高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市郊六縣市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故.故選：B.2.已知函數且的圖象恒過定點，冪函數的圖象過點，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因為，故，設，故，故，故.故選：D.3.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】原式.故選：A.4.要得到函數的圖象，需（）A.將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）B.將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變）C.將函數圖象上所有點向左平移個單位長度D.將函數圖象上所有點向左平移個單位長度【答案】D【解析】將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象，故A錯誤；將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象，故B錯誤；將函數圖象上所有點向左平移個單位得到圖象，故C錯誤；D.將函數圖象上所有點向左平移個單位得到的圖象，故D正確.故選：D.5.設x∈R，不等式恒成立的一個充分條件可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若，則恒成立，若，則，故，故，所以不等式恒成立的充要條件為，若求充分條件，則充分條件對應的集合真包含于，對比各選擇，只有A符合.故選：A.6.已知函數為上的偶函數，且在上單調遞增，若（為自然對數的底數），則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數是上的偶函數，且在上單調遞增，因為，所以，即.故選：C.7.聲波在空氣中的振動可以用三角函數來表示.在音樂中可以用形如的正弦型函數來表示單音，將三個或三個以上的單音相疊加為和弦.若某和弦由三個單音組成，其中一個單音可以用表示，另外兩個單音的正弦型函數圖象如圖所示，則該和弦的一個周期可能為（）A. B.、 C. D.【答案】C【解析】設題設中左圖對應的解析式為，則，而，其中，故，故，故，其最小正周期為.右圖對應的解析式為，則且，故，故，其最小正周期為，而的最小正周期為，故該和弦的一個最小正周期為，故周期為.故選：C.8.已知函數，若關于的方程有3個不同的實根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得或，當時，，當時，令，解得，故有兩個不同的解且異于，而在0,+∞上為減函數，且，故在0,+∞上至多有一個實數根，若在0,+∞上有一個實數根，則，即，考慮此時解的個數，此方程可化為，因為，故只有一個實數解，若該解與相同，則即，與矛盾，故符合題設要求；若在0,+∞上無實數根，則或，即或，考慮解的個數，若，則，有一個實數根，故原方程至多有兩個不同的實數根，與題設矛盾；若，則，故，當且僅當，時等號成立，故此時至多有一個實數根，故原方程至多有兩個不同的實數根，與題設矛盾；綜上，.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的有（）A.B.C.D.若且，則【答案】ABD【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，，故，故D正確.故選：ABD.10.如圖，質點和從單位圓上同時出發且按逆時針作勻速圓周運動.點的起始位置坐標為，角速度為，點的起始位置坐標為，角速度為，則（）A.在末，點的坐標為B.在末，點在單位圓上第一次重合C.在末，扇形的弧長為D.面積的最大值為【答案】BD【解析】由題設，秒末的坐標為，的坐標為，對于A，在末，的坐標為，故A錯誤；對于B，若重合，則，故，故，故在末，點在單位圓上第一次重合，故B正確；對于C，在末，在的終邊上，在的終邊上，故扇形的弧長為，故C錯誤；對于D，面積為，當且僅當即時等號成立，故D正確.故選：BD.11.已知是上不恒為零的函數，且都有，則下列說法正確的是（）A.B.是奇函數C.若，則D.若當時，，則在上單調遞減【答案】BCD【解析】因為，令，得，所以，故A錯誤；令，得，所以，令，得，又，所以，又因為定義域為，所以函數是奇函數，故B正確；令，得，又，所以，故C正確；當時，由，可得，又，，在上任取，不妨設，，，故，故在單調遞減，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的最大值為__________.【答案】【解析】由基本不等式可得，即，當且僅當時等號成立，故的最大值為.13.在中，已知，則角__________.【答案】【解析】由，得，即，又，所以，則.14.設平行于軸的直線與函數和的圖象分別交于點，若在的圖象上存在點，使得為等邊三角形，則__________.【答案】【解析】設直線的方程為，由，得，所以點，由，得，所以點，從而，如圖，取的中點，連接，因為為等邊三角形，則，所以，，則點，故，解得，所以點的縱坐標為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）計算：；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.解：（1）.（2）因為，所以.（3）因為，所以，又因為，所以，則，.16.對于二次函數，若存在，使得成立，則稱為二次函數的不動點.（1）求二次函數的不動點；（2）若二次函數有兩個不相等的不動點，且，求的最小值；（3）若對任意實數，二次函數恒有不動點，求的取值范圍.解：（1）令，故或，故的不動點為和.（2）依題意，有兩個不相等的正實數根，即方程有兩個不相等正實數根，所以，解得，所以，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為8.（3）由題知：，所以，由于函數恒有不動點，所以，即，又因為是任意實數，所以，即，解得，所以的取值范圍是.17.已知，函數是奇函數.（1）求實數的值；（2）當時，判斷函數的單調性，并用定義給出證明.解：（1），函數的定義域即為的解集，而奇函數的定義域關于原點對稱，故的根為，故.當時，，定義域為，定義域關于原點對稱，而，故為奇函數，故.（2）函數為上的減函數，設，則，，因為，故，故，故，故，即，即函數為上的減函數.18.已知函數.（1）求在上的單調遞增區間；（2）若，，求的值；（3）請在同一平面直角坐標系上畫出函數和在上的圖象（不要求寫作法）；并根據圖象求曲線和的交點個數.解：（1）因為，當時，，由可得，由可得，所以，函數在上的單調遞增區間為，.（2）因為，可得，因為，則，所以，因此.（3）當時，，在同一平面直角坐標系上畫出函數和在上的圖象如下圖所示：由圖可知，曲線和在上的交點個數為.19.已知函數.（1）對任意實數是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由；（2）求不等式的解集；（3）當時，求的最大值