高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省濮陽市2024-2025學年高一上學期11月期中考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列圖象中，可以表示函數的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數的定義可知定義域中任意一個自變量，都存在唯一確定的函數值與之對應，選項A，C，D的函數圖象中存在，對應多個不同的函數值，故不可以表示函數，選項B符合題意.故選：B.2.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，解得且，故函數的定義域為.故選：C.3.下列各組函數中，表示同一函數的為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對于A，的定義域為，的定義域為，它們的定義域不同，不是同一函數，A不是；對于B，的定義域為，的定義域為，它們不是同一函數，B不是；對于C，兩個函數定義域都是、且對應關系均相同，是同一函數，C是；對于D，，，兩個函數的對應關系不同，不是同一函數，D不是.故選：C4.已知，，則（）A.27 B.9 C.3 D.【答案】A【解析】因為，故.故選：A5.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.6.“，”的一個充分條件可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】若函數在上恒成立，則只需，解得，即的取值范圍是1,+∞，故“，”的一個充分條件可以是“”.故選：B7.已知函數是奇函數，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為是奇函數，所以，所以，又，所以.此時可知，滿足，所以是奇函數，所以.故選：C.8.已知實數x，y滿足，則和的最大值分別為（）A.2， B.2，1 C.4， D.4，【答案】D【解析】因為，所以因為，所以，解得.又因為，所以，所以，即，即，解得，所以，所以，故的最大值為4，的最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知集合，，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由題意可得，，故，則，，故A錯誤，B正確；，故，故C錯誤；，故，故D正確.故選：BD.10.已知正數x，y滿足，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A，因為正數x，y滿足，所以，因為，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，當且僅當時取等號，故C錯誤；對于D，，當且僅當時取等號，故D正確.故選：AD.11.已知函數滿足對任意，都有，則（）A. B.可能為增函數C. D.為偶函數【答案】ACD【解析】對于A：取，所以，所以，所以，故正確；對于B：令，則，令，則，所以，所以不可能為增函數，故錯誤；對于C：由B可知，成立，故正確；對于D：因為，故以代換可得，再以代換可得，即，所以，且定義域為關于原點對稱，所以為偶函數，故正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“任何正數的立方根都是正數”的否定為_____，否定后的命題是_____命題（填“真”或“假”）.【答案】①.存在正數的立方根不是正數②.假【解析】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題的否定為“存在正數的立方根不是正數”，正數的立方根是正數所以是假命題.故答案為：存在正數的立方根不是正數；假.13.已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是_____.【答案】【解析】為保證分段函數在整個定義域內單調遞增，需同時滿足，解得，所以的取值范圍是.故答案為：14.已知函數，且對恒成立，，，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由題意可得在上單調遞增，當時，；當時，，所以，由對恒成立，得，，故，故的取值范圍為.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知冪函數，.（1）求的解析式；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）由冪函數的定義可得，解得，則，故.（2）易知在上單調遞增，又，所以，即，解得，故取值范圍為.16.近年來，國家發展改革委、國務院、工信部、生態環境部等有關部門紛紛出臺污水處理領域指導、支持及規范類政策，該相關政策的落實不僅促進了環境保護，同時也帶動了一批企業的發展.已知某企業每年生產某種智能污水處理設備的最大產能為100臺，其年度總利潤（單位：萬元）與產能（單位：臺）的函數關系為（1）當產能不超過40臺時，求每年生產多少臺時，平均每臺設備的年利潤最大？（2）當產能為多少臺時，該企業所獲年度總利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）因為當時，.則平均每臺設備的年利潤為，，當且僅當時取等號，由于，，且，故當生產14臺時，平均每臺設備的年利潤最大.（2）當時，，對稱軸為，所以當時，取最大值，（萬元）；當時，（萬元），當且僅當時等號成立.因為，故當產能為35臺時，所獲年度總利潤最大，最大利潤為2050萬元17.按照要求解答下列問題.（1）已知函數在區間上不單調，求實數的取值范圍；（2）求函數，的最小值.解：（1）根據題意得到，解得，故的取值范圍是.（2）由題意可得，當時，函數和單調遞增，故函數在上單調遞減，故；當時，函數在上單調遞增，故；當時，，可知.綜上可知的最小值為3.18.已知函數.（1）求的值；（2）判斷的單調性，并用定義法進行證明；（3）證明：.（1）解：（2）解：在上單調遞減，證明如下：取，，且，因為故，即，，則，即，故，即，所以在上單調遞減；（3）證明：由（2）可得，又因為，故，故.19.已知函數的定義域為，給定，設，，若存在使得，則稱為函數的一個“點”.（1）若為R上的單調函數，證明：不存在“點”；（2）若，討論的“點”個數，并在存在“點”的前提下，求出所有的“點”；（3）若，證明：“為函數的一個‘點’”的充要條件是“”.（1）證明：若在上單調遞增，則時，對，有，則，不存在“點”；若在上單調遞減，則時，對，有，則不存在“點”.綜上所述，不存在“點”.（2）解：當時，在上單調遞增，則不存在“點”；當時，則使在時有解的的個數即為的“點”的個數，整理得，由得，故，即存在唯一“點”.綜上所述，當時，不存在“點”；當時