h,即r>-------,當取等號時r有最小值；

:.BC=2r-sina>2h'Sma,當取等號時3c有最小值；

1+COS6T

hSing

二SARr^-BCAD^hr-sma>當取等號時AA8C有最小值；

4021+cosa'

二QMC=BC+AB+AC>2rsina+2M+（rsinfz1,當取等號時AABC有最小值。

典題固基礎(chǔ)

例題1（24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習）已知：如圖，點0是直線1外一點，點0到直線1的距離是

3

4,點A、點B是直線1上的兩個動點，且cos/AOB=g,則線段AB的長的最小值為（）

例題2如圖，在VABC中，ZBAC=60°,于點O,且AD=4,則VABC面積的最小值為

s新題型特3

1、如圖，在VA3C中，za4c=60。，BC邊上的高AD為4,則VA3C周長的最小值為

2、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=4,AD//BC,NB=60°,點E、F分別為邊BC、CD上的

兩個動點，且/EAF=60°,則4AEF的面積的最小值是

3、問題提出：（1）如圖①，已知在邊長為10的等邊△ABC中，點D在邊BC上，BD=6,連接AD,則

△ACD的面積為；

問題探究：（2）如圖②，已知在邊長為6的正方形ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊CD上，且/EAF

=45°.若EF=5,求AAEF的面積;

問題解決：（3）如圖③是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB=4米，AD=6米的矩形ABCD

區(qū)域內(nèi)開挖一個4AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且/EAF=45。，

為了減少對該路段的擁堵影響，要求AAEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的△AEF?若存在，請

求出△AEF面積的最小值；若不存在，請說明理由.

圖①圖②圖③

4.（2024九年級上?江蘇?專題練習）如圖，在VABC中，N54c=90。，BC邊上的高AD=6,則VA3C周

長的最小值為.

5.（1）如圖1,在VABC中，ABAC=GO,AD為BC邊上的高，若"）=9,求VABC面積的最小值；（2）

某花卉培育公司有一塊直角三角形鮮花培育基地，現(xiàn)在研究人員打算在這塊鮮花培育基地上規(guī)劃出一部分

來培育新品種郁金香.如圖2,VA3C是這片鮮花培育基地的平面示意圖，NABC=90。，點。是AC邊上

一點，連接BO,ZABD=NCBD,且BD=80應(yīng)m,點尸為BC上一點，ZCDP=45°,為了更有效的利用

這塊鮮花培育基地，需要新品種郁金香培育基地的面積盡可能的小，請你求出新品種郁金香培育基

地ABPD面積的最小值.

圖1

6.(2023?江蘇淮安?二模)某數(shù)學興趣小組同學遇到這樣一個問題：如圖1,點A是一只探照燈，距離地面

高度AB=〃z,照射角度=在地平線/上的照射范圍是線段MN,此燈的光照區(qū)域AAMN的面積

最小值是多少？

圖1圖2圖3

(1)小明同學利用特殊化方法進行分析，請你完成填空:如圖2,設(shè)0=90。，租=4,構(gòu)造AAMN的外接圓。。,

可得。42AB,即Q4的最小值為4,又MN=2OA,故得MN的最小值為,通過計算可得AAW

的面積最小值為

(2)當&=45。，相=4時，小慧同學采用小明的思路進行如下構(gòu)造，請你在圖1中畫出圖形，并把解題過程續(xù)

寫完整：解：作AAAW的外接圓。。，作如J_掰V于H,設(shè)MN=2x

(3)請你寫出原題中的結(jié)論：光照區(qū)域AAAW的面積最小值是.(用含血。的

式子表示)

⑷如圖3,探照燈A到地平線1距離AB=4米，到垂直于地面的墻壁n的距離4D=6米，探照燈的照射角

度NMAN,且/M4N=45。，光照區(qū)域為四邊形AMCN,點M、N分別在射線CD、CB上，設(shè)△AQW的

面積為y，AACW的面積為Sz，求4工+9星的最大值.

7.（2020春?和平區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=135°,ZB=60°,ZD=120°,AD=5,

AB=6,E、F分別為邊BC及射線CD上的動點，/EAF=45°,4AEF面積的最小值

D

8、(2024九年級上.江蘇?專題練習)輔助圓之定角定高求解探究

圖①

圖②圖③

(1)如圖①，已知線段A8,以為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；

⑵如圖②，在VABC中，ZACB=60°,CO為AB邊上的高，若CD=4,試判斷是否存在最小值，若存

在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，4=45。，

ZB=ZD=90°,CB=CD=6^2,點、E、尸分別為AB、AD上的點，若保持CE_LCF,那么四邊形AECF的

面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由.

9、已知點O為直線外一點，點O到直線距離為4,點A、B是直線上的動點，且NAOB=30。。則△ABO

的面積最小值為.

10.在直角VA3C中，ZABC^90°,NACB=60。，點D是VA3C外一點，連接AO,以AO為邊作等邊△ADP.

BFC

NC

(1)如圖1,當點F在線段上，交AC于點M,且AF平分/BAC,若AF=&也,求△ADM的面

積;

(2汝口圖2,連接FB并延長至點E,使得FB=BE,連接CE、DE、CD,證明：DE=^3CD；

(3)如圖3,旋轉(zhuǎn)△ADP使得。F落在—A3C的角平分線上，M、N分別是射線54、BC上的動點，且始終

滿足/MDN=60。，連接MN,若BC坨,請直接寫出△MDN的面積最小值.

11.【場景發(fā)現(xiàn)】小明晚上經(jīng)過河邊時，發(fā)現(xiàn)探照燈的照射光線都不是垂直于河邊，而是有一個角度，為

了尋找原因，小明將這一場景進行數(shù)學抽象化如圖①所示，

【模型遷移】在一個矩形院子安裝一個攝像頭，攝像頭的監(jiān)控角度為90。，若將攝像頭安裝在墻的E處，

F,G是攝像頭與墻壁的交點，如圖②圖③所示，陰影部分為攝像頭的盲區(qū).

⑴假設(shè)探照燈的有效照射角度為60。，河寬8米，BC=米的時候照射的面積NABC最小，最小值為；

⑵若AB=20米，AD=10米，在線段A3是否存在點E,當攝像頭在E點轉(zhuǎn)動時，攝像頭的盲區(qū)不變，若

存在，AE等于多少，攝像頭的盲區(qū)面積為多少？

(3)在南北走向的馬路上，工作人員要安裝一個攝像角度為90。的攝像頭，正好可以監(jiān)控到整面墻面，以墻面

的中點為為原點建立如圖所示的坐標系，AB=16,馬路距離墻面的最小距離為5,請寫出符合條件的攝像

頭的坐標.

壓軸專題09定角定高模型

9技法全歸納

知識考點與解題策略

定角定高模型（探照燈模型）

模型解讀

定角定高模型：如圖，直線外一點A,A到直線8c距離為定值（定高4。），NR4c為定角，則3C

有最小值，即AABC的面積有最小值。因為其形像探照燈，所以也叫探照燈模型。

條件：在A4BC中，ZBAC=a（定角），40是邊上的高，且（定高）。

結(jié)論：當AABC是等腰三角形（A5=AC）時，BC的長最??；AABC的面積最??；AABC的周長最小。

證明：如圖，作AABC的外接圓eO,連接04,OB,OC,

過點。作OH,3c于點E,設(shè)eO的半徑為r,貝！|N30H=NR4C=a；

:.BC-2BH=2OB?sina-2r-sina,OH=OB-cosa=r?cosa。

-：OA+OH>AD（當且僅當點A,O,H三點共線時，等號成立）,

/.r+rcosa>h9即廠之-------，當取等號時r有最小值；

：.BC=2r-sma>2h'Sina,當取等號時5c有最小值；

1+COSCT

hSm<Z

ASARC^-BCAD^hr-sina>'當取等號時小45。有最小值；

"02l+costz'

:.QMC=BC+AB+AC>2rsina+2業(yè)+(rsina『,當取等號時AABC有最小值。

典題固基礎(chǔ)

例題1（24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習）已知：如圖，點0是直線1外一點，點0到直線1的距離是

3

4,點A、點B是直線1上的兩個動點，且cos/AOB=],則線段AB的長的最小值為（）

【答案】D

【分析】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型求解。

法2：如圖，過點O作直線/‘〃直線1,則直線1與直線/’之間的距離為4,作點B關(guān)于直線，的對稱點笈，

連接OB',AB',A?交直線/'于點T,連接BT,過點A作AHLBT于H,過點T作TWJ_AB于W.首先

證明當A,0,8'共線時，AB'的值最小，此時AB的值最小，解直角三角形求出此時AB的值，可得結(jié)論.

【詳解】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型知道：當AOAB是等腰三角形（OA=OB）時，AB的長最?。?/p>

設(shè)三角形△0AB的高為h,其外接圓半徑為r,根據(jù)定角定高（探照燈）模型易得：r+rcosZAOB>h,

當取等號時r有最小值，此時BC的長最小:2「sin/A0B；

354

：0到直線1的距曷是4,且cos/AOB=I，/.r>-,sinZA0B=y,.-.BC>4O

例題2如圖，在VABC中，44c=60。，于點。，且AD=4,則VABC面積的最小值為

A

BC

D

【答案"

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形的外接圓的半徑，垂徑定理，作VABC的外接圓。。，連接。4,

OB,OC,過點。作OE_L3c于點E,根據(jù)圓周角定理可得/BOC=120。，則/O3C=NOCB=30。，設(shè)。O

的半徑為「，則O￡1==o5=工r，BE=—OB=—rf根據(jù)OA+OENAP得出廠+%?4,求得半徑的范

22222

圍，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】作VABC的外接圓。。，連接。4,OB,OC,過點。作OEJ_3C于點E,

A

???ZBAC=60°,JZBOC=120°,VOB=OC,?tZOBC=ZOCB=30°,

設(shè)O。的半徑為「，則?！?=5。3=5廠，BE=OB=r,BC-A/3F?

2222

-：OA+OE>AD,Ar+-r?4,解得：r>~,：.BC>—,

233

???542^=工8。4。2工*述、4=叵8,，丫48(7的面積的最小值為電祖,故答案為：蛆叵.

“Be223333

練新題型特訓

1、如圖，在VA3C中，Zfi4C=60°,BC邊上的高AD為4,則VABC周長的最小值為

【答案】8囪

【分析】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型求解。法2：作8C的垂直平分線，交AB于點N,交BC于點

M,連接CN,則VABC周長=AN+CN+AC+BC,當點D與點M重合時，VABC周長22AC+BC,AVABC

為等邊三角形，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】法1：設(shè)三角形八ABC的高為AD=h=4,其外接圓半徑為r,

根據(jù)定角定高（探照燈）模型知：r+rcos?>h,BPr>-^—，

l+cos?

當取等號時r有最小值（即AB=AC時）；r的最小值為：g,BC的最小值為：莊,

33

此時△ABC是等腰三角形（AB=AC）時，△ABC的周長有最小值：3x^=8^.

3

法2：如圖所示，作的垂直平分線，交于點N,交BC于點M,連接CN,

AA{N}

垂直平分BC,ABN=CN,

：.VABC^^z^AB+AC+BC=AN+BN+AC+BC=AN+CN+AC+BC

?.?在Aiav中，AN+BN>AC,：.AN+BN>AC,當點D與點M重合時，AN+BN=AB=AC,

：.NABCJ^^:=AN+CN+AC+BC>2AC+BC,：.NABC周長的最小值=2AC+BC,

?：ZBAC=60°,AB=ACVABC為等邊三角形，：為BC邊上的高，AD=4,

...48=，"=^^=述，；.%45。周長的最小值=3義還=8百，故答案為：8出.

sinZBsin60033

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，確定

當VABC周長最小時的情況.

2、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=4,AD//BC,NB=60°,點E、F分別為邊BC、CD上的

兩個動點，且/EAF=60°,則4AEF的面積的最小值是

【答案】473

【解答】解：將4ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。至QABM,

由旋轉(zhuǎn)得：BM=DF,AM=AF,ZABM=ZD=120°,NMAB=NFAD,

VZABC=60°,

.?.ZABM+ZABC=180°,

???M、B、E共線，

NMAE=NMAB+NBAE=NFAD+NBAE=60°,

NEAF=60°,AE=AE,

AFAE^AMAE(SAS),

???ZMEA=ZFEA,

過A作AH_LBC于H,作AKJ_EF于K,

AH=AK=AB?sin60°=2^/3,

作AAEF的外接圓。O,連接OA、OE、OF,

過O作ON_LEF于N,

?.,NEAF=60°,

.,.ZEOF=120°,

???NNOF=60°,

設(shè)EF=2x,貝ljNF=x,

RtZXONF中，ON=?x,OF=2^X,

33

ON+OA=OF+ON=?x,

VOA+ON^AK,

??,

???x22,

.1.SAAEF=|EF-AK=-i-.2x*2^3=273x^473，

...△AEF面積的最小值是4如.

3、問題提出：（1）如圖①，已知在邊長為10的等邊△ABC中，點D在邊BC上，BD=6,連接AD,則

AACD的面積為；

問題探究：（2）如圖②，已知在邊長為6的正方形ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊CD上，且/EAF

=45。.若EF=5,求AAEF的面積；

問題解決：（3）如圖③是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB=4米，AD=6米的矩形ABCD

區(qū)域內(nèi)開挖一個小AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且/EAF=45。，

為了減少對該路段的擁堵影響，要求AAEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的△AEF?若存在，請

求出△AEF面積的最小值；若不存在，請說明理由.

圖①圖②圖③

【答案】（1）10月；（2）15；（3）存在，2472-24.

【分析】（1）過點A作AHLBC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、正弦的定義求出AH,根據(jù)三角形的面積公式

計算，得到答案；（2）將八ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABH,證明△AEF之△AEH,根據(jù)三角形的

面積公式計算即可；（3）把4ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。并縮小為;,得到△ABG,根據(jù)角平分線的性質(zhì)、

三角形的面積公式得到沁設(shè)AAGE的外接圓圓心為O,連接OA、OG、OE,過得O作OHLGE

\AEF3

于H,則/GOE=2/EAG=90。，設(shè)△AGE的外接圓的半徑為R,則GE=0R,OH=^R,由題意得，

OA+OH>AB,即R+乎R%,解得R的范圍，故△AGE的面積x&x（8-472）x4=16及-16,得

△AGE的面積的最小值為160-16,進而可得八AEF的面積的最小值為240-24.

【詳解】（1）如圖①，過點A作AHLBC于H,?.?△人：6（：為等邊三角形，；./：6=60。，

圖①圖②圖③

...△ACD的面積=gxCDxAH=Tx4xl0?sin60o=106，故答案為：106；

(2)如圖②，將4ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABH,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH=AF,ZBAH=ZDAF,

：NEAF=45。，NBAD=90。，；./EAH=/EAF=45。，在△AEF和AAEH中，AF=AH,ZEAH=ZEAF,

AE=AE,

.".△AEF^AAEH(SAS),；.EH=EF=5,ASAAEF=SAAEH=1x5x6=15；

(3)把小ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。并縮小為］,得到△ABG,

2

則AG=§AF,ZEAG=ZEAF=45°,過點E作EM_LAG于M,EN_LAF于N,

ZEAG=ZEAF,EM±AG,EN±AF,，EM=EN,/.,

\AEF3

設(shè)△AGE的外接圓圓心為O,連接OA、OG、OE,過得O作OHLGE于H,

則NGOE=2/EAG=90。，設(shè)△AGE的外接圓的半徑為R,貝!|GE=&R,OH=1R,

由題意得，OA+OHNAB,即R+X±RN4,解得，R>8-472,

2

.二△AGE的面積(8-472)x4=16&-16,

.1.△AGE的面積的最小值為160-16,AAAEF的面積的最小值為240-24.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等，較為綜合，

根據(jù)圖形作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.(2024九年級上?江蘇?專題練習)如圖，在VABC中，N54c=90。，8C邊上的高AZ)=6,則VA3C周

長的最小值為___________________

【答案】12vl+12

【分析】法1：根據(jù)定角定高(探照燈)模型求解。

法2：延長CB到E,使得班=胡，延長BC到F,使得C「=C4,連接AE,A尸，作下的外接圓

過點O作QJLEF于點J,交。。于點T.求出EF的最小值，可得結(jié)論.

【詳解】法1:根據(jù)定角定高（探照燈）模型知道:

當八ABC是等腰三角形（AB=AC）時，△ABC有最小值。

再結(jié)合N54C=90。，3C邊上的高AZ）=6,/.BC=12,AB=AC=6萬。

.二△ABC的周長的最小值為120+12，故答案為：12夜+12.

法2：如圖，延長CB到E,使得BE=BA,延長BC到F,使得CF=C4,連接AE,A產(chǎn)，作AAE產(chǎn)的外接

圓。。，連接。后,。歹，過點。作OJLEF于點J,交。。于點T.

?/BA=BE,CA=CF,：.NBAE=NBEA/CAF=ZCFA,

ZABC=ZBAE+ZBEA,ZACB=ZCAF+ZCFA,：.ZA￡F+NAFE=；（ZABC+ZACB）=45。,

：.ZEAF=135°,：.ZEOF=9Q°,VOJLEF,:.EJ=JF,：.OJ=-EF,

2

設(shè)OE=OF=r,則EF=揚，OJ=^r,'：AB+BC+AC=EB+BC+CF=EF,

，EP最小時，VABC的周長最小，AD±BC,：.AD+OJ<OT,：.6+—r<r,

2

Ar>12+672-：?EF2126+12,AB+BC+AC>nj2+l2,

AABC的周長的最小值為12立+12，故答案為：120+12.

【點睛】本題考查軸對稱最短問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓等知識，解題的關(guān)鍵

是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

5.（1）如圖1,在VABC中，Nfi4c=60,為BC邊上的高，若AD=9,求VABC面積的最小值；（2）

某花卉培育公司有一塊直角三角形鮮花培育基地，現(xiàn)在研究人員打算在這塊鮮花培育基地上規(guī)劃出一部分

來培育新品種郁金香.如圖2,VABC是這片鮮花培育基地的平面示意圖，NABC=90。，點。是AC邊上

一點，連接BO,ZABD=NCBD,且BD=80應(yīng)m,點尸為BC上一點，ZCDP=45°,為了更有效的利用

這塊鮮花培育基地，需要新品種郁金香培育基地A5P。的面積盡可能的小，請你求出新品種郁金香培育基

地ABPD面積的最小值.

A

【答案】（1）27代；（2）6400后平方米

【分析】（1）作VABC的外接圓。。，連接Q4、OB、OC,過點。作OEL5c于點E,根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)得出NO3C=NOCB=30。，設(shè)tM=O3=OC=r,則OE=』r,8c=2BE=6廠，根據(jù)AD,

2

得r+求出r26,BC=2BE=V3r>6^,然后求出結(jié)果即可；

（2）過點。作DE1AB于點E,。尸_L3C于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=D戶，證明

RtABDE^RtABDF（HL）,得出80=80后m,ZDBE=|ZABC=45°,NBED=90。,求出

S.BDE=1-￡?￡=3200（m2）,在8尸上截取BG=AE,連接￡>G,證明G四△DE4（SAS）,得出

ZADE=ZGDF,根據(jù)S四邊形wo=S四邊物如尸++%切=6400+S^DPC,得出要使四邊形ABPD的面積最

小，只需ADPG的面積最小,求出NPDG=45°,ADGP的外接圓圓心為。，連接，OG,OP,作OH1GP

于點H,根據(jù)OG+^OGNSO,得出。3280（2-0），求出PG=2G8=0OG21600—160，得出

2

S-p0G=|PGDF>|X（1600-160）x80=（6400立一6400）m,最后求出結(jié)果即可.

【詳解】解：（1）如圖，作VABC的外接圓。。，連接。4、OB、OC,過點。作OEL5C于點E，

設(shè)CM=O3=OC=r,則OE=；r,:.BE=3

,?OELBC,：.BC=2BE=V3r,由OA+OENAD,得r+；rN9,BPr>6,

BC=2BE=y[3r>6也,「.SAABC=1-BCAD>1x673x9=2773,:.AABC面積的最小值為27道；

（2）如圖，過點。作于點E,止_13。于點尸，

?;ZABD=NCBD,：.BD平分NABC,：.DE=DF,又?；BD=BD,,RtABDE式RQBDF（BL）,

BD=80A/2m,ZDB￡=-ZABC=45°,/BED=90°,

2

:.ABDE,VBD尸均為等腰直角三角形，且DE=DF=BE=BF=80m,

???S.BDE=^BEDE=3200（m2）,如圖，在所上截取=連接DG，

?：FG=AE,NDFG=NDEA=90。,DF=DE,:.ADFG當ADEA（SAS）,

ZADE=Z.GDF,'''S四邊形ABPD=S四邊形BEDF++^ADEA=6400+SADPG,

???要使四邊形ABPD的面積最小，只需八DPG的面積最小，

ZCDP=45°,ZADP=180°-45°=135°,ZADE+ZPDF=45°,

?1-ZGDF+ZPDF=ZPDG,:.ZPDG=45°.

如圖，ADGP的外接圓圓心為0,連接OD,OG,0尸，作。"LG尸于點”，

-,-^GDP=45°,/GOP=90。，；./OGP=/OPG=45。，:.OH=GH=^OG,

2

由題意得8+a/ND尸，即。G+,OGN80,.,.OGN8O（2—0）,

2

PG=2GH=V2OG>160A/2-160，S^PDG=^PG-DF>^X（1600-160）x80=（640072-6400）m,

S四邊形的加>6400+6400夜-6400=6400底（nr）,

，新品種郁金香培育基地ABPD面積的最小值為6400收平方米.

【點睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，等

腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

6.（2023?江蘇淮安?二模）某數(shù)學興趣小組同學遇到這樣一個問題：如圖1,點A是一只探照燈，距離地面

高度AB=m,照射角度/M4N=a,在地平線/上的照射范圍是線段及W,此燈的光照區(qū)域AAMN的面積

最小值是多少？

n

圖1圖2圖3

(1)小明同學利用特殊化方法進行分析，請你完成填空:如圖2,設(shè)e=90。，%=4,構(gòu)造&AMN的外接圓QO,

可得。42AB,即Q4的最小值為4,又MN=2OA,故得MN的最小值為,通過計算可得AAMV

的面積最小值為.

(2)當a=45。，m=4時，小慧同學采用小明的思路進行如下構(gòu)造，請你在圖1中畫出圖形，并把解題過程續(xù)

寫完整：解：作AAMN的外接圓0。，作陽_!掰V于H,沒MN=2x

(3)請你寫出原題中的結(jié)論：光照區(qū)域AAW的面積最小值是.(用含〃，，。的

式子表示)

(4汝口圖3,探照燈A到地平線1距離=4米，到垂直于地面的墻壁n的距離6米，探照燈的照射角

度/MAN,且NMAN=45。，光照區(qū)域為四邊形AMCN,點M、N分別在射線CD、CB上，設(shè)△AQW的

面積為岳，AAOV的面積為$2,求4工+9星的最大值.

【答案】(1)8,16(2)〃AAW最小=1672-16(3)“Lsma?)300-14472

1+cosa

【分析】(1)當B和點。重合時，OA=AB=4,此時Q4最小為4,從而得出最小=20A=8；

(2)作AAMN的外接圓0。，作加,就于設(shè)MN=2x,依次表示出MH,NH,OA,OH,根據(jù)

Q4+OH2AB列出+從而得出x的最小值，進一步得出結(jié)果；

(3)同(2)步驟相同：作AAMN的外接圓。。，作織±于H,設(shè)圓的半徑為「，依次表示出M",NH,

根據(jù)。4+WNAB列出方程，從而得出廠的最小值，進一步得出結(jié)果；

(4)作NBAQ=ND4",AQ交/于Q,可證得△如人拈鈿。，從而得出黑皿=(四］=2,可證得

S皿UBJ4

9

ZNAQ=45°,從而得出由(3)結(jié)論知：△⑷V。的最小值，進而變形得出：S“BN+S?DM的最小值，可得出

4H+9S2=156-45ADM-9S^,進一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：?.?ZAB(9=90o,:.OA>AB,當8和點。重合時，。4=帥=4,此時。4最小為4,

最小=2OA=8,最小=gx8x4=16,故答案為：8,16；

(2)解：如圖1,作AAAW的外接圓。。，作OH，MN千H,設(shè)MN=2x,:.MH=NH=x,

圖1圖2圖3

■.■ZMON=2ZMAN=9Q°,OA=OM=—MN=-J2x,OH^-MN=x,

22

-.-OA+OH>AB,y/2x+x>4,:.x>4y/2-4,

當點。在43上時，x最小=4及-4,此時MN最小，最小=；x4x（8近一8）=16應(yīng)-16；

（3）解：如圖2,作△⑷VW的外接圓。。，作0H工MN千H,設(shè)Q4=0M=r,:.MN=2MH,

?：ZMON=2ZMAN=2<z,OM—ON—r,'''Z.MOH=—ZMON=a,:.OH=r-cosa,MH=r-sina,

2

YYl

*：OA+OH>AB,..r+rcoscr>m,/.r>----------,

1+cosa

當點。在AB上時，重小=1^，此時一MN最小，：鼠小、=「加。,故答案為：管吧；

1+cosa1+cosa1+cosa

（4）解：如圖3,作NBAQ=NDAM,AQ交/于。，

ZADM=ZABQ=90°,:.^ADM^/\ABQ

.q

°AABQ

-.-ZDAB=90°,ZM47V=45。，:.ZDAM+ZBAN=45°,ZBAQ+ZBAN=45°f

ZNAQ=45°,由（2）知：冬小最小=16后-16,，⑸的+SAABQ）最小=160-16,

**,=1672-16,GI7SA.N+s叩）=160-16,[~7$&ABN+s.〕=36&-36,

V/，最小\4/最小V4/最小

??W=工皿-氏=12-"皿，；.埼=48-45ADM,

同理9s2=108-叫的，+9邑=156-4as,-95/=156-小,9+%麗],

（4耳+9s2）最大=156-4x（360-36）=300-14472.

【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等有關(guān)知識，解決問題的關(guān)鍵

是作輔助線，構(gòu)造相似三角形.

7.（2020春?和平區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=135°,ZB=60°,ND=120°,AD=5,

AB=6,E、F分別為邊BC及射線CD上的動點，ZEAF=45°,AAEF面積的最小值

【答案］韭叵

4

【解答】解：如圖，過點A作AMLBC于M,過點E作EHLAF于H,ANXCD,交CD的延長線于N,

.\ZBAM=30°,

???BM=3,AM=3?,

VZADC=120°,

.,.ZADN=60°,

.\ZNAD=30°,

/.DN=—AD=—,AN=^^,

222

VZBAD=135°,NEAF=45°,NBAM=30°,

.?.ZMAE+ZDAF=60°,

又???NADN=NDAF+NDFA=60°,

???NMAE=NAFD,

又,.?NAME=NN=90°,

AAAFN^AEAM,

.AEME

"AF

設(shè)ME=x,則人￡=a2+隨2=揚+*2,

2膽儂=,

ME

VZEAF=45°,HE±AF,

,HE*AE呼義而

.?.△AEF面積=』XAFXHE=^^X()(—+x),

288x

?.?當a,b為正數(shù)時，(a-b)220,

a2+b222ab,

.,.△AEF面積=(—+x)當殳區(qū)X2X

8x8

/.AAEF面積的最小值為45"2,

4

故答案為義返.

4

8、（2024九年級上?江蘇?專題練習）輔助圓之定角定高求解探究

圖②圖③

⑴如圖①，已知線段A8,以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形;

（2）如圖②，在VABC中，ZACB=60°,C￡＞為A8邊上的高，若CD=4,試判斷A8是否存在最小值，若存

在，請求出AB最小值；若不存在，請說明理由;

⑶如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCZ）中，ZA=45°,

ZB=ZD=90。，CB=CD=642,點、E、/分別為AB、上的點，若保持CE_LCF,那么四邊形AECP的

面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析

⑵存在，半

⑶存在，144

【分析】(1)構(gòu)造輔助圓，利用直徑所對圓周角是直角解決問題即可.

(2)如圖2中，作VABC的外接圓。0,連接(M,OB,OC,作于E.設(shè)。4=OC=2x.求出

x的最小值即可解決問題.

(3)如圖③中，連接AC,延長交AD的延長線于G,將ACDF順時針旋轉(zhuǎn)得到ACB”，作△(7硝的

外接圓。。.由(2)可知，當△CE"的外接圓的圓心0在線段上時，AECH的面積最小，此時四邊形AFCE

的面積最大.

【詳解】(1)解：如圖①中，VABC即為所求.

(2)存在，理由如下,

如圖②中，作VABC的外接圓QO,連接。4,OB,OC,作OELAB于E.設(shè)。4=OC=2x.

ZAOB=2ZACB=120°OA=OB,OELAB,

圖②

:.AE=EB，ZAOE=ZBOE=(O°,

OE=—OA=x,

2

：OC+OE>CD,

/.3x>4,

、4

/.x—,

3

4

???%的最小值為］，

,/AB=2A,

AB的最小值為更.

3

(3)存在，理由如下,

如圖③中，連接AC,延長8C交AO的延長線于G,將VCD歹順時針旋轉(zhuǎn)得到ACB”，作的外接圓

00.

-.-ZADC=ZABC=90°,AC=AC,CD=CB,

圖③

RtAACD^RtAACB(HL),

一SAACD=S/VICB，

Q?DAB45?,

ZDCB=135°f

:.ZDCG=45°,

???ZCDG=90°,

；.CD=DG=6舊

:.CG=42CD=n,

A3=G3=12+6五，

由（2）可知，當△（?&/的外接圓的圓心。在線段BC上時，△￡C〃的面積最小，此時四邊形AFCE的面積

最大，

設(shè)OC—OE-r,貝UOB=EB=r,

2

/.r+^-r=6>f2f

2

.」=6亞2-揚，

...石r=12（2—忘）,

，四邊形AFCE的面積的最大值=2x；x（12+6應(yīng)）x60_gx]2（2_a）x6五=144.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的外接圓，解直角三角形，最值問題等知識，解題的關(guān)鍵

是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

9、已知點O為直線外一點，點O到直線距離為4,點A、B是直線上的動點，且NAOB=30。。則△ABO

的面積最小值為.

【詳解】法1：設(shè)三角形△ABO的高為h=4,其外接圓半徑為r,/AOB=a=30。

根據(jù)定角定高（探照燈）模型知道：當AABO是等腰三角形（AO=BO）時。

.\r+rcos^>h,即廠之-------，當取等號時r有最小值；

1+coscr

AB=2r-sin?>2h-sma,當取等號時EF有最小值；

1+COS6Z

Sma

：.SAB0=-AB-h=h-r-sma>'=64-16出，當取等號時△ABC有最小值；

法2：如圖，過點0作直線r〃直線1,則直線1與直線Y之間的距離為4,作點B關(guān)于直線r的對稱點B，,

連接OB',AB\AB，交直線1，于點T,連接BT,過點A作AHLBT于H,過點丁作丁\￥上人：8于W.

在RtAABB，中，AB=^B'A^-B'B2=VB'A2-64，AB，的值最小時，AB的值最小，

??OA+OB=OA+OB>ABf.?.當A,O,B，共線時，AB，的值最小，此時AB的值最小，

:直線1垂直平分線段BB\.-.TB=TB',Z.ZTBB^ZTB-B,

?.?/TBA+NTBB'=90°,ZTAB+ZTB,B=90°,AZTAB=ZTBA,.,.TA=TB,

cosZAOB=cosZATB=,：.里=旦...可以假設(shè)TH=/k,AT=TB=2k,

2TA2

.\BH=TB-TH=(2-73)k,；.AH=k,：.\B=y/AH2+BH2=^2+[(2-V3)Z;]2=274-73k,

VSATAB=1?AB?TW=1"TB?AH,；x2“_君kx4=gx2kxk,解得k=4“_6,

...△ABO的面積最小