考點1反比例函數的概念一般地，形如（k是常數，k≠0）的函數叫做反比例函數．自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數．如：、、都是反比例函數．字母名稱取值范圍x自變量x≠_0y函數y≠0k比例系數_k≠0三種表示形式：，，，（其中：k≠_0）考點2反比例函數的圖象1．反比例函數的圖象反比例函數的圖象是由兩支曲線組成的，這兩支曲線通常稱為雙曲線．反比例函數圖象中每一象限的每一條曲線會無限接近x軸y軸但不會與坐標軸相交．2．反比例函數的圖象是中心對稱圖形，對稱中心是___________原點___________．3．反比例函數的圖象在坐標系中的位置K的正負性圖象的位置圖象的形態走勢K>0圖象在第一、三象限每一個分支中，圖象從左到右下降K<0圖象在第二、四象限每一個分支中，圖象從左到右上升考點3反比例函數的性質1．反比例函數的增減性K的正負性函數的性質K>0每一個分支中，y隨x增大而減少K<0每一個分支中，y隨x增大而增大2．的幾何意義越大，雙曲線離原點越遠，過反比例函數圖象上任意一點作兩條坐標軸的平行線，這兩條平行線與兩條坐標軸圍成的長方形的面積等于．考點4反比例函數的應用1．待定系數法求反比例函數的解析式將一組對應的x、y的值或圖象上一個點的坐標代入表達式，利用k=xy求出k的值．2．反比例函數與一次函數的交點反比例函數與一次函數的交點就是方程組的解．兩種函數在交點位置的函數值是相同的，其它位置函數值的大小可以由函數圖象的上、下位置來確定．規律是：上大下小．3．面積問題利用分割法將圖形轉化為以坐標軸上的邊為底的三角形求解，也可以考慮用的幾何意義求解．4．反比例函數的實際應用行程問題：路程S一定，速度v與時間t的關系：是反比例函數；工程問題：工作量Q一定，工作效率p與工作時間t的關系：是反比例函數；幾何問題：長方形的面積S一定，長y與寬x的關系：是反比例函數；圓柱的體積v一定，圓柱的高h與底面積s的關系：是反比例函數；5．反比例函數在其它學科的應用壓力一定，壓強與受力面積的關系：是反比例函數；杠桿，力與力臂的關系是反比例關系；電壓u一定，通過導體的電流I與導體的電阻R的關系：是反比例函數；反比例函數中函數值的大小比較的方法1．性質法．K的正負性→確定反比例函數的增減性→判斷同一象限內點的坐標大小關系→確定函數值的大小關系；2．求值法．將已知的自變量的值或已知點的橫坐標代入解析式，求出函數值或縱坐標的值，利用值進行比較；3．圖象法．在平面直角坐標系中找出符合條件的點，然后通過觀察函數圖象比較函數值的大小；4．特殊值法．如果不知道點的橫坐標的具體值，只知道自變量間的關系，可以采用此方法．【例題】1.在反比例函數的圖象上有三個點，，，則函數值，，的大小關系為（）A. B. C. D.2.在反比例函數（為常數）的圖象上有三個點，，，則函數值，，的大小關系為（）A. B. C. D.3.反比例函數圖象上有三個點，其中，則的大小關系是（）A B. C. D.【練經典】4.已知點，，在反比例函數的圖象上，則，的大小關系為（）A. B. C. D.無法判斷5.若點在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（）A. B. C. D.6.反比例函數圖象上有三個點，其中，則的大小關系是（）A B. C. D.【練易錯】易錯點：判斷反比例函數值大小沒考慮在不同的分支上而出錯7.已知點、、都在反比例函數的圖象上，且．下列結論中正確的是（）A. B. C. D.反比例函數與面積問題1．的幾何意義過反比例函數圖象上任意一點作兩條坐標軸的平行線，這兩條平行線與兩條坐標軸圍成的矩形的面積等于．如圖，．2．反比例函數圖象中某些特殊三角形的面積3．反比例函數圖象中某些特殊四邊形的面積4．反比例函數圖象中某些特殊多邊形的面積【例題】8.如圖，點A，B是反比例函數圖象上的兩點，軸于點C，軸于點D，連結若點，三角形的面積為3，則三角形的面積是（）A.2 B.3 C.4 D.59.如圖，點A是反比例函數的圖象上任意一點，軸交反比例函數的圖象于點B，以為邊作，其中C、D在x軸上，則為（）A.2.5 B.3 C.5 D.610.如圖，點，是反比例函數圖像上任意兩點，過點，分別作軸、軸的垂線，，__________．【練經典】11.如圖，正比例函數與反比例函數的圖像交于A，C兩點，過點A作軸于點B，過點C作軸于點D，則的面積為（）A.2 B.3 C.4 D.512.如圖，點A在反比例函數第二象限內的圖象上，點在軸的負半軸上，若，則的面積為___________．【練易錯】易錯點：由面積求系數K時不考慮圖象的位置而出錯13.點在反比例函數的圖象上，軸，點是軸上的任意一點，的面積是，則的值是___________．反比例函數與一次函數、二次函數的綜合應用1．函數圖象共存問題判斷函數圖象是否共存時，先根據其中一個函數圖象確定待定字母的正負，再根據另一個函數圖象的分布特征進行判斷．2．函數圖象交點問題反比例函數與一次函數的交點就是方程組的解．3．不等式或的解集問題不等式函數值大小函數圖象相關的部分或反比例函數值大于一次函數值反比例函數圖象在一次函數圖象上面的部分或反比例函數值小于一次函數值反比例函數圖象在一次函數圖象下面的部分4．函數與幾何綜合【例題】14.當時，反比例函數和一次函數的圖象大致是（）A. B.C. D.（2022·重慶第二外國語學校九年級期中）15.如圖，一次函數的圖像交x軸、y軸于點P、Q，且與反比例函數的圖像相交于點和點，過點A作于點C．（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）求四邊形的面積；（3）直接寫出當時，關于x的不等式的解集．（2022·山東·新泰市宮里鎮初級中學九年級階段練習）16.如圖，函數的圖象過點和兩點．（1）求n和k的值；（2）將直線沿x軸向左移動得直線，交x軸于點D，交y軸于點E，交于點C，若，求直線解析式；（3）在（2）條件下，第二象限內是否存在點F，使得是以為腰的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【練經典】17.已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一次函數y＝bx＋c的圖象和反比例函數y＝的圖象在同一坐標系中大致為（）A. B. C. D.（2022·山東威海·九年級期中）18.如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于和；（1）求一次函數及反比例函數的表達式；（2）根據圖像，直接寫出關于x的不等式的解集．（2022·江蘇·靖江外國語學校九年級階段練習）19.如圖，直線與雙曲線交于兩點，點的坐標為，點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接并延長交軸于點，且．（1）求的值并直接寫出點的坐標；（2）點是軸上的動點，連接，求的最小值；（3）是軸上的一點，當為直角三角形時，請求出符合條件的所有P點的坐標．【練易錯】易錯點：通過觀察確定不等式或解集時，因觀察不全面而漏掉一個解集．20.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點．（1）求一次函數的解析式；（2）直接寫出關于x的不等式的解集．反比例函數的實際應用1．在實際問題中列出反比例函數的解析式找出兩個變量和常量→找出它們之間的等量關系→列出關系式→轉化為反比例函數的一般形式；2．借助反比例函數圖象解決實際問題找出反比例函數圖象上一個點的坐標→求出反比例函數的解析式→利用自變量的取值范圍確定函數值的范圍，或利用函數值的范圍確確定自變量的范圍；3．反比例函數在其它學科中的應用關系式→找出不變的量→確定變量的變化關系；【例題】21.已知近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）之間成反比例函數關系，如圖所示，則眼鏡度數y與鏡片焦距x之間的函數關系式是（）A. B. C. D.（2022·湖北恩施·一模）22.如圖的電路圖中，用電器的電阻是可調節的，其范圍為，已知電壓，下列描述中錯誤的是（）A.與成反比例： B.與成反比例：C.電阻越大，功率越小 D.用電器的功率的范圍為（2022·安徽·利辛縣汝集鎮西關學校九年級階段練習）23.某種商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其銷售量與上市的天數之間成正比，當廣告停止后，銷售量與上市的天數之間成反比（如圖），現已知上市30天時，當日銷售量為120萬件．（1）寫出該商品上市以后銷售量y（萬件）與時間x（天數）之間的表達式；（2）求上市至第100天（含第100天），日銷售量在36萬件以下（不含36萬件）的天數；（3）廣告合同約定，當銷售量不低于100萬件，并且持續天數不少于12天時，廣告設計師就可以拿到“特殊貢獻獎”，那么本次廣告策劃，設計師能否拿到“特殊貢獻獎”？【經典練】24.已知甲、乙兩地相距s（單位：km），汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間t（單位：h）關于行駛速度v（單位：km/h）的函數圖象是（）A. B. C. D.25.小明要把一篇27000字的調查報告錄入電腦，則其錄入的時間t（分）與錄入文字的平均速度v（字/分）之間的函數表達式應為______（）．（2022·安徽·合肥市第四十八中學九年級階段練習）26.通過心理專家實驗研究發現：初中生在數學課上聽課注意力指標指標隨上課時間的變化而變化，指標達到36為認真聽講，學生注意力指標y隨時間x（分鐘）變化的函數圖象如圖所示，當和時，圖象是線段，當時是反比例函數的一部分．（1）求點A對應的指標值.（2）李老師在一節課上講一道數學綜合題需17分鐘，他能否經過適當安排使學生在認真聽講時，進行講解，請說明理由．【新定義小練】（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學九年級階段練習）27.如圖，點為y軸上一點，，過點M作y軸的垂線l，與反比例函數的圖象交于點P．把直線l下方反比例函數的圖象沿著直線l翻折，其它部分保持不變，所形成的新圖象稱為“G圖象”．過y軸上另一點作y軸垂線，與“G圖象”交于點A、B．若，求m與n的數量關系是_____________________．（2022·湖南·長沙市南雅中學一模）28.定義：對于函數圖像上任意一點（，），當滿足（m、n為正實數）時，函數圖像上都存在唯一的點（，），其中，使得成立，則稱該函數在時為“依賴函數”．（1）判斷函數在時否為“依賴函數”，并說明理由；（2）若函數（）在時是“依賴函數”，求k的值；（3）已知函數（）在時是“依賴函數”，且在時不等式對于任意實數t都成立，求實數s的取值范圍．【閱讀探究材料類小練】29.探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線，畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有的學習經驗，請探究下面函數的性質．已知函數，其中與成反比例，，且當=2時，=4．（1）關于的函數解析式為___________________．（2）列表，寫出表中，的值：=，=