五月數學每周好題精選（第四周）1.已知集合，，則()A. B. C. D.2.若復數z滿足，則()A. B. C. D.3.已知隨機變量服從正態分布，且，則()A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.24.已知定義在R上的函數與函數的圖象有唯一公共點，則實數m的值為()A. B. C.1 D.25.已知函數的周期為1，且在上單調遞減，則可以是()A. B.C. D.6.已知定義在R上的函數滿足，且當時，，則是()A.奇函數，在上單調遞增 B.奇函數，在上單調遞減C.偶函數，在上單調遞增 D.偶函數，在上單調遞減7.在直三棱柱中，，，且，則該三棱柱的外接球的體積為()A. B. C. D.8.若正實數x，y滿足，則y的最小值為()A.1 B. C.e D.29.（多選）若正實數a，b滿足，則()A.的最小值為 B.的最大值為1C.的最小值為 D.的取值范圍為10.（多選）已知隨機事件A，B滿足，，，則()A.事件A與事件B相互獨立 B.C. D.11.（多選）已知到點和的距離之積為定值的點的軌跡稱為伯努利雙紐線C，.若，曲線C過坐標原點O，點為曲線C上一點，則下列說法正確的有()A. B.曲線C與y軸有三個交點C. D.12.（多選）有一組互不相等的樣本數據，，…，，平均數為，若隨機刪去其中一個數據，得到一組新數據，記為，…，，平均數為，則()A.新數據的極差可能等于原數據的極差B.新數據的中位數可能等于原數據的中位數C.若，則新數據的方差一定大于原數據方差D.若，則新數據的分位數一定大于原數據的分位數13.已知各項均為正數的等比數列的前n項和，，，________.14.如圖，一只青蛙開始時位于數軸上原點的位置，每次向數軸的左側或右側隨機跳躍一個單位長度，記為第n次跳躍后對應數軸上的數字，則滿足，的跳躍方法有________種.15.已知定義在R上的函數滿足且，則________.16.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若的面積為，，求的周長和外接圓的面積.17.為宣揚中國文化，某校組織古詩詞知識比賽.比賽分為兩階段，第一階段為基礎知識問答，每位選手都需要回答3個問題，答對其中至少2個問題，進入第二階段，否則被淘汰；第二階段分高分組和低分組，第一階段3個問題都答對的選手進入高分組，共回答4個問題，每答對一個得20分，答錯不得分；第一階段答對2個問題的選手進入低分組，共回答4個問題，每答對一個得10分，答錯不得分.第一階段，每個問題選手甲答對的概率都是；第二階段，若選手甲進入高分組，每個問題答對的概率都是，若選手甲進入低分組，每個問題答對的概率都是.（1）求選手甲第一階段不被淘汰的概率；（2）求選手甲在該次比賽得分數為40分的概率；（3）已知該次比賽選手甲進入了高分組，記選手甲在該次比賽中得分數為X，求隨機變量X的分布列和期望值.18.已知，函數，.（1）當時，討論函數的單調性；（2）證明：函數存在兩個零點；（3）當時，不等式恒成立，求a的取值范圍.

答案以及解析1.答案：A解析：因為，，因為，所以集合B中的元素-1，0也在集合A中，從而.故選：A.2.答案：C解析：因為，所以，則，所以.故選：C3.答案：C解析：因為隨機變量服從正態分布，，所以，故，所以，故選：C.4.答案：C解析：因為，則，所以的圖象關于對稱，且當時，單調遞增，當時，單調遞減；又，故可看作由函數向右平移1個單位得到，所以的圖象也關于對稱；又由于函數與函數的圖象有唯一公共點，即方程只有一根，因為兩函數圖象都關于對稱，所以方程的根為1，即，解得.故選：C.5.答案：C解析：對于A，的周期為，當時，，所以不單調，故A錯誤；對于B，的周期為可知的周期為2，故B錯誤；對于C，的周期為，當時，，所以單調遞減，符合題意，故C正確；對于D，因為的周期為，不合題意，故D錯誤.故選：C．6.答案：A解析：因為，所以，得，令，則，得，則函數為奇函數，設，且，得，則，則，因為，所以，而，則，得，得，故函數在上單調遞增.故選：A.7.答案：D解析：設外接圓半徑為r，圓心為，設外接球球心為O，半徑為R，因為，，在中，由正弦定理有，則，則有，所以，所以球的體積為，故選：D.8.答案：C解析：由，得，故.由題意得，，，由得，.設，，則，在上單調遞增，，，，即，，，令，得，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，當時，取極小值也是最小值，最小值為e.故選：C.9.答案：BC解析：正實數a，b滿足，，對于A，，當且僅當時取等號，A錯誤；對于B，，當且僅當時取等號，B正確；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC10.答案：AD解析：對于A，由，得，即，事件A與事件B相互獨立，A正確；對于B，由選項A知，事件A，相互獨立，則，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD.11.答案：ACD解析：對于A，由時，C過坐標原點O，所以，所以，所以，故A正確；對于B，設是曲線C上任意一點，則，化簡得，當時，，只有一解，所以B錯誤；對于C，由，所以，故C正確；對于D，由，得，將其看成是關于的方程，則，故，所以D正確.故選：ACD.12.答案：AC解析：對于A，若刪除的數據既不是最大值，也不是最小值，則新數據的極差等于原數據的極差，因此A正確；對于B，數據，，…，，假設，其中位數為，一定不在，，…，之中，隨機刪去其中一個數據，得到一組新數據，按原來次序排成，，…，，其中位數是，是原數據中的數，即新數據的中位數不會等于原數據的中位數，因此B錯誤；對于C，若，則刪除的數據恰好為原來數據的平均數，結合數據全不相等及方差的計算公式知，新數據的方差一定大于原數據方差，因此C正確；對于D，假設原來數據為1.5，2，2.5，3，4，5，因為，所以刪除的數據恰好為原來數據的平均數，即刪除的數據為3，新數據為1.5，2，2.5，4，5，原來數據的第40百分位數為2.5，新數據的第40百分位數為2.25，因此D錯誤.故選AC.13.答案：/解析：由題等比數列的公比為且，所以，可得，由，則，故，所以.故答案為：14.答案：1305解析：由，得到或，若，，即前10次跳躍，8次向左，2次向右，后面8次跳躍全部向右，有種，若，，即前10次跳躍，8次向右，2次向左，后面8次跳躍6次向左，2次向右，有種，所以滿足，的跳躍方法有種，故答案為：1305.15.答案：5050解析：令，所以，所以，即，，……，所以，將以上個式子相加可得：，所以，所以.故答案為：5050.16.答案：（1）；（2）周長、外接圓面積分別為、.解析：（1）由，由正弦定理得，從而有，，則，由.（2）因為，所以，由余弦定理得：，即，解得，所以周長為，設外接圓半徑為R，由，得，所以外接圓面積.17.答案：（1）（2）（3）分布列見解析，20解析：（1）選手甲第一階段不被淘汰，即甲回答三個問題答對其中2個或3個，其概率為：；（2）選手甲在該次比賽得分數為40分有兩種情況：進入高分組，答對2個問題；進入低分組，答對4個問題.故概率為：；（3）X的可能取值有0，20，40，60，80，，，，，，所以分布列為：X020406080P所以.18.答案：（1）答案見解析（2）證明見解析（3）解析：（1）函數的定義域為，又，當時，，故函數在區間上單調遞減；當時，令，解得，當x變化時，，的變化情況如下表所示：x+0-單調遞增單調遞減故當時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；當時，函數在區間上單調遞減.（2）證明：由，則，當時，，，且等號不同時成立，則，在上單調遞增；當時，，，故，設，則，故函數在區間上單調遞減，又，，故存在使得，當時，，當時，，故函數在上單調