高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省安陽市林州市2023-2024學年高二下學期期末考試數學試卷考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應題目的標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標號.回答非選擇題時，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量與共線，則實數（）A.-9 B.-3 C.3 D.1【答案】A【解析】因為向量與共線，所以，解得.故選：A.2.某科技公司隨著技術的進步和管理的逐漸規范，生產成本逐年降低，該公司對2011年至2023年的生產成本（萬元）進行統計，根據統計數據作出如下散點圖：由此散點圖，判斷下列四個經驗回歸方程類型中最適合作為2011年至2023年該公司的生產成本與時間變量的經驗回歸方程類型的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據圖中散點圖可知，散點大致分布在一條“對數型”函數曲線的周圍，而對于A選項是“拋物線型”的擬合函數，且是增加的；B選項是“直線型”的擬合函數，且是增加的；D選項是“冪函數型”的擬合函數，且是增加的，只有C選項的擬合函數符合題意.故選：C3.已知是等差數列的前項和，且，則的公差（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為,所以,所以.故選：C.4.已知雙曲線的頂點為橢圓的焦點，的離心率與的離心率之積為1，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，對于橢圓，焦點為和，離心率為.設雙曲線的標準方程為，又雙曲線的離心率與橢圓的離心率之積為1，所以雙曲線的離心率為，即，又，所以，，所以雙曲線的標準方程為.故選：B5.已知為第三象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為為第三象限角，所以，，則.故選：D6.已知是虛數單位，集合，則中的元素個數為（）A.1 B.2 C.0 D.無數個【答案】B【解析】根據復數的幾何意義得,圓心圓心又因為,,兩圓相交有兩個交點，則中的元素個數為2.故選：B.7.已知函數在處取得極小值1，則在區間上的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】，因為函數在處取得極小值1，所以，解得，可得，且，解得，，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，，，，則在區間上的最大值為6.故選：C.8.在三棱錐中，，則與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】中，，由余弦定理，有，為中點，連接，由，有，，平面，則有平面，平面，所以平面平面，平面平面，作，垂足為，平面，得平面，則與平面所成角為，，，則有，得，則.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某籃球隊員進行投籃練習，根據歷史數據可知，該隊員每次投籃的命中率均為，若該隊員投籃4次，投進球的個數記為，且，則（）A. B.C. D.至少進1個球的概率為0.9919【答案】ABD【解析】由題意知，，則，解得，所以，，所以至少進1個球的概率為.故選：ABD10.已知的展開式的第2項與第3項系數的和為，則（）A. B.展開式的各項系數的和為C.展開式的各二項式系數的和為32 D.展開式的常數項為【答案】AD【解析】展開式的通項為，且，展開式的第2項與第3項系數的和為，則有，由解得，A選項正確；令，展開式的各項系數和為，B選項錯誤；展開式的二項式系數和為，C選項錯誤；令，得，則的展開式的常數項為，D選項正確.故選：AD.11.已知關于的不等式恒成立，則實數的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】①當時，恒成立，則，②當時，則，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞增，所以,所以；③當時，則，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，綜上所述，實數的取值范圍為.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數的圖象關于點中心對稱，則______．【答案】【解析】函數，因為的圖象關于點中心對稱，所以，對恒成立，即，對恒成立，即，對恒成立，則，解得，故答案為：-113.某職業技術學校組織6名學生到3家工廠實習，每家工廠至少去1人，至多去3人，且每名學生只能去1家工廠，則不同的分配方法共有______種．（用數字作答）【答案】【解析】由題意，人分成組有和兩種分法，當按分組時，則不同的分配方法有種，當按分組時，則不同的分配方法有種，綜上，不同的分配方法共有種.故答案為：.14.已知的內角的對邊分別為，且為銳角三角形，，則面積的取值范圍為______．【答案】【解析】由，，則，即，又，又，所以.由正弦定理得，所以，又，，，所以，則，得，所以，所以.即的面積的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在數列中，已知．（1）證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）若，求數列的前項和．解：（1）由題意知，，兩邊同除以，得，，，則，根據等比數列的定義知，是首項為3，公比為3的等比數列，，；（2）由（1）知，，，①，②①②，得，．16.某公司生產甲、乙兩種產品，在該公司的倉庫中有甲產品7萬件、乙產品3萬件，按甲、乙產品的數量比例，用分層隨機抽樣的方法從這10萬件產品中抽取一個容量為10的樣本，對樣本中的每件產品進行質量檢測，測得樣本中甲產品的優質品率為，乙產品的優質品率為．（1）若從樣本中再隨機抽取3件進行深度測試，求至少抽到2件乙產品的概率；（2）若從樣本中的甲產品和乙產品中各隨機抽取2件，將抽到的這4件產品中優質品的件數記為，求的分布列和數學期望．解：（1）由分層隨機抽樣方法知，抽取的容量為10的樣本中，甲產品有件，乙產品有件，從這個容量為10的樣本中再隨機抽取3件，不同抽取方法的種數為，其中至少抽到2件乙產品的不同抽取方法種數為，至少抽到2件乙產品的概率為．（2）由題意知在這個容量為10的樣本中，甲產品中有件優質品，有件不是優質品，乙產品中有件優質品，有件不是優質品，則的所有可能取值為1，2，3，4．，，，，的分布列為1234．17.如圖，在三棱柱中，平面平面，，分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）如圖，連接，設，連接，因為分別是棱的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為，所以，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，得到，以為坐標原點，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，由，得到，所以，易知平面的一個法向量為，設平面的法向量為，由，得到，令，得，所以平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知是拋物線的焦點，縱坐標為的點在上，且，是上兩點，直線不與軸垂直，且直線關于軸對稱．（1）求的方程；（2）求證：直線過定點；（3）求的取值范圍．解：（1）由題知，點的橫坐標為，根據拋物線定義知，，解得或4（舍去），的方程為．（2）由（1）知．設，，直線的方程為，代入，整理得，則，，．直線，關于軸對稱，，，，，直線過定點．（3）由（Ⅱ）知，，，，，又在時單調遞增，，的取值范圍為．19.已知函數．（1）若，討論的單調性；（2）若函數恰有2個零點，求的取值范圍．解：（1）由已知，得的定義域為，，若，則當時，，當時，，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；若，則，當或時，，當時，，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．綜上所述，當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．（2）由題知，，恰有2個零點，方程恰有2個正實數解，即方程恰有2個正實數解，即方程恰有2個正實數解．設，即方程恰有2個正實數解，顯然在上單調遞增，，即方程恰有