排列組合試題分析方法及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.從5個不同元素中選3個的組合數是（）A.10B.15C.20D.602.5個人站成一排，有多少種不同站法（）A.120B.60C.24D.7203.從3名男生和2名女生中選2人參加活動，至少有1名女生的選法有（）A.6種B.7種C.8種D.9種4.用1、2、3、4組成無重復數字的四位數，偶數有（）個A.6B.12C.18D.245.某班有8個小組，從中選2個小組進行展示，選法有（）A.28種B.32種C.56種D.64種6.6本書分給3個人，每人2本，分法有（）A.90種B.120種C.180種D.720種7.從10個不同元素中取出4個元素的排列數為（）A.5040B.210C.1000D.408.4個相同的球放入3個不同盒子，允許有空盒，放法有（）A.15種B.10種C.9種D.6種9.有5種顏色涂4個區域，相鄰區域不同色，涂法有（）A.180種B.240種C.320種D.420種10.7人排成一排，甲、乙相鄰的排法有（）A.1440種B.720種C.120種D.60種二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列屬于排列問題的有（）A.從10個人中選2人做正副組長B.從10個人中選2人參加會議C.從5個景點選2個游覽D.5個同學互通一次電話E.5個同學互寫一封信2.從6名醫生和4名護士中選3人組成醫療小組，要求至少有1名護士，選法正確的是（）A.\(C_{4}^{1}C_{6}^{2}+C_{4}^{2}C_{6}^{1}+C_{4}^{3}\)B.\(C_{10}^{3}-C_{6}^{3}\)C.\(C_{4}^{1}C_{9}^{2}\)D.\(C_{6}^{2}C_{4}^{1}\)E.\(C_{4}^{3}+C_{6}^{1}C_{4}^{2}\)3.用0、1、2、3、4組成無重復數字的三位數，正確的是（）A.總數為\(A_{5}^{3}\)B.偶數有\(A_{4}^{2}+A_{2}^{1}A_{3}^{1}A_{3}^{1}\)個C.奇數有\(A_{3}^{1}A_{3}^{2}\)個D.大于200的有\(A_{3}^{1}A_{4}^{2}\)個E.能被5整除的有\(A_{4}^{2}\)個4.對于排列組合公式\(A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}\)，\(C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)，正確說法有（）A.\(n\geqm\)且\(n,m\inN\)B.\(A_{n}^{m}=m!C_{n}^{m}\)C.\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)D.\(C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}=C_{n+1}^{m}\)E.\(A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\)5.6個人站成一排，甲不在兩端的排法有（）A.\(A_{4}^{1}A_{5}^{5}\)B.\(A_{5}^{2}A_{4}^{4}\)C.\(A_{6}^{6}-2A_{5}^{5}\)D.\(C_{4}^{1}A_{5}^{5}\)E.\(A_{4}^{2}A_{4}^{4}\)6.下列組合數運算正確的有（）A.\(C_{5}^{2}=10\)B.\(C_{7}^{3}=C_{7}^{4}\)C.\(C_{10}^{8}=45\)D.\(C_{6}^{1}+C_{6}^{2}=21\)E.\(C_{8}^{3}-C_{8}^{2}=28\)7.把4個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少放1個球，方法有（）A.\(C_{4}^{2}A_{3}^{3}\)B.\(A_{4}^{3}\)C.\(C_{4}^{1}C_{3}^{1}C_{2}^{2}A_{2}^{2}\)D.\(C_{4}^{1}C_{3}^{2}A_{2}^{2}\)E.\(C_{4}^{2}C_{2}^{1}A_{3}^{3}\)8.從1-9這9個數字中選3個數字組成無重復數字的三位數，且數字和為偶數，選法有（）A.\(C_{4}^{1}C_{5}^{2}A_{3}^{3}\)B.\(C_{4}^{3}A_{3}^{3}\)C.\(C_{5}^{3}A_{3}^{3}\)D.\(C_{4}^{2}C_{5}^{1}A_{3}^{3}\)E.\(C_{9}^{3}A_{3}^{3}\)9.8個人坐成一圈，不同坐法有（）A.\(\frac{A_{8}^{8}}{8}\)B.\(A_{7}^{7}\)C.\(C_{8}^{8}\)D.\(A_{8}^{7}\)E.\(\frac{8!}{8}\)10.從3名語文老師、4名數學老師和3名英語老師中選3人，要求三種學科老師都有，選法有（）A.\(C_{3}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}\)B.\(C_{10}^{3}-C_{3}^{3}-C_{4}^{3}-C_{3}^{3}\)C.\(C_{3}^{2}C_{4}^{1}C_{3}^{0}+C_{3}^{1}C_{4}^{2}C_{3}^{0}+C_{3}^{0}C_{4}^{1}C_{3}^{2}\)D.\(C_{3}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}+C_{3}^{2}C_{4}^{1}+C_{3}^{1}C_{4}^{2}\)E.\(C_{3}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}+C_{3}^{2}C_{3}^{1}+C_{4}^{2}C_{3}^{1}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.從5個不同元素中任取2個元素的排列數和組合數相等。（）2.\(A_{n}^{m}\)中\(n\ltm\)時也有意義。（）3.3個男生和3個女生站成一排，男生女生相間的排法有\(A_{3}^{3}A_{3}^{3}\)種。（）4.把5個相同的球放入3個不同盒子，每個盒子至少放1個球，有\(C_{4}^{2}\)種放法。（）5.用1、2、3、4、5組成無重復數字的五位數，奇數比偶數多。（）6.\(C_{n}^{m}\)與\(C_{n}^{n-m}\)的值一定相等。（）7.從6個不同元素中取出4個元素的組合數是取出2個元素組合數的2倍。（）8.7個人站成一排，甲、乙、丙三人相鄰的排法有\(A_{5}^{5}A_{3}^{3}\)種。（）9.從10名學生中選3人參加不同的三項活動，每項活動1人，有\(C_{10}^{3}\)種選法。（）10.6本書分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，分法有\(C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}\)種。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述排列與組合的區別排列有順序要求，元素順序改變結果不同；組合無順序要求，只要元素相同即為同一組合。比如選正副組長是排列，選兩人參加活動是組合。2.用0、1、2、3組成無重復數字的三位數，求總數及偶數個數總數：百位不能為0，有\(A_{3}^{1}\)種選法，十位有\(A_{3}^{1}\)種，個位有\(A_{2}^{1}\)種，共\(A_{3}^{1}A_{3}^{1}A_{2}^{1}=18\)個。偶數：個位為0時，有\(A_{3}^{2}=6\)個；個位為2時，百位有\(A_{2}^{1}\)種，十位有\(A_{2}^{1}\)種，共\(A_{2}^{1}A_{2}^{1}=4\)個，所以偶數共\(6+4=10\)個。3.7個人站成一排，甲不站在排頭，乙不站在排尾，有多少種排法？方法一：間接法。\(A_{7}^{7}-2A_{6}^{6}+A_{5}^{5}=3720\)種。方法二：直接法。甲在排尾，有\(A_{6}^{6}\)種；甲不在排尾，甲有\(A_{5}^{1}\)種，乙有\(A_{5}^{1}\)種，其余\(A_{5}^{5}\)種，共\(A_{6}^{6}+A_{5}^{1}A_{5}^{1}A_{5}^{5}=3720\)種。4.簡述隔板法的適用情況及應用隔板法適用于將相同元素分配到不同組，每組至少一個元素的問題。如將\(n\)個相同球放入\(m\)個不同盒子，每個盒子至少一個球，放法有\(C_{n-1}^{m-1}\)種。例如5個相同球放3個盒子，有\(C_{4}^{2}=6\)種放法。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實際生活中，哪些場景會用到排列組合知識，舉例說明抽獎活動確定中獎順序（排列）；從多種菜品中選幾種搭配套餐（組合）；安排會議座位順序（排列）；從若干志愿者中選部分人執行不同任務（排列組合結合）等。2.在解決復雜的排列組合問題時，有哪些常用的解題策略？常用策略有特殊元素（位置）優先法，先處理特殊元素或位置；捆綁法，相鄰元素看作整體；插空法，不相鄰元素用插空；間接法，先求總數再減去不滿足條件的；分組分配法等，根據題目特點靈活選用。3.如何判斷一個問題是排列問題還是組合問題，結合實例分析看元素順序改變結果是否變化。如選班長和副班長，順序改變人選不同，是排列；選兩人參加活動，兩人順序無關，是組合。比如從5人中選2人當正副組長是排列，選2人去搬書是組合。4.對于重復排列組合問題，如何避免重復計算？要明確分類標準，確保不重不漏。對于有相同元素的排列組合，用除法消除重復，如相同元素全排列情況；對于分步選取有重復可能的，按合理順序選取，結合條件判斷，利用公式和原理準確計算，多通過具體