高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省部分學校2023-2024學年高二下學期期末考試數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知等差數列滿足，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】因為，所以，所以故選：B.2.已知空間向量，，，且，，共面，則實數（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】因共面，所以存在實數，使得，即所以，解得.故選：D.3.如圖，過圓內一點作兩條弦，且過圓心，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中點，連接，則，圓的半徑，則，，所以.故選：B.4.過原點O作曲線的切線，其斜率為2，則實數（）A.e B.2 C. D.【答案】D【解析】設切點，則，故切點處的切線方程為，故，將代入得，故，解得或，若，則，此時無解，故不符合題意，若，則，故，此時滿足題意，故選：D5.已知雙曲線（）的兩條漸近線為，，過雙曲線右焦點且垂直于軸的直線交，分別于點，，為坐標原點，若的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由雙曲線方程得其漸近線方程為，由題知軸且過右焦點，令，得，.則的面積，解得.雙曲線（），，解得.故選：.6.如圖，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為菱形，，則直線所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點，連接,四邊形為的菱形，所以，由于平面平面，且兩平面交線為，,平面，故平面,又四邊形為正方形，故建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設正方形的邊長為2，則,故,則，又故，故直線所成角的正弦值，故選：C7.若是R上的增函數，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當時，為單調遞增函數；當時，，則，令，即，而，則可得，故要使得是R上的增函數，需滿足，解得，故選：C8.已知等比數列滿足，公比，且，，則當最小時，（）A.1012 B.1013 C.2022 D.2023【答案】A【解析】由題意知，故，則，即，結合等比數列滿足，公比，可知，由，得，即得，故，即，由此可得，故當最小時，，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點在拋物線（）上，F為拋物線的焦點，，則下列說法正確的是（）A. B.點F的坐標為C.直線AQ與拋物線相切 D.【答案】AC【解析】將代入中可得，故，F1,0,A正確，B錯誤，,則AQ方程為，則，，故直線AQ與拋物線相切，C正確，由于軸，所以不成立，故D錯誤，故選：AC10.從1，2，3，4四個數字中隨機抽取一個數字，記事件“取到數字1或數字2”，事件“取到數字1或數字3”，事件“取到數字2或數字4”，則下列說法正確的是（）A.事件相互獨立B.事件為對立事件C.D.設事件發生的次數為，則【答案】AB【解析】對于A，，則，所以事件相互獨立，故A正確；對于B，因為抽取到的數字是或或或，而事件不可能同時發生且必有一個發生，所以事件為對立事件，故B正確；對于C，，所以，故C錯誤；對于D，由題意可取，則，所以，故D錯誤.故選：AB.11.已知正方體的棱長為1，且E為AB的中點，則下列說法正確的是（）A.B.C.直線與夾角的余弦值為D.點到平面的距離為【答案】BD【解析】對于A,,,故A錯誤，對于B，,故，B正確，對于C，建立如圖所示空間直角坐標系，則,可得,故，所以直線與夾角的余弦值為，C錯誤，對于D，由，可得，其中為點到平面距離，故D正確，故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，且，則________．【答案】【解析】,故答案為：13.將2名女生和3名男生分配到兩個不同的興趣小組，要求每個興趣小組分配男生、女生各1人，則不同的分法種數為________．【答案】12【解析】每個小組安排一個女生，有種方法，每個小組安排一名男生，有種方法，故每個興趣小組分配男生女生各1人，共有種方法，故答案為：1214.將（）的展開式中第m項的系數記作，則________（用數字作答）．【答案】【解析】由題意可得，則.故答案為：.四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數列的前n項和（）．（1）求的值；（2）證明：；（3）證明：．解：（1）當時，，又，所以.（2）因為，所以（時取“”）.所以，即（當且僅當時取“”）.（3）由（2）（當且僅當時取“”）.所以，，，…，.各式相加得：.即.16.如圖，在三棱錐中，，，，．（1）證明：平面PAB；（2）過的中點作平面與平面ABC平行，并分別交，于點，，且E為的中點，求二面角的正弦值．解：（1）在中，，，所以.在中，，，，因為，所以.即，又，平面，，所以平面.因為平面，所以，又，平面，，所以平面（2）如圖：以為原點，建立如圖空間直角坐標系.因為平面平面，且為中點，則為中點.則,,,,,.所以，，.設平面的法向量為，則，取；設平面的法向量為，則，取.設二面角為，則，所以.17.已知直線分別交x軸、y軸于P，Q兩點，并交橢圓C：（）于不同的兩點，且三等分線段．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若斜率為1的直線l交橢圓C于M，N兩點，O為坐標原點，當的面積最大時，求直線l的方程．解：（1）直線分別交x軸、y軸于P，Q兩點，故,由于是線段的三等分點，所以,故，將代入橢圓方程可得，故橢圓方程為，（2）設直線：，則，設,則，故，點到直線的距離，故，當且僅當，即時等號成立，時，，符合題意，故的面積最大時，求直線l的方程為18.已知函數．（1）當時，證明：函數為增函數；（2）當時，證明：．解：（1）當時，，，，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號，所以，所以函數為增函數；（2）當時，，，，因為函數在上都是增函數，所以函數在上是增函數，又，所以存在，使得，此時，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，令，則，所以函數在上單調遞減，所以，即，所以．19.一個袋子中有大小、形狀、質地完全相同的n（）個球，號碼分別標為1，2，，…，，從中有放回地隨機摸球3次，每次摸球2個，把每次摸到的2個球號碼之和記下，分別為，，．（1）若，求的概率；（2）求的值