數(shù)學(xué)三考研試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)類型是（）A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.無窮間斷點(diǎn)D.振蕩間斷點(diǎn)2.若$\lim_{x\to0}\frac{\sinax}{x}=2$，則$a=$（）A.1B.2C.-1D.-23.設(shè)函數(shù)$y=x^3$，則$y^\prime=$（）A.$3x^2$B.$x^2$C.$3x$D.$x$4.積分$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^3+C$C.$x^3+C$D.$3x^3+C$5.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，且$AB=0$，則必有（）A.$A=0$或$B=0$B.$\vertA\vert=0$或$\vertB\vert=0$C.$A+B=0$D.$\vertA\vert+\vertB\vert=0$6.向量組$\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(0,1,0)$，$\alpha_3=(0,0,1)$的秩為（）A.1B.2C.3D.07.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(0,1)$，則$P(X\leq0)=$（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.58.已知$X$的概率密度函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}$，則$E(X)=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.19.若級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$發(fā)散，則$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$（）A.收斂B.發(fā)散C.不確定D.絕對(duì)收斂10.曲線$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線方程是（）A.$y=2x-1$B.$y=x$C.$y=3x-2$D.$y=2x+1$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\sinx$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=e^x$D.$y=\lnx$2.以下哪些是求導(dǎo)公式（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$3.設(shè)$A$為$n$階方陣，以下哪些條件等價(jià)于$A$可逆（）A.$\vertA\vert\neq0$B.$r(A)=n$C.$A$的列向量組線性無關(guān)D.存在$n$階方陣$B$，使得$AB=BA=E$4.向量組線性相關(guān)的判定方法有（）A.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示B.向量組的秩小于向量組中向量的個(gè)數(shù)C.向量組構(gòu)成的矩陣的行列式為0（向量個(gè)數(shù)與維數(shù)相等時(shí)）D.向量組中存在零向量5.設(shè)隨機(jī)變量$X$，$Y$，則下列說法正確的是（）A.$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$B.若$X$，$Y$相互獨(dú)立，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$C.$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$D.$E(cX)=cE(X)$（$c$為常數(shù)）6.下列哪些是常見的概率分布（）A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.均勻分布D.正態(tài)分布7.對(duì)于級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，以下哪些是判別其收斂性的方法（）A.比較判別法B.比值判別法C.根值判別法D.萊布尼茨判別法（針對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)）8.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，則存在$\xi\in(a,b)$，使得（）A.$f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)$B.函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)C.函數(shù)$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)D.$f(b)-f(a)=f^\prime(a)(b-a)$9.已知矩陣$A$，$B$，則以下運(yùn)算正確的是（）A.$(A+B)^T=A^T+B^T$B.$(AB)^T=B^TA^T$C.$(kA)^T=kA^T$（$k$為常數(shù)）D.$A^TA$是對(duì)稱矩陣10.曲線$y=f(x)$的漸近線類型有（）A.水平漸近線B.垂直漸近線C.斜漸近線D.拋物線漸近線三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù)。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處有定義。（）3.矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。（）4.若向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線性相關(guān)，則其中任意一個(gè)向量都可由其余向量線性表示。（）5.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，則$E(X)=D(X)=\lambda$。（）6.若級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$絕對(duì)收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$一定收斂。（）7.函數(shù)$y=x^3$在$R$上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）8.若$A$，$B$為$n$階方陣，且$AB=BA$，則$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$。（）9.積分$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$（$f(x)$為奇函數(shù)）。（）10.二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$滿足$F(+\infty,+\infty)=1$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的極值點(diǎn)與極值。答案：先求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$和$x=2$。當(dāng)$x\lt0$，$f^\prime(x)\gt0$；$0\ltx\lt2$，$f^\prime(x)\lt0$；$x\gt2$，$f^\prime(x)\gt0$。所以極大值點(diǎn)為$x=0$，極大值$f(0)=2$；極小值點(diǎn)為$x=2$，極小值$f(2)=-2$。2.計(jì)算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$。答案：將第二行減去第一行的4倍，第三行減去第一行的7倍，得$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}$。按第一列展開，再計(jì)算二階行列式得$1\times\begin{vmatrix}-3&-6\\-6&-12\end{vmatrix}=0$。3.已知隨機(jī)變量$X$的概率分布為$P(X=k)=\frac{1}{5}$，$k=1,2,3,4,5$，求$E(X)$。答案：根據(jù)期望公式$E(X)=\sum_{k=1}^{5}kP(X=k)$。則$E(X)=1\times\frac{1}{5}+2\times\frac{1}{5}+3\times\frac{1}{5}+4\times\frac{1}{5}+5\times\frac{1}{5}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$。4.求冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收斂半徑。答案：由冪級(jí)數(shù)收斂半徑公式$R=\lim_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert$，這里$a_n=\frac{1}{n}$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$，則$R=\lim_{n\to\infty}\vert\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}\vert=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：連續(xù)性：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，但$f(0)$無定義，所以在$x=0$處不連續(xù)。可導(dǎo)性：由于不連續(xù)，根據(jù)可導(dǎo)必連續(xù)，所以在$x=0$處不可導(dǎo)。2.討論矩陣$A$可逆的充要條件及其應(yīng)用。答案：充要條件有$\vertA\vert\neq0$、$r(A)=n$、列向量組線性無關(guān)等。應(yīng)用如求解線性方程組$Ax=b$，當(dāng)$A$可逆時(shí)，有唯一解$x=A^{-1}b$；還用于矩陣的運(yùn)算化簡等。3.討論隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定方法及意義。答案：判定方法有定義法，即$P(X\le