課時(shí)規(guī)范練69概率與統(tǒng)計(jì)中的綜合問(wèn)題1.(15分)(2023·新高考Ⅱ,19)某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過(guò)大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.2.(15分)(2024·江西鷹潭二模)等高堆積條形圖是一種數(shù)據(jù)可視化方式,能夠清晰呈現(xiàn)多個(gè)變量的數(shù)據(jù)并進(jìn)行比較,這種類型圖表將多個(gè)條形圖堆積在一起并用顏色進(jìn)行區(qū)分,形成一條整體條形圖,每個(gè)條形圖的高度表示對(duì)應(yīng)變量的值,不同顏色表示不同變量,能夠更好地理解每個(gè)變量在總體中的占比.石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上,使之更加輕薄、保暖.石墨烯發(fā)熱膜的制作如下:從石墨中分離出石墨烯,制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法,使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶.現(xiàn)在有A材料、B材料可供選擇,研究人員對(duì)附著在A材料、B材料上的石墨各做了50次再結(jié)晶試驗(yàn),得到如下等高堆積條形圖.單位:次試驗(yàn)結(jié)果A材料B材料合計(jì)試驗(yàn)成功試驗(yàn)失敗合計(jì)(1)根據(jù)等高堆積條形圖,填寫2×2列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷試驗(yàn)的結(jié)果是否與材料有關(guān);(2)研究人員得到石墨烯后,再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個(gè)環(huán)節(jié):①透明基底及UV膠層;②石墨烯層;③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為23,第三環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為34,且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬(wàn)元,若生產(chǎn)不合格還需進(jìn)行修復(fù),第三環(huán)節(jié)的修復(fù)費(fèi)用為4000元,其余環(huán)節(jié)修復(fù)費(fèi)用均為2000元.試問(wèn)如何定價(jià)(單位:萬(wàn)元),才能實(shí)現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利不低于1萬(wàn)元的目標(biāo)?(精確到0附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.(15分)(2024·廣東梅州一模)某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況,從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了500名高中學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查,收集了他們參加公益勞動(dòng)時(shí)間(單位:時(shí))分配情況等數(shù)據(jù),并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間的分配情況,從參加公益勞動(dòng)時(shí)間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內(nèi)的學(xué)生中,采用分層抽樣的方法抽取了10人,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人.記參加公益勞動(dòng)時(shí)間在(14,16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和期望;(2)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率,從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生,用“P20(k)”表示這20名學(xué)生中恰有k名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在(10,12](單位:時(shí))內(nèi)的概率,其中k=0,1,2,…,20.當(dāng)P20(k)最大時(shí),寫出k的值.4.(15分)(2024·浙江杭州模擬)某單位有10000名職工,想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查出某種細(xì)菌感染性疾病.抽樣化驗(yàn)顯示,當(dāng)前攜帶該細(xì)菌的人約占0.9%,若逐個(gè)化驗(yàn)需化驗(yàn)10000次.統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法:隨機(jī)按n人一組進(jìn)行分組,將各組n個(gè)人的血液混合在一起化驗(yàn),若混合血樣呈陰性,則這n個(gè)人的血樣全部陰性;若混合血樣呈陽(yáng)性,則說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性,就需對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.(1)若每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元,n個(gè)人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)n+9元.問(wèn)n為何值時(shí),化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小?(注:當(dāng)p<0.01時(shí),(1-p)n≈1-np)(2)該疾病主要是通過(guò)人與人之間進(jìn)行傳播,感染人群年齡大多數(shù)是40歲以上.細(xì)菌進(jìn)入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間.潛伏期越長(zhǎng),感染給他人的可能性越高.現(xiàn)對(duì)已發(fā)現(xiàn)的90個(gè)病例的潛伏期(單位:天)進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期的平均數(shù)為7.2,方差為2.252.如果認(rèn)為超過(guò)8天的潛伏期屬于“長(zhǎng)潛伏期”,按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本,得到下面的列聯(lián)表:年齡/人數(shù)長(zhǎng)期潛伏非長(zhǎng)期潛伏40歲以上155040歲及40歲以下1015①依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷“長(zhǎng)期潛伏”與年齡是否有關(guān)?②假設(shè)潛伏期X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.為防止該疾病的傳播,現(xiàn)要求感染者的密接者居家觀察14天,請(qǐng)用概率的知識(shí)解釋其合理性.附:χ2=n(α0.10.050.01xα2.7063.8416.635若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973.5.(17分)(2024·山東聊城三模)今年五一節(jié)期間,聊城百貨大樓有限公司搞促銷活動(dòng),下表是該公司5月1號(hào)至10號(hào)(日期簡(jiǎn)記為1,2,3,…,10)連續(xù)10天的銷售情況:日期x12345678910銷售額y(萬(wàn)元)1919.319.62021.222.423.824.62525.4由上述數(shù)據(jù),用最小二乘法得到銷售額和日期的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.84x+17.45,日期的方差約為3.02,銷售額的方差約為2.59(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程,分析銷售額隨日期變化趨勢(shì)的特征,并計(jì)算第4天的殘差;(2)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r,并分析銷售額和日期的相關(guān)程度(精確到0.001);(3)該公司為了促銷,擬打算對(duì)電視機(jī)實(shí)行分期付款方式銷售,假設(shè)顧客購(gòu)買一臺(tái)電視機(jī)選擇分期付款的期數(shù)及相應(yīng)的概率和公司獲得的利潤(rùn)Y(單位:元)情況如下表:ξ246Pa1a2a3Y400600800已知a1,a2,a3成等比數(shù)列.設(shè)該公司銷售兩臺(tái)電視機(jī)所獲得的利潤(rùn)為X(單位:元),當(dāng)X=1200的概率取得最大值時(shí),求利潤(rùn)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:樣本相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑6.(17分)(2024·黑龍江哈爾濱模擬)某景區(qū)接待外地游客數(shù)量如下:x/日12345y/萬(wàn)人4550606580(1)計(jì)算x,y的樣本相關(guān)系數(shù)r(計(jì)算結(jié)果精確到0.01),并判斷是否可以認(rèn)為日期與游客人數(shù)的相關(guān)性很強(qiáng);(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)該景區(qū)為了吸引游客,在售票處針對(duì)各個(gè)旅游團(tuán)進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)的活動(dòng),具體抽獎(jiǎng)規(guī)則為:從該旅游團(tuán)中隨機(jī)同時(shí)抽取兩名游客,兩名游客性別不同則為中獎(jiǎng).已知某個(gè)旅游團(tuán)中有5名男游客和k(k≥5)名女游客,設(shè)重復(fù)進(jìn)行三次抽獎(jiǎng)中恰有一次中獎(jiǎng)的概率為p,當(dāng)k取多少時(shí),p最大?參考公式:b^=∑i=1參考數(shù)據(jù):3≈1.732.答案：1.解(1)當(dāng)p(c)=0.5%時(shí),由患病者頻率分布直方圖可得第一個(gè)小矩形面積為0.002×5=0.01,∴c=95+1002=97.5由未患病者頻率分布直方圖可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)當(dāng)c∈[95,100)時(shí),p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;當(dāng)c∈[100,105]時(shí),p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.∴f(c)=-故當(dāng)c=100時(shí),f(c)取最小值,最小值為f(100)=0.02.2.解(1)零假設(shè)為H0:試驗(yàn)結(jié)果和材料無(wú)關(guān).根據(jù)題中所給等高堆積條形圖,得2×2列聯(lián)表如下.試驗(yàn)結(jié)果A材料B材料合計(jì)試驗(yàn)成功453075試驗(yàn)失敗52025合計(jì)5050100計(jì)算可得χ2=100(45×20-30依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),可以推斷H0不成立,即試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān).(2)設(shè)生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜所需的修復(fù)費(fèi)用為X萬(wàn)元,易知X的可能取值為0,0.2,0.4,0.6,0.8,P(X=0)=(23)2×34=13,P(X=P(X=0.4)=(23)2×14+(13)2×34=736,P(X=0.6)=C21×23則X的分布列為X00.20.40.60.8P11711修復(fù)費(fèi)用X的期望E(X)=0×13+0.13+0.4×736+0.6×19+0.所以石墨烯發(fā)熱膜的定價(jià)至少為1+1+0.233=2.233(萬(wàn)元/噸),才能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的利潤(rùn)目標(biāo).3.解(1)由頻率分布直方圖得2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.這500名學(xué)生中參加公益勞動(dòng)時(shí)間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為500×0.10=50,500×0.08=40,500×0.02=10,若采用分層抽樣的方法抽取了10人,則從參加公益勞動(dòng)時(shí)間在(14,16]內(nèi)的學(xué)生中抽取4050+40+10×10=4(人),現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3則X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=C63C103=20120=16,P(X=1)=C41C6∴X的分布列為X0123P1131則其期望為E(X)=1×12+2×3(2)由(1)可知參加公益勞動(dòng)時(shí)間在(10,12]的概率P=0.1×2=0.2,所以P20(k)=C20k0.2k(1-0.2)20-k=C20k0.2k0.依題意P即C即0解得165≤k因?yàn)閗∈N*,所以k=4,即當(dāng)P20(k)最大時(shí),k=4.4.解(1)要使化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小,只需每個(gè)人的化驗(yàn)費(fèi)用期望最小.設(shè)每人的化驗(yàn)費(fèi)用為Y元,若混合血樣呈陰性,則Y=n+9n=1+9n則Y=11+9n所以P(Y=1+9n)=0.991n,P(Y=11+9n)=1-0.991每位職工的化驗(yàn)費(fèi)用為E(Y)=(1+9n)×0.991n+(11+9n)×(1-0.991n)=11-10×0.991n+9n=11-10×(1-0.009)n+9n≈11-10×(1-0.009n)+9n=1+0.09n+9n≥當(dāng)且僅當(dāng)0.09n=9n,即n=10時(shí)取等號(hào),故n=10時(shí),每位職工化驗(yàn)費(fèi)用的期望最小(2)①零假設(shè)為H0:“長(zhǎng)期潛伏”與年齡無(wú)關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到χ2=90(15×15-50×10)265×25×25×65=2178845≈2.58<3.841=x②若潛伏期X~N(7.2,2.252),由P(X>13.95)=P(X>7.2+3×2.25)≈1-0.99732=0.00135,5.解(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=0.84x+17.45,日期每增加一天,銷售額約增加0.84萬(wàn)元,把x=4代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程,得y^=0.84×4+17.45=20.81,因?yàn)?0-20.81=-0.81,所以第4天的殘差為-0.(2)由rb^=∑i=110(xi-x)(yi-0.907比較接近于1,故銷售額和日期的相關(guān)程度較強(qiáng).(3)由a1,a2,a3成等比數(shù)列,得a22=a1·a3,且a1+a2+a3=1,設(shè)其公比為q,則a2(1q+1+q)=1,所以a2由題意可得X的值分別為800,1000,1200,1400,1600,則P(X=800)=a12,P(X=1000)=2a1a2,P(X=1200)=a22+2a1a3=3a22,P(X=1400)=2a2a3,P又P(X=1200)=3a22=3(1q+1+q)

2≤3×(13)2=13故X的分布列為X8001000120014001600P12121期望E(X)=800×19+1000×29+1200×13+1400×6.解(1)因?yàn)閤=1+2+3+4+55=3,所以∑i=15(xi-x)(yi-y)=∑i=15xiyi-5xy=(1×45+2×50+3×60+4×65+5×80)-∑i=15(xi-x)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4∑i=15(yi-y)2=(45-60)2+(50-60)2+(60-60)2+(65所以r=∑i=1n由此可以認(rèn)為兩者的相關(guān)性很強(qiáng).(2)由(1)知∑i=15(xi-x)(yi-y)=85,所以b^=∑i=1因?yàn)閍^=y?b^x=60-所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=8.5x+34.5.(3)記P(k)=t=C51·Ck1C5+因?yàn)镻(k+1)-P(k)=10(k所以P(k+1)<P(