大專奧數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x>1\)C.\(x\leq1\)D.\(x<1\)3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5\)的值為（）A.7B.9C.11D.134.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.直線\(y=2x+1\)的斜率為（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.-26.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((2,2)\)C.\((-2,-2)\)D.\((-4,-6)\)8.函數(shù)\(y=\log_2x\)的反函數(shù)是（）A.\(y=2^x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{2^x}\)D.\(y=\log_x2\)9.若\(x^2+2x+k=0\)有兩個(gè)相等實(shí)根，則\(k\)的值為（）A.1B.-1C.2D.-210.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(2\)，則其表面積為（）A.12B.24C.36D.48二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于無(wú)理數(shù)的有（）A.\(\pi\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(0\)D.\(\frac{1}{3}\)2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)3.直線的方程形式有（）A.點(diǎn)斜式B.斜截式C.兩點(diǎn)式D.截距式4.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的性質(zhì)有（）A.焦點(diǎn)在\(x\)軸B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)C.離心率\(e<1\)D.短軸長(zhǎng)為\(2b\)5.下列命題正確的有（）A.對(duì)頂角相等B.同位角相等C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)D.內(nèi)錯(cuò)角相等6.立體幾何中，平行關(guān)系有（）A.直線與直線平行B.直線與平面平行C.平面與平面平行D.異面直線平行7.數(shù)列的表示方法有（）A.通項(xiàng)公式B.遞推公式C.列表法D.圖像法8.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式特點(diǎn)（）A.同名三角函數(shù)B.符號(hào)看象限C.函數(shù)名改變D.與角的大小無(wú)關(guān)9.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）的相關(guān)概念有（）A.實(shí)部\(a\)B.虛部\(b\)C.模\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)D.共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)10.以下是基本不等式應(yīng)用的是（）A.求最值B.證明不等式C.判斷大小D.解不等式三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是增函數(shù)。（）3.直線\(x+y+1=0\)與直線\(x-y+1=0\)垂直。（）4.三角形內(nèi)角和為\(180^{\circ}\)。（）5.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（）6.圓\(x^2+y^2=4\)的半徑為\(2\)。（）7.等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式為\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)。（）8.\(\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)\)（\(a>0,a\neq1,M>0,N>0\)）。（）9.向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)平行，則\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}\)（\(\lambda\)為實(shí)數(shù)）。（）10.正三棱錐的四個(gè)面都是正三角形。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的最小值。答案：對(duì)函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)進(jìn)行配方得\(y=(x-1)^2+2\)，因?yàn)閈((x-1)^2\geq0\)，所以當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y\)有最小值\(2\)。2.計(jì)算\(\sin15^{\circ}\)的值。答案：\(\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)。3.已知直線過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為\(3\)，求直線方程。答案：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程\(y-y_1=k(x-x_1)\)（其中\(zhòng)((x_1,y_1)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），將點(diǎn)\((1,2)\)和斜率\(3\)代入，可得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(y=3x-1\)。4.求數(shù)列\(zhòng)(1,3,5,7,\cdots\)的通項(xiàng)公式。答案：該數(shù)列是首項(xiàng)\(a_1=1\)，公差\(d=2\)的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的單調(diào)性。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分別單調(diào)遞減。任取\(x_1,x_2\)在相應(yīng)區(qū)間且\(x_1<x_2\)，通過(guò)比較\(f(x_1)\)與\(f(x_2)\)大小可證。2.探討在立體幾何中如何證明直線與平面垂直。答案：可利用判定定理，若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。也可以用面面垂直性質(zhì)，若兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。3.分析基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a>0,b>0\)）的應(yīng)用條件及注意事項(xiàng)。答案：應(yīng)用條件是\(a>0,b>0\)。注意事項(xiàng)：一正，即\(a,b\)為正；二定，和或積為定值；三相等，當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b\)時(shí)等號(hào)成立。使用時(shí)要保證三個(gè)條件都滿足才能取到最值。4.談?wù)勀銓?duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的理解。答案：等差數(shù)列是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，有通項(xiàng)公式、求和公式等。等比數(shù)列是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)的數(shù)列。二者在定義、通項(xiàng)、求和等方面都有區(qū)別與聯(lián)系，是數(shù)列中重要類型。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.B