高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省新未來2024-2025學年高二下學期期中數學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線與直線垂直，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由直線與直線垂直，得，所以.故選：C.2.已知橢圓E：的上、下頂點與左、右焦點分別為A，B，，，且四邊形是正方形，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，故，又，則E的離心率為.故選：B3.若隨機變量的分布列如表，則的值為（）1234A. B. C. D.【答案】A【解析】根據題意可得，所以.故選：A.4.直線l：與圓O：相交于A，B兩點，當時m的值為（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】A【解析】依題意，，解得，而，則，，于是點到直線的距離，因此，而，所以.故選：A5.已知雙曲線C：，其左、右焦點分別為，，過點的直線交C的左右兩支分別于A，B兩點，且，，則C的實軸長為（）A.1 B.6 C.2 D.4【答案】D【解析】設，則，因此，解得，所以C的實軸長.故選：D6.已知函數有最大值，則a的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，且；令，解得或（舍）；顯然當時不合題意，當時，若，易知，此時函數在上單調遞增，若，易知，此時函數在上單調遞減；所以在處取得極大值，也是最大值，即，解得，符合題意；當時，若，易知，此時函數在上單調遞減，若，易知，此時函數在上單調遞增；此時無最大值，不符合題意；綜上可知，.故選：A.7.用五種不同顏色的涂料涂在如圖所示的五個區域，相鄰兩個區域不能同色，且至少要用四種顏色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.480 C.420 D.360【答案】D【解析】先不考慮至少要用四種顏色，完成涂色需要分5步，按照順序依次涂區域CADEB，C區域有5種顏色可選，A區域有4種顏色可選，D區域有3種顏色可選；若E區域與D區域顏色相同，E區域有1種顏色可選，則B區域有3種顏色可選；若E區域與D區域顏色不同，E區域有2種顏色可選，則B區域有2種顏色可選；再由分類加法和分步乘法計數原理計算可得共有種；如果只使用三種顏色涂色（小于三種無法涂色），則A，B同色且D,E同色，共有種涂色方法；所以滿足題意的不同的涂色方法有種.故選：D.8.將數列和中所有元素按從小到大的順序排列構成數列（若有相同元素，按重復方式計入排列），則數列的前50項和為（）A.2160 B.2240 C.2236 D.2490【答案】C【解析】由題知：中第50個數為，第41個數為，因為，，則數列的前50項和中含中元素46個，含中元素4個，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若隨機變量服從兩點分布，其中，、分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由題意可知，隨機變量的分布列如下表所示：所以，，，，.故選：ABD.10.已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（）A.若，，則B.若，則C若，，則D.若，，則在上的投影向量的坐標為【答案】BCD【解析】對于A，當時，，顯然不共線，因此與平面不垂直，A錯誤；對于B，由，得，則，即，B正確；對于C，當時，，則，C正確；對于D，當時，，，因此在上的投影向量為，D正確.故選：BCD11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.若恰有3個零點，則B.若恰有3個零點，則C.若恰有4個零點，則a的取值范圍是D.若恰有4個零點，則a的取值范圍是【答案】AD【解析】函數的定義域為R，當時，，于是，令，則函數的零點個數即為直線與函數的圖象交點個數，求導得，令函數，求導得，令函數，求導得，函數在上單調遞增，當時，；當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，而，則存在，使得，當或時，，當時，，于是函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，則存在，使得，當或時，；當或時，，于是函數有4個零點，且，當或或時；當或或時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，且當時，，當時，，因此當時，直線與函數的圖象最多兩個交點；函數在上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數取得極大值，，，由，得，當時，取得極小值，，同理，對于AB，恰有3個零點，即直線與函數的圖象有3個交點，則，A正確，B錯誤；對于CD，恰有4個零點，即直線與函數的圖象有4個交點，則，C錯誤，D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數是______.（用數字作答）【答案】5【解析】的展開式的通項為.從中選擇1，則需求的展開式中含的項，由可得，，此時有；從中選擇，則需求的展開式中含的項，由可得，，此時有.所以，的展開式中含的項為.故答案為：5.13.從1，2，3，4，5，6，7這7個數中任取3個不同的數，則這3個不同的數的中位數為4的概率為______．【答案】【解析】從這7個數中任取3個不同的數，所有的情況有種，要使得這3個不同的數的中位數為4，則需要從1,2,3中任選一個數，從5,6,7中任選一個數，再加上4，即可滿足，故有,故概率為，故答案為：14.已知拋物線E：，O為坐標原點，直線l交拋物線E于A，B兩點（A，B在x軸兩側），過點O向直線l作垂線，垂足為C，且，則點C到x軸的最大距離為______．【答案】4【解析】由于，，得∽，則，，即，設直線的方程為，點，由消去得，則，，由，得，而，解得，因此直線恒過定點，點的軌跡是以線段為直徑的圓（除點外），所以點到x軸的最大距離為.故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.若，其中．（1）求m的值；（2）求．解：（1）易知展開式中含項為，因此可得，即；解得；（2）由（1）可知，二項式為，令，可得；令，可得;因此可得.16.已知橢圓C：的焦距為，且橢圓C過點．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：與橢圓C交于不同的A，B兩點，與x軸交于點D，證明：為定值．解：（1）由橢圓C：過點，得，而橢圓的半焦距，則，所以橢圓C的方程為.（2）由消去得，設，，則，，而，因此，所以為定值.17設甲盒有4個白球，2個紅球，乙盒有2個白球，4個紅球，現從甲盒中任取2個球放入乙盒中，再從乙盒中任取1個球．（1）記隨機變量表示從甲盒取出的紅球個數，求的分布列和數學期望；（2）求從乙盒取出的1個球為紅球的概率．解：（1）易知的所有可能取值為，所以，因此的分布列為：012數學期望.（2）設“從甲盒中任取2個球全為紅色”為事件，“從甲盒中任取2個球為一紅一白”為事件，“從甲盒中任取2個球全為白色”為事件，“從乙盒取出的1個球為紅球”為事件，易知；；所以.即從乙盒取出的1個球為紅球的概率為.18.已知數列的前n項和為，且．（1）證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）記，記數列的前n項和為．①求；②若存在，使得，求的取值范圍．解：（1）數列中，，當時，，兩式相減得，整理得，于是，而，即，則，所以數列是以3為首項，3為公比的等比數列，，；（2）①由（1）知，，，.②由①知，，，，而數列單調遞增，則，因此，由存在，使得，得，所以的取值范圍是.19.已知函數．（1）若，求證：在上單調遞減；（2）若在上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明：解：（1）由，則，故，令，則，令，則，故，，在單調遞增，，，在單調遞減，故，則