第1頁/共1頁2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學匯編三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像（人教B版）一、單選題1．（2025北京豐臺高三上期末）下列函數(shù)中，滿足“，”的是（

）A． B．C． D．2．（2025北京石景山高三上期末）“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2025北京通州高三上期末）關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①若，則；②的圖象可由向左平移得到；③若且，則一定有；④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.其中正確命題的個數(shù)有（

）A． B． C． D．4．（2025北京西城高三上期末）下列函數(shù)中，值域為且為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．5．（2025北京朝陽高三上期末）函數(shù)的圖象的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．6．（2025北京一六六中高三上期末）設(shè)函數(shù)，已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024北京通州高三上期末）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．8．（2024北京豐臺高三上期末）如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．9．（2024北京朝陽高三上期末）若，則（

）A． B．C． D．10．（2024北京一六六中高三上期末）在銳角中，“”是“不是最小內(nèi)角”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件11．（2024北京一六六中高三上期末）設(shè)函數(shù)，若時，的最小值為.則下列選項正確的是（

）A．函數(shù)的周期為B．將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)C．當，的值域為D．方程在區(qū)間上的根的個數(shù)共有6個12．（2023北京朝陽高三上期末）已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于（

）A． B． C． D．13．（2023北京東城高三上期末）在下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．14．（2023北京海淀高三上期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的最小值為（

）A． B． C． D．15．（2023北京海淀高三上期末）已知，則（

）A． B．C． D．16．（2023北京房山高三上期末）若角、是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則下列各式中一定成立的是（

）A． B．C． D．二、填空題17．（2025北京豐臺高三上期末）已知函數(shù)，，，，則；方程的所有實數(shù)解的和為.18．（2025北京順義高三上期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則常數(shù)的一個取值為．19．（2024北京順義高三上期末）已知，若存在，使，則正整數(shù)的一個取值是．20．（2024北京海淀高三上期末）已知函數(shù).給出下列四個結(jié)論：①任意，函數(shù)的最大值與最小值的差為2；②存在，使得對任意，；③當時，對任意非零實數(shù)，；④當時，存在，，使得對任意，都有.其中所有正確結(jié)論的序號是.21．（2023北京豐臺高三上期末）已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則．22．（2023北京房山高三上期末）函數(shù)的圖象可以近似表示某音叉的聲音圖象.給出下列四個結(jié)論：①是函數(shù)的一個周期；

②的圖象關(guān)于直線對稱；③的圖象關(guān)于點對稱；

④在上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的序號是.23．（2023北京朝陽高三上期末）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)a的最大值為三、解答題24．（2025北京西城高三上期末）已知函數(shù)，從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件，使得函數(shù)存在且唯一，并完成下列兩問.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的最大值.條件①：；條件②：函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為；條件③：函數(shù)的一個零點為.注：如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.25．（2025北京豐臺高三上期末）已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使唯一確定，求：(1)的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在區(qū)間上的最大值和最小值.條件①：函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱中心間的距離為；條件②：函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到；條件③：直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案1．C【分析】對于ABD，求證函數(shù)為偶函數(shù)即可判斷，；對于C，求證函數(shù)為奇函數(shù)即可判斷.【詳解】對于A，函數(shù)定義域為R，且對任意有，函數(shù)為偶函數(shù)，所以不存在，使得，故A不滿足；對于B，函數(shù)定義域為R，且對任意有，函數(shù)為偶函數(shù)，所以不存在，使得，故B不滿足；對于C，函數(shù)定義域為R，且對任意有，函數(shù)為奇函數(shù)，如，即所以，，故C滿足；對于D，函數(shù)定義域為R，且對任意有，函數(shù)為偶函數(shù)，所以不存在，使得，故D不滿足.故選：C.2．C【分析】將代入函數(shù)的解析式，利用誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷充分性；根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，可以推出區(qū)間是區(qū)間的一個非空子集，即可解得，從而判斷必要性.【詳解】由題意，若，則，由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以充分性成立；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，則，所以，，解得，即，所以必要性成立；因此，“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充分必要條件.故選：C.3．B【分析】①選項，求出函數(shù)的零點，從而求出兩零點的差值，根據(jù)平移得出解析式判斷②，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷③，代入檢驗法判斷④.【詳解】令，解得：，，即，，所以兩個零點的距離：，①錯誤；由向左平移得到，故②錯誤；因為，所以，所以單調(diào)遞增，所以時，則一定有，③正確；當時，，，所以直線是函數(shù)的對稱軸，④正確；故選：B4．D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義：對于任意實數(shù)，都有.然后分析每個函數(shù)的值域判定即可.【詳解】對于函數(shù)，定義域為R，，而.因為，所以該函數(shù)不是奇函數(shù).對于值域，因為的值域為，所以的值域為R.故A錯誤.對于函數(shù)，定義域為R，，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故B錯誤.對于函數(shù)，定義域為，，所以該函數(shù)是奇函數(shù).對于值域，，，當趨于時，趨于正負無窮，其值域為，不是R.

故C錯誤.對于函數(shù)，定義域為，，所以該函數(shù)是奇函數(shù).對于值域，當趨于正無窮時，趨于正無窮；當趨于負無窮時，趨于負無窮；并且函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，所以值域為R.故選：D.5．A【分析】根據(jù)計算對稱中心橫坐標滿足，解得答案.【詳解】函數(shù)對稱中心橫坐標滿足：，即，當時，對稱中心為，A選項正確；當時，對稱中心為，當時，對稱中心為，B,C,D選項不正確；故選：A.6．B【分析】根據(jù)條件，利用的性質(zhì)，得到和，從而得到，即可求解.【詳解】因為，且，所以，得到①又，則，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值為，故選：B.7．C【分析】由函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性定義對選項逐個判斷即可.【詳解】對于A，的定義域為，，故為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，的定義域為，，故為偶函數(shù)，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，的圖象如下圖，故D錯.故選：C.8．C【分析】利用正切型函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合分段函數(shù)性質(zhì)即可得到解集.【詳解】設(shè)，令，且，解得，，令，則，則在上單調(diào)遞增，，則，則當時，，，則滿足，即，當時，，且單調(diào)遞減，，且單調(diào)遞增，則時，，即；時，，即；綜上所述：的解集為，故選；C.9．B【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷A，利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷B，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷C，舉特例判斷D.【詳解】對于A，因為，所以指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯誤；對于B，因為，所以冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，正確；對于C，因為，所以對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯誤；對于D，當時，滿足，有，此時不滿足，錯誤.故選：B10．C【分析】舉例即可判斷充分性，若不是最小內(nèi)角，假設(shè)，利用反證法即可判斷必要性，即可得解.【詳解】當時，，此時是最小內(nèi)角，故充分性不成立；若不是最小內(nèi)角，不妨設(shè)為最大角，則，假設(shè)，由，可得，則，此時，與題意矛盾，所以，若銳角的最大角小于或等于，則三角形的內(nèi)角和小于或等于，這與三角形的內(nèi)角和等于矛盾，所以若不是最小內(nèi)角，則，故必要性成立，綜上所述“”是“不是最小內(nèi)角”的必要不充分條件.故選：C.11．D【分析】A選項，由時，的最小值為，則可得半個最小正周期；BCD選項，由最小正周期可得，后由正弦函數(shù)奇偶性，值域，零點相關(guān)知識可判斷選項正誤.【詳解】A選項，時，的最小值為，可得的最小正周期為，故A錯誤；B選項，由A可知，.則將函數(shù)的圖像向左平移個單位，則得到的解析式為，則得到的函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯誤；C選項，當時，，因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故C錯誤；D選項，時，，則當時，，則在區(qū)間上的根的個數(shù)共有6個，故D正確.故選：D12．B【分析】結(jié)合圖象即可得到，進而求得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求得周期和，從而求得答案.【詳解】由圖可知，函數(shù)過點和點，即，又因為，所以，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，，解得，所以，解得，因為，所以所以，所以，即，解得，因為，所以故選：B.13．C【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷各個選項即可.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，且，所以，故函數(shù)不為偶函數(shù)；對于B，函數(shù)的定義域為，且，所以，故函數(shù)不為偶函數(shù)；對于C，函數(shù)的定義域為，且，所以，故函數(shù)為偶函數(shù)；對于D，函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)不為偶函數(shù).故選：C.14．D【分析】求出時的解析式，根據(jù)周期性進而可求的最小值.【詳解】的周期為，所以只需討論時的最小值即可，因為的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為，，且對稱軸為，當時，，且，所以此時；當時，，且，所以此時；當時，，此時；所以，所以在時的最小值為，所以的最小值為.故選：D15．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可/【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，因此，故選：B16．D【分析】根據(jù)題設(shè)可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷內(nèi)角、對應(yīng)三角函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】由銳角三角形知：且，所以，則，即，且，即.又已知角的大小不確定，故A、B不一定成立，而C錯，D對.故選：D17．016【分析】代入計算可得第一空，利用圖象的對稱性可求所有實數(shù)解的和.【詳解】，而，，故的對稱中心為，在平面直角坐標系中，畫出和在上的圖像，由圖象可得的圖象在上共有4個不同的交點，它們的橫坐標的和為，故答案為：.18．（答案不唯一）【分析】由題意，求出的一個值后代入驗證即可求解.【詳解】的圖象關(guān)于直線對稱，，即，.令，得，，符合題意．故答案為：（答案不唯一）．19．3（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得，進而可求解.【詳解】由可得,由于，所以不妨，，則，滿足，故答案為：3（答案不唯一）20．②④【分析】取可判斷①，取化簡后可判斷②，先化簡，取可判斷③，取可判斷④.【詳解】對于①，當時，其最大值為1，最小值為0，的最大值與最小值的差為1，故①錯誤；對于②，當時，，，因此對任意，，故②正確；對于③，，，當時，故③錯誤；對于④，當時，取，，使得對任意，都有，故正確.故答案為：②④21．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、最值求得正確答案.【詳解】由于若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，，則，所以，，由于，所以的值為.故答案為：22．①③④【分析】①應(yīng)用誘導(dǎo)公式判斷判斷是否成立即可；②③、的等量關(guān)系判斷正誤；④判斷，，上，，對應(yīng)單調(diào)性，即可判斷.【詳解】①，所以是函數(shù)的一個周期，正確；，所以不關(guān)于直線對稱，而關(guān)于點對稱，②錯誤，③正確；④，則，，，而在、、均遞增，故在上單調(diào)遞增，正確.故答案為：①③④23．【分析】化簡得到，結(jié)合的單調(diào)遞減區(qū)間得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為,又因為在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，且的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，即，所以實數(shù)a的最大值為，故答案為：.24．(1)(2)【分析】（1）由分析求解可知，要使得函數(shù)存在且唯一，需選擇條件①②,或選擇條件②③,選擇其中一組解答即可，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出，可得函數(shù)的解析式；（2）求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，由是其子集，即可求得實數(shù)的最大值.【詳解】（1）若選擇條件①③,由,得，即，，則，又函數(shù)的一個零點為，則，則不能確定，所以函數(shù)不唯一，所以不能選擇條件①③.選擇條件①②,由,得，即，，則，因為函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，所以函數(shù)的最小正周期，因為，則，所以.選擇條件②③,因為函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，所以函數(shù)的最小正周期，因為，則，因為函數(shù)的一個零點為，即，所以，則，又，則，所以.（2）因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，則，所以是的一個單調(diào)遞減區(qū)間，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以實數(shù)的最大值為.25．(1)2，(2)答案見解析【分析】（1）先由三角變換公式得到，若選條件①，則可利用周期公式得