高三數學大題試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)4.已知\(\log_{2}a=0.5\)，則\(a\)的值為（）A.\(\sqrt{2}\)B.2C.4D.165.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，則\(a_{7}\)的值為（）A.11B.12C.13D.146.函數\(f(x)=x^{3}-3x\)的單調遞增區間是（）A.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,-\sqrt{3})\)和\((\sqrt{3},+\infty)\)D.\((-\sqrt{3},\sqrt{3})\)7.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.1B.2C.3D.48.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.-\(\frac{3}{4}\)9.已知直線\(l\)過點\((1,1)\)，且與直線\(x-2y+3=0\)垂直，則直線\(l\)的方程為（）A.\(2x+y-3=0\)B.\(2x-y-1=0\)C.\(x+2y-3=0\)D.\(x-2y+1=0\)10.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^{2}\)，\(c=\log_{2}0.3\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(c\ltb\lta\)C.\(b\ltc\lta\)D.\(c\lta\ltb\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=e^{x}\)2.已知\(\{a_{n}\}\)是等比數列，公比\(q\gt0\)，則下列說法正確的是（）A.若\(a_{1}\gt0\)，則\(a_{n}\gt0\)B.若\(a_{1}\lt0\)，則\(a_{n}\lt0\)C.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)D.\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)\)3.對于直線\(l\)：\(Ax+By+C=0\)，下列說法正確的是（）A.當\(A=0\)，\(B\neq0\)時，直線\(l\)平行于\(x\)軸B.當\(B=0\)，\(A\neq0\)時，直線\(l\)平行于\(y\)軸C.直線\(l\)的斜率為\(-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.直線\(l\)在\(x\)軸上的截距為\(-\frac{C}{A}\)（\(A\neq0\)）4.已知\(a\)，\(b\)為實數，則下列不等式成立的是（）A.\(a^{2}+b^{2}\geqslant2ab\)B.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）D.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{(a+b)^{2}}{2}\)5.以下關于橢圓的說法正確的是（）A.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的長軸長為\(2a\)B.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)C.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的焦點在\(x\)軸上D.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)上的點到兩焦點距離之和為\(2a\)6.已知函數\(y=\sin(2x+\varphi)\)，下列說法正確的是（）A.當\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)時，函數圖象關于\(y\)軸對稱B.當\(\varphi=\pi\)時，函數\(y=\sin(2x+\varphi)\)是奇函數C.函數\(y=\sin(2x+\varphi)\)的圖象是由\(y=\sin2x\)的圖象平移得到的D.函數\(y=\sin(2x+\varphi)\)的最小正周期為\(\pi\)7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分別為\(\triangleABC\)內角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對邊，則下列等式正確的是（）A.\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cosA\)B.\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)C.\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cosB\)D.\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cosC\)8.下列極限存在的是（）A.\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)C.\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{x-1}\)9.已知函數\(f(x)=x^{2}-2x+3\)，則（）A.函數\(f(x)\)的對稱軸為\(x=1\)B.函數\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)上單調遞減C.函數\(f(x)\)的最小值為\(2\)D.函數\(f(x)\)的圖象與\(x\)軸無交點10.已知\(z=a+bi\)（\(a\)，\(b\inR\)）為復數，則（）A.\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)B.\(z\)的共軛復數\(\overline{z}=a-bi\)C.\(z\cdot\overline{z}=|z|^{2}\)D.若\(z\)是純虛數，則\(a=0\)，\(b\neq0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內是單調遞減函數。（）3.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）4.拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點坐標是\((\frac{p}{2},0)\)。（）5.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）6.數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}+1\)，則\(a_{n}=2n-1\)。（）7.函數\(y=\cos^{2}x-\sin^{2}x\)的最小正周期為\(\pi\)。（）8.若直線\(l_{1}\)：\(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)與直線\(l_{2}\)：\(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)平行，則\(\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\neq\frac{C_{1}}{C_{2}}\)。（）9.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數列，則\(b^{2}=ac\)。（）10.函數\(y=\log_{a}x(a\gt0,a\neq1)\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，求\(a_{n}\)的通項公式。答案：設等差數列公差為\(d\)，\(a_{3}=a_{1}+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。則\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.求函數\(y=x^{2}-4x+3\)的單調區間。答案：對函數\(y=x^{2}-4x+3\)求導得\(y^\prime=2x-4\)。令\(y^\prime\gt0\)，即\(2x-4\gt0\)，解得\(x\gt2\)，所以\((2,+\infty)\)是單調遞增區間；令\(y^\prime\lt0\)，即\(2x-4\lt0\)，解得\(x\lt2\)，所以\((-\infty,2)\)是單調遞減區間。3.已知橢圓方程\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，求其長軸長、短軸長、焦距。答案：由橢圓方程\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)知\(a^{2}=16\)，\(b^{2}=9\)，則\(a=4\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\)。長軸長\(2a=8\)，短軸長\(2b=6\)，焦距\(2c=2\sqrt{7}\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{1}{3})^{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置關系。答案：圓\(x^{2}+y^{2}=1\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。直線\(y=kx+1\)即\(kx-y+1=0\)。圓心到直線距離\(d=\frac{|0-0+1|}{\