2023—2024學年度高二開年聯考

數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題日的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.己知集合/=｛小+1>0｝,集合2={x|x|>2),U=R,則().

A.ABB.604={上<_“

C.A<JB=x>21D.AoB=|x|x>2j

2.若復數z滿足(l+3i)z=2+4i,則z的虛部為（）.

17

A.-iB.--iC.——D.-

5555

3.下列函數中，表示同一函數的是（)

A./(x)=x,g(x)=V?B./(x)=lgx2,g(x)=21gx

C./(x)=lne\g(x)=xD./(%)=sinx,g(x)=cos1x+-^-

4.若M是拋物線/=2px（p>0）位于第一象限的點，廠是拋物線的焦點，刊=gp,則直線板的斜

率為（）

5.已知等差數列｛%｝的公差和首項都不為0,且。2,&成等比數列，則在

A.1B.2C.3D.5

6.如圖，在四面體4-中，點b分別是45,的中點，點G是線段Eb上靠近點E的一個三

等分點，令萬百,AC=b^AD=c，則/=（）

1-11一

B.-QH—b7H—c

366632

D.—a——b+—c

632

7.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為,則密碼被破譯的概率為（）

12_5

A.—B.—C.—D.1

636

r2V2

8.已知尸為雙曲線C：/-方=1（。>0,6>0）的一個焦點，。上的4,5兩點關于原點對稱，且

網=2網，FA-FB=3a2,則C的離心率是（）

A.為B.包C?恒D.叵

2222

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知ae(O,n),且sina+cosa=—,貝”()

兀

A.—<a<7iB.sincosor=-----

225

77

C.cosa-sina=—D.costz-sincr=——

55

10.已知等差數列｛2｝的首項為=2,公差d=8,在｛%｝中每相鄰兩項之間都插入左個數，使它們和原數

列的數一起構成一個新的等差數列也“｝,以下說法正確的是（）

A.%=8〃-6

B.當左=3時，bn=2n

C.當先=3時，怎不是數列｛%｝中的項

D.若為是數列｛%｝中的項，則上的值可能為7

11.在正方體/BCD-4片CQ］中，點P滿足率=4麗（OVXVI）,貝U（）

JTj

A.若為=1,則4P與AD所成角為7B.若APA.BD,則彳=5

C./尸〃平面8QDD.AtC1AP

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數V=八x的值域為________.

b,0<E

13.己知數列｛%｝滿足%=—，貝U%=________，冊=_________.

1+a”

14.二面角口-/-分為60。，A,3是棱/上的兩點，AC,8。分別在半平面a,4內，AC11,BD11,

且/3=/C=2,BD=4,貝i]CD的長為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某學校高一100名學生參加數學考試，成績均在40分到100分之間，學生成績的頻率分布直方圖如下

(1)估計這100名學生分數的中位數與平均數；(精確到0.1)

(2)某老師抽取了10名學生的分數:鼻孫七,已知這10個分數的平均數亍=90,標準差s=6,若剔

除其中的100和80兩個分數，求剩余8個分數的平均數與標準差.

(參考公式：Jjgxf

16.己知點8(-2,6),點p在圓氏一+)2=4上運動.

(1)求過點B且與圓E相切的直線方程；

(2)已知/(—2,-2),C(4,—2),求|尸/『+1尸切2+1PC「的最值.

17.如圖，在棱長為4的正方體/BCD-/RCA中，點M是3c的中點.

(1)求證：AB.IA.M；

(2)求二面角8-4"的大小.

18.己知數列｛%｝、也“｝滿足％=1,?2=1,9%=6%a"=M(〃eN*).

(1)證明：數列｛%｝為等差數列，并求數列｛《｝的通項公式；

(2)記數列｛”“｝的前〃項和為S“，求S“，并證明：Sn>].

19.已知《卜6,1),B,/是橢圓C上的三點，其中A、8兩點關于原點O對稱，直線和MB的斜率

滿足％,上MB=一；.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)點0是橢圓C長軸上的不同于左右頂點的任意一點，過點。作斜率不為0的直線/,/與橢圓的兩個交點

11

分別為P、N,若畫+畫為定值，則稱點。為“穩定點”，問：是否存在這樣的穩定點？若有，試求出

所有的“穩定點”，并說明理由；若沒有，也請說明理由.

參考答案

1.D

【分析】先化簡集合A,B,再由子集的概念可判斷A；由集合的運算判斷BCD

【詳解】因為N={x[x+l>0}=,3=卜料22}=門,22或xV-2},

所以A不是B的子集，故A錯誤；

duA={x\x<-l],故B錯誤；

/口8=門卜>一1或》4一2},故C錯誤；

AcyB=[x\x>2\,故D正確；

故選：D

2.C

【分析】化簡方程求出復數z的代數形式，結合復數虛部的定義確定其虛部.

【詳解】因為(l+3i)z=2+4i,

所Hz=2+4i(2+旬(1-3i)14-2i/1

所以l+3i(l+3i)(l-3i)1055,

所以復數z的虛部為-g,

故選：C.

3.C

【分析】從函數的定義域和對應法則兩個方面是否都相同考查函數即得.

【詳解】對于A項，g(x)=|x|,與〃x)的對應法則不同，故不是同一函數，A項錯誤；

對于B項，/(x)的定義域為{引xr0},g(x)的定義域為任|x>0},

故兩函數定義域不同，故〃x)與g(x)不是同一函數，B項錯誤；

對于C項，/(》)=^^=》與8(月=》的定義域相同，對應法則也相同，C項正確；

對于D項，/(x)=siwc,g(x)=-sinx,與g(x)的對應法則不同，故不是同一函數，D

項錯誤.

故選:C.

4.C

試題

試題

【分析】由拋物線的定義可求得功=2。，結合拋物線方程即可求得為,=2。，運用兩點斜

率公式計算即可.

【詳解】由題知，F(20),拋物線的準線方程為x=4，設

由拋物線的定義知，|必|=小/，即m=%+金所以無M=2人

所以"=2。無時=4p2,

又因為M位于第一象限，所以加=2。，

所以M(2p,2p),

_2/2-0_4

所以―P=3.

2P-工

故選：C.

5.C

s

【分析】設出數列｛七｝的首項可和公差a,通過題設條件求得為和a的數量關系，再將U

用前幾項和公式展開，整體代入即得.

【詳解】設等差數列｛g｝的首項為q,公差為d(dwo),

由。2，。4，。8成等比數列得。J=。2即:(%+3d『=(%+/)(%+7d),

A5x4

解得：d=ax,,工廠

a5ax+4d5al

故選：C.

6.A

【分析】連接EC,成)，利用空間向量運算的幾何表示求解.

【詳解】連接EC,ED,

試題

試題

就二通+用二衣+，麗=次+，xL（反+而）

332、）

—-1/—?—?—?—?、2—?1—?1—?

=AE+-[AC-AE+AD-AE]=-AE+-AC+-AD

6、,366

21—?1___1__.1_1_1一

=-x-AB+-AC+-AD=-a+-b+-c.

3266366

故選：A.

7.B

【分析】密碼被破譯分三種情況甲破譯出密碼乙未破譯，乙破譯出密碼甲未破譯，甲乙都

破譯出密碼，根據相互獨立事件的概率和公式可求解出答案.

【詳解】設“甲獨立地破譯一份密碼”為事件A,“乙獨立地破譯一份密碼”為事件B,

則尸（“）=:，P（B）=g,尸（可=「；=|,尸回

設“密碼被破譯”為事件C,

貝IJP（C）=P（/豆）+P（M）+P（/2）=!x；+gx；+；x；=g,

故選：B.

【點睛】本題以實際問題為背景考查相互獨立事件的概念及其發生的概率的計算，考查分析

問題和解決問題的能力，屬于中檔題.

8.D

【分析】利用雙曲線的定義求出|旬|=4a,|/周=2°,結合余弦定理可求離心率.

【詳解】不妨設尸，片分別為雙曲線的左右焦點，連接/耳，幽，

因為4,8兩點關于原點對稱，所以/尸?；為平行四邊形，所以恒同=|/引，

因為四-悶|=2a,同=2同=2|必|,

所以同=4a,|幽=2°.

因為瓦.麗=|⑼,麗卜0$乙4尸2=3/,所以COSN/Q=F^=：；

在五耳中，由余弦定理可得4c2=16/+4a2-2x4ax2acosNK4片,

因為cosNE4/^=-cosNNE8=-1,所以26/=^?,即6=叵.

82

故選：D

試題

試題

]12

【分析】AB選項，sini+cosi=y兩邊平方得至ljsinacosa=-不，再結合。￡（0,兀）得到

sina〉O,cos<z<0,得到AB正確；先求出cosa-sina的平方，結合角的范圍求出

cosa-sina的值.

【詳解】AB選項，sina+cosa=3兩邊平方得，sin2a+cos2or+2sin?cosa=^9

1一12

即1+2sincrcosa,所以sinacosa=--,B正確，

因為。￡（0,兀），所以sina>0,故cosa<0,所以I'VaVTi,A正確；

22449

CD選項，（cosa-sina）=sin2a+cos2a-2sinacosa=l-\---=—,

'/2525

因為sina>0,costz<0,所以cosa—sina<0,

7

故cosa-sina=-不，C錯誤，D正確.

故選：ABD

10.ABD

【分析】求出通項判斷A；求出公差、通項判斷BC；探討數列｛%｝與｛4｝的下標關系判斷

D.

【詳解】對于A,由題意得。,=2+8（〃-1）=8〃-6,A正確；

對于B,新數列的首項為2,公差為言±=2,故“=2+2（〃-1）=2",B正確；

對于C,由B選項知怎=58,令8〃-6=58,貝"=8,即既是數列｛%｝的第8項，C錯誤

對于D,插入I個數,則q==4+2,。3=%丘+3,。4=砥+4,…，

則等差數列｛%｝中的項在新的等差數列｛2｝中對應的下標是以1為首項，左+1為公差的等

差數列，

于是0"=^l+（K-l）（t+l），而d是數列｛%｝的項,令1+左+1）=9,當1=7時,n=2,D正

確.

試題

試題

故選：ABD

11.BCD

【分析】與8。所成角為與8Q所成角，為60。，A錯誤,建系得到

AP-DB=-A+l-A=0,B正確，故面404〃面G3D,C正確，AlC-AP=0,D正確，

得到答案.

【詳解】對選項A：義=1時尸與2重合，g與BD所成角為ADl與旦A所成角，AABR

為等邊三角形，則/尸與2。所成角為60。，錯誤；

對選項B：如圖建立空間直角坐標系，令/。=1,即=2而,,

AP=(—A,1—A,1),DB=(1,1,0),AP-DB=—A+1—A=0>=~,正確；

z

by，

4

/：c

k，

B

對選項C：DlBl//BD,￡)4<Z平面BOG,8。匚平面2。。1,故。4〃平面&)G，同理

可得ADJ平面CXBD,AD,cBR=R,故面ADXBX〃面CXBD,APu平面AD^,AP〃

平面G助，正確；

Dxc

0,

AB

對選項D：4C=(-i,i,-i),4C-2P=24-l-2-l=0,Afi1AP,正確.

試題

試題

故選：BCD

12.(O,l)##(j^(O<y<l))

【分析】分別求出各段函數的值域再求并集即可

【詳解】當時，了二/在卜1可上單調遞減，

所以04g；

2

當0cxVI時，了=在(0』上單調遞減,

2

所以r><i；

x3,-l<x<0

所以函數〉=<的值域為[0,1],

,0<x<l

故答案為：[0,1]

13.--

3n

,Q

【分析】在遞推式%=1,%包=「中對〃依次賦值，即得知;注意到遞推式的特征，因

a?>0,可將其兩邊取倒數，推得等差數列求其通項即得凡.

【詳解】因為％=1，。“+1=7^—,所以出=善一=；,%=#—=/)"=4，故%=!；

1+。〃\+ax2l+a2?+￡33

一2

由4=1，%+1=詈」可知%>0,兩邊取倒數得：—=—+1?

故數列是以1為首項，1為公差的等差數列，則,=1+〃-1=〃,二4=乙

山ann

故答案為：:；—.

3n

14.4

【分析】將函分解為9+在+前，再求模即可.

【詳解】由題意，,??二面角a-/-/?為60。，AC±l,AD_L/,.,.就與麗夾角為60。,

??。與麗夾角為120。，

試題

試題

|麗|2=麗2=(0+方+而)2

=CA+AB+BD+2(CA-AB+CA-BD+AB-BDj

=|C3|2+|AB|2+|SD|2+2(O+|C3||S5|COS12O°+O)

=4+4+16+2X2X4X(一;1

=16,

“麗|=4,即CD的長為4.

故答案為：4.

15.(1)中位數為71.4,平均數為71.0

(2)平均數為90,標準差為2行

【分析】（1）根據頻率分布直方圖估計中位數和平均數的方法直接求解即可；

10

（2）根據已知數據可求得剩余8個分數的平均數，結合s=6可求得進而得到剩余8

i=l

個分數的標準差.

【詳解】（1）???（0.005+0.015+0.025）x10=0.45<0.5,0.45+0.035x10=0,8>0,5,

二中位數位于［70,80）之間，設中位數為加,

則045+（加-70）x0.035=05,解得：機=—。71.4,即中位數為71.4；

平均數為(45x0.005+55x0.015+65x0.025+75x0.035+85x0.010+95x0.010)x10=71.0.

10于一100-8010x90-180

（2）剩余8個分數的平均值為

88

10

￡X,2-10X90210

:=10x62+10x902=81360,

i=l

10

2222

￡X1-80-100-8X90__

???剩余8個分數的標準差為

----------------------------=V20=2y/5'

8

16.⑴4x+3尸10=0或％=-2

（2）最大值為88,最小值為72

【分析】（1）按過點B的直線斜率存在與否分類討論，利用點到直線距離公式即可求得過點

試題

試題

B且與圓E相切的直線方程；

(2)利用兩點間距離公式將|尸/F+|P8『+|PCF化簡，利用點尸縱坐標的取值范圍即可求

得|"『+|依『+|尸。『的最值.

【詳解】(1)當過點B的直線斜率存在時，

設切線的方程為y=〃(x+2)+6,即Ax-y+6+2左=0,

\6+2k\4

則圓心E(0,0)到切線的距離為1T=2,解得上一;，

J1+上23

4

所以切線方程為了=-](x+2)+6,即4x+3>-10=0,

當過點尸的直線斜率不存在時，切線方程為x=-2,此時直線與圓新相切.

綜上，切線方程為4x+3yT0=0或》=-2.

(2)設尸點坐標為(x,y),則/+/=4,所以

同『+|PS|2+|PC|2

=(x+2)2+(y+2)2+(x+2y+(J-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(V+y2)-4y+68=80-4y.

因為所以72V80-4yW88,

即|PN『+11pCp的最大值為88,最小值為72.

17.(1)證明見解析

【分析】(1)由正方體的性質，先證8C/平面得耳，再由工月，48證明

/月，平面48M,進而即得；

(2)依題意建系，求得相關點坐標，分別求出平面4"。和平面48M的法向量，利用空

間向量的夾角公式即可求得.

【詳解】(1)因為且24c48=8,/民8耳u平面258/1,

所以3cl平面4BBM.又/月u平面ABBlAi,

所以月

又因為正方形48耳4,則/用，4B，4Bc8c平面48M,

試題

試題

所以AB—平面48M.

因為平面48M,

所以MJ4".

(2)

如圖，以點。為原點，以向量而，皮,函所在直線為x）,z軸，建立空間直角坐標系,

則4（4,0,4）,M（2,4,0）,G（0,4,4）,/（4,0,0）再（4,4,4）,

麗=（-2,4,-4）防=（-2,0,4）.

設平面4Mq的一個法向量為應=（x,y,z）,

AM-m=-2x+4y-4z=0

則—.一,令x=2,則y=2,z=l,

的?應=-2x+4==0

故平面的法向量可取為m=（2,2,1）.

由（1）可知，平面48M,所以平面48M的法向量可取五瓦=（0,4,4）,

設二面角B-A.M-G的大小為0,由圖可知夕為鈍角，

I--I12-x/2

貝UCOS0=—COS772,AB=--_|Y=-------尸=----,因一<夕<71,

{同卜聞3x4后22

貝|J9=93兀,即二面角5—4M—G的大小為3了71.

44

3〃一2

18.（1）證明見解析，。〃=下廠

⑵一號手，證明見解析

44X3

【分析】（1）由已知等式變形可得出“+I+47=2”（〃22）,利用等差中項法可證得結論成

試題

試題

立，確定數列｛2｝的首項和公差，可求得數列低｝的通項公式，進而可求得數列｛%｝的通項

公式；

（2）利用錯位相減法可求得邑，分析數列｛S,｝的單調性，即可證得結論成立.

【詳解】⑴因為9%=6““-心（心2）,%=條（〃eN*）,則"=3"一匕，

等式9??+1=6a“-%（心2）兩邊同時乘以3"-2可得3'—=2x3""-3"-%,

即初+如=26,（心2）,所以，數列｛，｝是等差數列.

且4=1=1,%=3