高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分高中2024-2025學年高二下學期4月期中聯(lián)考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，.故選：C.2.5名同學分別報名參加書法、繪畫、攝影、編程四個社團，每個社團至少1人，不同的報名方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】由題，先將5人分成四組有種，再將四組分配給4個社團有種，所以不同的報名方法有種.故選：B.3.曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則斜率，又，所以函數在處的切線方程為，即.故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】令，可得，令，可得，所以，故選：A5.設，若為函數的極小值點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴.令，解得或.若，即時，當時，令，解得或；令，解得，∴函數在，上單調遞增，在上單調遞減，此時是函數的極大值點，不符合題意；當時，令，解得；令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，此時是函數的極小值點，滿足題意，此時由，可得；若，即時，當時，令，解得或；令，解得，∴函數在，上單調遞增，在上單調遞減，此時是函數的極小值點，滿足題意，此時由，可得；當時，令，解得；令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，此時是函數的極大值點，不符合題意，綜上，一定成立.故選：D.6.已知函數，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，解得且，即定義域為，可排除D，設，則，所以當時，；當時，，即，所以當時，，可排除A；當，，可排除A，綜上，C為正確選項.故選：C7.已知函數..為定義在上的偶函數，當時，，則下列正確的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令函數，而函數是偶函數，則，即函數是奇函數，當時，求導得，即函數上遞增，則在上遞增，因為，所以，即，所以，雖然，但不能確定與的大小，故ABC錯誤，D正確.故選：D.8.已知函數有3個零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數的定義域滿足：，解得，則函數的定義域為，，要使得函數有3個零點，則在有兩個變號零點，令，整理得，所以，解得，故實數的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，若，則，故選項A正確；對于B，若，則，故選項B錯誤；對于C，若，則，故選項C正確；對于D，若，則，故選項D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，則共有96種排法B.2名男生和5名女生站成一排，則2名男生相鄰的排法共有1280種C.2名男生和5名女生站成一排，則2名男生互不相鄰的排法共有4800種D.2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有3120種【答案】AD【解析】對于A：先排最左端，有種排法，再排剩余4個位置，有種排法，則共有種排法，故A正確；對于B：2名男生相鄰，有種排法，和剩余5名女生排列，相當于6人作排列，有種排法，所以共有種排法，故B錯誤；對于C：先排5名女生，共有種排法，且形成6個空位，再排2名男生，共有種排法，所以共有種排法，故C錯誤；對于D：由C選項可得2名男生和5名女生站成一排，則2名男生互不相鄰的排法共有種排法，若女生甲在最左端，且男生互不相鄰的排法有種排法，所以2名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有種，故D正確.故選：AD11.已知定義在上的函數滿足,且當時，.若在上恒成立，則k的可能取值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】CD【解析】定義在上的函數滿足，則為奇函數，所以，所以，則當時，，則恒成立，所以函數在上單調遞增，則函數在上單調遞減，所以在上遞增，不等式轉化為：，所以，即，因為，所以，則，故故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數在點處的切線方程為，則_____.【答案】3【解析】∵，∴，.∵函數在點處切線方程為，∴，，解得，，∴.故答案：.13.已知，的二項式系數的最大值分別為a，b，若，則正整數______.【答案】5【解析】因為為偶數，為奇數，結合二項式系數的最值可得，又因為，即，可得，整理可得，解得，故答案為：5.14.已知，若對于，不等式恒成立，則的取值范圍為______.【答案】【解析】不等式，可化為，，令，則，所以在上單調遞增，因，，所以，，則，所以不等式，即為，，即對恒成立，令，則，當時，，即單調遞增，當時，，即單調遞減，，則，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.從裝有3個紅球、2個白球、1個黑球的袋中任取3個球，求：（1）恰好取到2個紅球的概率；（2）至少取到1個紅球的概率.解：（1）設“恰好取到2個紅球”為事件A，則；（2）設“至少取到1個紅球”為事件B，則.16.已知函數，且.（1）求的解析式；（2）求函數的單調區(qū)間.解：（1）由題意知，，所以，又，所以，故函數解析式為.（2）由（1）知，，令，得，（舍），當時，；當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減.17.在的展開式中，（1）求有理項的個數；（2）系數最大的項是第幾項?解：（1）由二項式定理知，要為有理項則，因為，且，所以，故有理項有4個；（2）設第項的系數最大，則解得，又，故.所以系數最大的項為第8項18.已知函數.（1）當時，求在點處的切線方程；（2）若對，都有恒成立，求的取值范圍；（3）已知，若存在，使得，求證：.解：（1）當時，，所以，所以.又，故所求切線方程為，即.（2）方法一：原命題等價于對恒成立，令，則，.∵，令，∴.∴在上單調遞增，在上單調遞減，又，，又，所以，故的取值范圍為.方法二：由題意知，當時，，又，①當時，恒成立，即在上單調遞減，所以恒成立，所以，②當時，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，當，即時，在區(qū)間上單調遞增，，所以，（舍去）；當即時，在上單調遞減，，所以；當即時，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，得到，所以，綜上，的取值范圍為.（3）∵，令，得，則在上單調遞減，在上單調遞增，又且，所以.要證，只需證明，因為，，且函數在區(qū)間上單調遞增，所以只需證明，又因為，即證，令，即，注意到，因為，則在上單調遞減，所以在上恒成立，所以.19.已知函數，其中.（1）若偶函數，求；（2）當時，討論函數在上的零點個數；（3）若對，求的取值范圍.（注：記，可用含的表達式表示）解：（1）由題意可知，即即，即則，又，故.（2）當時，，則，令，則恒成立，故在上單調遞增，又，，故使得，則得；得，故在單調遞減，在單調遞增，又因，則，又，則在上存在一個零點，故在上有2個零點.（3）因對恒成立，則當時，上式必