高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分普通高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時必須使用2B鉛筆，將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.5．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡，相應(yīng)的位置上.1.在的展開式中，常數(shù)項為（）A.160 B. C. D.【答案】B【解析】由題可得二項式展開式的通項公式為，令，所以展開式中的常數(shù)項為.故選：B2.下列函數(shù)求導(dǎo)不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：C3.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)首項為，公差為，因為，所以，則，即，得到，而，故C正確.故選：C4.在等比數(shù)列中，是方程的兩個實數(shù)根，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由題意得在等比數(shù)列中，是方程的兩個實數(shù)根，則由韋達(dá)定理得，，故，得到，由等比中項性質(zhì)得，解得，得到，故A正確.故選：A5.現(xiàn)有6個編號為不同的球和6個編號為不同的盒子，每盒放一球，則恰有三個球的編號和盒子的編號相同的放法，有（）A.20種 B.30種 C.40種 D.80種【答案】C【解析】從6個盒子任取3個，使其與球的編號相同，有種方法，另三球的放法數(shù)為2種，所以恰有三個球的編號和盒子的編號相同的放法的（種）.故選：C6.與已知直線平行的直線是曲線的切線，當(dāng)切線與已知直線距離最大時，切點的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為，求導(dǎo)得，依題意，，即，解得或，則切點坐標(biāo)為或，切線與直線的距離即切點到該直線距離，當(dāng)切點為時，，當(dāng)切點為時，，由，即點到直線的距離最大.故選：D7.現(xiàn)有四所學(xué)校，每所學(xué)校出2名教師參加學(xué)科比武大賽，現(xiàn)有4名教師得獎，獲獎教師中恰有2名教師來自同一學(xué)校的有（）A.24種 B.48種 C.72種 D.96種【答案】B【解析】從4所學(xué)校任取1所的2名教師，再從余下3所學(xué)校取2所，并分別取1名教師，所求的不同方法種數(shù)為.故選：B8.下列不等式不正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.對于A，因為，所以，即，所以，故A正確；對于B，因為，所以，即，所以，故B正確；對于C，設(shè)函數(shù)，則，等于0不恒成立，故是R上的增函數(shù)，因為，所以，即，故C正確；對于D，設(shè)函數(shù)，則，等于0不恒成立，故是R上的增函數(shù)，因為，所以，即，故D錯誤.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)數(shù)列的前項和是，且，已知，，則下列說法正確的有（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最小為15【答案】ACD【解析】數(shù)列的前項和，且，所以，且，對于A，當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然滿足上式，所以，所以，故數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；對于BC，由上，因為，所以有最大值；故B錯誤，C正確；對于D，令，所以的最小為15，故D正確.故選：ACD10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于B，取，得，B正確；對于A，取，得，則，A錯誤；對于C，依題意，均為正數(shù)，均為負(fù)數(shù)，取，得，則，C正確；對于D，兩邊求導(dǎo)得，取，得，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則（）A.總有兩個極值點B.時，只有一個零點C.點是曲線的對稱中心，則D.是的極小值點【答案】ABD【解析】函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得對于A，方程中，，則函數(shù)總有兩個變號零點，因此總有兩個極值點，A正確；對于B，當(dāng)時，，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值極小值為，即當(dāng)時，，而，因此只有一個零點，B正確；對于C，由點是曲線的對稱中心，得，即，則，C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，是的極小值點，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.數(shù)列中，，，則通項______．【答案】【解析】數(shù)列中，由，得，而，因此數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，則，所以.故答案為：13.已知，求在處的切線方程：______．【答案】【解析】由，得，令，則，解得，所以，所以在處的切線方程的斜率為，又，所以切線方程為：，即或.故答案為：14.已知在上是增函數(shù)，則的最小值是______．【答案】【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上是增函數(shù)，得，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此，而，解得，所以的最小值是.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項和為，且（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）在數(shù)列中，，當(dāng)時，，兩式相減得，而，即，因此數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，所以數(shù)列的前項和.16.已知函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）有兩個根，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值，無極小值，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極大值為，無極小值.（2）函數(shù)的定義域為，由，得，令，由有兩個根，得直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，恒成立，，因此當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，所以的取值范圍是.17.一市級重點中學(xué)選中了6名男教師和4名女教師共10名教師，其中1名主任（男）和1名副主任（女），現(xiàn)要組成6人支教小組，依下列條件各有多少種選派方法？（1）6人支教小組中，有3名男教師和3名女教師；（2）6人支教小組中，既有男教師，又有女教師；（3）6人支教小組中，至少有1名主任參加；（4）6人支教小組中既有主任，又有女教師．解：（1）由題意得從6名男教師里選3名有種選派方法，從4名女教師里選3名有種選派方法，由分步乘法計數(shù)原理得共有種選派方法（2）由題意得從10名教師里選6名有種選派方法，而只有4名女教師，則6名教師里不可能全是女教師，若全是男教師，有種選派方法，故既有男教師，又有女教師的選派方法為種.（3）由題意得從10名教師里選6名有種選派方法，從不是主任的8名教師里選6名有種選派方法，則至少有1名主任參加有種選派方法.（4）由已知得從10名教師里選6名有種選派方法，從不是主任的8名教師里選6名有種選派方法，若有主任，且沒有女教師，有種選派方法，則既有主任，又有女教師有種選派方法.18.已知中，，．是的前項和．（1）求的通項公式；（2）求的取值范圍；（3），，求的通項公式.解：（1）在數(shù)列中，當(dāng)時，，，，滿足上式，所以的通項公式是.（2）由（1）知，則，而數(shù)列單調(diào)遞增，則，因此，所以的取值范圍是.（3）由（1）知，當(dāng)時，，而，則，即，因此數(shù)列常數(shù)列，則，所以的通項公式是.19.已知函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有解，求的取值范圍．（3），討論零點個數(shù).解：（1）由題意得，的定義域為，因為，所以，則，當(dāng)時，，令，，令，，故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，解得或，當(dāng)時，解得，令，，令，，故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，解得，得到，故此時在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，解得，令，，令，，故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）若有解，則有解，故有解，即有解，則有解即可，令，則即可，而，