素能培優(yōu)(二)函數(shù)圖象的對稱性高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026

3.一個函數(shù)圖象的自身成中心對稱(1)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b,其中x是f(x)定義域內(nèi)的任意一個數(shù).(2)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱?f(a+x)+f(a-x)=0?f(2a-x)+f(x)=0?f(2a+x)+f(-x)=0,其中x是f(x)定義域內(nèi)的任意一個數(shù).4.函數(shù)的對稱性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩條對稱軸,分別是直線x=a,x=b(a<b),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且T=2(b-a);(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個對稱中心,分別是點(a,c),(b,c)(a<b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=2(b-a);(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象有一條對稱軸直線x=a和一個對稱中心點(b,c)(a<b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=4(b-a).5.兩個函數(shù)圖象的對稱(1)函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱;(2)函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱;(3)函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點對稱.(4)若f(x)與g(x)關(guān)于直線x=a對稱,則g(x)=f(2a-x);(5)若f(x)與g(x)關(guān)于點P(a,b)對稱,則g(x)=2b-f(2a-x).題型一軸對稱問題

A

(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x+2)為偶函數(shù),f(x)在[2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,則不等式f(-x2)>f(-1)的解集為

.

(-1,1)解析

∵f(x+2)是偶函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,又f(x)在[2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增.又-x2,-1∈(-∞,2],f(-x2)>f(-1),∴-x2>-1,即x2<1,∴-1<x<1,∴所求不等式的解集為(-1,1).[對點訓(xùn)練1](1)(2024·陜西西安模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞增,若函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),且f(3)=0,則不等式f(x)>0的解集為

.

(-1,3)解析

因為f(x)定義域為R,且f(x+1)為偶函數(shù),則f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,因為f(3)=0,則f(-1)=f(3)=0,因為f(x)在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞增,則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)x≤1時,由f(x)>0=f(-1)可得-1<x≤1;當(dāng)x>1時,由f(x)>0=f(3)可得1<x<3.綜上,不等式f(x)>0的解集為(-1,3).(2)已知函數(shù)f(x-1)為偶函數(shù),且函數(shù)f(x)在[-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則關(guān)于x的不等式f(1-2x)<f(-7)的解集為(

)A.(-∞,3) B.(3,+∞)C.(-∞,2) D.(2,+∞)A解析

因為f(x-1)為偶函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱.因為f(x)在[-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞減.因為f(1-2x)<f(-7)=f(5),所以-7<1-2x<5,解得x<3.故選A.題型二中心對稱問題

ABC

(2)(2024·江蘇南京模擬)已知函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(2+x),其圖象關(guān)于點(2,0)對稱,f(2)=0,則f(18)=

.

0解析

因為函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱,所以f(-x)=-f(4+x),又f(-x)=f(2+x),所以f(x+2)=-f(x+4),所以f(x)=-f(x+2)=-f(-x)=f(4+x),即f(x)=f(4+x),所以函數(shù)f(x)的一個周期為4,所以f(18)=f(2)=0.[對點訓(xùn)練2](1)已知定義域為R的函數(shù)f(x)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且f(x+1)為奇函數(shù),則使得不等式f(x2-x)<f(2-2x)成立的實數(shù)x的取值范圍是(

)A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)D解析

因為f(x+1)為奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱.因為f(x)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)在R上單調(diào)遞減.因為f(x2-x)<f(2-2x),所以x2-x>2-2x,即x2+x-2>0,解得x<-2或x>1,所以x的取值范圍是(-∞,-2)∪(1,+∞).故選D.

C解析

因為定義域為R的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,且當(dāng)x≥1時,f(x)=x2+mx+n,若f(-1)=-7,則f(3)=-f(-1)=7;故f(3)=32+3m+n=7,即3m+n=-2.故選C.題型三兩個函數(shù)圖象的對稱例3已知函數(shù)y=f(x)是定義域為R的函數(shù),則函數(shù)y=f(x+2)與y=f(4-x)的圖象(

)A.關(guān)于直線x=1對稱B.關(guān)于直線x=3對稱C.關(guān)于直線y=3對稱D.關(guān)于點(3,0)對稱A解析

設(shè)P(x0,y0)為y=f(x+2)圖象上任意一點,則y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)),所以點Q(2-x0,y0)在函數(shù)y=f(4-x)的圖象上,而點P(x0,y0)與點Q(2-x0,y0)關(guān)于直線x=1對稱,所以函數(shù)y=f(x+2)與y=f(