高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省天一大聯(lián)考2025屆高三階段性測試（六）數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.橢圓的焦距為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】由題意得，，故，∴橢圓的焦距為2.故選：B.2.若成等比數(shù)列，則（）A.4 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的概念可得，.故選：C.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈膱D象是由的圖象將軸下方的圖象翻折到軸上方和軸上方的圖象組成的，所以的最小正周期是的最小正周期的一半，因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋缘淖钚≌芷跒椋蔬x：C4.已知集合，則使得“且”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知且2?A?3a-2≤06a-2>0，解得，所以使得“且”成立的一個(gè)充分不必要條件是集合的一個(gè)真子集，因?yàn)橹挥羞x項(xiàng)A中的是的真子集，故選：A5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，故．故選：A6.已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競賽，并包攬了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，且丙不是最后兩名，則這7名同學(xué)獲獎(jiǎng)的名次情況共有（）A.524種 B.564種 C.624種 D.664種【答案】C【解析】若甲、乙占據(jù)前兩名，則所有的情況有種，若丙在前兩名，則從甲、乙中選1人和丙排在前2名，故所有的情況有種，故共有種．故選：C7.已知某正四棱臺的上、下底面面積分別為1，16，側(cè)棱與下底面所成角的正弦值為，則該正四棱臺的體積為（）A.12 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】設(shè)該正四棱臺的側(cè)棱長為．因?yàn)檎睦馀_的上、下底面面積分別為1，16，所以正四棱臺的上、下底面邊長分別為1，4，所以正四棱臺上、下底面的對角線長分別為，，所以該正四棱臺的高，因?yàn)閭?cè)棱與下底面所成角的正弦值為，所以，可得，所以，故所求體積．故選：B8.已知，，且對任意的，恒成立，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)，則恒成立，等價(jià)于恒成立，從而有，故．設(shè)，，則．作點(diǎn)E關(guān)于直線的對稱點(diǎn)F，連接由題可知，，,則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.【答案】AD【解析】對于A，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，得，得，即，故A正確；對于B，令，可知，故B錯(cuò)誤；對于C，令，可知，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選：AD10.已知正方體的棱長為，點(diǎn)在底面上（含邊界），且，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡的長度為B.直線與平面所成角的正切值最大為C.平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面的面積為D.若動點(diǎn)在線段上，為的中點(diǎn)，則的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，根據(jù)正方體性質(zhì)可得，可知，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的四分之一圓，如下圖所示：則其軌跡的長度為，故A正確；對于B，易知當(dāng)點(diǎn)位于棱上時(shí)，直線與平面所成的角最大，此時(shí)，即直線與平面所成角的正切值最大為，故B錯(cuò)誤；對于C，易知內(nèi)切球的半徑為，球心位于正方體的中心，其到平面的距離為，易知，，點(diǎn)平面的距離為；可得球心到平面的距離為，故截面圓的半徑滿足，則所得截面的面積為，故C正確；對于D，如下圖：先固定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最小，再讓點(diǎn)移動，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，故D正確.故選：ACD11.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則下列說法正確的是（）附：雙曲線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.A.B.C.作于點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）D.若的延長線交于點(diǎn)，則的內(nèi)心在定直線上【答案】BCD【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為.根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限.對于A，由題意得，，，解得，故，，A錯(cuò)誤.對于B，由題可知雙曲線右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故，則，∴直線的斜率存在，∵點(diǎn)直線上，∴，∴，則，∵，∴，故，解得，故B正確.對于C，由題意得，點(diǎn)處的切線方程為，切線斜率為，∵，故直線與雙曲線相切，是切點(diǎn).由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角，則平分，延長，與的延長線交于點(diǎn)，連接，則為等腰三角形，，∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，故C正確.對于D，記的內(nèi)心為，則是的平分線，是的平分線，由選項(xiàng)C可得，直線是雙曲線的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩式，解得，由得，，設(shè)直線，則式可化為，即點(diǎn)在定直線上，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值，簡稱為原則.假設(shè)某廠生產(chǎn)的包裝盒的厚度（單位：），某天檢測員隨機(jī)抽取了一個(gè)包裝盒，測得其厚度不小于16，他立即判斷生產(chǎn)出現(xiàn)了異常，由此可知的最大值為__________.【答案】2【解析】解析由題可知，解得，故的最大值為2.故答案為：213.已知函數(shù)，若函數(shù)至少有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】作出的大致圖象如圖所示，由的零點(diǎn)，即為觀察可知．當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，令，可得，所以，故．故答案為：．14.已知某種長方體花崗巖的規(guī)格為（其中第個(gè)數(shù)分別為長、寬、高，且長寬高），若從長方體某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取一次共可得到三種不同規(guī)格的長方體，按照上述方式對第1次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進(jìn)行第3次截取，則第3次截取后得到的不同規(guī)格的長方體的種數(shù)__________，在上述種不同規(guī)格的長方體中任取1種，該種長方體的長與寬之差小于的概率為__________.【答案】①.8②.【解析】列表如下，重復(fù)的去掉.原始狀態(tài)第1次截取第2次截取，第3次截取，,,由表可知，第3次截取后得到的不同規(guī)格的長方體的種數(shù).在上述8種不可規(guī)格的長方體中任取1種，該種長方體的長與寬之差小于10cm的有共3種，故所求概率為.故答案為：8，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某景區(qū)試賣一款紀(jì)念品，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該款紀(jì)念品的定價(jià)（單位：元）與銷量（單位：百件）的對應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表所示：1212.51313.51414131198（1）求該紀(jì)念品定價(jià)的平均值和銷量的平均值；（2）計(jì)算與的相關(guān)系數(shù)；（3）由（2）的計(jì)算結(jié)果，判斷能否用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：.參考公式：相關(guān)系數(shù).解：（1）由題可知，；（2）計(jì)算得，故；（3）由（2）可知，與的相關(guān)系數(shù)的絕對值近似為0.992，大于0.75且非常接近1，說明與的線性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可以用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系.16.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）若，求；（2）若，求關(guān)于n表達(dá)式．解：（1）令，可得，故，又，所以．（2）由，可得，，…，，兩邊分別相乘得，所以．當(dāng)時(shí)，，所以，即，即，由題可知，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均成公差為的等差數(shù)列．所以，，所以．所以，故．17.已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證．（1）解：由題可知，則，又．故所求切線方程為．（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證在時(shí)恒成立．令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故．當(dāng)時(shí)，有，故，即在時(shí)恒成立，故當(dāng)時(shí)．18.已知拋物線為上一點(diǎn).（1）證明：以點(diǎn)為圓心且過點(diǎn)的圓與的準(zhǔn)線相切.（2）若動直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且直線的斜率之和為.（i）求的方程；（ii）過點(diǎn)作的切線，若，求的面積的最小值.（1）證明：由題可知點(diǎn)為的焦點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為.∵為上一點(diǎn)，∴由拋物線的定義得等于點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，∴以為圓心且過點(diǎn)的圓與的準(zhǔn)線相切.（2）解：設(shè).（i）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)，直線關(guān)于軸對稱，成立.當(dāng)時(shí)，由得，直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，則.聯(lián)立直線與的方程，可得，∴.∵，∴，化簡可得，則，由得，，由得，故的方程為.（ii）設(shè)直線，與的方程聯(lián)立，可得，由，得，由得，，故點(diǎn).設(shè)的中點(diǎn)為，∵，∴，故.∵，∴三點(diǎn)共線，且為線段的中點(diǎn)，∴的面積為的面積的，由為的中點(diǎn)得，的面積為的面積的，∴的面積為的面積的.∵，∴.∵點(diǎn)到直線的距離，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的面積的最小值為.19.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在軸上（點(diǎn)異于點(diǎn)），且.（1）當(dāng)（表示面積）取得最大值時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.（2）若，動點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），探究：是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（3）記平面與平面、平面、平面的夾角分別為，比較與1的大小關(guān)系，并說明理由.解：（1）不妨設(shè)，則且，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，取得最