等差數列試題及解析答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(d=2\)，則\(a_{3}\)的值為（）A.3B.5C.7D.92.等差數列\(\{a_{n}\}\)的通項公式\(a_{n}=3n-2\)，則公差\(d\)是（）A.1B.2C.3D.43.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{5}=10\)，\(a_{7}=16\)，則公差\(d\)為（）A.2B.3C.4D.54.首項為\(2\)，公差為\(3\)的等差數列的第\(10\)項是（）A.27B.28C.29D.305.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}+a_{5}=12\)，則\(a_{4}\)的值為（）A.5B.6C.7D.86.若\(1\)，\(x\)，\(3\)成等差數列，則\(x\)的值為（）A.1B.2C.3D.47.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{5}=10\)，則\(S_{5}\)等于（）A.30B.25C.20D.158.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}\)，則\(a_{2}\)的值為（）A.1B.3C.5D.79.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n}=2n-1\)，則\(a_{1}\)與\(a_{3}\)的等差中項是（）A.2B.3C.4D.510.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=21\)，\(d=2\)，則\(n\)的值為（）A.10B.11C.12D.13二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關于等差數列的說法正確的是（）A.若\(\{a_{n}\}\)是等差數列，則\(a_{n+1}-a_{n}\)為常數B.等差數列的通項公式是關于\(n\)的一次函數C.常數列是等差數列D.若\(a,b,c\)成等差數列，則\(2b=a+c\)2.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(d=2\)，下列說法正確的是（）A.\(a_{2}=3\)B.\(a_{3}=5\)C.\(a_{4}=7\)D.\(a_{5}=9\)3.設等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(a_{3}=5\)，則（）A.\(S_{5}=25\)B.\(a_{1}+a_{5}=10\)C.\(a_{2}+a_{4}=10\)D.\(a_{1},a_{3},a_{5}\)成等差數列4.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，公差\(d=1\)，\(a_{2}=3\)，則（）A.\(a_{1}=2\)B.\(a_{3}=4\)C.\(a_{4}=5\)D.\(a_{5}=6\)5.下列數列中是等差數列的有（）A.\(1,3,5,7\)B.\(2,4,8,16\)C.\(0,0,0,0\)D.\(1,-1,1,-1\)6.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n}=3n-5\)，則（）A.\(a_{1}=-2\)B.\(d=3\)C.\(a_{10}=25\)D.\(S_{10}=115\)7.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=2n^{2}+n\)，則（）A.\(a_{1}=3\)B.\(a_{2}=7\)C.\(d=4\)D.\(a_{n}=4n-1\)8.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{m}=a\)，\(a_{n}=b\)（\(m\neqn\)），則（）A.公差\(d=\frac{b-a}{n-m}\)B.\(a_{1}=a-(m-1)\frac{b-a}{n-m}\)C.\(a_{m+n}=\frac{na-mb}{n-m}\)D.\(S_{m+n}=\frac{(m+n)(a+b)}{2}\)9.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}\gt0\)，\(d\lt0\)，\(S_{n}\)為其前\(n\)項和，若\(S_{5}=S_{9}\)，則（）A.\(a_{7}+a_{8}=0\)B.\(S_{7}\)最大C.\(a_{7}\gt0\)，\(a_{8}\lt0\)D.\(S_{14}=0\)10.若\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)都是等差數列，\(a_{n}=2n+1\)，\(b_{n}=3n-2\)，則（）A.\(\{a_{n}+b_{n}\}\)是等差數列B.\(\{a_{n}-b_{n}\}\)是等差數列C.\(a_{n}+b_{n}=5n-1\)D.\(a_{n}-b_{n}=-n+3\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若數列\(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{n+1}-a_{n}=n\)，則\(\{a_{n}\}\)是等差數列。（）2.等差數列\(\{a_{n}\}\)的通項公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，\(d\)為公差，\(a_{1}\)為首項。（）3.常數列\(1,1,1,\cdots\)不是等差數列。（）4.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)，則\(m+n=p+q\)。（）5.等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。（）6.若\(a,b,c\)成等差數列，則\(a+c=2b\)。（）7.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，公差\(d\gt0\)，則數列\(\{a_{n}\}\)單調遞增。（）8.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)，\(a_{1}=1\)，\(d=2\)，則\(a_{n}=2n-1\)。（）9.等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}\)，則\(a_{n}=2n-1\)。（）10.若\(\{a_{n}\}\)是等差數列，\(S_{n}\)為前\(n\)項和，則\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)仍成等差數列。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，\(d=2\)，求\(a_{n}\)和\(S_{n}\)。-答案：由等差數列通項公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，可得\(a_{n}=3+2(n-1)=2n+1\)。前\(n\)項和公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)，即\(S_{n}=3n+n(n-1)=n^{2}+2n\)。2.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=7\)，\(a_{7}=15\)，求公差\(d\)和\(a_{1}\)。-答案：根據等差數列性質\(a_{n}=a_{m}+(n-m)d\)，\(a_{7}=a_{3}+(7-3)d\)，即\(15=7+4d\)，解得\(d=2\)。\(a_{3}=a_{1}+2d\)，\(7=a_{1}+2×2\)，得\(a_{1}=3\)。3.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}-2n\)，求\(a_{n}\)。-答案：當\(n=1\)時，\(a_{1}=S_{1}=1^{2}-2×1=-1\)；當\(n\geq2\)時，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-2n-[(n-1)^{2}-2(n-1)]=2n-3\)。\(n=1\)時也滿足，所以\(a_{n}=2n-3\)。4.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}+a_{3}+a_{5}=12\)，\(a_{2}+a_{4}+a_{6}=18\)，求\(a_{n}\)。-答案：\(a_{1}+a_{3}+a_{5}=3a_{3}=12\)，則\(a_{3}=4\)；\(a_{2}+a_{4}+a_{6}=3a_{4}=18\)，則\(a_{4}=6\)。公差\(d=a_{4}-a_{3}=2\)，\(a_{1}=a_{3}-2d=0\)，所以\(a_{n}=0+2(n-1)=2n-2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等差數列的性質在解題中的應用。-答案：等差數列性質如\(m+n=p+q\)時\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)，\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等差數列等。可簡化計算，如求特定項和、公差、項數等問題，利用性質能減少運算量，提高解題效率。2.如何根據數列的前幾項判斷它是否為等差數列？-答案：計算相鄰兩項的差，若從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就是等差數列。可多算幾組相鄰項的差進行驗證，同時觀察數列整體規律，若差值恒定則符合等差數列定義。3.闡述等差數列前\(n\)項和公式的推導方法及意義。-答案：推導方法有倒序相加法。意義在于可方便求出等差數列前\(n\)項的總和，在實際問題如求和、求項數等方面有廣泛應用，通過公式能深入研究數列的特征和規律，為解決相關數學問題提供有力工具。4.探討等差數列與一次函數的關系。-答案：等差數列通項公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=dn+(a_{1}-d)\)，當\(d\neq0\)時，\(a_{n}\)是關于\(n\)的一次函數，其圖象是直線上的孤立點。\(d\)決定直線斜率，\(a_{1}-d\)決定截距，體現了兩者在函數形式和圖象上的聯